Revisiting well-posed boundary conditions for the shallow water equations

تﻻﺎﻘﻣ ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ناﺮﻳا ﻚﻳﺰﻴﻓﻮﺋژ ﺲﻧاﺮﻔﻨﻛ ﻦﻴﻤﻫدﺰﻧﺎﺷ ، 23 ﺎﺗ 25 ﺖﺸﻬﺒﻳدرا هﺎﻣ 1393 ، ﻪﺤﻔﺻ 1 -4

ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻲﻨﻴﺑزﺎﺑ

ﻪﺑ طﻮﺑﺮﻣ

ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ

ﻖﻤﻋ

ردﺎﻗ ﺪﻣﺮﺳ 1 و موﺮﺘﺷدرﻮﻧ نﺎﻳ 2 1 ناﺮﻬﺗ هﺎﮕﺸﻧاد ﻚﻳﺰﻴﻓﻮﺋژ ﻪﺴﺳﺆﻣ ،رﺎﻴﺸﻧاد ، ،ناﺮﻳا sghader@ut.ac.ir 2 ،ﺪﺋﻮﺳ ،ﮓﻨﻴﭘﻮﺸﻨﻴﻟ هﺎﮕﺸﻧاد ﻲﺿﺎﻳر هﺪﻜﺸﻧاد ،ﻲﺗﺎﺒﺳﺎﺤﻣ تﺎﻴﺿﺎﻳر ﺶﺨﺑ ،دﺎﺘﺳا jan.nordstrom@liu.se هﺪﻴﻜﭼ ﺿﺎﺣ رﺎﻛ رد ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻞﻜﺷ يژﺮﻧا شور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﺮ ﻪﺑ ﻖﻤﻋ هدروآ ﺖﺳد ﻲﻣ ﺪﻧﻮﺷ . شرﺎﺷ ﺖﻟﺎﺣ ود ياﺮﺑ قﻮﻓ و ﻲﻧاﺮﺤﺑﺮﻳز يﺎﻫ ﻪﻴﺣﺎﻧ ﻚﻳ ياﺮﺑ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ عﻮﻧ ﻢﻫ و داﺪﻌﺗ ﻢﻫ ﻲﻧاﺮﺤﺑ دوﺪﺤﻣ ﺎﺑ ﻲﻣ جاﺮﺨﺘﺳا ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻞﻜﺷ ﺪﻧﻮﺷ . ﺎﺑ هﺪﺷ جاﺮﺨﺘﺳا يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ هوﻼﻌﺑ ﺮﻳﺎﺳ ﻂﺳﻮﺗ ﻪﻛ زﺎﺑ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ زا يداﺪﻌﺗ ﻲﻣ راﺮﻗ هدﺎﻔﺘﺳا درﻮﻣ و هﺪﺷ ﻲﻓﺮﻌﻣ نﺎﻘﻘﺤﻣ ﻲﻣ هداد نﺎﺸﻧ و هﺪﺷ ﻪﺴﻳﺎﻘﻣ ،ﺪﻧﺮﻴﮔ ﻪﺑ رﻮﻛﺬﻣ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻪﻛ دﻮﺷ ترﻮﺻ ﻲﻣ ﺮﺿﺎﺣ رﺎﻛ رد هﺪﺷ ﻪﺋارا ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻞﻜﺷ زا ﻲﺻﺎﺧ ﺖﻟﺎﺣ ﺪﻨﺷﺎﺑ . هژاو يﺎﻫ يﺪﻴﻠﻛ : ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ،يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ،ﻲﻌﺿو شﻮﺧ ،ﻖﻤﻋ قﻮﻓ ،ﻲﻧاﺮﺤﺑﺮﻳز ،يژﺮﻧا شور ﻲﻧاﺮﺤﺑ

Revisiting well-posed boundary conditions for the shallow water

equations

Sarmad Ghader1_{and Jan Nordström}2

1

Institute of Geophysics, University of Tehran, Tehran, Iran

2

Division of Computational Mathematics, Dept. of Mathematics, Linköping University, Sweden

Abstract

A general form of well-posed open boundary conditions for the two-dimensional shallow water equations is derived. To this end, the energy method, in which one bounds the energy of the solution by choosing a minimal number of suitable boundary conditions, is used. Both the number and the type of boundary conditions are presented for subcritical and supercritical flows on a general domain. The results are compared with a number of often used open boundary conditions and it is shown that they are a subset of the derived general form.

