Examensarbete 1
Högskolenivå
Tal och taluppfattning i matematikläroböcker för de
lägre åldrarna
Författare: Petra Zinderland
Handledare: Eva Taflin Examinator: Magnus Jobs
Ämne/huvudområde: Pedagogiskt arbete Kurskod: PG2050
Poäng: 15 hp
Examinationsdatum: 2016-01-17
Vid Högskolan Dalarna finns möjlighet att publicera examensarbetet i fulltext i DiVA. Publiceringen sker open access, vilket innebär att arbetet blir fritt tillgängligt att läsa och ladda ned på nätet. Därmed ökar spridningen och synligheten av examensarbetet. Open access är på väg att bli norm för att sprida vetenskaplig information på nätet. Högskolan Dalarna rekommenderar såväl forskare som studenter att publicera sina arbeten open access.
Jag/vi medger publicering i fulltext (fritt tillgänglig på nätet, open access):
Ja ☐ Nej ☐
Abstract
Syftet med denna studie är att få kunskap om hur läroböcker inom ämnet matematik är uppbyggda gällande taluppfattning och användandet av tal samt om materialet i de aktuella läroböckerna skiljer sig beträffande taluppfattning och talsanvändning i årskurs 1-3. Läroböcker utgör en form av läromedel och finns samt används i skolan. Taluppfattning är grundläggande för elevernas förståelse och utvecklande av matematiska kunskaper och en stor del av matematiken och utgör därför ett intressant ämne att forska om. I och med användandet av läroböcker i skolan samt taluppfattningens betydelse för utvecklandet av matematiska kunskaper är det intressant att se sambandet mellan dessa två.
För att besvara frågeställningarna har en systematisk litteraturstudie genomförts, det vill säga en systematisk inventering av för frågeställningarna relevant tidigare genomförd och publicerad forskning. Resultatet av litteraturstudien visar att
läroböcker berör taluppfattning på olika sätt och arbetar med tal, taluppfattning och användning av tal i olika sammanhang. Studierna visar även att läroböckerna
prioriterar olika områden av taluppfattning medan andra områden fyller en liten eller ingen del av lärobokens innehåll. Gestaltandet ser olika ut, men bygger på samma innehåll. De berörda studierna som är sammanställda är studier från Cypern, Taiwan, Irland, USA, Kina och Grekland. Kina och Taiwan är två av de länderna som uppvisar bäst resultat inom ämnet matematik, enligt TIMSS undersökning och i denna studie synas två av Kinas läroböcker. En äldre traditionell lärobok som använts i många år samtidigt som deras nya reformerade är omarbetad för att förbättra elevernas kunskaper ytterligare. Även två läroböcker från Taiwan ingår i denna studie, TTA och TTB. Dessa två sticker ut och skiljer sig mycket från de övriga läroböckerna från blad annat Cypern och Irland. Både TTA och TTB använder ett unikt utseende gällande frågornas utformning och hur de är ställda samt består av tvillingfrågor.
Nyckelord
Innehåll
1 Inledning... 1
2 Bakgrund ... 2
2.1 Vad är taluppfattning? ... 2
2.2 Läromedel i klassrummet ... 2
2.3 Lärarens roll i matematikundervisningen ... 3
2.4 Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 ... 4
2.5 Barns utveckling av taluppfattning ... 5
2.6 Sammanfattning ... 6
3 Syfte och frågeställningar ... 7
4 Metod ... 7
4.1 Design ... 8
4.2 Databaser ... 8
4.3 Urvalskriterier ... 8
4.4 Sökstrategi ... 9
4.5 Värdering och val av sökträffar ... 9
4.6 Sökträffar ...10 4.6.1 Summon ...10 4.6.2 Eric ProQuest ...10 4.7 Valda artiklar ...11 4.7.1 Analys av artiklar ...13 4.7.2 Etiska aspekter...13 5 Resultat ...14
5.1 Jämförelse; tradition möter reform ...14
5.1.1 Talrelaterade övningar och verkliga anslutningar ...14
5.1.2 Aktiviteter och instruktioner ...14
5.1.3 Återkoppling ...14
5.1.4 Taluppfattning och dess innehåll ...15
5.1.5 Verklighet och samarbete ...15
5.1.6 Taluppfattningens egenskaper ...15
5.1.7 Operationer ...16
5.1.8 Mätinstrument och mönster ...16
5.1.9 Dataanalys ...16
5.2 Inkludering av tal, taluppfattning och användning av tal ...16
5.2.1 Kategorier av problem ...16
5.2.2 Introduktioner, instruktioner och upplägg ...17
5.2.3 Relationer till och mellan tal ...18
5.2.4 Övningar inom del och helhet ...18
5.2.5 Modeller och bildspråk ...19
5.2.6 Arbetsmetoder och konstruktioner ...19
5.2.7 Sammanfattning ...20
6.1 Metoddiskussion ...21
6.2 Resultatdiskussion ...22
6.3 Fortsatt forskning...24
1 Inledning
Läroböcker är designade så att de ska ge en pedagogisk form av ett kunskapsområde. De är speciella sorters böcker, menade att bli använda i undervisning, hållande av unika och signifikanta sociala funktioner i relation till andra texter. Läroboken är en artefakt tillverkad av en författare och har en tänkt procedur. Med denna procedur menas att tanken bakom skapandet av läroboken var att den ska innefattar ett väl genomarbetat pedagogiskt innehåll av ett skol ämne (Johansson, 2006, s. 6). Undervisningen i matematik kan se ut på olika sätt, en vanlig form är den läroboksstyrda undervisningen (Skolinspektionens, 2009, s. 8). Eleverna erbjuds undervisning i begränsade delar av matematiken, vilket kan göra att de inte får förutsättningar att utveckla till exempel procedurförmåga (ibid, s. 8). I Sverige har läroböckerna och användandet av dessa inom undervisningen varit ett orosmoment för regeringen under en lång tid. En skolkommitté från 1946 argumenterade att undervisning hängde på läroboken i en allt för hög grad, de menade att tilltron på läroböckerna var ett hinder för att utvecklandet av en demokratisk skola (Johansson, 2006, s. 7). Tidningsartiklarna är många gällande matematiken i den svenska skolan. Expressen skriver bland annat:
Minns du mattelektionerna där du satt och räknade i boken på egen hand? Så ser det fortfarande ut i nio av tio svenska skolor. Men den enskilda räkningen anses numera skadlig och svenska elevers resultat i matematiktester dalar (Sörbring, 2011).
