NATURVETENSKAP– MATEMATIK–SAMHÄLLE
Självständigt arbete i fördjupningsämnet matematik och
lärande
15 högskolepoäng, grundnivå
Singaporemodellen – en modell för
undervisning i matematik
The Singapore model – a model for teaching mathematics
Michelle Hansen
Anna Nilsson
Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i förskoleklass, årskurs 1-3, 240 högskolepoäng
Självständigt arbete i fördjupningsämnet matematik och lärande, 15 högskolepoäng
Handledare: Clas Olander
Datum för slutseminarium 2021-01-22
Examinator: Anna Wernberg Handledare: Clas Olander
2
Förord
Denna uppsats har skrivits inom ramen för kursen Självständigt arbete på grundnivå (SAG) 15 högskolepoäng, på grundskolelärarprogrammet F-3 vid Malmö Universitet. Uppsatsen
innehåller en kunskapsöversikt som bygger på vetenskapliga texter och andra rapporter som sammanställts och granskats. Målet har varit att formulera en fråga som har relevans för lärarprofessionen och som analyserats utifrån systematiskt insamlade kunskapskällor.
Våra upplevelser av traditionell matematikundervisning från våra VFU skolor har bidragit till vårt brinnande intresse för hur vi som framtida lärare vill lyckas att individanpassa undervisningen för att fånga så många elever som möjligt. Med denna kunskapsöversikt har vi fått möjlighet att fördjupa våra kunskaper i en för Sverige nyfunnen modell som medfört en förändrad arbetsprocess i matematikundervisningen internationellt. Detta har fört med sig en nyfikenhet inom oss, hur vi som framtida lärare vill arbeta med modellen i den svenska skolan för att skapa en ökad förståelse och meningsfullhet. Därför är frågeställningen i denna
kunskapsöversikt något som starkt engagerat oss.
Hela arbetsprocessen har utförts och satts ihop i samverkan och vi vill ge varandra en stor eloge för gott samarbete och ett strukturerat lagarbete. Vi vill rikta ett stort tack till vår handledare Clas Olander för kloka kommentarer och värdefull vägledning. Medverkandet i detta arbete har varit likvärdigt från båda parter.
3
Abstrakt
Syftet med denna kunskapsöversikt är att undersöka vad Singaporemodellen innebär och vad som är karakteristiskt för modellen. För att vi skulle kunna göra en kunskapsöversikt valde vi att fördjupa oss i Singapores matematikhistoria och vad som karakteriserar modellen. Eftersom det i Sverige saknas relevant forskning om Singaporemodellen var det aktuellt för oss att se hur andra länder har gjort och med hjälp av det skapa en bild av vad modellen kan ha för betydelse i den svenska skolan.
Vår digitala bakgrundsundersökning i sökmotorerna ERIC via Ebsco och Google Scholar, resulterade i en variation av vetenskapliga artiklar som vi valde ut för att jämföra och analyseras. Resultatet av våra vetenskapliga artiklar gav en förståelse för hur Singapores utbildningssystem i matematik är uppbyggt och hur man ständigt håller en hög standard på sin utbildning. Forskningsresultaten från andra länders implementering av Singapores matematik har gett framgångsrika effekter.
Påföljden av de vetenskapliga artiklarna har resulterat i att Singaporemodellen och dess särskilda struktur bidrar till ökade kunskaper i matematik för elever och hade varit till fördel för lärare i Sverige att ta efter.
Nyckelord: bar modeling, cpa-appraoch, math in focus, singapore matematik, singapore math, singaporemodellen
4 Innehållsförteckning Förord ... 2 Abstrakt ... 3 1. Inledning ... 5 2. Bakgrund ... 6 3. Singaporemodellen i Sverige ... 7 4. Syfte ... 9 4.1 Frågeställning ... 9 5. Metod ... 10 5.1 Inledning ... 10 5.2 Urvalskriterier ... 10 5.3 Sökprocessen ... 11 5.3.1 Sökord ... 11
5.3.2 ERIC via Ebsco ... 11
5.3.3 Googlesökning ... 12
5.3.4 Andra sökvägar ... 12
5.4 Sammanfattning och analys ... 13
5.5 Metodkritik ... 13
Tabell 1: Insamling av artiklar ... 13
6. Resultat ... 15
6.1 Singaporemodellens ursprung och uppbyggnad ... 15
6.1.1 Spiralprincipen ... 15
6.1.2 Blockmodellen ... 17
6.2 Prövad modell internationellt ... 19
7.Diskussion ... 21
7.1 Vad karaktäriserar Singaporemodellen? ... 21
7.2 Fördelar med Singaporemodellen ... 21
7.3 Singaporemodellens baksida ... 22
7.4 Hur påverkar detta oss som blivande lärare? ... 23
7.5 Fortsatt forskning ... 24
5
1. Inledning
Att inneha en matematisk kompetens är en essentiell tillgång, eftersom matematiken genomsyrar vardagen med olika matematiska möten. Ett möte vi erfarit från vår
verksamhetsförlagda utbildning (VFU), som grundar sig i traditionell undervisning, ett möte där matematikkunskap inte är mer än det som just finns i matematikböckerna. I vår
lärarutbildning framställs traditionellt lärande som någonting negativt och framtida lärare utbildas till att tänka kreativt för att eleverna ska uppnå kunskapsmålen.
Det mekaniska individuella räknandet, påpekar Skolinspektionen (2014), dominerar den nutida svenska skolans matematikundervisning och med tiden har detta bidragit till en mindre
gynnsam utveckling. Den traditionella undervisningen i matematik och den stora mängden individuellt räknande har medfört att den svenska skolan inte utgått från målen i kursplanen. Konsekvensen av detta att vissa av de fem förmågorna, som anges i läroplanen för
grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (Skolverket, 2019), inte utvecklas och för med sig ofullständiga kunskaper, vilket i sin tur leder till att eleverna får sämre förutsättningar för vidare studier.
Svenska elevers prestationer i matematik har enligt intenationella mätningar (Skolverket, 2015; Skolverket, 2019) inte blivit bättre med åren. Det låga resultatet har haft många orsakande faktorer och Mullis, Martin, Foy och Arora (2012) pekar ut Sverige som det land som använder matematikböckerna mest. Detta belyser Bergqvist, Bergqvist, Boesen, Helenius, Lithner, Palm och Palmberg (2010) som ett problem för den svenska skolan. Matematikundervisningen är beroende av matematikboken och elever lämnas oftast ensamma för att ta till sig det matematiska innehållet. Till skillnad från det svenska resultatet i
internationella mätningarna ligger Singapore bland de länder i världen med bäst resultat i matematik (Skolverket, 2016). Vi har fått Singaporemodellen presenterade i vår VFU och blivit imponerande av modellen. Tillsammans med omvärlden har vi blivit nyfikna på varför
Singapores matematikundervisning är så speciell och att de lyckats så bra i TIMSS (Skolverket, 2015) och PISA:s (Skolverket, 2019) internationella mätningar. Med detta sagt anser vi att det är av stor vikt för oss som blivande lärare att ta del av forskning inom området
matematikdidaktik för att arbeta mot en gynnsammare matematikundervisning och se vad Singaporemodellen kan erbjuda i motsats till den traditionella matematikundervisningen.