Key words: Shallow water equations, Well-posedness, Boundary conditions, Energy method, Subcritical, Supercritical 1 ﻪﻣﺪﻘﻣ ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺑ ﻖﻤﻋ هدﺮﺘﺴﮔ ترﻮﺻ تﺎﻌﻟﺎﻄﻣ رد ﺖﻛﺮﺣ يﺎﻫ راﺮﻗ هدﺎﻔﺘﺳا درﻮﻣ ﻲﺳﻮﻧﺎﻴﻗا و يﻮﺟ سﺎﻴﻘﻣ گرﺰﺑ ﻲﻣ ﺪﻧﺮﻴﮔ . لﺪﻣ ياﺮﺑ و ﺪﻨﺘﺴﻴﻧ ﻲﻜﻳﺰﻴﻓ يﺎﻫزﺮﻣ ﻊﻗاو رد لﺪﻣ ﻲﺒﻧﺎﺟ يﺎﻫزﺮﻣ ﻲﺳﻮﻧﺎﻴﻗا و يﻮﺟ دوﺪﺤﻣ ﻪﻴﺣﺎﻧ يدﺪﻋ يﺎﻫ ﻲﻣ راﺮﻗ هدﺎﻔﺘﺳا درﻮﻣ ﺎﻬﻧآ رد ﻲﻋﻮﻨﺼﻣ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ دﺮﻴﮔ . ﻚﻳ ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻲﻓﺮﻃ زا ياﺮﺑ ﻲﺗﺎﻴﺣ ماﺰﻟا ور ﻲﻣﺎﻤﺗ ش ﻲﻣ ﻪﻴﻟوا راﺪﻘﻣ ﻞﺋﺎﺴﻣ ياﺮﺑ هﺪﺷ هداد ﻪﻌﺳﻮﺗ راﺪﻳﺎﭘ يدﺪﻋ يﺎﻫ ﺪﺷﺎﺑ . ﻪﺘﻜﻧ ﻦﻳا ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ اﺬﻟ ، يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻲﻣ دوﺪﺤﻣ ﻪﻴﺣﺎﻧ لﺪﻣ ﻚﻳ ﻲﺒﻧﺎﺟ يﺎﻫزﺮﻣ رد هدﺎﻔﺘﺳا درﻮﻣ دﻮﺷ ﻊﺿو شﻮﺧ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻚﻳ ﻪﺑ ﺮﺠﻨﻣ ﺖﺴﻳﺎﺑ . ﻂﻳاﺮﺷ هوﻼﻌﺑ ﻧ ياﺮﺑ راﺪﻳﺎﭘ يدﺪﻋ ﻞﺣ ﻚﻳ ﻪﺑ ﺮﺠﻨﻣ ﺪﻳﺎﺑ هدﺎﻔﺘﺳا درﻮﻣ يزﺮﻣ ﻮﺷ تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﺘﺴﺴﮔ ﻪﺨﺴ ﻧ ﺪ . يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻦﻴﻨﭽﻤﻫ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﻲﺑﺎﺗزﺎﺑﺎﻧ نﺎﻜﻣا ﺪﺣ ﺎﺗ ﺪﻳﺎﺑ ﻲﺒﻧﺎﺟ . ﺑ هرﺎﺷا درﻮﻣ ﻪﺘﻜﻧ ﻪﺳ نﺎﻴﻣ زا ﺮﺿﺎﺣ رﺎﻛ رد ﺮ ﺐﻠﻄﻣ لوا ﺰﻛﺮﻤﺘﻣ ﻞﻜﺷ و هﺪﺷ