Matematik är ett av huvudämnena i PISA 1
:s undersökning från 2012, vilket möjliggjort jämförelser av matematikens utveckling i skolan sedan 2003 (Skolverket, 2014). PISA:s resultat visar att Sverige har något bättre resultat än de övriga OECD-länderna 2003, resultaten sjönk dock och 2006 var Sverige medelmåttiga inom matematik (Rangborg, 2013). Enligt TIMSS2
undersökning låg Sverige under genomsnittet för elever inom EU/OECD-länderna. Singapore Sydkorea, Hongkong (Kina), Taiwan och Japan var de länderna som uppvisade bäst resultat enligt TIMSS undersökning (Skolverket, 2011c, s. 30).
En god taluppfattning är grunden till matematikförståelse som eleven skall bygga sina kunskaper på. Utan en god grund i taluppfattning uppstår svårigheter för den undervisning som lärare vill åstadkomma i skolan (Johansson, 2009, s. 2).
Därför blir det intressant att titta på hur lärobokenboken inom ämnet matematik inkluderar taluppfattning samt användning av tal. De traditionella läroböckerna har funnits under längre tid medan de reformbaserade/reformerade läroböckerna är nyare. Själva ordet reformering betyder förbättring (Synonymer, 2016). Detta innebär att de reformerade/reformbaserade läroböckerna ska vara nyare och förbättrade varianter av de traditionella läroböckerna inom ämnet matematik. Det skapar intresse att undersöka om det finns skillnader och/eller likheter mellan de traditionella
läroböckerna och de reformerade/reformbaserade läroböckerna för årskurs 1-3, inom ämnet matematik som innefattar arbete med taluppfattning och användande av tal.
1 PISA = Programme for International Student Assessment och är ett OECD-projekt (Skolverket,
2015a).
2 Bakgrund
2.1 Vad är taluppfattning?
En person som innehar övergripande förståelse för tal och deras operationer
tillsammans med förmåga, färdigheter och lust att använda sin förståelse på olika sätt som underlag för att utveckla användbara och effektiva strategier för att använda tal och dess operationer innehar en god taluppfattning (Reys, m.fl., 1995, s. 23). Förväntan att tal är meningsfulla helheter och att hanteringen av tal och resultat har betydelse och mening är det som god taluppfattning bygger på. En person som innehar god taluppfattning använder sig i sin tur av ett varierat och flitigt kontrollerat samt jämfört arbete för att på så sätt prova olika rimligheter i numeriska resultat (ibid, s. 23). Aspekterna som berörs involverar relationer inom och mellan tal och kan gälla såväl vedertagna som personliga referenspunkter (ibid, s. 24).
2.2 Läromedel i klassrummet
”I läromedelsbegreppet ryms idag även texter eller andra former av representationer i radio, TV,
film, tidning, teater, serier, spel/digitala spel och datorer” (Skolverket, 2015c).
Läromedel är elevernas verktyg in i lärande och allt material som läraren nyttjar i sin undervisning i skolan. Läromedel är resurser för eleverna och innefattar i synnerhet läroböcker, läseböcker, övningsböcker och ordböcker (NE, 2015). Vid undervisning används en bok som meddelar elementära kunskaper i ett visst ämne. Lärobok för den högre och lägre undervisningen i historia och matematik m.m. (Svenska Akademins Ordbok, 2016). Kort sagt är lärobok en bok som används i undervisningen (Lexin, 2016).
Läroboken har en disciplinerande roll i skolan, förutom att hjälpa till att förhindra kaos i klassrummet och hålla eleverna sysselsatta, disciplineras även eleverna att arbeta, läsa läxor, inse vad skolarbeten är samt vad vägen till skolkunskap innebär (Englund, 1999, s. 340). I skolförordningen från 1971 beskrevs läromedel; ”alla de
resurser som kan användas i en undervisningssituation” (Skolverket, 2015c). SIL3
använde sig sedan av begreppet basläromedel, något som innefattade läroböcker som kursböcker, textböcker och bibeln, talböcker och arbetsinstruktioner (Skolverket, 2015c). Enligt Selander är lärobokens huvudsakliga uppgift att vara en hjälp att organisera
undervisningen och hålla alla elever sysselsatta samt att alla arbetar i samma takt. Selander menar även att läroböcker förmedlar metakunskap, en form av kunskap som räknas som kunskap i skolans värld. Lärobokstexten ses inte bara som en källa till kunskap, utan också en norm för kunskap (Englund, 1999, s. 338). Läroboken har en kunskapsgaranterande, auktoriserande roll. Lärare ser läroboken som en garanti för att kursplanens mål uppfylls. Använder man en lärobok ges de kunskaper och uppfylls de mål som erfordras (ibid, s. 339). Läroboken har inte bara en tydlig roll i arbetet i skolan utan accepterar även läraren i dennes bedömning och utvärdering av eleverna och deras kunskaper. Elevernas kunskapsutveckling kan på så vis
kontrolleras, utvärderas och betygsättas (ibid, s. 339).
2.3 Lärarens roll i matematikundervisningen
Teorier och kunskap om lärande kan peka ut vägar och ge läraren verktyg för att förebygga svårigheter och bistå elever som är i behov av särskilt stöd. Två
kunskapsområden som har stor betydelse för elevernas förståelse av matematik och som är sammanvävda med all matematisk verksamhet är taluppfattning och
problemlösning (Johansson, 2009, s. 15).
Undervisningen idag skiljer sig inte mycket ifrån undervisningen under 1970-talet, enda skillnaden är att lärare sällan gör någon genomgång numera, utan enbart går runt i klassen och hjälper eleverna som, enskilt eller i grupp, arbetar utgående från en lärobok (Löwing, 2004, s. 24). För de lärare som är starkt läromedelsberoende blir läromedlet en fast ram som för elevernas del byts ut en gång per år. För andra lärare, som även använder egna idéer i sin undervisning och inte endast lutar sig mot läromedlet, blir läromedlet en rörlig ram som modifieras efter behov (ibid, s. 88). Läraren har både fasta och rörliga ramar att hålla sig till i sin undervisning. De fasta ramarna utgörs av fasta tider, i speciella lokaler, med speciella aktörer och i huvudsak med ett på förhand bestämt innehåll. Till de fasta ramarna räknas lärarens
professionella kunnande och elevernas aktuella förkunskaper. Dessa ramar är möjliga att förändra på längre sikt, men är givna inför varje enskild lektion (ibid, s. 70). De rörliga ramarna utgörs av arbetsformer, arbetssätt och undervisningsmaterial. Med arbetsformer menas hur undervisningen organiseras och med arbetssätt den metodik som läraren väljer att använda (ibid, s. 80). Läraren måste vara noga med att skilja på innehåll och arbetssätt, det är en utmaning att lära eleverna något de anser vara svårförståeligt. Läraren behöver använda sig av matematiskt legitima förklaringar och kunnande om hur elever kan tänkas förstå dessa (Emanuelsson, 2001, s. 4). ”Piagets
teori om lärande handlar om att ta hänsyn till vad eleverna redan vet och vad de bör lära sig”
(Johansson, 2009, s. 16). Detta kan liknas vid en processförståelse där det är en ständig samverkan mellan ackommodation4
och assimilation5
(ibid, s. 16).