6
2. Bakgrund
Singapore har under många år varit en brittisk koloni med en mångkulturell befolkning från Kina, Malaysia och Indien. Enligt Foong (1999) medförde landets självständighet en ny kursplan i matematik som innefattade ett gemensamt språk där undervisningen skulle vara enhetlig överallt i landet. På sjuttiotalet moderniserades kursplanen för grundskolans matematik vilket, enligt Kaur (2018), berodde på influenser från andra länder. Mitten av åttiotalet, påpekar Kaur (2014), var en viktig epok för Singapores utbildningssystem, då bland annat en ny kursplan för matematik infördes av “Ministry of Education”, som är jämförbart med det svenska Skolverket. Problemlösning är i fokus i Singapores matematikutbildning och enligt Har (2007) är syftet att Singapores grundskolor har som mål att ge elever möjlighet att utveckla matematiska kunskaper och färdigheter, utveckla tankeprocesser och kunna tillämpa dem i det vardagliga livet. Det finns även en strävan att eleverna ska utveckla positiva attityder och känslor för den personliga insatsen i processen att lära sig matematik (Ministry of
education, 2012).
Resultaten i de internationella mätningarna har inte bara möjliggjort för Singapore att uppdatera läroplanen utan även bidragit till att lärarna kontinuerligt kompetensutvecklas. Kursplanen är en vägledning för lärarna att planera sin undervisning som består av konkreta uppgifter hur matematikundervisningen ska se ut (Ministry of Education, 2012) till skillnad från den svenska skolans kursplan som saknar konkreta exempel på hur undervisningen ska te sig (Skolverket 2020).
Eftersom relevant forskning kring Singaporemodellen saknas i Sverige valde vi att se över andra länders studier kring implementering av Singaporemodellen. Detta för att skapa oss en överblick över modellens inverkan på elevers prestationer. Vi fann ett flertal studier från USA som utförts vid olika tillfällen och vid olika skolor men även studier från Storbritannien och Sydafrika var av intresse.
7
3. Singaporemodellen i Sverige
I Sverige är Singaporemodellen är inte beroende av något specifikt läromedel, däremot finns det läromedel som är skräddarsydda efter modellen. Vi har kommit i kontakt med läromedlet Singma under vår VFU och använder den som en guide i vår studie. Läromedlet Singma (Agardh & Reijler, 2017) innehåller uppgifter vars syfte är att förse elever med systematisk variation och utveckling. Innehållet i läromedlet Singma utvecklas och utvidgas i små steg som Putri, Suwangsih, Rahayu, Nikawanti, Enzelina och Wahyudy (2020) benämner spiralprincipen. Strukturen i lektionerna är uppbyggda så att eleven får möjlighet att träna på alla de fem förmågorna vid varje lektionstillfälle och uppfyller även det som finns givet i det centrala innehållet i läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (Skolverket, 2019). Läromedlet är uppbyggt av tre böcker som består av en övningsbok och en lärobok till eleverna samt en lärarhandledning till läraren. Syftet med läroboken är att eleverna ska samtala med varandra om uppgifterna för att lära av varandra. Övningsboken är utformad för
elevernas färdighetsträning och lärarhandledningen är en detaljerad guide till stöd för lärarna. Lärarhandledningen bygger på detaljerade lektionsplaneringar som visar hur
undervisningsstrukturen ska se ut i alla lektioner.
Enligt Singma (2017) är varje lektion uppdelad i tre stadier av olika egenskaper som är återkommande i varje lektion. I varje lektion upptäcker eleverna en igenkänning, där de i de olika stadierna får öva på de eftersträvade matematiska förmågorna från läroplanen (Skolverket 2019) problemlösningsförmågan, begreppsförmågan, metodförmågan, resonemangsförmågan och kommunikationsförmågan. Uppgifterna i läromedlet Singma (2017) öppnar upp för samtal mellan elever, om valda strategier för att få en varierad och förbättrad utveckling. Det första stadiet introduceras med en startuppgift med en enkel svårighetsgrad som passar alla elevers olika förutsättningar. Läraren inleder lektionen med att förklara ett matematiskt problem som eleverna sedan ska utforska med hjälp av liggande staplar och centikuber för att lösa uppgiften. Det konkreta materialet kan exempelvis synliggöras med centikuber som grundar sig i
blockmodellen (Blalock, 2011; Ng & Fong, 2009). Detta för att visualisera och synliggöra olika tal i problemlösningsuppgifter. Med hjälp av staplar och centikuber blir det på så sätt lättare för eleverna att förstå hur de ska lösa problemet och visa hur de har tänkt. Under tiden eleverna arbetar har de fri tillgång till konkret material. Läraren har en vägledande roll genom att ställa olika frågor för att uppmuntra och hjälpa eleverna framåt i deras tänkande. Lärarens
8
utvecklande frågeställning genomsyrar hela undervisningen och har ett specifikt syfte att fånga elevernas uppmärksamhet, reflektera och resonera kring sina lösningar. I det andra stadiet får eleverna möjlighet att tillsammans öva vidare på fler uppgifter inom samma område i sina läroböcker. Syftet i denna del är att eleverna får ha en muntlig dialog och tillsammans med andra lösa och resonera om olika uppgifter. De visuella bilderna i uppgifterna befäster förståelsen för olika matematiska begrepp. I det sista tredje stadiet får eleverna arbeta med färdighetsträning genom att öva på olika utvalda uppgifter som hänger ihop med lektionens innehåll i övningsböckerna.
Lärarhandledningen har en detaljerad instruktion hur lektionerna ska läggas upp där det är väldigt viktigt att förhålla sig till modellens struktur. Om läraren avviker från den
kronologiska följden i läroboken och inte följer strukturen, förklarar Agardh & Rejler (2017), att det kan finnas en risk att eleverna går miste om kunskaper. Läromedlet bygger på
spiralprincipen och är utformad så att eleverna ska utöka vidare kunskaper i matematik. Det som är utmärkande för Singaporemodellen är att den framhäver alla fem förmågor i en och samma lektion. I Singma (2017) beskrivs hur innehållet i läromedlet berör och tränar
förmågorna i varje lektion. Genom att lektion inleds med en startuppgift får eleverna öva på att finna flera olika sätt att lösa uppgiften och resonera kring deras valda strategier. Läraren ställer kontinuerligt utforskande frågor för att hjälpa eleverna utveckla sin metakognition och
problemlösningsförmåga. I varje lektion finns ett tydligt fokus på ett eller flera begrepp där läraren förtydligar begreppens innebörd som eleverna får utforska. Vidare synliggörs metodförmågan genom att eleverna får välja och använda olika metoder för att lösa uppgifterna. Dessa metoder redovisas och förklaras med konkret material och bilder som kopplas till det abstrakta. Genom att eleverna får kommunicera sin kunskap med hjälp av det konkreta materialet och dialoger eleverna emellan framhävs kommunikationsförmågan. Resonemangsförmågan synliggörs när eleverna får träna på att förklara för sina kamrater sina resonemang och lösningar.