ناﺮﻳا ﻚﻳﺰﻴﻓﻮﺋژ ﺲﻧاﺮﻔﻨﻛ ﻦﻴﻤﻫدﺰﻧﺎﺷ 2 ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ نﺎﺧﺮﭼ تﺎﺼﺘﺨﻣ رد يﺪﻌﺑود ﻖﻤﻋ ﻪﺑ ﻲﻣ هدروآ ﺖﺳد دﻮﺷ . ﺷﺪﻧﺎﺳ و ﺮﮕﻴﻟوا موﺮﺘ ) 1978 ( ﻪﻋﻮﻤﺠﻣ ياﺮﺑ ار ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ﻞﻣﺎﺷ تﻻدﺎﻌﻣ هﺎﮕﺘﺳد زا يا ﻢﻛ ﻪﺑ يژﺮﻧا شور زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻖﻤﻋ ﺪﻧدروآ ﺖﺳد . هﻮﻴﺷ ﺮﺿﺎﺣ رﺎﻛ رد ﻪﺑﺎﺸﻣ يا ﻪﺑ ﻂﻳاﺮﺷ ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻞﻜﺷ و هﺪﺷ ﻪﺘﻓﺮﮔ رﺎﻛ ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ﻲﻣ جاﺮﺨﺘﺳا ﻖﻤﻋ دﻮﺷ . رد ﻪﻛ يراﺰﺑا ا ﺎﺠﻨﻳ ﻲﻣ هدﺎﻔﺘﺳا نآ زا يژﺮﻧا شور دﻮﺷ ﺖﺳا نآ رد ﻪﻛ ﺐﺳﺎﻨﻣ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻪﻨﻴﻤﻛ داﺪﻌﺗ بﺎﺨﺘﻧا ﺎﺑ باﻮﺟ يژﺮﻧا ناﺮﻛ راد ﻲﻣ دﻮﺷ ) نرﺎﻜﻤﻫ و نﻮﺳوﺎﺘﺳﻮﮔ 1995 ، دراﻮﺳ و موﺮﺘﺷدرﻮﻧ 2005 نﻮﺳوﺎﺘﺳﻮﮔ ، 2008 ( . ﻲﻣ هداد نﺎﺸﻧ هوﻼﻌﺑ ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻪﻛ دﻮﺷ ﺳ و ﺮﮕﻴﻟوا ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ هدﺎﻬﻨﺸﻴﭘ موﺮﺘﺷﺪﻧﺎ ) 1978 ( ، ﻚﻣ ﺪﻟﺎﻧود ) 2002 ( ﻮﻳﺮﺑد و ﻮﻳﻼﺑ و ) 2005 ( ﺖﻟﺎﺣ صﺎﺧ يﺎﻫ ﻲﻣﻮﻤﻋ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﺪﻨﺘﺴﻫ ﺮﺿﺎﺣ رﺎﻛ رد هﺪﺷ ﻪﺋارا . 2 ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ﻖﻤﻋ ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ يرادﺮﺑ ﻞﻜﺷ هﺪﺷ ﻲﻄﺧ ﺖﺑﺎﺛ ﻪﻳﺎﭘ ﺖﻟﺎﺣ ﻚﻳ لﻮﺣ ﻪﻛ يﺪﻌﺑود ﻖﻤﻋ ﻪﺑ ،ﺪﻧا ﻳز ترﻮﺻ ﺮ ﻲﻣ نﺎﻴﺑ دﻮﺷ : ) 1 ( 0     u u u u_t Α _x B _y C ﺲﻳﻮﻧﺮﻳز يﺎﻫ x ، y و t ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻲﻧﺎﻣز و ﻲﻧﺎﻜﻣ تﺎﻘﺘﺸﻣ هﺪﻨﻫﺪﻧﺎﺸﻧ . هوﻼﻌﺑ ﻢﻳراد :                                                 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 , 0 0 0 0 , f g f V H g V V U H U g U h v u C B Α u ﻻﺎﺑ ﻒﻳرﺎﻌﺗ رد u و v ﻪﻔﻟﻮﻣ ﺖﻋﺮﺳ ﻲﮔﺪﻴﺸﻳﺮﭘ يﺎﻫ ﻘﻓا ﻲ و h ﺖﺳا عﺎﻔﺗرا ﻲﮔﺪﻴﺸﻳﺮﭘ . g و ﻲﻧاﺮﮔ بﺎﺘﺷ f ﺮﺘﻣارﺎﭘ ﻲﻣ ضﺮﻓ ﺖﺑﺎﺛ ﺎﺠﻨﻳا رد ﻪﻛ ﺖﺳا ﺲﻴﻟﻮﻳرﻮﻛ دﻮﺷ . هوﻼﻌﺑ U ، V و H ﻪﺑ نﺎﻴﺑ ﺐﻴﺗﺮﺗ طﻮﺑﺮﻣ ﺖﺑﺎﺛ ﻪﻳﺎﭘ ﺖﻟﺎﺣ ﺮﻳدﺎﻘﻣ هﺪﻨﻨﻛ ﻪﺑ ﻪﻔﻟﻮﻣ يﺎﻫ ﺖﻋﺮﺳ ﻲﻘﻓا ﺪﻨﺘﺴﻫ عﺎﻔﺗرا و . 3 ﻲﻌﺿو شﻮﺧ ﻒﻳﺮﻌﺗ ﻪﺑ ﺎﺠﻨﻳا رد ﻲﻣ ﻒﻳﺮﻌﺗ ﻲﻌﺿو شﻮﺧ ﺮﺼﺘﺨﻣ ترﻮﺻ دﻮﺷ . ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ﺪﻨﻧﺎﻣ ،ﻪﻴﻟوا راﺪﻘﻣ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﺮﻫ ياﺮﺑ ﺮﮔا ﻖﻤﻋ ﻚﻳ ،دوﺪﺤﻣ ﻪﻴﺣﺎﻧ ﻚﻳ رد يﺪﻌﺑود ﻪﺑ ﻪﻛ ﺎﺘﻜﻳ باﻮﺟ ﻪﺘﺷاد دﻮﺟو ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺘﺴﺑاو يزﺮﻣ و ﻪﻴﻟوا ﺮﻳدﺎﻘﻣ ﻪﺑ ﻪﺘﺳﻮﻴﭘ ترﻮﺻ رﻮﻛﺬﻣ ﻪﻠﺌﺴﻣ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻲﻣ هﺪﻴﻣﺎﻧ ﻊﺿو شﻮﺧ دﻮﺷ . ار ﺮﻳز ﻪﻴﻟوا راﺪﻘﻣ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻲﺿﺎﻳر نﺎﺑز ﻪﺑ ﻲﻌﺿو شﻮﺧ ﻒﻳﺮﻌﺗ نﺎﻴﺑ ياﺮﺑ ﻲﻣ ﺮﻈﻧرد ﻢﻳﺮﻴﮔ : ) 2 ( 0 , , ; 0 , , ; 0 , ,           t t t t q F x q g x q f x q P L ﻻﺎﺑ رد q ،باﻮﺟ x ،نﺎﻜﻣ رادﺮﺑ P و ﻲﻧﺎﻜﻣ ﻲﻠﻴﺴﻧاﺮﻔﻳد ﺮﮕﻠﻤﻋ L ﺖﺳا يزﺮﻣ ﺮﮕﻠﻤﻋ . F ،ﺖﺷاداو ﻊﺑﺎﺗ g و f ﻊﺑاﻮﺗ ﺮﻳدﺎﻘﻣ و يزﺮﻣ ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻪﻴﻟوا . ﻦﻳا هداد ﻊﻗاو رد ﻊﺑاﻮﺗ ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻪﻠﺌﺴﻣ مﻮﻠﻌﻣ يﺎﻫ . ﻪﻄﺑار رد هﺪﺷ نﺎﻴﺑ ﻪﻴﻟوا راﺪﻘﻣ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻦﺘﻓﺮﮔ ﺮﻈﻧرد ﺎﺑ ) 2 ( ، ﺮﮕﻠﻤﻋ ﺮﮔا P ﻪﻤﻴﻧ راﺪﻧاﺮﻛ ﻪﺑ ترﻮﺻ ﻪﻨﻴﺸﻴﺑ ) maximally semi-bounded ( رد ،ﺪﺷﺎﺑ ﻪﺠﻴﺘﻧ ﺎﺑ ﻪﻠﺌﺴﻣ 0  g ﺖﺳا ﻊﺿو شﻮﺧ . ﺸﻴﺑ تﺎﻴﺋﺰﺟ رد ﺮﺘ ﻦﻳا ﻂﺳﻮﺗ درﻮﻣ نﻮﺳوﺎﺘﺳﻮﮔ رﺎﻜﻤﻫ و ا ن ) 1995 ( نﻮﺳوﺎﺘﺳﻮﮔ و ) 2008 ( هﺪﺷ نﺎﻴﺑ ﺪﻧا . نﺎﻤﻫ هوﻼﻌﺑ ﻲﻣ هﺪﻫﺎﺸﻣ ﻪﻛ ﻪﻧﻮﮔ ﻞﻴﻠﺤﺗ دﻮﺷ ﺮﺿﺎﺣ رﺎﻛ يﺎﻫ ﻲﻄﺧ تﻻدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ﻲﻣ مﺎﺠﻧا ﺖﺑﺎﺛ ﺐﻳاﺮﺿ ﺎﺑ هﺪﺷ ﺪﻧﻮﺷ . دﺎﺠﻳا رﺎﻛ شور ندﻮﺑ ﻲﻠﻛ درﻮﻣ رد ﻲﺘﻳدوﺪﺤﻣ ﻪﺘﻜﻧ ﻦﻳا ﻲﻤﻧ هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ ﻪﻛاﺮﭼ ﺪﻨﻛ ﻲﻄﺧ لﻮﺻا زا ﻲﻠﺤﻣ و يزﺎﺳ يزﺎﺳ ) ،ﺰﻧرﻮﻟ و ﺲﻳﺮﻛ 1989 ( ﻲﻣ ﻪﺨﺴﻧ ﺮﮔا ﻪﻛ داد نﺎﺸﻧ ناﻮﺗ ﻲﻄﺧ دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﻊﺿو شﻮﺧ ﺰﻴﻧ نآ ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ ﻲﻠﺻا ﻲﻄﺧﺮﻴﻏ ﻪﻠﺌﺴﻣ ،ﺪﺷﺎﺑ ﻊﺿو شﻮﺧ ﻪﻴﻟوا راﺪﻘﻣ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻚﻳ هﺪﺷ . 4 ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ﻲﻌﺿو شﻮﺧ ﻖﻤﻋ ﻲﻄﺧ ﻞﻜﺷ ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ هﺪﺷ ﻪﻄﺑار ﻖﻤﻋ ) 1 ( اﺮﻤﻫ ار ﻪﺑ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ و ﻪﻴﻟوا ﻂﻳاﺮﺷ ﺎﺑ ه ﻲﻣ ﺮﻳز ترﻮﺻ ﺖﺷﻮﻧ ناﻮﺗ : ) 3 ( 0 ), , ( ) 0 , , ( ; 0 , ) , ( , ; 0 , , 0            _{x y} (x,y) t L x y t x y x y t t u u u u g u f u Α B C ﻻﺎﺑ ﻪﻄﺑار رد g و f هداد ﺪﻨﺘﺴﻫ ﻪﻴﻟوا و يزﺮﻣ يﺎﻫ . L ﺖﺳا نآ ﻦﺘﻓﺎﻳ ﺮﺑ ﺮﺿﺎﺣ رﺎﻛ ﺰﻛﺮﻤﺗ ﻪﻛ ﺖﺳا يزﺮﻣ ﺮﮕﻠﻤﻋ . ياﺮﺑ