Naturligtvis är de böcker som används i klassrummet viktiga och vi vill givetvis att våra barn ska arbeta med högkvalitativa material som lär ut matematik på ett bra sätt, men undersökning efter undersökning har visat att den viktigaste faktorn för skolans resultat inte är kursplanen eller läroböckerna utan läraren (Boaler, 2011, s. 36ff). Skickliga lärare kan fånga elevernas intresse och göra tråkiga läroböcker spännande, dock blir inte okunniga lärare skickliga lärare med hjälp av en välskriven lärobok (ibid, s. 37). Lärare som föreläser och låter eleverna arbeta individuellt beskrivs som
traditionella, men i och med att lärarna ställer frågor till eleverna, engagerar dem i matematiska frågeställningar och ger dem möjligheter att lösa problem genomför lärarna en bra traditionell undervisning (ibid, s. 43). Diskussionen sker mellan läraren och en eller flera elever eller mellan elever. Ibland sker diskussionen indirekt, till exempel genom att eleverna skriver ner svar på sina lösningar i ett räknehäfte
(Löwing, 2004, s. 68). Eleverna hyser en önskan om att få möjlighet att diskutera sina egna strategier i och med lösandet av arbetsuppgifter samt ta del av andras tankar och lösningar. Läraren måste höra eleverna diskutera för att denna ska kunna gör en bedömning om elevernas förklaring uppvisar en god taluppfattning eller om det bara är en reproduktion av lösningsstrategierna som förankrats hos eleven. Öppna diskussioner kring olika matematiska problem är lämpligt såväl för elever som lärare.
4 Ackommodation = anpassning till omgivningen 5 Assimilation = omgivningens anpassning till individen
En form av traditionell undervisning, som är mycket vanlig i USA, är en ritual som består av att läraren står framför klassen och visar hur man räknar i 20-30 minuter, medan eleverna skriver av i sina böcker. Därefter arbetar eleverna självständigt med liknande tal för att öva sig på de introducerade metoderna (Boaler, 2011, s. 43). Detta leder till ett mekaniskt räknande vilket innebär att eleverna inte får använda sig av det egna tänkandet (ibid, s. 43). Elever behöver ofta prata igenom metoderna de
presenterats, för att veta om de verkligen förstår dem. Metoden kan verka logisk men blir först greppbar när eleverna fått förklara den för någon annan (ibid, s. 48). När en lärare strävar efter att förstå det som barnen säger och gör i klassrummet är det rimligt att tänka sig att lärare ser olika saker beroende på deras kunnande om elever, pedagogik, metodik, innehåll, elevers kunnande i allmänhet och elevers kunnande om det aktuella innehållet (Emanuelsson, 2001, 3). Boaler beskriver en skola i Kalifornien, Railside High School, där man ändrat arbetssätt för att uppnå framgång. Tidigare användes traditionella metoder på Railside men 1999 hade lärarna gått ifrån dessa metoder. Detta på grund av elevernas dåliga resultat och bristande intresse i ämnet matematik. Eleverna på skolan lärde sig samma metoder, men den lokala kursplanen var organiserad runt större matematiska idéer som förenades i olika teman (Boaler, 2011, s. 58).
2.4 Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011
Enligt Lgr 11 ska undervisningen i matematik syfta till att eleverna utvecklar kunskaper om matematik och matematikens användning i vardagen och inom olika ämnesområden. Undervisningen ska även bidra till att eleverna utvecklar intresse för matematik och tilltro till sin egen förmåga att använda matematik i olika sammanhang (Skolverket, 2011a, s. 62).
Matematikens centrala innehåll är uppdelat i sex delar, taluppfattning och tals användning, algebra, geometri, sannolikhet och statistik, samband samt förändring och problemlösning. Varje del av det centrala innehållet är sedan uppdelad i de delar som elever i årskurs 1-3, 4-6 och 7-9 ska arbeta med. I denna studie ligger fokus på elever i årskurs 1-3 och deras utveckling inom taluppfattning och tals användning. Delarna från det centrala innehållet, årskurs 1-3, i Lgr 11, under taluppfattning och tals användning presenteras nedan:
• Naturliga tal och deras egenskaper samt hur talen kan delas upp och hur de kan användas för att ange antal och ordning
• Hur positionssystemet kan användas för att beskriva naturliga tal. Symboler för tal och symbolernas utveckling i några olika kulturer genom historien • Del av helhet och del av antal. Hur delarna kan benämnas och uttryckas
som enkla bråk samt hur enkla bråk förhåller sig till naturliga tal • Naturliga tal och enkla tal i bråkform och deras användning i vardagliga
situationer
• De fyra räknesättens egenskaper och samband samt användning i olika situationer
• Centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning och vid beräkningar med skriftliga metoder och
miniräknare. Metodernas användning i olika situationer (Skolverket, 2011a, s. 63).
2.5 Barns utveckling av taluppfattning
Emanuelsson hävdar att olika människor kan se olika saker, trots att de alla bevittnar samma sak. Vad vi ser beror på vårt kunnande (2001, s. 3). Matematiskt tänkande utvecklas under lång tid och består av många olika komponenter av olika färdigheter och förmågor som knyter an till varandra för att skapa en helhet (Skolverket, 2011b). Människor föds med en förmåga att kunna uppfatta skillnader mellan 1, 2, 3 och 4 enheter, denna process kallas för subitisering och utgör grunden för att människor ska kunna uppfatta likheter och skillnader mellan antal (McIntosh, 2008, s. 15). Barnet har en antalsuppfattning innan det kan räkna, men denna antalsuppfattning är vanligen av primitiv karaktär. Vid två till två och halvt års ålder börjar barnet använda det
matematiska språket då denne börjar nyttja ordet ”mera”(Häggblom, 2000, s. 46). Vid tre års ålder kan barnet urskilja skillnader mellan grupper. Barnets språk är dock inte tillräckligt utvecklat för att beskriva denna jämförelse på ett korrekt sätt, utan ger beskrivningen ”mera och mindre” (ibid, 2000, s. 46). Addition och subtraktion innefattar att lägga till (mera) och dra ifrån (mindre). Många barn kan redan vid tre års ålder utföra additioner och subtraktioner med hjälp av konkreta föremål (ibid, s. 52). Barnets förmåga att lösa additionsproblem och subtraktionsproblem är dels beroende av ålder, dels av uppgiftens komplexitet. Det konkreta materialet är ett stöd för barnet men ingen garanti för ett lyckat resultat (ibid, s. 52). Genom människors erfarenheter utvecklas deras känsla för antal och förmåga till att genomföra mera noggranna jämförelser (McIntosh, 2008, s. 15). Att räkna antal innebär att kunna räkna ett antal komponenter, vilket i sin tur innebär att notera objekten i en bestämd ordning samt ge varje objekt ett räkneord. Räkneorden ska användas i rätt ordning och barnet ska förstå att det sista objektets räkneord symboliserar totalen av antalet objekt
(Häggblom, 2000, 47).