9
4.Syfte
Enligt Statens offentliga utredning (SOU 2004:97) och Skolinspektionen (2014) fokuserar den svenska skolans matematikundervisning på individuellt räknande i matematikböcker vilket gör att elever bara undervisas i vissa delar av det centrala innehållet och får därmed inte möjlighet att utveckla alla förmågor. Istället skulle det vara till fördel om lärare fokuserar på att erbjuda elever en matematikundervisning som bidrar till allas lärande.
Syftet med denna studie är att synliggöra vad det är som karakteriserar Singapores matematik och blivit så framgångsrik. Vårt intresse för modellen uppstod när vi kom i kontakt med den under vår verksamhetsförlagda utbildning (VFU), där modellen nyligen introducerats i undervisningen. För att få en förståelse för Singapores matematik valde vi att undersöka dess historiska bakgrund, läroplanens uppbyggnad och hur undervisning är strukturerad.
4.1 Frågeställning
Den huvudsakliga problemställningen för detta arbete är att ta reda på vad Singaporemodellen innebär. För att kunna undersöka detta närmare har vi valt att fokusera på följande huvudfråga
10
5. Metod
5.1 Inledning
I detta kapitel beskrivs informationssökningsmetoden som ligger till grund för denna kunskapsöversikt. Syftet är att besvara frågeställningen genom att söka efter forskning inom vårt valda område. Här redogörs vilka databaser som valts ut och hur sökprocessen sett ut vid val av relevant material. Avslutningsvis presenteras de valda artiklarna i en tabell.
5.2 Urvalskriterier
För att utföra en organiserad informationssökning krävs det enligt Friberg (2007) att man inom tydliga konkreta givna ramar samlar in information. Eftersom singaporemodellen är relativt ny i Sverige och saknar forskningsunderlag här, valde vi att använda oss av den internationella marknadens utbud av vetenskapliga artiklar och gå tillbaka mer än 20 år för att få ett historiskt perspektiv på modellens ursprung. Vi har systematiskt sökt efter vetenskapliga texter i
databaserna ERIC (Education Resources Information Center) och Google Scholar. Eftersom de databaser man väljer är enligt Friberg (2017) beroende av det ämnesområde som
kunskapsöversikten ska bearbetas. Databasen ERIC rekommenderas att användas (Backman, 2016) och innehåller flera olika vetenskapliga studier om det angelägna ämnet pedagogik. Dessutom innehåller databasen åtskilliga passande funktioner och har ett begripligt gränssnitt. För att begränsa vår sökning och uppfylla de ställda kraven på de sökta artiklarna, valde vi att hitta artiklar som var peer reviewed, vilket Friberg (2007) förklarar är artiklar som är
publicerade och vetenskapligt granskade.
Målet var att eftersträva källor som berörde den tidiga skolåldern eftersom denna studie utförs inom lärarprogrammet med inriktning F-3. Detta skulle bidra till att vi fick en tydligare syn på vårt forskningsområde i vårt arbete.
Flertalet av de artiklar vi tagit del av är skrivna på engelska eftersom svenska vetenskapliga artiklar saknades. Orsaken till ett magert resultat av sökta artiklar kan enligt Friberg (2007) bero på felstavningar och att den språkliga dialogen är särpräglad, men i vårt fall berodde det på att vårt område inte innehöll någon vetenskaplig forskning i Sverige. Sökningar på engelska gav oss en större tillgång och fler träffar på vetenskapliga artiklar vilket resulterade
11
i ett större perspektiv. Sökningen i Google Scholar gav oss ett svenskt utbud av en del examinationer som berörde vårt forskningsområde men även ett antal icke vetenskapliga artiklar. Trots det minimala utbudet kunde vi med ansträngning presentera ett svenskt
perspektiv kombinerat med en gedigen internationell tillgång av forskning. Kombinationen av de enskilda delarna kunde slutligen sammanställas till en helhet vilket Friberg (2007) kallar ”helikopterperspektivet”.
5.3 Sökprocessen
5.3.1 Sökord
Vi har valt att arbeta med sökorden bar modeling, cpa-appraoch, math in focus, Singapore matematik, singapore math, singaporemodellen.
5.3.2 ERIC via Ebsco
Vi inledde vår sökprocess i sökmotorn ERIC via Ebsco och sökte endast peer reviewed artiklar med sökordet Singapore math där vi fick 14 aktuella artiklar. Vi valde ingen av artiklarna eftersom ingen av artiklarna berörde Singapores matematikhistoria. Sökordet Singapore math var inte ett tillräckligt sökalternativ för vårt arbete och vi blev tvungna att hitta nya sökord av värde. En andra sökning på Eric via Ebsco fokuserade vi på engelska begreppet Singapore model detta resulterade i 46 artiklar. Vi valde att läsa igenom artiklarnas abstrakta del för att ta del av vad artiklarna handlade om. En artikel som vi fann var av Kaur (2018) som berörde Singapores matematiska historia och som var relevant för vårt arbete. Kaur blev en intressant författare för oss att undersöka närmare. En sökning i ERIC via Ebsco på enbart Kaur Berinderjeet fann vi 12 vetenskapliga artiklar. En specifik artikel var Mathematics education in Singapore- an insiders perspective som fångade vårt intresse och blev viktig för vår studie. De andra artiklarna vi fann ansåg vi inte vara relevanta för vårt arbete då de inte berörde Singapores matematik utan berörde andra forskningsområden. Ytterligare en sökning i ERIC via Ebsco på sökordet CPA-approach resulterade i tre vetenskapliga artiklar. Endast en artikel var av intresse för oss och som handlade om införandet av Singaporemodellen i Sydafrika.
Under pågående skrivprocessen av vårt arbete har vi emellanåt letat efter fler
vetenskapliga artiklar för att få en bredare infallsvinkel och försäkra oss om att vi inte missat något. En sista sökning i ERIC via Ebsco på sökordet math in focus gav oss 268 artiklar. Vi
12
insåg att så många artiklar kunde vi inte gå igenom och därför valde vi att byta databas och göra sökningar på Google.