ناﺮﻳا ﻚﻳﺰﻴﻓﻮﺋژ ﺲﻧاﺮﻔﻨﻛ ﻦﻴﻤﻫدﺰﻧﺎﺷ 3 لاﺮﮕﺘﻧا مﺎﺠﻧا و يژﺮﻧا شور لﺎﻤﻋا ﺪﻧﻮﺷ يزﺎﺳ نرﺎﻘﺘﻣ ﻢﻛﺎﺣ تﻻدﺎﻌﻣ ﺎﺗ ﺖﺳا زﺎﻴﻧ تﻻدﺎﻌﻣ زا ﺰﺟ ﻪﺑ ﺰﺟ يﺮﻴﮔ ) ﻞﻧﺎﺑرﺎﺑآ ﺐﻴﻠﺗﻮﮔ و 1981 ، دراﻮﺳ و موﺮﺘﺷدرﻮﻧ 2005 (. ﻪﻄﺑار اﺬﻟ ) 3 ( ﻲﻣ ار ﺮﻳز نرﺎﻘﺘﻣ ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ناﻮﺗ دﻮﻤﻧ ﻞﻳﺪﺒﺗ : ) 4 ( 0     v v v v Α Bs _y C x s t ﻪﻛ                                     V c c V V U c U c U c h g v u s s 0 0 0 0 , 0 0 0 0 , / B Α v و gH c ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ . ﻒﻳﺮﻌﺗ زا هدﺎﻔﺘﺳا ﺎﺑ لﺎﺣ هدﺮﻧ بﺮﺿ يا ) ﻲﻠﺧاد ( 2 L و ﻪﺑ نآ ﺎﺑ ﺮﻇﺎﻨﺘﻣ مﺮﻧ ترﻮﺻ dxdy