För att kunna göra en uppräkning av föremål samt beräkningar behöver man kunna talens namn och ordning. En uppräkning består av en parbildning mellan föremål och räkneord (Andersson, Söderén, 2009, s. 11)
Antalskonservation är ett matematiskt begrepp som innebär att barnet vet att den konstaterade mängden föremål inte förändras om föremålen flyttas eller räknas om samt att föremålens mängd inte är beroende av föremålens storlek eller avståndet mellan föremålen (McIntosh, 2008, s. 15). Antalskonstans utvecklas successivt och i etapper (Malmer, 2002, s. 111). När barnet börjar räkna rytmiskt och pekar på ett föremål i taget, kan det vara ett tecken på att barnet förstått att det sista räkneordet talar om föremålens antal (McIntosh, 2008, s. 18). Det behöver dock inte betyda att barnet länkar antalet föremål med sista siffran i dess räknande (ibid, s. 19). Barnen uppfattar räkneorden som både namn på varje enskilt föremål samt uttryck för hur många föremålen är (Häggblom, 2000, s. 46). Om barnet har utvecklat sina
matematiska kunskaper så pass att det uppnått det konkret-operationella stadiet, kan barnet logiskt inse att antalet föremål är oförändrat men att föremålen spritts ut över ett större område (ibid, s. 48).
Räkneramsan är en av barnets första aritmetiska aktiviteter, med hjälp av ramsan bestäms sekvens och struktur och den skapar minnesbilder av mönster (McIntosh, 2008, s. 15). Barn som är 2-3 år gamla lär sig ofta räkneramsan, utan att dra någon koppling till hur många det är. Detta beror på att barnet inte ser antal som en egenskap och har lättare för att urskilja färg än antal och har därför lättare för att hämta röda klossar än tre klossar (ibid, s. 18). Små barns räkneförmåga innefattas av en förmåga att ramsräkna samt en förmåga att använda räkneprocessen för att ange
antalet i en samling av objekt (Häggblom, 2000, s. 46). Barnet behöver även bekanta sig med talens grannar inom taluppfattning, talet 4 har talen 3 och 5 som grannar och barnet ska vara medveten om att 3 är mindre än 4 och att 5 är mer än 4 (Malmer, 2002, s. 111). Barnet förvärvas inte förmågan att räkna spontant utan utvecklar denna förmåga i och med samspel med vuxna, denna följer heller inte åldersmönster utan utvecklas succesivt (Häggblom, 2000, s. 47). Barns kunskaper om decimalstrukturer utvecklas också olika snabbt för olika barn, decimalstrukturer innehåller principer för vårt tiosystem (ibid, s. 47).
Barn observerar siffror och bokstäver på ett nyfiket sätt och till en början har inte barnen några begrepp om siffrornas innehåll (Malmer, 2002, 113). På samma sätt som en skriven text måste läsas och förstås måste även barnen lära sig att se, samt läsa talen som 32 och förstå vad det betyder (Johansson, 2009, s. 9). Enkelt beskrivet har räkneorden dubbla betydelser för barnen, räkneorden står för både namn och omfång (Häggblom, 2000, s. 47). Kardinalitetsaspekten leder till en del av talförståelse medan ordningsaspekten leder till en annan (ibid, 47ff). Att lära sig kardinalitetsaspekten innebär att barnet har kunskap om att talramsan innehåller en rad räkneord och har förmågan att koordinera räkneord och föremål (Häggblom, 2000, s. 48). Sortering och klassificering av föremål är en viktig del för barnet, dessa begrepp handlar om att barnet ska kunna identifiera skillnader och likheter mellan tings egenskaper och tal (McIntosh, 2008, s. 20). I och med klassificering måste barnet jämföra föremål och observera likheter och skillnader mellan dessa (Malmer, 2002, 109). Räkneorden kopplas samman med antal och även dessa kan sorteras och ordnas efter storlek (McIntosh, 2008, s. 20). Denna process kallas för ordinalitetsaspekten (Häggblom, 2000, s. 48). Enligt Piaget är logiskt tänkande en nödvändig egenskap för att kunna förstå tal (ibid, s. 48).
I och med aktiviteter i rummet lär sig barnen matematik bara genom att röra sig i rummet. Barnen måste i och med aktiviteterna lära sig att bedöma avstånd, omfång och hastighet. Det lilla barnet som tar hjälp av stolen att resa sig gör en viktig erfarenhet och gör att barnet relaterar sig till omvärlden. Omvärlden måste utforskas utifrån barnets egen kropp, sedan kan symbolspråk börja användas (Skolverket, 2011b). ”Grundläggande matematik är mer en idé att förstå än konkreta övningar att göra och den
kan nås på många sätt” (ibid). Matematiska studier kring barns lärande bör göras efter
en längre tid. Intensivinlärning uppvisar inget resultat gällande elevernas utveckling av matematik efter en månad, utan först efter sex månader (ibid).
2.6 Sammanfattning
Med taluppfattning menas förståelse för tal och operationer och innefattar förmåga, färdigheter och lust att använda förståelsen på olika sätt som grund för beslut samt utvecklande av effektiva strategier (Reys, m.fl., 1995, s. 23). Läromedel är resurser för eleverna och innefattar i synnerhet läroböcker, läseböcker, övningsböcker och ordböcker (NE, 2015). Utöver läromedlen i klassrummet utgör även läraren en stor del i elevers lärande och utvecklande av taluppfattning. Läraren måste vara noga med att skilja på innehåll och arbetssätt, samt använda sig av matematiskt legitima
förklaringar och kunnande om hur elever kan tänkas förstå dessa (Emanuelsson, 2001, s. 4). Skickliga lärare kan fånga elevernas intresse och göra tråkiga läroböcker spännande, dock blir inte okunniga lärare skickliga lärare med hjälp av en välskriven matematikbok (Boaler, 2011, s. 37). Lärare väljer själva om de vill använda sig av läromedel som en fast ram eller som en rörlig ram i sin undervisning (Löwing, s. 70ff).
I Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 finns föreskrifter gällande alla ämnen samlade (Skolverket, 2011a, s. 20ff). Matematiken består av många delar, taluppfattning och tals användning är en av dessa och inom taluppfattning och tals användning finns det ytterligare sex underkategorier (ibid, s. 63). Barns kunskaper ser olika ut och i och med det kommer barnen att se på
matematiken och de matematiska övningarna på olika sätt (Emanuelsson, 2001, s. 3). Matematik är som ett enormt pussel, det består av flera olika delar och det tar tid för alla delarna att falla på plats (Skolverket, 2011b). Människan föds med förmågan att kunna identifiera skillnaden mellan enheter (McIntosh, 2008, s. 15) och mera är ett av de första matematiska begreppen som barnet börjar nyttja runt två års ålder
(Häggblom, 2000, s. 46). Mera är en form av nyttande av addition, då man lägger till när man vill ha mera och på så vis adderar (ibid, s. 52). Antalskonservation är ett matematiskt begrepp som innebär att barnet vet att den konstaterade mängden föremål inte förändras om föremålen flyttas eller räknas om samt att föremålens mängd inte är beroende av föremålens storlek eller avståndet mellan föremålen (McIntosh, 2008, s. 15). Kardinalitetsaspekten är också ett begrepp och innebär att barnet har kunskap om att talramsan innehåller en rad räkneord och har förmågan att koordinera räkneord och föremål (Häggblom, 2000, s. 48) Barnet utvecklas mycket i och med samspelet med vuxna och följer inte något åldersmönster (Häggblom, 2000, s. 47). Utöver de vuxna i barnens närhet utvecklas även barnens matematiska
kunskaper med hjälp av det rummet de befinner sig i samt föremålen i rummet (Skolverket, 2011b).
3 Syfte och frågeställningar
Syftet med denna studie har varit att få kunskap om vilket innehåll som inkluderas inom taluppfattning och användning av tal i läroboken för årskurs 1-3, samt om innehållet har förändrats i och med att forskningen gått framåt. Då taluppfattning och användande av tal är avgörande för ett barns lärande i matematik är det av intresse att få en uppfattning om hur läroböcker närmar sig denna del av matematiken.
För att besvara studiens syfte har följande frågeställningar använts:
• Vilka delar av taluppfattning och användning av tal återfinns i läroböckerna för årskurs 1-3?
• Skiljer sig innehållet gällande taluppfattning och användning av tal mellan olika läroböcker för årskurs 1-3?
4 Metod
I följande kapitel beskrivs designen för arbetet. Sökprocessen innefattar databaser, sökord, sökstrategier och urvalskriterier samt de utvalda artiklarna. Databaserna som används i detta arbete presenteras och beskrivs under databaser. Sökorden som är väl utvalda presenteras såväl på svenska som på engelska. Urvalskriterierna beskriver hur val av material och analysen av materialet har genomförts. Sökstrategi innefattar tabeller över sökningarna som genomförts utifrån de valda sökorden. I tabellerna beskrivs även urvalet av material i korthet.
4.1 Design
Designen på detta arbete är en systematisk litteraturstudie. Frågeställningarna besvaras i sin tur med hjälp av materialet i och med att frågor ställs till litteraturen. Det valda materialet är eftersökt med hjälp av sökord som därefter analyserats. För att kunna genomföra en systematisk litteraturstudie ska det finnas tillräckligt antal studier av god kvalitet som i sin tur kan utgöra underlag för bedömningar och slutsatser (Eriksson Barajas, m.fl., 2013, s. 26ff).
4.2 Databaser
Databaser som har nyttjats i denna litteraturstudie är Summon och Eric ProQuest. Eric står för Educational Resources Information Center. Anledningen till att dessa databaser valts ut är att de är två av databaserna via Högskolan Dalarnas Bibliotek som tillhandahåller pedagogiskt material inom ämnet matematik. Summon är en söktjänst som tillhandahåller Högskolan Dalarnas Biblioteks tryckta och elektroniska material. Eric ProQuest är en databas som är sponsrad av U.S. Department of Education för att ge en omfattande tillgång till utbildningsrelaterad litteratur. Eric ProQuest ger täckning av tidskriftsartiklar, konferenser, möten, statliga dokument, avhandlingar, rapporter, audiovisuella medier, bibliografier, kataloger, böcker och monografier.
4.3 Urvalskriterier
Urvalet som valts att göra är att alla valda artiklar är peer review6
. Materialet har eftersökts med hjälp av sökorden. Därefter har materialet granskats genom manuell läsning av titel och abstract. Databassökningarna som varit relevanta och motsvarat syfte och frågeställningar han använts i denna systematiska litteraturstudie. På grund av att läroboken är en traditionell och välkänd arbetsbok i det matematiska
klassrummet avgränsades träffarna till årtalen 2010, 2012, 2014 och 2015, beroende på antalet träffar. Detta för att nyttja det nyaste materialet som innefattade barn utvecklande av taluppfattning utifrån arbete i läroboken. Årtalen valdes därför ut utifrån en 5 års period (2010) och ökade sedan med två år för att minska ner mer radikalt än vad en ökning med ett år hade gjort, 2015 har endast används i enstaka fall med stora sökträffar. Texter som inte funnits tillgängliga som full text har inte tagits med i arbetet. Detta på grund av att de varit omöjliga att få tag på, trots hjälp från Högskolan Dalarnas Bibliotek samt ämnesansvariga kurslärare på Högskolan Dalarna. Även andra databaser har används samt andra Högskolors bibliotek i sökandet. Artiklarna skulle även vara på svenska eller engelska för att vara möjliga att analysera, studier skrivna på andra språk exkluderades. De artiklar som framkom vid sökningar i sökmotorerna skulle, för att vara intressanta, stämma överens med dessa
urvalskriterier vid läsandet av titel, abstract och sedan full text. Artiklarna skulle förutom att ha hittats med hjälp av sökorden nedan på något sätt beröra lärande och utveckling.