5.3.3 Googlesökning
Vår första sökning på Google med sökordet Singaporematte resulterade i att vi fann en svensk artikel från nämnaren av Agardh och Rejler (2018). Denna artikel var inte klassad som en vetenskaplig artikel men med hjälp av artikeln kunde vi i referenslistan hitta två artiklar som blev intressanta att undersöka. De var av Yeap Ban Har (2007) och Fong (1999), och dessa blev en tillgång för vår studie. Vidare resulterade vår sökning på Google med sökorden
vetenskapliga artiklar Singapore matematik i att vi kom in på Google Scholar. Vi valde att fylla i endast artiklar som var peer reviewed i Google Scholar och fann fyra svenska examensarbeten om Singapore modellen. Ett examensarbete som fångade vårt intresse var skriven av Jonsson och Karlsson (2019), Ett problemlösande förhållningssätt till matematik - studie om singaporemodellen. Examensarbetet blev till stor hjälp för oss och vi fann ytterligare tre vetenskapliga artiklar som berörde vår frågeställning i vår studie. Backman (2016) poängterar att alltid använda
originalkällan som grund i vetenskapliga studier. Examensarbetet erbjöd även andra valmöjligheter till relevanta sökord att använda i vår sökprocess för att utöka utbudet i vår studie. Ytterligare relevanta sekundära artiklar som inte var vetenskapligt granskade men som blev väsentliga för vårt problemområde var artiklar från Statens offentliga utredning (SOU 2004:97) och Skolinspektionen (2014). Ett annat examensarbete som vi återgick till vid senare skede av vår skrivprocess var skriven av Erlandsson (2018), Elevers prestationer och attityder inom matematikämnet efter införandet av Singaporemodellen–utifrån ett lärarperspektiv.
5.3.4 Andra sökvägar
Vi beslutade att fokusera på författarna Agardh och Rejler, eftersom deras namn är
återkommande i ett antal svenska examensarbeten, varav vi till en början valde att fokusera på ett. Detta gjorde vi för att få fram fakta om hur modellen fungerar i Sverige. Vi valde att använda läroboken Singma (2017) som en guide för att undersöka om vetenskaplig forskning fanns globalt. Att ta del av läroböckerna medförde en djupare förståelse för modellens användning i Sverige. Vi har avsiktligen valt att utgå från specifika sökord och inflytelserika forskare för att begränsa vårt sökområde. Sökning och granskning har medfört att vi funnit ny
13
kunskap om vårt område vilket Friberg (2007) påpekar är syftet med vetenskapliga artiklar, att ta del av något man inte vetat om innan. Att använda en datoriserad sökteknik är en
dominerande metod som enligt Backman (2016) sparar tid och inte kostar pengar.
5.4 Sammanfattning och analys
Sammanlagt valdes 12 artiklar ut för analys. De valda artiklarna redovisas med författare, titel och källan till artikeln samt insamlingsmetod i tabell 1. Då artiklarna studerats och bearbetats utfördes en sammanställning och sammanfattades på svenska. Därefter finslipades
frågeställningen och fokusområdet inom vår problematik valdes. Utifrån nyckelorden som uppkommit från sökta sökorden som tidigare förklarats synliggjordes ett tema.
5.5 Metodkritik
Underlaget vi funnit har gett oss ett bredare perspektiv av vårt forskningsområde, trots ihärdiga försök att finna svensk forskning om vårt ämne. Vi är inte ovetande om att vårt arbetssätt säkerligen innehåller brister, men vi redovisar på bästa sätt hur vi gjort. En del texter har till en början framstått som informativa men fått väljas bort eftersom de saknade betydelse för vår studie. Andra artiklar har exkluderats till följd av att de endast varit disponibla mot betalning. Vi är väl införstådda i att källor som inkluderats och som inte är vetenskapligt granskade, kan ha ett missvisande inflytande på uppsatsens slutsats. Vi förväntar oss att läsaren tar hänsyn till de nämnda faktorerna och beaktar resultatet utifrån ett restriktivt och ett kritiskt perspektiv.
Tabell 1: Insamling av artiklar
Författare Insamlingsmetod Blalock, T. (2011).
The impact of Singapore Math on student knowledge and enjoyment in mathematics.
Avhandling från Louisiana Tech University.
Hämtad 2020.12.03 https://digitalcommons.latech.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1375&context =dissertations Sekundärsökning: referenslista Erlandsson, J. (2018).
Elevers prestationer och attityder inom matematikämnet efter införandet av Singaporemodellen–utifrån ett lärarperspektiv.
Examensarbete från Göteborgs Universitet
Sökning: GoogleScholar
14
Hämtad 2020.12.28
https://gupea.ub.gu.se/bitstream/2077/55231/1/gupea_2077_55231_1.pdf
Har, Y. B. (2007).
The Singapore mathematics curriculum and mathematical communication. In Proceeding of APEC-TSUKUBA International Conference III, Innovation of Classroom Teaching and Learning through Lesson Study, Focusing on Mathematical Communication (pp. 9-14).
Sekundärsökning: referenslista
Jaciw, A. P., Hegseth, W. M., Lin, L., Toby, M., Newman, D., Ma, B., & Zacamy, J. (2016).
Assessing impacts of math in focus, a “Singapore math” program. Journal of Research on Educational Effectiveness, 9(4), 473-502.
Sekundärsökning: referenslista
Jerrim, J., & Vignoles, A. (2015). The causal effect of East Asian “mastery” teaching methods on English children’s mathematics skills’(Working Paper No. 15-05). Department of Quantitative Social Science–UCL Institute of Education, University College London.
Sekundärsökning: referenslista
Jonsson, E., & Karlsson, F. (2019).
Ett problemlösande förhållningssätt till matematik: Studie om Singaporemodellen. Examensarbete från Umeå Univerisitet.
Hämtad 2020.12.02
https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1330975/FULLTEXT01.pdf
Sökning: GoogleScholar
Kaur, B. (2014).
Mathematics Education in Singapore--An Insider's Perspective. Indonesian Mathematical Society Journal on Mathematics Education, 5(1), 1-16.
Sökning: ERIC
Kaur, B. (2019).
The why, what and how of the ‘Model’method: A tool for representing and visualising relationships when solving whole number arithmetic word problems. ZDM, 51(1), 151-168.
Sökning: ERIC
Naroth, C., & Luneta, K. (2015).
Implementing the singapore mathematics curriculum in south africa: experiences of foundation phase teachers. African Journal of Research in Mathematics, Science and Technology Education, 19(3), 267-277.
Sökning: ERIC
Ng, S. F., & Lee, K. (2009). The model method: Singapore children's tool for representing and solving algebraic word problems. Journal for Research in Mathematics Education, 282-313.
