Polynom över reella och komplexa talen, polynomdivision, SGD, Euklides algoritm

Polynom över !

Under baskursen bekantade du dig med polynomen över de komplexa talen. Nedanstående material är till stora delar en repetition av detta stoff.

DEFINITION

Ett polynom över ! är ett uttryck av typ a_nzn Æ ledande koefficient +… + a_kzk Æ koefficient +… + a₁z + a₀ där de s.k. koefficienterna a₀, a₁, …, a_nœ !.

Det största k:et sådant att a_k är nollskild kallas för polynomets grad. Motsvarande koefficient kallas ledande koefficient. Våra exempelpolynom har ofta (men inte alltid) ledande koefficient lika med 1.

EXEMPEL 1 5 z3+z2- Âz + 3 Â är ett polynom över ! av grad 3.

Polynommängderna !@

z

D, "@

z

D, #@

z

D, $@

z

D

Mängden av alla polynom över ! betecknas !@zD.

"@zD, #@zD, $@zD avser motsvarande polynommängder då polynomens

koefficienter tillhör ", # resp. $.

Exempel på polynom $@zD #@zD "@zD !@zD 5 z3+z2+2 z + 3 ! ! ! ! z3+ z2 3 + 3 z5 +1 ! ! ! z3+ pz2+ 2 z + 7 ! ! z3+ Â 2 z2+ IÂ + 2 M z + Â _!

Vår vanligaste kortbeteckning på ett godtyckligt element i !@zD är ! eller !HzL. Även bokstäverna ", #,$,%,& kommer att användas.

Till varje polynom hör en funktion

Notera att ett polynom är inte en funktion, det är

“

!z # !HzL!

Funktionen är en s.k. polynomfunktion. Trots den potentiella förvirrings-risken används samma beteckning för polynomet som för dess funktion.

Grafen till en polynomfunktion

Först specialfallet där !Œ !@xD och x Œ !

Input-output-paren Hx,!HxLL blir i detta fall en delmängd av "2. Ty !HxL = anxn+… + a₁x + a₀ är reellt då x och koefficienterna är reella. EXEMPEL 2 x2-1 -1 1 x x3- x2 2 -x + 12 -1 1 x

Nu det allmänna fallet där !Œ "@zD och z Œ "

Här blir polynomfunktions graf en delmängd av ! µ ! = !2 som inte ryms i det tredimensionella rummet. Därför finns det uppenbara problem att visu-alisera en sådan funktionsgraf. En modern visualiseringsmodell går ut på att måla varje komplex punkt med en unik färg. Se nedanför …

Färgkodning av "

Vid s.k. färgkodning av ! tillordnas varje z œ ! en unik kulör och ljushet. Kulören | dvs. vilken blandning av rött, gult, grönt och blått som skall användas | bestäms av arg z.

Argumenten 0, p

3, 2 p3 , p, 4 p3 , 5 p3 tilldelas tex rent röda, gula, gröna, turkos,

blå respektive violetta kulörer. Vad beträffar ljusheten | dvs. hur mycket vitt eller svart som skall tillsättas | så är det †z§ som avgör. Ju mindre †z§, ju mer svärta tillsättes. Och z med stort †z§ ljusas upp med vitt.

Argumenten 0, p

3, 2 p3 , p, 4 p3 , 5 p3 tilldelas tex rent röda, gula, gröna, turkos,

blå respektive violetta kulörer. Vad beträffar ljusheten | dvs. hur mycket vitt eller svart som skall tillsättas | så är det †z§ som avgör. Ju mindre †z§, ju mer svärta tillsättes. Och z med stort †z§ ljusas upp med vitt.

Plan färgkodning av komplexa funktionsgrafer

Den s.k. färggrafen till !HzL fås genom att man målar varje punkt z med !HzL:s färg. Se exemplen nedanför ….

EXEMPEL 3 Färggraferna till !HzL = z2 respektive z3.

T.ex. visar de turkosfärgade punkterna på imaginära axeln i den vänstra grafen att kvadraten på imaginära tal blir negativa. På motsvarande sätt visar de turkosfärgade strålarna i högra figuren att kuber av tal med argu-menten !2 p

3 och p blir negativa.

EXEMPEL 4 !HzL= Hz - 1L2 respektive z3- z2

2 -z +12

Den tredimensionella färggrafen

Här avbildas funktionen z # †!HzL§ som en yta i det tredimensionella rummet ! µ " och målas med färger (utan tillsatser av vitt eller svart) som bestäms av arg!HzL på samma sätt som i de plana färggraferna ovanför.