6 Peer review = sakkunnig granskning, innebär att bedömningen görs av forskare som är kunniga inom
4.4 Sökstrategi
Utifrån syfte och frågeställningar har sökord formulerats för att användas i
sökprocessen. Inledningsvis har ett sökord används, för att i nästa skede kombinerats med ett annat. Ytterligare sökord har sedan adderats för att minska ner antalet träffar. Avgränsningar har även skett i form av att endast vetenskapliga artiklar och
avhandlingar som är peer review har eftersökts i de olika databaserna. Material har eftersökts på svenska och engelska. De svenska orden har översatts till engelska, vilket innebär att sökorden är detsamma på de båda språken.
Svenska sökord: taluppfattning, matematikbok, lärobok, lågstadiet, matematik. Engelska sökord: number sense, math book, textbook, primary school, mathematics.
Litteratursökningen är gjord i ovanstående två databaser och inleddes i Summon. Summon tillhandahåller både svenska och engelska artiklar vilket innebär att såväl de svenska som de engelska sökorden har använts. Detta till grund för de magra resultaten när de svenska sökorden användes. Efter Summon användes Eric ProQuest. Eric ProQuest är en databas som endast tillhandahåller material på
engelska, därför har endast de engelska sökorden nyttjats i sökningen i denna databas. För att lätt kunna överblicka vilka titlar som är återkommande har de använda titlarna vid varje sökning markerats, något som är en möjlighet i Eric ProQuest.
4.5 Värdering och val av sökträffar
Tabellen under ”Sökträffar” innehåller uppgifter som bör ingå i beskrivningen av en litteraturstudie (Eriksson Barajas, m.fl., 2013, s. 82). Det första urvalet gjordes i och med att titeln lästes igenom, artiklar som inte innehöll något av sökorden valdes bort. Om artikeln inkluderade något eller några av sökorden lästes abstract igenom. Under abstract sammanfattas artikeln i korthet. Efter att abstract lästs igenom valdes artiklarna ut som visade intresse för syfte och frågeställningar samt motsvarade det utvalda åldersspannet. De valda artiklarna lästes igenom i full text. Efter att full text lästs igenom gjordes en ny bedömning om den innehöll relevant information som svarade mot syfte och frågeställning samt åldersspannet. I denna bedömning valdes artiklar bort som visade sig motsvara annat ämnesområde än taluppfattning i samband
med lärobok, men även de artiklar som motsvarade årskurs 4-6 samt äldre. Vid några av
sökningarna återkom vissa artiklar som redan uppkommit i tidigare sökningar, de valdes därför bort direkt. Tabellen nedan uppvisar en del av det totala sökresultatet, detta på grund av att sökprocessen var lång och innefattade en stor mängd sökningar som började stort för att sedan smalnas av med kombination av sökord samt årtalen som artiklarna är skrivna. I och med detta har nedanstående tabeller sammanställts och 12 artiklar valdes ut att läsas i full text, läsningen avslutades med att fyra artiklar valdes ut att innefattas i denna systematiska litteraturstudie.
4.6 Sökträffar 4.6.1 Summon
Sökord Total Titel Abstract Full text Urval Värdering
Taluppfattning 3 0 0 0 Peer review Motsvarade inte ämnesområdet Matematik +
lärobok
0 0 0 0 Peer review Motsvarade inte ämnesområdet Number sense + math book + primary school 139 0 0 0 Peer review Från 2015 Motsvarade inte ämnesområdet Mathematics + math book + primary school 132 0 0 0 Peer review Från 2015 Motsvarade inte ämnesområdet Mathematics + textbook + primary school 154 0 0 0 Peer review Från 2015 Motsvarade inte ämnesområdet 4.6.2 Eric ProQuest
Sökord Total Titel Abstract Full text Urval Värdering
Number sense and textbook
19 2 2 2 Peer review Motsvarade inte ämnesområdet Motsvarar inte åldersspannet 2 Motsvarade ämnesområdet 2 Motsvarade åldersspannet Mathematics and math book
130 2 2 0 Peer review Motsvarade inte ämnesområdet Mathematics and textbook 305 7 3 1 Peer review Från 2010 Motsvarade inte ämnesområdet 1 Motsvarade ämnesområdet 1 Motsvarade åldersspannet Mathematics and textbook and primary school
59 5 5 1 Peer review Titel återkom Motsvarade inte ämnesområdet Inte tillgänglig i full text 1 Motsvarade ämnesområdet 1 Motsvarade åldersspannet
4.7 Valda artiklar
Utifrån sökstrategin samt urvalskriterierna för titel och abstract föll fyra artiklar ut. Under sökningens gång föll tre artiklar bort på grund av att de inte gick att tillgå i full text via databasen Eric ProQuest eller annan tillgänglig databas. Ytterligare tre artiklar föll bort på grund av att de endast innefattade kortare informationstexter. Den första texten innefattar en kort guide i hur matematikboken kan nyttjas. Den andra texten innefattar en kortare text som förklarar att arbete i mattematikboken inte bör vara en gåta och den tredje texten innefattar en beskrivande text i hur texterna i
matematikböckerna är uppbyggda. Relevanta delar av artiklarna plockades ut och en överskådlig sammanfattning av varje artikel gjordes på svenska. I artiklarna ges många konkreta exempel som svarar mot vad- och hur- frågorna och dessa ges stor plats i resultatet. De fyra utvalda artiklarna till denna systematiska litteraturstudie redovisas nedan:
A Comparative Analysis of Number Sense Instruction in Reform-Based and Traditional Mathematics Textbooks
Sood, S., Jitendra, A.K. (2007)
Utvärdering av tre traditionella läroböcker samt en reformbaserad lärobok i USA, för årskurs ett. Läroböckerna kommer från fyra olika bokförlag. Barn som går i årskurs ett i USA är 6-7 år gamla. Vikten av en stark matematisk grund för senare
skolframgång var anledningen till att forskningen genomfördes i klass ett.
Datainsamlingen bestod av alla lektioner som genomfördes inom taluppfattning i de fyra olika läroböckerna. Antalet lektioner i de traditionella läroböckerna varierade mellan 6 till 11, med ett medelvärde på 8,67 och en total på 8 lektioner i den reformbaserade läroboken. Även lärarmanualerna till de fyra läroböckerna har granskas, gällande målen inom taluppfattning. Varje lektion, artikel och exempel som framkom i samband med taluppfattning utvärderades för att kunna avgöras i vilken utsträckning som de anslutit sig till principerna för effektiv undervisning.