Sökning: GoogleScholar
Putri, H. E., Suwangsih, E., Rahayu, P., Nikawanti, G., Enzelina, E., & Wahyudy, M. A. (2020, April). Influence of Concrete-Pictorial-Abstract (CPA) Approach on the Enhancement of Primary School Students' Mathematical Reasoning Ability. In Elementary School Forum (Mimbar Sekolah Dasar) (Vol. 7, No. 1, pp. 119-132). Indonesia University of Education. Jl. Mayor
Abdurachman No. 211, Sumedang, Jawa Barat, 45322, Indonesia. Web site: https://ejournal. upi. edu/index. php/mimbar/index.
Sökning: ERIC
Sukow, A. L., Sampson, C. A., & Pierrie, V. (2016). Effects of Singapore
15
6. Resultat
Detta avsnitt redovisar de resultat som informationssökningen genererat. Resultatet är indelat i två teman utifrån vår frågeställning i arbetet. För att undersöka vad som karakteriserar
Singaporemodellen valde vi att i första temat fokusera på modellens ursprung och dess uppbyggnad. Där berör vi hur läroplanen i Singapore haft en betydande roll i landets
utbildningssystem och modellens uppbyggnad. Det andra temat tar upp vilka andra länder som modellen har studerats i och vilka resultat som implementeringen gett.
6.1 Singaporemodellens ursprung och uppbyggnad
Utifrån benämningen Singaporemodellen är det inte svårt att dra slutsatsen varifrån modellen har sitt ursprung, Singapore. Åttiotalet var en stor milstolpe i Singapores utbildningssystem (Kaur, 2018) eftersom problemlösning blev den essentiella kärnan för utformningen av läroplan och enligt Har (2007) förhåller sig problemlösningen till färdigheter, attityder, metakognition, processer och förståelse. Läroplanen innehöll strategier att undervisa och lära ut matematik. Tillvägagångssättet medförde att eleverna skulle uppnå nödvändiga
inlärningsupplevelser och skapa sig meningsfulla samband med hjälp av konkret material och bilder för att utforma abstrakt matematisk kunskap. Eleverna får träna på alla förmågorna samtidigt vilket Kaur (2014, 2018) menar ställer krav på lärarna att fortlöpande utöka sin kompetens. Singapores undervisningsmetod har haft stor betydelse för Singapores
utbildningssystem vilket resulterat i goda internationella resultat som medfört att omvärlden blivit inspirerad. Detta har gjort att modellen prövats i andra länder. Påverkan från andra länders resultat i de stora mätningarna i matematik bidrog att andra länder anammat metoden. Utifrån TIMSS och PISAS resultat resonerar Kaur (2014, 2018) att Singapore gått mer på djupet att förbättra läroplanen. Singapore granskar sin läroplan kontinuerligt vart sjätte år för att tillgodose eleverna den bästa utbildningen och för att ligga bland toppnationerna i de internationella mätningarna.
6.1.1 Spiralprincipen
Singapore matematiken utgår från spiralprincipen som är en undervisningsstrategi vid inlärning av matematik. På engelska kallas spiralprincipen för CPA-approach
Concrete-Pictorial-16
Abstract (hädanefter kallar vi det spiralprincipen) där konkret material och bilder kopplas till den abstrakta matematiken. Spiralprincip är basen i Singaporemodellen och löper genom hela matematiken (Kaur, 2018).
Användningen av spiralprincipen i matematikundervisningen har genom tidigare forskning (Putri et al 2020) visat att elevernas inlärningsprestationer förbättras. Tanken med spiralprincipen är att eleverna i tidig skolålder ska få möjlighet att utveckla förståelse för matematikens grundläggande begrepp och grunder. Genom att visualisera och konkretisera matematiken stärks elevernas kunskaper allteftersom. Spiralprincipen är en lärande strategi baserad på en inlärningsteori om kognitiv utveckling som består av tre steg (Putri et al, 2020), se figur 1 nedan. Första steget är concrete som visar att elever till en början löser matematiska problem med hjälp verkliga föremål för att sedan använda annat konkret material som får representera föremålen. I Singaporemodellen handlar det om att elever får prova och göra och på så sätt upptäcka och förstå nya matematiska begrepp och områden. Steg två är pictorial som synliggöra matematiken i bilder för eleverna, där tankar och tillvägagångssätt illustreras. Detta menar Putri et al (2020) hjälper eleverna att visualisera och skapa egna inre bilder. Det tredje steget är abstract där eleverna använder symboler och siffror för att förtydliga matematiken. Detta kan vara svårt att ta till sig och förstå från allra första början. Därför bildar dessa tre representationer konkret, visuellt och abstrakt en inlärningsspiral, benämnd spiralprincipen. Spiralprincipen konkretiseras via en annan modell kallad Blockmodellen.
Figur 1. Visualisering av spiralprincipen (Admera Education, 2017, citerad i Erlandsson, 2017, s 10)
17
6.1.2 Blockmodellen
Blockmodellen utformades under åttiotalet i Singapore. Enligt Ng och Fong (2009) kallas modellen för Singapore Model Methods eller Bar modeling (hädanefter benämns den blockmodellen) som har fått stor spridning världen över eftersom den är lätt att ta till sig. Syftet med modellen är, enligt Blalock (2011), att rita liggande staplar eller block för att
synliggöra problemlösningsuppgifter. Staplar och centikuber blir ett hjälpmedel där eleverna får lättare att förstå hur de ska lösa problemet och visa hur de har tänkt. Ett antal studier som Ng och Fong (2009) hänvisar till beskriver hur elever som använder modellen i lägre ålder
förbättrar prestandan för att lösa matematiska problem. Eleverna kan sedan fortsättningsvis använda samma modell för att lösa mer komplexa problem och underlätta förståelsen för algebra. Figur 2, 3 och 4 (Admera Education, 2017, refererad i Erlandsson, 2017) är tre
exempel på hur blockmodellen kan användas inom olika räknesätt. Att göra en presentation av en uppgift skapar möjlighet till att reflektera över presentationen, göra ändringar och välja en lösningsstrategi.
Figur 2: Exempel på blockmodellen inom addition (Admera Education, 2017, citerad i Erlandsson, 2017, s 11)
18
Figur 3: Exempel på blockmodellen inom subtraktion (Admera Education, 2017, citerad i Erlandsson, 2017, s 11)
Figur 4: Exempel på blockmodellen inom algebra (Admera Education, 2017, citerad i Erlandsson, 2017, s 11)
Eleverna får börja arbeta med relativt enkla problem som kan beskrivas utifrån olika perspektiv. Detta menar Blalock (2011) är en medveten handling för att säkerställa att alla elever förstår hur modellen fungerar för att sedan kunna bygga vidare med mer komplexa problem.