  uv v u ), ( و ) , ( uu u  ﻪﻟدﺎﻌﻣ بﺮﺿ و ) 4 ( رد T v ﻪﻛ T لاﺮﮕﺘﻧا و ﺖﺳا هدﺎﻬﻧاﺮﺗ ﺮﮕﻧﺎﻴﺑ هزﻮﺣ لﻮﺣ يﺮﻴﮔ  سﻮﮔ ﻪﻴﻀﻗ زا هدﺎﻔﺘﺳا نآ زا ﺲﭘ ﻦﻴﻨﭽﻤﻫ و ﻢﻳراد ) موﺮﺘﺷدرﻮﻧ و ردﺎﻗ ﻂﺳﻮﺗ ﺮﺘﺸﻴﺑ تﺎﻴﺋﺰﺟ ) 2014 ( هﺪﺷ ﺮﻛذ ﺖﺳا (: ) 4 ( 0  



  ds T t w Λw v ﻪﺑ ﺪﻳﺪﺟ ﺮﻴﻐﺘﻣ ترﻮﺻ v w_RT و هﺪﺷ ﻒﻳﺮﻌﺗ هوﻼﻌﺑ                                    c c c n n n n n n y x y x y x    0 0 0 0 0 , 2 1 0 2 1 2 2 2 2 Λ R ﻪﻛ 2 2 dy dx ds  ، nˆ ) , (    n_xU n_yV UV  و ds dx dy n n_x, _y) ( , )/ ( ˆ   n . ﺢﻄﺳ لاﺮﮕﺘﻧا ﺮﮔا ﻪﻟدﺎﻌﻣ ) 4 ( ﺮﮕﻠﻤﻋ ﻪﻛ ﺖﺳا ﻲﻨﻌﻣ ﻦﻳﺪﺑ ﺪﺷﺎﺑ ﺖﺒﺜﻣ P ) u u u B C Α P _x _y ( ﻪﻤﻴﻧ ﻮﺧ ﻪﻠﺌﺴﻣ ﻪﺠﻴﺘﻧ رد و ﺖﺳا راﺪﻧاﺮﻛ ش ﻊﺿو ﺖﺳا . ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ﻪﻛ ﺖﺳا ﻲﻨﻌﻣ ﻦﻳﺪﺑ ﻦﻳا اﺬﻟ ﻪﻛ دﻮﺑ ﺪﻨﻫاﻮﺧ ﻊﺿو شﻮﺧ ﻲﻧﺎﻣز ﻖﻤﻋ ﻪﻟدﺎﻌﻣ لاﺮﮕﺘﻧا ﻪﻠﻤﺟ ) 4 ( ﺪﺷﺎﺑ ﺖﺒﺜﻣ . ﻪﻛ دﻮﻤﻧ ﻪﺟﻮﺗ ﺪﻳﺎﺑ هوﻼﻌﺑ v ﻲﻣ ﺶﻫﺎﻛ نﺎﻣز ﺎﺑ ﻪﻛ ﺪﺑﺎﻳ ﺖﺳا نآ ندﻮﺑ راﺪﻧاﺮﻛ ﻲﻨﻌﻣ ﻪﺑ . ﻦﻳا ﻪﺑ ﻪﺟﻮﺗ ﺎﺑ تﺎﻜﻧ ﻲﻣ ﻪﻄﺑار زا ناﻮﺗ ) 4 ( يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ندﻮﻤﻧ اﺪﻴﭘ ياﺮﺑ دﻮﻤﻧ هدﺎﻔﺘﺳا ﻊﺿو شﻮﺧ . ﻂﻳاﺮﺷ ندﺮﻛ اﺪﻴﭘ ياﺮﺑ ﻊﻗاو رد ﻪﻄﺑار ﻲﻣﻮﻤﻋ هزﻮﺣ ﻚﻳ رد ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ) 4 ( طﺮﺷ ﻪﻛ ﺖﺳا ﻦﻳا ﻦﻤﻀﺘﻣ 0  Λw wT زﺮﻣ ﺮﻫ رد ﺪﺷﺎﺑ راﺮﻗﺮﺑ . 5 ﻲﻣﻮﻤﻋ هزﻮﺣ ﻚﻳ ياﺮﺑ ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﺖﻣﻼﻋ ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻞﻜﺷ ﺎﺑ هزﻮﺣ ﻚﻳ ياﺮﺑ nˆ ) , (   UV  ﻲﻣ شرﺎﺸﻧوﺮﺑ ﺎﻳ و شرﺎﺸﻧورد هﺪﻨﻨﻛ ﺺﺨﺸﻣ ﺪﺷﺎﺑ . ﺮﮕﻳد نﺎﻴﺑ ﻪﺑ 0   نﺎﺸﻧ و شرﺎﺸﻧورد هﺪﻨﻫد 0   نﺎﻴﺑ ﻲﻣ شرﺎﺸﻧوﺮﺑ هﺪﻨﻨﻛ ﺪﺷﺎﺑ . ياﺮﺑ زﺮﻣ ﺑﺮﻳز شرﺎﺸﻧورد ﻪﻛ ﻲﻧاﺮﺤ c   ﺖﺳا ﺖﻣﻼﻋ ﻪﻔﻟﻮﻣ يﺮﻄﻗ ﺲﻳﺮﺗﺎﻣ يﺎﻫ Λ ﻪﺑ ترﻮﺻ 0   ، 0   c  و 0   c  ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ . ﻪﺑ زﺮﻣ ياﺮﺑ ﻪﺑﺎﺸﻣ ﻖﻳﺮﻃ شرﺎﺸﻧوﺮﺑ ﻲﻧاﺮﺤﺑﺮﻳز ﻪﻔﻟﻮﻣ ﺖﻣﻼﻋ ﺲﻳﺮﺗﺎﻣ يﺎﻫ رﻮﻛﺬﻣ ﻪﺑ ﺻ ترﻮ 0   ، 0   c  و 0   c  ﺖﺳا . ﻲﻣ اﺬﻟ ناﻮﺗ شرﺎﺸﻧورد زﺮﻣ رد ﻪﻛ دﻮﻤﻧ هﺪﻫﺎﺸﻣ رد ﺲﻳﺮﺗﺎﻣ ﻲﻧاﺮﺤﺑﺮﻳز ﺖﻟﺎﺣ Λ ﺖﺳا ﻲﻔﻨﻣ هﮋﻳو راﺪﻘﻣ ود ياراد . ﺲﭘ يﺎﺿرا ياﺮﺑ طﺮﺷ 0  Λw wT ﻣ ﻦﻳا رد ﺖﺳا زﺎﻴﻧ يزﺮﻣ طﺮﺷ ود ﻪﺑ زﺮ . ﻲﻔﻨﻣ هﮋﻳو راﺪﻘﻣ ﻚﻳ ﺎﻬﻨﺗ ﻲﻧاﺮﺤﺑﺮﻳز شرﺎﺸﻧوﺮﺑ زﺮﻣ رد ﺖﺳا زﺎﻴﻧ يزﺮﻣ طﺮﺷ ﻚﻳ ﻪﺑ ﺎﻬﻨﺗ اﺬﻟ و ﻢﻳراد . قﻮﻓ ﺖﻟﺎﺣ ياﺮﺑ ﻪﺑﺎﺸﻣ لﻻﺪﺘﺳا ﺎﺑ ﻪﻛ ﻲﻧاﺮﺤﺑ c   زﺮﻣ رد ،ﺖﺳا ﭻﻴﻫ ﻪﺑ شﺎﺸﻧوﺮﺑ زﺮﻣ رد و ﻢﻳراد زﺎﻴﻧ يزﺮﻣ طﺮﺷ ﻪﺳ ﻪﺑ شرﺎﺸﻧورد ﺖﺴﻴﻧ جﺎﻴﺘﺣا يزﺮﻣ طﺮﺷ . ﻢﻳراد هوﻼﻌﺑ ) 5 ( ) ( ) ( 2 3 2 2 2 1 c w w c w T_Λw _{ } _ _ w ﻪﻛ ) ˆ ) , ( / ( 2 / 2 1 gh c uv n w ، nˆ ) , ( 2uv  w و ) ˆ ) , ( / ( 2 / 2 3 gh c uvn w ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ . لﺎﺣ ﻞﻜﺷ ﻲﻣ ﻦﻴﻤﻀﺗ ﻪﻛ شرﺎﺸﻧورد زﺮﻣ ياﺮﺑ يزﺮﻣ طﺮﺷ ود ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻪﻄﺑار تﻼﻤﺟ ﻲﻣﺎﻤﺗ ﺪﻨﻛ ) 5 ( ﻪﺑ ﺪﻨﺷﺎﺑ ﺖﺒﺜﻣ ترﻮﺻ ) 6 ( 0 , 0 1 3 3 3 3 2 w  w  w  w   دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ . د راﺮﻗ ﺎﺑ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ندا ) 6 ( رد ) 5 ( طﺮﺷ يﺎﺿرا و 0  Λw wT ترﻮﺻ ﻪﺑ ﺐﻳاﺮﺿ نﺎﻴﻣ ﻪﻄﺑار ) /( ) ( ) / ( 2 3 2 3        c  c c ﻪﺑ ﻲﻣ ﺖﺳد ﺪﻳآ . ﻪﺑﺎﺸﻣ ﻖﻳﺮﻃ ﻪﺑ زﺮﻣ ياﺮﺑ يزﺮﻣ طﺮﺷ ﻚﻳ ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻞﻜﺷ

ناﺮﻳا ﻚﻳﺰﻴﻓﻮﺋژ ﺲﻧاﺮﻔﻨﻛ ﻦﻴﻤﻫدﺰﻧﺎﺷ 4 شرﺎﺸﻧوﺮﺑ ﻪﺑ دﻮﺑ ﺪﻫاﻮﺧ ﺮﻳز ترﻮﺻ : ) 7 ( 0 3 4 2 2 1 w  w  w   يراﺬﮕﻳﺎﺟ ﺰﻴﻧ ﺖﻟﺎﺣ ﻦﻳا رد يزﺮﻣ طﺮﺷ ) 7 ( ﻪﻄﺑار رد ) 5 ( طﺮﺷ يﺎﺿرا و 0  Λw wT ﺐﻳاﺮﺿ نﺎﻴﻣ ﻪﻄﺑار ار ﻪﺑ ترﻮﺻ ) /( ) / ( 2 4 2 2        c  c ﻪﺑ ﻲﻣ ﺖﺳد ﺪﻫد . ﻦﻴﻨﭽﻤﻫ شرﺎﺸﻧورد زﺮﻣ ياﺮﺑ زﺎﻴﻧ درﻮﻣ يزﺮﻣ طﺮﺷ ﻪﺳ قﻮﻓ ﺰﻴﻧ ﻲﻧاﺮﺤﺑ طﺮﺷ ﻪﻛ 0  Λw wT ﻲﻣ ﺎﺿرا ار ﻞﻜﺷ ﻪﺑ ﺪﻨﻨﻛ 0 3 2 1w w  w دﻮﺑ ﺪﻨﻫاﻮﺧ . 6 ﻪﺑ ﻲﻣﻮﻤﻋ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ طﺎﺒﺗرا زﺎﺑ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﺮﻳﺎﺳ ﺎﺑ هﺪﻣآ ﺖﺳد ﻪﺑ ﻦﮕﻤﻫ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻲﻣ ار ﻞﺒﻗ ﺶﺨﺑ رد هﺪﻣآ ﺖﺳد ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ناﻮﺗ زﺎﺑ يﺎﻫزﺮﻣ رد ﻲﻄﺧﺮﻴﻏ ﻖﻤﻋ ﺎﺑ ﺢﻳﺮﺼﺗ هداد ﺎﻫ ي ﻪﺑ ﺎﻫزﺮﻣ ﻦﻳا رد مﻮﻠﻌﻣ دﺮﺑ رﺎﻛ . يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ زﺎﺑ رد زﺮﻣ ﻪﺑ ﻲﻧاﺮﺤﺑﺮﻳز ﺖﻟﺎﺣ ياﺮﺑ شرﺎﺸﻧورد ترﻮﺻ : ) 8 ( e w w _i i Q Q  و ﻪﺑ ﻪﺑ ﻲﻧاﺮﺤﺑﺮﻳز ﺖﻟﺎﺣ رد شرﺎﺸﻧوﺮﺑ زﺮﻣ رد زﺎﺑ يزﺮﻣ طﺮﺷ ﻪﺑﺎﺸﻣ ﻖﻳﺮﻃ ﻲﻣ رد ﺮﻳز ترﻮﺻ ﺪﻳآ : ) 9 ( e w w _o o Q Q  ﺲﻳﻮﻧﺮﻳز ﻻﺎﺑ ﻂﺑاور رد e نﺎﻴﺑ هداد هﺪﻨﻨﻛ ور مﻮﻠﻌﻣ يﺎﻫ و ﺖﺳا زﺮﻣ ي    T o i 2 4 w1 w2 w3 3 3 , 1 , 0 1 1 0              _ Q   w Q ﻂﺑاور ) 8 ( و ) 9 ( ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻞﻜﺷ ﺮﺗ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﺮﻳﺎﺳ ﻂﺳﻮﺗ ﺮﺿﺎﺣ لﺎﺣ رد ﻪﻛ ﻲﻄﺑاور ﺮﻳﺎﺳ ﻪﺑ ﺖﺒﺴﻧ ﻦﻳ حﺮﻄﻣ هﺪﺷ ،ﺪﻧا ﻲﻣ ﺪﻨﺷﺎﺑ . ﺑ ﻪﻧﻮﻤﻧ ياﺮ بﺎﺨﺘﻧا ﺎﺑ 0 3  و 1 1  رد ) 8 ( ﻪﺑ ﺖﻟﺎﺣ هﺪﺷ دﺎﻬﻨﺸﻴﭘ صﺎﺧ يﺎﻫ و ﺮﮕﻴﻟوا ﻂﺳﻮﺗ موﺮﺘﺷﺪﻧﺎﺳ ) 1978 ( ﻲﻣ ﻢﻴﺳر . ﻪﻧﻮﻤﻧ ﺮﮕﻳد ، بﺎﺨﺘﻧا ﺎﺑ 0 3  رد ) 8 ( طﺮﺷ ﻪﺑ e 1 1 w w  ﻲﻣ ﻢﻴﺳر يزﺮﻣ طﺮﺷ نﺎﻤﻫ ﻪﻛ دﺎﻬﻨﺸﻴﭘ ي ﻚﻣ ﺪﻟﺎﻧود ) 2002 ( ﻲﻣ ﺪﺷﺎﺑ . بﺎﺨﺘﻧا ﺎﺑ ﻦﻴﻨﭽﻤﻫ 0 3  و 0 3  ر رد ﻪﻄﺑا ) 8 ( و 0 4 2    ﻪﻄﺑار رد ) 9 ( ﻂﺳﻮﺗ هﺪﺷ دﺎﻬﻨﺸﻴﭘ يزﺮﻣ ﻂﺑاور ﻪﺑ ﻮﻳﺮﺑد و ﻮﻳﻼﺑ ) 2005 ( ﻲﻣ شرﺎﺸﻧوﺮﺑ و شرﺎﺸﻧورد يﺎﻫزﺮﻣ ياﺮﺑ ﻢﻴﺳر . 7 ﻪﺠﻴﺘﻧ يﺮﻴﮔ ﻢﻛ بآ تﻻدﺎﻌﻣ ياﺮﺑ ﻊﺿو شﻮﺧ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﻲﻣﻮﻤﻋ ﻞﻜﺷ ﺮﺿﺎﺣ رﺎﻛ رد ﺪﺷ هدروآ ﺖﺳد ﻪﺑ ﻖﻤﻋ . ﻪﻛ ﺪﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺑ ياﺮ زﺮﻣ ﻲﻧاﺮﺤﺑﺮﻳز شرﺎﺸﻧورد ﻪﺑ زﺎﻴﻧ ﻲﻧاﺮﺤﺑﺮﻳز شرﺎﺸﻧوﺮﺑ ياﺮﺑ و يزﺮﻣ طﺮﺷ ود ﻪﺑ زﺎﻴﻧ ﻞﺣ يژﺮﻧا ندﺮﻛ راﺪﻧﺮﻛ ياﺮﺑ ﺖﺳا يزﺮﻣ طﺮﺷ ﻚﻳ . ﺖﻟﺎﺣ ياﺮﺑ يزﺮﻣ يﺎﻫﺮﮕﻠﻤﻋ ﻖﻴﻗد ﻞﻜﺷ ﻊﻗاو رد ﻪﺑ توﺎﻔﺘﻣ يﺎﻫ ﺪﻧﺪﺷ هدروآ ﺖﺳد . طﺎﺒﺗرا ﻮﺟﻮﻣ يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﺮﻳﺎﺳ زا يداﺪﻌﺗ ﺎﺑ هﺪﺷ تﺎﺒﺛا يزﺮﻣ ﻂﻳاﺮﺷ ﺪﺷ هداد نﺎﺸﻧ ﺰﻴﻧ د . ﻣ ﻊﺑﺎﻨ