A Comparative Analysis of the Addition and Subtraction of Fractions in Textbooks from Three Countries
Charalambous, C.Y., Delaney, S., Hsu, H-Y., Mesa, V. (2010)
I studien granskas fem läroböcker, CT från Cypern, ITA och ITB från Irland och TTA samt TTB från Taiwan. Alla läroböcker riktar sig till fjärde klass elever. På Cypern och i Taiwan börjar eleverna grundskolan vid 6 års ålder, vilket innebär att eleverna i fjärde klass är 9 år gamla. På Irland får eleverna börja i första klass redan vid 4 års ålder (obligatoriskt från 6 år), detta innebär att eleverna från Irland är mellan 7-9 år gamla. Forskarna menar att det finns saker att lära genom att analysera
läroböcker, de hävdar även att analys av läroböcker kan förklara skillnader i elevernas prestationer i internationellt jämförbara studier. Fokus i studien ligger på en
jämförelse av behandling av addition och subtraktion av bråk i läroböcker från de tre ovanstående länderna. Ramen till studien har utvecklats i tre steg. Studien har huvudfokus på två punkter:
• Lärobokens funktioner utifrån sidstorlek, antal sidor, ämnen och ämnessekvenser
Utifrån studiens huvudfokus har kategorier över olika delar gällande läroboken formulerats. Eftersom att avsikten med studien var att undersöka likheter och skillnader i behandlingen av addition och subtraktion av bråk mellan länderna, valdes en mängd olika kategorier, underkategorier och kriterier ut för att illustrera olika aspekter av potentialen i läroböckerna för att stödja elevernas lärande.
Addition and Subtraction Word Problems in Greek Grade A and Grade B Mathematics Textbooks: Distribution and Children's Understanding Despina, D., Harikleia, L. (2014)
En studie genomförd i Grekland gällande läroböcker och dess innehåll. Två klasser ingår i studien, klass A och klass B. Läroböckerna i klass A består av totalt två elev böcker och fyra arbetsböcker, medan läroböckerna i klass B består av en elev bok och fyra arbetsböcker. Alla problem som kan lösas med hjälp av addition och/eller subtraktion av naturliga tal ingick i studien. Problem som har inblandade aritmetiska uttryck som "6 + 2 =?" och som kräver vissa förfaranden och inte har medföljande innehåll har uteslutits från studien. Elva additions världsproblem presenterades för deltagarna, allt anpassat från elva av van de Walle:s typer av problem och utarbetades av forskarna, med ett representerat problem för varje typ. Alla problem översattes till grekiska och nödvändiga förändringar på namn och föremål inträffade med särskild uppmärksamhet i anpassningen av problem i små barns vardag och till deras vanor. Låga tal användes, summan översteg inte 15, detta för att minimera barns svårighet med de aritmetiska beräkningarna. Det totala deltagarantalet till studien var 80 elever, varav 40 elever per klass. I klass A var medelåldern 6,4 år och i klass B var
medelåldern 7,5 år. Eleverna var slumpmässigt utvalda från olika statliga skolor i staden Thessaloniki i Grekland. Forskningen genomfördes i mitten av skolåret och undervisningen fokuserade inte på olika typerna av addition och subtraktion ord problem.
Curriculum Opportunities for Number Sense Development: A Comparison of First-Grade Textbooks in China and the United States
Cheng, Q., Wang, J. (2012)
I denna studie valdes fyra läroböcker ut att följas, två kinesiska och två amerikanska. Läroböckerna är för första klass, vilket innebär en ålder på 6-7 år i USA och 6 år i Kina. Böckerna till studien är noga utvalda och av de kinesiska läroböckerna är den ena en traditionell variant som använts i många år i Kina medan den andra är en ny version baserad på idéer om matematikdidaktikens reform i Kina. Även de två amerikanska läroböckerna består av en traditionell lärobok som nyttjats under lång tid i de amerikanska skolorna. Den andra är en ny version, utformat genom att följa de idéer som är eniga med matematikutbildningsreformen i USA. Anledningen till att just dessa böcker valdes ut beror på att uppfattningen att läroböcker måste ha ett genomgående inverkan på elevernas lärande i landet och visa riktning mot vilken matematikundervisning varje land genomför. För att välja data från varje vald lärobok för denna analys, lästes varje lärobok noggrant igenom, gällande det som är relevanta för taluppfattning genom att följa det teoretiska ramverket.
4.7.1 Analys av artiklar
En analys utförs på väl avgränsade, avslutade textavsnitt som är tryckta textdokument i materiell eller elektronisk form. Valet av text beror på undersökningens
frågeställning och vad som efterfrågas med analysen (Fejes, Thornberg, 2015, s. 180). I denna litteraturstudie eftersöktes material om hur läroböckerna knyter an till och berör tal, taluppfattning och tals användning samt om läroböckernas arbete med tal, taluppfattning och användande av tal ser olika ut. Materialet har bedömts utifrån hur de bemöts som relevanta utifrån litteraturstudiens syfte och frågeställningar. Artiklar som bedömts som intressanta för denna litteraturstudie analyserades med en enkel innehållsanalys. Först lästes full texten igenom med stor noggrannhet, därefter genomfördes den nödvändiga översättningar. På grund av att alla fyra valda artiklar är skrivna på engelska är översättningen nödvändig för att denna systematiska
litteraturstudie ska kunna sammanställas då denna skrivs på svenska. Mycket noggrannhet lades på korrekt översättning av det matematiska språket. När
översättningen var genomförd lästes artiklarna igenom ännu en gång. I och med den andra genomläsningen var uppmärksamheten riktad på studiens syfte och
frågeställningar, samt besvarandet av dessa. Alla av de fyra valda artiklarna bygger på studier. Tre av studierna jämför olika läroböckers innehåll samt skillnader mellan de olika läroböckernas innehåll och den fjärde jämför två olika klassers arbete med addition och subtraktion av världsproblem. Studien har analyserats utifrån följande punkter:
• Vilket är syftet och vilka frågeställningar har använts för att nå syftet? • Vilken design har använts?
• Hur har urval, metod, analys och tolkning gått till? • Vilka resultat har studien gett?
• Är resultaten giltiga? Studiens validitet samt möjlighet att generalisera. (Eriksson Barajas m.fl., 2013 s 155, 188ff).
Alla fyra av de valda artiklarna är av beskrivande karaktär och de har analyserats med fokus på frågorna hur tal, taluppfattning och tals användning är inkluderade i
läroböckerna samt skillnader mellan läroböcker. Frågeställningarna vad och hur har ansetts centrala och har därför funnits i blickfånget.