19
6.2 Prövad modell internationellt
Vi har valt att se över forskning som gjorts i andra länder för att få en tydligare bild av deras resultat vid implementering av Singaporemodellen. Länder som gjort implementeringen och är aktuella för denna studie är USA, Storbritannien och Sydafrika. Följande länder visade ett positivt resultat vid införandet av Singaporemodellen. Det var i USA i Louisiana som Blalock (2011) gjorde en undersökning i sju olika oberoende skolor där Singaporemodellen
implementerades under en viss tid. Studien gick ut på att jämföra elevernas prestationer när de undervisades enligt Singaporemodellen och ordinarie undervisning. Detta resulterade i ökade prestationer hos de elever som undervisades enligt Singaporemodellen i jämförelse med det som följt ordinarie undervisning. I Nevada utfördes en större studie på tolv oberoende skolor av Jaciw, Hegseth, Lin, Toby, Newman, Ma och Zacamy (2016). Syftet med den studien var att ta reda på om Singaporemodellen hade en positiv inverkan på elevers matematikprestationer. Studien fick ett positivt resultat som visade att eleverna förbättrade sina matematikkunskaper genom att undervisas med Singaporemodellen. Storbritannien gjorde också en studie (Jerrim & Vignoles. 2015) av modellen vid en implementering där 2386 elever undervisades enligt
Singaporemodellen och 2244 elever fortsatte undervisas utifrån sin vanliga undervisning. Syftet var att undersöka om de elever som undervisats med Singaporemodellen visade bättre resultat. Det resulterade i att de elever som undervisades i Singaporemodellen fick bättre resultat än den andra gruppen. I Sydafrika (Naroth & Luneta, 2015) fick sex lärare undervisa efter
Singaporemodellen under ett års tid. Resultatet var att de uppskattade metoden och
arbetssättet vilket medförde att elevernas prestationer förbättrades. Vidare framkom det från studien att lärarna påpekade att modellen gynnade elever som inte utvecklat ett förståeligt språk.
En studie som fick ett mindre positivare resultat var en studie som gjordes i Tennessee, USA av Sukow, Sampson, och Pierrie (2016) där 250 elever från en skola deltog i
undersökningen och blev undervisade i Singaporemodellen under ett års tid. Syftet med studien var att mäta om elevernas matematikprestationer förbättrades under det året, vilket resulterade i att lågpresterande elever gynnades av undervisningen utifrån Singaporemodellen. I resultatet kunde man inte se en generellt ökad prestation i matematik hos eleverna däremot upptäckte man positivare attityder till ämnet matematik.
20
Sammanfattningsvis av de fem studier vi har undersökt fann vi att fyra av studierna resulterade i ett positivt resultat av användandet av Singaporemodellen. Gemensamt för dessa två av undersökningarna var att undersökningen utfördes på fler skolor. Förutom i Sydafrika där endast 6 lärares uppfattningar studerades och i Storbritannien var det okänt hur många skolor som deltog i undersökningen men det framkom att 2386 elever deltog. Undersökningen i Louisana i Nevada, i USA, resulterade i att undersökningarna fick samma resultat där man uppmärksammat en ökade prestationer i matematik hos eleverna. Storbritannien hade ett större antal elever de utförde sin studie vilket resulterade i samma slutsatser som för Louisiana och Nevada. Däremot var resultatet i Tennesse inte imponerade, utan implementeringen av
Singaporemodellen var endast till fördel för de lågpresterande eleverna. Däremot gav modellen en positivare inställning till ämnet matematik.
21
7.Diskussion
I denna del kommer slutsatserna att diskuteras och presenteras utifrån resultatet av vårt arbete. Först diskuteras den aktuella frågeställningen för arbetet där vi behandlar olika områden, vidare lyfter vi fördelar och nackdelar inom Singaporemodellen. Slutligen diskuteras
Singaporemodellen i den framtida lärarprofessionen som avslutas med ett förslag till fortsatt forskning.
7.1 Vad karaktäriserar Singaporemodellen?
Undervisningen i Singaporemodellen är väl genomtänkt där läraren har en central roll att undervisa för att skapa förståelse och lära eleverna att bemästra matematiken. Den viktigaste egenskapen hos Singaporemodellen menar Kaur (2018) är att matematiken framhävs av distinkta modeller som grundar sig i spiralprincipen där eleverna utforskar matematiken med hjälp av konkret material, blockmodellen, för att visa sina lösningar. Det som skiljer
Singaporemodellen från traditionsenlig undervisning i matematik är att modellen omfattar ett väl organiserat system på hur undervisningen ska utövas (Blalock, 2011). För att skapa bättre inlärningsmöjligheter arbetar alla elever i Singaporemodellen tillsammans (Jonsson & Karlsson, 2019), detta för att alla elever ska känna sig inkluderade i undervisningen. Även
arbetsuppgifterna skapar möjligheter för eleverna att utvecklas och utmanas utifrån sina egna behov, vilket även, enligt läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet (Skolverket, 2019), är ett krav för den svenska skolan att uppfylla. Det saknas ännu forskning om Singaporemodellen i Sverige, men i flera länder har forskning bekräftat att modellen är effektiv.
7.2 Fördelar med Singaporemodellen
Utifrån vårt resultat finner vi att det faller sig naturligt för Singapore att ligga överst på listan i internationella kunskapsmätningar. Efter de drastiska förändringar som hände i
Singapores skolsystem på åttiotalet konstaterar Kaur (2014, 2018) att Singapore förbättrat sin matematikundervisning. Sverige däremot, som gjorde en förändring i skolsystemet under 90 talet, visade dåliga resultat i de internationella mätningarna (Bergqvist et al, 2010). Det känns som att lärare i Sverige fortfarande är så inrutade i traditioner kring matematikundervisning
22
(Skolinspektionen, 2014) där traditionell undervisning fortfarande dominerar. Vi undrar varför lärare verkar vara så ovilliga till förbättringar och förändringar, när Kaur (2014,2018) menar att Singaporemodellen är bra. Singaporemodellen erbjuder att eleverna får uppleva matematiken både praktiskt och visuellt vilket medför att eleverna får använda sin fantasi och leklust att lära. Singaporemodellen är kopplad till läroplanen där Har (2007) belyser hur problemlösning är i fokus och där alla förmågorna tränas i varje lektion samtidigt.
Blalock (2011) poängterar i sin studie att Singaporemodellen skapar effektivitet och bättre resultat men även skapar en positiv inställning till ämnet matematik. Även
Storbritannien (Sukow et al, 2016) håller med Blalocks (2011) påstående att Singaporemodellen skapar en viss effektivitet i undervisningen och att modellen får positiva effekter. Anledningen till att USA, Storbritannien och Sydafrika valt att implementera Singaporemodellen i sin matematikundervisning är för att skapa en bättre skola för elever och främja deras kunskaper i matematik istället för att undervisa som de alltid har gjort. Resultat från dessa länders studier om implementeringen av Singaporemodellen har till större delen visat ett positivt utfall för att främja elevers lärande i matematik.