Polynom och delbarhet

3 polynom.nb

Polynom och delbarhet

Polynom och naturliga tal

Decimalrepresentationen av ett naturligt tal bygger på att naturliga tal kan skrivas som polynom i $₁₀@zD där $₁₀= 80, 1, …, 9< och z = 10:

heltal 103 + 7 ÿ 102 + 5 ÿ 10 + 2 polynom över $₁₀ z3 + 7 z2 + 5 z + 2

Därför är det inte konstigt att många heltalsbegrepp har motsvarigheter för polynom | något som kommer att visa sig strax …

DEFINITION

Man skriver "\! (uttalas "" delar !") om det finns något % sådant att "ÿ%=!.

Man säger även att " är en delare i ! eller att ! är delbart med ". EXEMPEL 5

Hz - 1L \ Iz3-1M, ty Hz - 1L Iz2+z + 1M = Iz3-1M

lemma 1 Om "\# och "\$ så "\ H!₁ÿ# + !₂ÿ$L för alla !₁, !₂

Divisionsalgoritmen

Att dividera ett polynom ! med ett polynom " som är skild från nollpoly-nomet innebär att hitta ett polynom % (kallas kvoten) sådan att skillnaden & mellan ! och %ÿ" (denna skillnad kallas resten) endera blir nollpoly-nomet eller åtminstone ett polynom av lägre grad än ". Dvs. så att

! ="ÿ% + & där &=0 eller

&"0 och av lägre grad än ".

EXEMPEL 6 Vi dividerar z5+2 z4-2 z3-4 z2+z + 2 med

z3+4 z2+z - 6:

z5+2 z4-2 z3-4 z2+z + 2 : z3+4 z2+z - 6 = z2-2 z+5 ô% z5+4 z4+ z3-6 z2 -2 z4-3 z3 +2 z2+z + 2 -2 z4-8 z3-2 z2+12 z 5 z3+4 z2-11 z + 2 5 z3+20 z2+5 z - 30 -16 z2_{-16 z + 32 ô &} Det följer att z5+2 z4-2 z3-4 z2+z + 2 =

Iz3+4 z2+z - 6M Hz2-2 z + 5 % L + H-16 z2-16 z + 32 & L

Fyra satser

Till varje !œ !@zD hör ekvationen !HzL! 0. Ekvationens lösningar benämnes

rötter till !HzL! 0 eller nollställen till !HzL. Satserna nedanför visar att och

hur rötterna är relaterade till polynomets förstagradsfaktorer.

1. Faktorsatsen !Hz₁L =0 omm Hz - z₁L\ !

2. Algebrans fundamentalsats

Om grad!>0 så är !Hz₁L =0 för något z₁œ !.

3. Satsen om fullständig faktorisering Om ! är av grad n ¥ 1 och har ledande koefficient 1, så kan ! (på entydigt sätt) faktoriseras som

!HzL = Hz - znL ÿ… ÿ Hz - z2L ÿ Hz - z1L, där z1, …, znœ !.

4. Satsen om antalet nollställen Varje polynom vars grad är lika med n har exakt n nollställen i ! om de räknas med multiplicitet.

Sambanden mellan nollställen och koefficienter

Betrakta ett godtyckligt andragradspolynom med ledande koefficient 1 och nollställen z₁, z₂.

Om polynomet är z2+ a₁z + a₀ så följer av faktorsatsen att

z2+ a₁z + a₀" Hz - z1L ÿ Hz - z₂L

Efter expansion av högerledet får man ekvationen

z2+ a₁z + a₀" z2- Hz₁+ z₂Lz + z₁z₂ Härav följer sambanden

;z1+ z2" -a1 z₁z₂" a0

Dvs. summan av nollställena är lika med den linjära termens koefficient med omvänt tecken, och produkten av nollställena är lika med den konstanta termen.

5 polynom.nb

Om polynomet är z2+ a₁z + a₀ så följer av faktorsatsen att

z2+ a₁z + a₀" Hz - z1L ÿ Hz - z₂L

Efter expansion av högerledet får man ekvationen

z2+ a₁z + a₀" z2_{- Hz}

1+ z2Lz + z1z2 Härav följer sambanden

;z1+ z2" -a1 z₁z₂" a0

Dvs. summan av nollställena är lika med den linjära termens koefficient med omvänt tecken, och produkten av nollställena är lika med den konstanta termen.