Abarbanel, S., Gottlieb, D.1981, Optimal time splitting for two- and three-dimensional Navier-Stokes equations with mixed derivatives. Journal of Computational Physics, 41, 1-33.

Blayo, E., Debreu, L., 2005, Revisiting open boundary conditions from the point of view of characteristic variables. Ocean Modelling, 9, 231-252.

Ghader, S., Nordström, J., 2014, Revisiting well-posed boundary conditions for the shallow water equations, Dynamics of Atmospheres and Oceans, doi: 10.1016/j.dynatmoce.2014.01.002, In press. Gustafsson, B., Kreiss, H.O., Oliger, J.,1995, Time dependent problems and difference methods. John

Wiley & Sons, 642 pp.

Gustafsson, B., 2008, High order difference methods for time dependent PDE, Springer, 334 pp.

Kreiss, H.O., Lorenz, J., 1989. Initial boundary value problems and the Navier-Stokes equations, Academic Press, 402 pp.

Mcdonald, A., 2002, A step toward transparent boundary conditions for meteorological models. Mon. Wea. Rev., 130, 140-151.

Nordström, J., Svärd, M., 2005, Well posed boundary conditions for the Navier-Stokes equations. SIAM J. Numer. Anal., 43, 1231-1255.

Oliger, J., Sundström, A., 1978, Theoretical and practical aspects of some initial boundary value problems in fluid dynamics. SIAM J. Appl. Math., 35, 419-446.