7.3 Singaporemodellens baksida
Singaporemodellen bidrar till djupare förståelse i problemlösning genom att eleverna får diskutera, läsa uppgifter och bygga upp sitt matematiska språk. Vi uppmärksammade att uppgifterna i läroböckerna innehåller mycket text. Detta får oss att fundera om uppgifterna inte passar alla elever, särskilt de eleverna med läs- och skrivsvårigheter eftersom de flesta arbetsuppgifterna behöver läsas. Vår uppfattning är att alla elever inte kan läsa och skriva i årskurs 1, men med rätt hjälp och stöd borde detta kanske inte vara ett problem.
En annan sak vi har uppmärksammat är att det praktiska materialet som finns
tillgängligt under hela lektionstillfället. Det är positivt att använda konkret material men av det vi fått erfara är att om läraren inte är tydlig i sina instruktioner kring hur materialet ska
användas, kan barns fokus läggas på enbart lek och inte vad det är avsett till.
Utifrån de fem studierna vi undersökte var det en studie i USA, Tennessee, som resulterade i en mindre positiv förbättring av elevers matematikprestationer. Forskarna (Sukow, Sampson, & Pierrie, 2016) menar att lågpresterande elever gynnas av undervisningen utifrån Singaporemodellen men att man inte kunde se en ökad prestation i matematik hos de
23
övriga eleverna. Syftet med Singaporemodellen är att den ska gynna alla elevers matematiska utveckling men hur är det då med de övriga eleverna i studien? Behövde dessa elever övat på fler strategier för att utmanas eller var uppgifterna för enkla? Detta får oss att fundera om det var en metod som lärarna fick prova på men som de inte riktigt hade kunskap om rent undervisningsmässigt. En annan tanke är om de lågpresterande eleverna gynnas mer av blockmodellens användning, där konkret material haft en men avgörande roll för deras matematikförståelse? Det framkommer inte i studien vad som var den påverkande faktorn till att Singaporemodellen endast var till fördel för de lågpresterande eleverna. Förutom en fördelaktig utveckling för lågpresterande elever upptäcktes en positivare attityd till ämnet hos alla elever vilket kan tyda på att Singaporemodellen är en rolig undervisningsstrategi. Vidare funderar vi på hur elever motiveras att hålla uppe intresset för matematik när
Singaporemodellen följer en bestämd struktur? Blir det enformigt eller behöver dessa elever som ses som högpresterande, en annan färdighetsträning utöver den som erbjuds i läromedlet? Kanske är det inte bara att ta ett läromedel eller en annan undervisningsstrategi och sätta in den i en annorlunda kontext. Det kanske inte alltid fungerar på grund av det nya landets förhållande till kompetens, utbildning, och kultur. Här är vi lite kritiska till läromedlet Singma (2017), då det är ett läromedel som tagits rakt av från Singapore och flyttats till Sverige.
Läromedlet Singma (2017) är inte en modell utan ett verktyg. Lärare som byter läromedel i sin undervisning till Singma (2017) tror kanske att man kan fortsätta undervisa matematik som man alltid har gjort och att Singaporemodellen endast består av läroboken Singma (2017). Men Singaporemodellen är ett förhållningssätt till matematikundervisningen där läromedlet Singma (2017) endast är en del av modellens utförande. Läromedlet Singma (2017) förutsätter att undervisningen följer strukturen utifrån böckerna. Det innebär att man inte riktigt kan gå utanför gränserna och utföra andra övningar i matematik utan man måste hålla mönstret för att eleverna ska få en fulländad kunskapsutveckling.
7.4 Hur påverkar detta oss som blivande lärare?
Som en ny generation nyutbildade lärare, har vi en annan syn på hur matematikundervisningen ska gå till. Vi har under vår utbildning fått modernisera vårt tankemönster kring våra val av undervisningsmetoder, hur vi ska förmedla matematik till elever på ett roligt, nyanserat och utvecklande sätt. Här anser vi att Singaporemodellen borde få större plats på lärarutbildningen
24
eftersom det då ökar kunskapen om modellen vilket kan bidra till att flera framtida lärare väljer att utbilda sig inom modellen. Vi anser att Singaporemodellen är ett vinnande koncept för framtidens matematikundervisning som berör de fem förmågorna och uppfyller kursmålen enligt noga utvald struktur. Modellen ger elever möjlighet att använda laborativt material för att bygga upp deras metakognition vilket ger oss framtida lärare möjlighet att ge våra elever en god matematisk grund att stå på. En vanligt förekommande matematikundervisning innehållande en kort presentation med följd av mekaniskt räknande anser vi inte vara tillräckligt för att lägga en god matematisk grund. Som lärare måste vi vara öppna och mottagliga för moderniteter och vilja förändra och förbättra för att bidra till ett fördjupat lärande. En demokratisk kompetens alla medborgare förtjänar tillgång till är att i slutändan få en fullständig
matematikundervisning. Vi har lärt oss mycket om Singaporemodellen under denna studie och som kommande lärare är detta en arbetsmetod vi kommer att ta med oss i vårt kommande yrkesliv.
7.5 Fortsatt forskning
Utifrån den forskning vi har stött på i vår studie är vi övertygade att Singaporemodellen är bra. Singaporemodellens grundtankar har influerats av flera olika stora forskare som möjliggjort att förmågorna inkluderats i undervisningen vilket i sin tur skapar att elever får goda möjligheter att utveckla dessa. Vi hoppas att Singaporemodellen i framtiden inspirerar fler lärare att ta efter och införa modellen i undervisningen, eftersom vi tror att Singapore modellen kan bli
framgångsrik även i Sverige och enligt Kaur (2014,2018) är den speciell. För att kunna övertyga andra lärare att Singaporemodellen ger bättre resultat hade det behövts fler studier i Sverige för att kunna dra slutsatsen om Singaporemodellen ger bättre resultat.
Inför fortsatt forskning hade vi velat jämföra resultaten i de nationella proven i årskurs 3 för att undersöka om det finns någon skillnad, rent kunskapsmässigt, mellan elever som undervisats med Singaporemodellen och elever som inte gjort det. Det hade även varit
intressant att utifrån ett lärarperspektiv ta del av lärarnas uppfattningar om Singaporemodellen och vilka konsekvenser den har i undervisningen.
25
Referenslista
Admera Education (2017). Singapore math. Hämtad 2020-12-21
http://www.admeraeducation.se/om-singapore-math/
Agardh, P. & Rejler, J. (2017). Singma matematik 1A Lärarhandledning. (Första upplagans första tryckning). Stockholm: Natur & kultur.
Agardh, P., & Rejler, J. (2018). Vad kan vi i Sverige lära av Singapores matematikundervisning. Nämnaren nr 2.