För tredjegradspolynomet z3+ a₂z2+ a₁z + a₀ med nollställen z₁, z₂, z₃ erhålles på motsvarande sätt följande samband

z₁+ z₂+ z₃" -a2 z₁z₂+ z₃z₂+ z₁z₃" a1 z₁z₂z₃" -a0

Multipla nollställen

Två eller flera av nollställena z_k kan överensstämma. Man talar då om noll-ställen av multiplicitet ¥2. Ett nollställe som bara förekommer en gång i fak-toriseringen av ! kallas enkelt nollställe.

T.ex. har Hz-5L3Hz - 2 ÂL nollstället 5 av multiplicitet 3.

Sats Om a är nollställe av multiplicitet m ¥ 2 till ! så är a nollställe av multiplicitet m - 1 till !:s derivata „

„z!HzL. EXEMPEL 7 Bestäm l œ ! så att z3+12 z + l får ett multipelt nollställe.

Bestäm också samtliga nollställen för nämnda l-värden. LÖSNING Sätt !HzL = z3+12 z + l. Då är „

„z!HzL = 3 z2+12, och „

„z!HzL = 0 omm z = ! 2 Â.

Enligt satsen är 2 Â eller -2 Â ett dubbelt nollställe till !. För att bestämma l löser vi !H2 ÂL = 0 respektive !H-2 ÂL = 0, dvs

!H2 ÂL = H2 ÂL3+12µ2 Â + l = l + 16 Â = 0 respektive !H-2 ÂL = H-2 ÂL3+12 H-2 ÂL + l = l - 16 Â = 0.

Det följer att ! har det dubbla nollstället 2 Â då l = -16 Â och det dubbla nollstället -2 Â då l = 16 Â.

Det resterande nollstället till ! beräknas enklast genom att utnyttja sam-bandet z₁z₂z₃" -a0= -l mellan nollställen och koefficienter. Det resterande nollstället visar sig därmed i det första fallet bli lika med -4 Â, och 4 Â i det andra.

LÖSNING Sätt !HzL = z3+12 z + l. Då är „

„z!HzL = 3 z2+12, och „

„z!HzL = 0 omm z = ! 2 Â.

Enligt satsen är 2 Â eller -2 Â ett dubbelt nollställe till !. För att bestämma l löser vi !H2 ÂL = 0 respektive !H-2 ÂL = 0, dvs

!H2 ÂL = H2 ÂL3+12µ2 Â + l = l + 16 Â = 0 respektive !H-2 ÂL = H-2 ÂL3+12 H-2 ÂL + l = l - 16 Â = 0.

Det följer att ! har det dubbla nollstället 2 Â då l = -16 Â och det dubbla nollstället -2 Â då l = 16 Â.

Det resterande nollstället till ! beräknas enklast genom att utnyttja sam-bandet z₁z₂z₃" -a0= -l mellan nollställen och koefficienter. Det resterande nollstället visar sig därmed i det första fallet bli lika med -4 Â, och 4 Â i det andra.

dubbelt 2 Â -4 Â l = -16 Â 4 Â -2 Â dubbelt l =16 Â

SGD och Euklides' algoritm

Begreppet största gemensamma delare från heltalens värld har en motsvarighet för polynom. Euklides' algoritm likaså.

DEFINITION

Med SGDH!, %L avses ett polynom ' sådant att (1) '\! och '\%,

(2) ' har maximal grad av alla ' som uppfyller (1). EUKLIDES algoritm

SGDH!, 0L =!

SGDH!,%L =SGDH%, RestH!,%LL

EXEMPEL 8 Bestäm SGD till z5+2 z4-2 z3-4 z2+z + 2 och z3+4 z2+z - 6, samt alla eventuella gemensamma nollställen.

LÖSNING

SGDIz5+2 z4-2 z3-4 z2+z + 2, z3+4 z2+z - 6M = SGDIz3+4 z2+z - 6, z2+z - 2M =

SGDIz2+z - 2, 0M = Iz2+z - 2M

Av z2+z - 2 = Hz + 2L Hz - 1L följer att -2 och 1 är de gemensamma

nollställena.

De olika stegen i SGD-kalkylen baseras på följande två divisioner:

7 polynom.nb Av z

2_{+z - 2 = Hz + 2L Hz - 1L följer att -2 och 1 är de gemensamma} nollställena.

De olika stegen i SGD-kalkylen baseras på följande två divisioner:

z5+2 z4-2 z3-4 z2+z + 2"

Iz2-2 z + 5M Iz3+4 z2+z - 6M + -16 Iz2+z - 2M

z3+4 z2+z - 6" Hz + 3L Iz2_{+z - 2M + 0}

Polynom i !@zD

Notera följande intressanta resultat

Hz - Ha + b ÂLL Hz - Ha - b ÂLL = z2-2 a z + a2+b2 (¤) ¤ säger oss att andragradspolynom med ledande koefficient 1 och konjugerade nollställen har reella koefficienter.