Hämtad 2020-11-30 http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/0913_18_2.pdf
Backman, J. (2016). Rapporter och uppsatser. (3., [rev.] uppl.) Lund: Studentlitteratur.
Bergqvist, E., Bergqvist, T., Boesen, J., Helenius, O., Lithner, J., Palm, T., & Palmberg, B. (2010). Matematikutbildningens mål och undervisningens ändamålsenlighet. Gymnasieskolan hösten 2009. Hämtad 2020-12-20
https://gupea.ub.gu.se/bitstream/2077/23880/1/gupea_2077_23880_1.pdf
Blalock, T. (2011). The impact of Singapore Math on student knowledge and enjoyment in mathematics.
Avhandling från Louisiana Tech University.
Hämtad 2020-12-03
https://digitalcommons.latech.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1375&context=dissertations Erlandsson, J. (2018). Elevers prestationer och attityder inom matematikämnet efter införandet av Singaporemodellen–utifrån ett lärarperspektiv. Göteborg: Göteborgs Universitet
Hämtad 2020-12-28
https://gupea.ub.gu.se/bitstream/2077/55231/1/gupea_2077_55231_1.pdf
Foong, P. Y. (1999). Varför lyckades Singapore i TIMSS. Nämnaren 26 (3), 40-45. Hämtad 2020-11-26 http://ncm.gu.se/pdf/namnaren/4045_99_3.pdf
Friberg, F. (red.) (2017). Dags för uppsats: vägledning för litteraturbaserade examensarbeten. (Tredje upplagan). Lund: Studentlitteratur.
Har, Y. B. (2007, December). The Singapore mathematics curriculum and mathematical communication. In Proceeding of APEC-TSUKUBA International Conference III, Innovation of Classroom Teaching and Learning through Lesson Study, Focusing on Mathematical Communication (pp. 9-14).
Hämtad 2020-12-03
http://www.criced.tsukuba.ac.jp/math/apec/apec2008/papers/PDF/13.YeapBanHar_Singap ore.pdf
26
Jaciw, A. P., Hegseth, W. M., Lin, L., Toby, M., Newman, D., Ma, B., & Zacamy, J. (2016). Assessing impacts of math in focus, a “Singapore math” program. Journal of Research on Educational Effectiveness, 9(4), 473-502.
Jerrim, J., & Vignoles, A. (2015). The causal effect of East Asian “mastery” teaching methods on English children’s mathematics skills’(Working Paper No. 15-05). Department of Quantitative Social Science–UCL Institute of Education, University College London.
Hämtad 2020-12-07 https://repec.ucl.ac.uk/REPEc/pdf/qsswp1505.pdf
Jonsson, E & Karlsson, F (2019). Ett problemlösande förhållningssätt i matematik. Umeå: Umeå
Universitet. Hämtad 2020-12-02
https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:1330975/FULLTEXT01.pdf
Kaur, B. (2014). Mathematics Education in Singapore--An Insider's Perspective. Indonesian Mathematical Society Journal on Mathematics Education, 5(1), 1-16.
Hämtad 2020-11-26 https://files.eric.ed.gov/fulltext/EJ1079596.pdf
Kaur, B. (2018). The why, what and how of the ‘Model’method: A tool for representing and visualising relationships when solving whole number arithmetic word problems. ZDM, 51(1), 151-168.
Hämtad 2020-11-26 https://link-springer-com.proxy.mau.se/article/10.1007/s11858-018-1000-y
Ministry of Education (2012). Mathematics Syllabus.
Hämtad 2020-11-26
https://www.moe.gov.sg/docs/default-source/document/education/syllabuses/sciences/files/mathematics_syllabus_primary_1_to_6 .pdf
Mullis, I. V., Martin, M. O., Foy, P., & Arora, A. (2012). TIMSS 2011 international results in mathematics (pp. 139-171). Chestnut Hill, MA: TIMSS & PIRLS International Study Center. Hämtad 2020-12-20 http://timssandpirls.bc.edu/timss2015/international-results/wp- content/uploads/filebase/full%20pdfs/T15-International-Results-in-Mathematics-Grade-4.pdf
Naroth, C., & Luneta, K. (2015). Implementing the singapore mathematics curriculum in south africa: experiences of foundation phase teachers. African Journal of Research in Mathematics, Science and Technology Education, 19(3), 267-277.
Hämtad 2020-12-07
https://www-tandfonline-com.proxy.mau.se/doi/full/10.1080/10288457.2015.1089675
Ng, S. F., & Lee, K. (2009). The model method: Singapore children's tool for representing and solving algebraic word problems. Journal for Research in Mathematics Education, 282-313.
Hämtad 2020-12-21https://www.jstor.org/stable/40539338?seq=1
Putri, H., Suwangsih, R., Nikawanti, G., Enzelina. E., Wahyudy. M. (2020). Influence of Concrete- Pictorial- Abstarct (CPA) Approach on the Enhancement of Primary School Students Mathematics Reasoning Ability.
Hämtad 2020-12-02
https://www.researchgate.net/publication/343256733_Influence_of_Concrete-Pictorial-27
Abstract_CPA_Approach_on_the_Enhancement_of_Primary_School_Students'_Mathematica l_Reasoning_Ability
Skolinspektionen (2014). Årsrapport. Från huvudmannen till klassrummet – tät styrkedja viktig för förbättrade kunskapsresultat. Skolinspektionens erfarenheter och resultat från tillsyn och kvalitetsgranskning. Hämtad 2020-11-30 https://kvutis.se/wp-content/uploads/2015/01/huvudman-klassrum.pdf Skolverket (2019). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011: reviderad 2019. (Sjätte upplagan). Stockholm: Skolverket.
Hämtad 2020-11-24 https://www.skolverket.se/getFile?file=4206
Skolverket (2019). PISA 2018: 15-åringras kunskaper i läsförståelse, matematik och naturvetenskap. Skolverket, Stockholm.
Hämtad 2020-11-24
https://www.skolverket.se/download/18.75bdbbb116e7434ebf8595/1575624399449/pdf5% 20%C2%A0%20347.pdf
Skolverket, T. I. M. S. S. (2015). Svenska grundskoleelevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i ett internationellt perspektiv. (2016). Stockholm: Skolverket Tillgänglig på Internet:
http://www.skolverket. se/publikationer.
Hämtad 2020-11-24 https://www.skolverket.se/getFile?file=3707
SOU 2004:97. Att lyfta matematiken: - intresse, lärande, kompetens. Stockholm: Fritzes Offentliga publikationer.
Hämtad 2020-11-24
https://www.regeringen.se/49b71d/contentassets/1e03188c1e54400ab455a6245cbc17de/att-lyfta-matematiken---intresse-larande-kompetens-sou-200497
Sukow, A. L., Sampson, C. A., & Pierrie, V. (2016). Effects of Singapore mathematics on students and teachers (Doctoral dissertation, Lipscomb University).