Även det omvända gäller:

Andragradspolynom med ledande koefficient 1 och reella koefficienter har konjugerade nollställen.

BEVIS Betrakta !HzL = z2+a₁z + a₀œ "@zD.

Vi visar att om !HaL =0 så följer att !HaL =0: !HaL = a2+a₁a +a₀ = a a +a₁a +a₀ = a₁,a₀œ! ! a ÿ a +a₁a +a₀ = a ÿb=a ÿb ! a ÿ a +a₁a +a₀ = a +b=a +b ! a ÿ a +a₁a +a₀=!HaL = !HaL=0 ! 0 = 0 Anmärkning 2 Bevisa själv de två konjugeringsreglerna

a ÿ b = a ÿ b och a + b = a + b

Resultatet om konjugerade nollställen kan härledas för polynom i "@zD av godtycklig grad. Därav nedanstående sats.

Satsen om konjugerade par av nollställen Ickereella nollställen till ett polynom med reella koefficienter kommer alltid i konjugerade par.

EXEMPEL 9 Lös ekvationenen z3+a z2+b z + 90 = 0 under

förutsättning att a, b œ " och att ekvationen har en rot m œ $ samt en komplex rot n +  n där n œ $.

LÖSNING Av informationen i texten följer att z3+a z2+b z + 90 =

Hz - n - Â nL Hz - n + Â nL Hz - mL = z3+ H-m - 2 nL z2+ I2 n2+2 m nM z - 2 m n2. Därvid fås bl.a. -2 m n2_{" 90, dvs. m n}2_{" -45 vilket är en enkel}

diofantisk ekvation med rötterna m = -45, n = ! 1 eller m = -5, n = ! 3. Således är rötterna lika med -45, 1 + Â, 1 - Â eller -5, 3 + 3 Â, 3 - 3 Â. EXEMPEL 10 Lös ekvationenen z4-6 z2-12 z - 8 = 0, givet följande

information: Ekvationen har en rot vars realdel är lika med dess imaginärdel. LÖSNING En rot är z = a + Â a. Därmed är även a - Â a en rot. Låt oss sätta in första roten i den givna ekvationen:

Ha + Â aL4-6 Ha + Â aL2-12 Ha + Â aL - 8 =

-4 a4-6 2 Â a2-12 Ha + Â aL - 8 = -4 a4-12 a - 8 - Â 12 a Ha + 1L = 0 Härav,

;-4 a4-12 a - 8" 0 12 a Ha + 1L" 0

Den undre ekvationen säger oss att a måste vara lika med 0 eller -1. Av dessa två a-värden satisfierar endast -1 den övre ekvationen. Alltså är z = -1 - Â och z = -1 + Â rötter till den givna ekvationen. Ekvationens fjärdegradspolynom är därmed delbart med

Hz + 1 + ÂL Hz + 1 - ÂL = z2+2 z + 2. Efter faktorisering fås

z4-6 z2-12 z - 8 = Iz2+2 z + 2M Iz2-2 z - 4M

De resterande rötterna finns således som nollställen till z2-2 z - 4.

z2-2 z - 4 = Hz - 1L2- I 5 M2= Iz - 1 - 5 M Iz - 1 + 5 M Sammantaget har vi nu visat att ekvationens rötter är

-1 - Â, -1 + Â, 1 + 5, 1 - 5 .

9 polynom.nb

LÖSNING En rot är z = a + Â a. Därmed är även a - Â a en rot. Låt oss sätta in första roten i den givna ekvationen:

Ha + Â aL4-6 Ha + Â aL2-12 Ha + Â aL - 8 =

-4 a4-6 2 Â a2-12 Ha + Â aL - 8 = -4 a4-12 a - 8 - Â 12 a Ha + 1L = 0 Härav,

;-4 a4-12 a - 8" 0 12 a Ha + 1L_{" 0}

Den undre ekvationen säger oss att a måste vara lika med 0 eller -1. Av dessa två a-värden satisfierar endast -1 den övre ekvationen. Alltså är z = -1 - Â och z = -1 + Â rötter till den givna ekvationen. Ekvationens fjärdegradspolynom är därmed delbart med

Hz + 1 + ÂL Hz + 1 - ÂL = z2+2 z + 2. Efter faktorisering fås

z4-6 z2-12 z - 8 = Iz2+2 z + 2M Iz2-2 z - 4M

De resterande rötterna finns således som nollställen till z2-2 z - 4.

z2-2 z - 4 = Hz - 1L2- I 5 M2= Iz - 1 - 5 M Iz - 1 + 5 M Sammantaget har vi nu visat att ekvationens rötter är

-1 - Â, -1 + Â, 1 + 5, 1 - 5 .

EXEMPEL 11 Polynomet z4-2 z3+17 z2+20 z + 100 har två ickereella nollställen vars kvot är lika med -2. Bestäm samtliga nollställen.

LÖSNING Om de två nollställena vars kvot är -2 är lika med a + Â b, -2 a - 2 Â b måste de övriga två nollställena vara a - Â b, -2 a + 2 Â b (Eller hur!).

Hz - a - Â bL Hz - a + Â bL Hz - 2 a - 2 Â bL Hz - 2 a + 2 Â bL blir lika med

z4+2 a z3+ I-3 a2+5 b2Mz2+ I-4 a3-4 a b2Mz + 4 Ia2+b2M2

och kan identifieras med det givna polynomet. Därvid uppstår bl.a. de två ekvationerna

2 a = -2 och 4 Ia2+b2M2=100, dvs. a = -1 och I1 + b2M2=25 Härav, a = -1 och b œ 92, -2, Â,6, -Â,6=.

De ickereella b-lösningarna förkastas givetvis eftersom b skall vara reell. b = 2 ger (precis som b = -2) att det givna polynomets nollställen blir -1 + 2 Â, -1 - 2 Â, 2 - 4 Â, 2 + 4 Â. Kontroll:

Hz + 1 - 2 ÂL Hz + 1 + 2 ÂL Hz - 2 + 4 ÂL Hz - 2 - 4 ÂL" z4-2 z3+17 z2+20 z + 100. EXEMPEL 12 Om polynomet z4-4 z3+a z2+b z + c vet man att

det har reella koefficienter, att dess nollställen bildar en kvadrat i det komplexa planet samt att två av dem ligger på imaginära exeln. Bestäm samtliga nollställen.

LÖSNING Nollställena på imaginära axeln måste vara konjugerade. Säg att de är  b och - b. Om de fyra nollställena utgör hörn i en kvadrat, måste de övriga två ligga som i en av de två figurerna nedanför.

b  -b  b -b b  -b  2b + b  2b - b Â

Av faktorsatsen följer därmed att

z4-4 z3+a z2+b z + c = Hz - Â bL Hz + Â bL Hz - bL Hz + bL eller z4-4 z3+a z2+b z + c = Hz - Â bL Hz + Â bL Hz - H2 b + Â bLL Hz - H2 b - Â bLL I första fallet får vi z4-4 z3+a z2+b z + c = z4- b4 vilket är omöjligt. I andra fallet får vi z4-4 z3+a z2+b z + c = z4-4 b z3+6 b2z2-4 b3z + 5 b4. Identifikation av koefficienterna ger att b" 1, a " 6, b = -4, c " 5. Alltså, z4-4 z3+a z2+b z + c = Hz - ÂL Hz + ÂL Hz - H2 + ÂLL Hz - H2 - Â LL. Härav, z _{" -Â fi z " Â fi z " 2 - Â fi z " 2 + Â} 11 polynom.nb

Polynom i "@zD

Vi tar bara upp en sats i detta avsnitt.

Satsen om rationellt nollställe Om !œ $@zD och !Jm

nN =0, där SGDHm, nL = 1, så är !:s ledande koefficient delbar med n och !:s konstantterm delbar med m.

Anmärkning 3 Följande två exempel behandlar specialfallet att nollstället är lika med ett helt tal (dvs. att m

n = m

1 =m).

EXEMPEL 13 Visa att 5 inte är en rot till z211-3205 z73- 12 z + 13 = 0. LÖSNING Följer direkt av satsen ovanför, eftersom konstantermen inte är delbar med 5.

EXEMPEL 14 Visa att inget heltal är en rot till != 0, om !œ $@zD och !H-1L = !H0L = !H1L = 1.

LÖSNING (Motsägelsebevis) Antag att m är en heltalsrot. Då följer av satsen ovanför att konstanttermen är delbar med m. Å andra sidan är konstanttermen lika med !H0L som var lika med 1. Och 1 är delbar endast med två tal, nämligen 1 och -1. Det följer att m œ 8-1, 1<. Dvs. att !H-1L = 0 eller !H1L = 0. Men detta strider mot villkoren i

uppgiftstexten.