4.7.2 Etiska aspekter
Alla artiklar och avhandlingar som är inkluderade i denna studie är peer review granskade. I Vetenskapsrådets användning av vetenskaplig kvalité är peer review granskning det främsta bedömningskriteriet (Vetenskapsrådet, 2015). De etiska överväganden som gjorts i denna litteraturstudie är att alla artiklar och avhandlingar som motsvarade ämnesområdet för sökkriterierna har redovisats. Inga artiklar eller avhandlingar har uteslutits för att de inte överensstämmer med författarens egna åsikter eller utgångspunkter då det anses oetiskt (Eriksson Barajas, m.fl., 2013, s. 70). Artiklar till denna systematiska litteraturstudie har sammanställts utefter studiens syfte och frågeställningar. Materialet som eftersökts och valts ut har gjorts så utan
5 Resultat
I detta kapitel redovisas resultatet av denna systematiska litteraturstudie. Syftet med studien var att undersöka hur läroböckerna knyter an till och berör taluppfattning och tals användning samt om läroböckernas arbete med taluppfattning och användande av tal ser olika ut i årskurs 1-3.
5.1 Jämförelse; tradition möter reform
5.1.1 Talrelaterade övningar och verkliga anslutningar
I en studie jämfördes tre traditionella läroböcker med en reformbaserad lärobok. Studien uppvisade att de traditionella läroböckerna gav fler möjligheter till talrelaterade uppgifter än vad den reformbaserade läroboken, EM7
gjorde. Bäst av de traditionella läroböckerna var SF8
. EM bedömdes trots det vara bättre med avseende på dess betoning på anslutningar till verkligheten. Anslutningar till verkligheten återfanns inte i någon av de traditionella läroböckerna (Sood, Jitendra, 2007, s. 149). Övningar relaterade till talrelationer i form av en eller flera mer samt en eller flera mindre var högre i EM än i de traditionella läroböckerna. Trots detta inkluderade endast EM och SF lektions mål som krävde att hitta talet som var 1 mer eller 1 mindre än det givna talet. Vokabulären skiljde sig i de olika läroböckerna, EM använde sig av termerna
mer, mindre och samma. HB9
använde sig av begreppen mer, färre och lika medan både SF och HM10
nyttjade begreppen mer, färre och samma (Sood, Jitendra, 2007, s. 151).
5.1.2 Aktiviteter och instruktioner
EM inkluderade en lärarledd helklassaktivitet följd av en partner aktivitet och använde praktiska uppgifter och verkligt material. I kontrast med detta använde de traditionella läroböckerna arbetsbladsaktiviteter där eleverna individuellt arbetade med dessa, utifrån lärarens instruktioner (Sood, Jitendra, 2007, s. 151). Instruktionerna var mer direkta och tydliga i de traditionella textböckerna än i den reformbaserade och alla lektionerna inom alla av läroböckerna innefattade lärarens vägledning. 44 procent av lektionerna i de traditionella läroböckerna innehöll direkta och tydliga instruktioner, EM innehöll 0 procent. I EM rådde däremot en annan form av upplägg, en form av vägledande lärande med läraren som ställer frågor och eleverna uppvisar ett koncept och/eller kunskap. Trots att tydliga instruktioner var mer vanliga i de traditionella läroböckerna fanns det variationer över de tre programmen av mötandet av kriterier (ibid, s. 151).
5.1.3 Återkoppling
Även återkoppling var mer vanlig i de traditionella läroböckerna än i EM. 77 procent av lektionerna i de traditionella läroböckerna inkluderade återkoppling, medan endast 50 procent av lektionerna i EM gjorde det. Samtidigt såg procentsatsen olika ut gällande återkoppling i de traditionella läroböckerna. SF innefattade 100 procent, HB 82 procent och HM endast 50 procent, med andra ord samma procentsats som EM (Sood, Jitendra, 2007, s. 152).
7 EM = Everyday Mathematics (Bell et al., 2004) 8 SF = Scott Foresman (Charles et al., 2004) 9 HB = Harcourt Brance (Maletsky et al., 2004)
5.1.4 Taluppfattning och dess innehåll
De inkluderade läroböckerna från USA har en väsentlig ändring från de traditionella till de reformerade inom taluppfattning och relevant innehåll. Ändringarna i de inkluderade Kinesiska läroböckerna är mindre. De reformerade läroböckerna från USA innehåller mindre ämnen men innefattar samtidigt mer innehåll i form av termer av taluppfattning (Cheng, Wang, 2012, s. 19-20). Kinas traditionella och reformerade läroböcker fokuserar till största del på taluppfattning i samband med de övriga delar av matematiska begrepp med 50 procent respektive 63 procent av dessas totala antal koder. USA har en lägre procentsats i detta sammanhang, nämligen 36 procent respektive 47 procent. De reformerande läroböckerna har blivit mer fokuserade på förbindelsen mellan taluppfattning och annat matematiskt innehåll än deras
traditionella motsvarighet i varje land. De traditionella och reformerade läroböckerna från USA lägger mycket mer uppmärksamhet på taluppfattnings egenskaper än vad de Kinesiska läroböckerna gör. Inom länderna sker en minskning för båda länderna när det kommer till uppmärksamhet gällande taluppfattnings egenskaper, med en nergång på 6 procent i USA och 12 procent i Kina (Cheng, Wang, 2012, s. 22).
5.1.5 Verklighet och samarbete
De inkluderade amerikanske läroböcker minskar sin uppmärksamhet från deras traditionella lärobok till dess reformerade lärobok, när det kommer till
taluppfattningens förbindelse med verkligheten och samspelet. De Kinesiska läroböckerna fortsätter att hålla en konstant uppmärksamhet på förbindelsen mellan taluppfattning och vardagliga föremål. USA har 51,6 procent respektive 30,1 procent inom denna dimension av koder för förbindelsen av taluppfattning till verkliga objekt, vilket innebär en minskning med 21,5 procent från den traditionella läroboken till den reformerade läroboken (Cheng, Wang, 2012, s. 31). Medan tilldelar Kina 46,8 procent respektive 52,2 procent, vilket ger en ökning med 5,4 procent (Cheng, Wang, 2012, s. 31-32). USA lägger däremot mer uppmärksamhet på taluppfattningens förbindelse med verkliga verktyg än vad Kina gör, men båda länderna minskar deras
uppmärksamhet inom detta område (Cheng, Wang, 2012, s. 34). De kinesiska läroböckerna tilldelar 10, 6 procent och 10,3 procent av dess totala koder till
samarbetet mellan elever i förbindelse till taluppfattning. Den traditionella läroboken från USA tilldelar endast 3,0 procent av dess totala koder medan den reformerade läroboken från USA tilldelar 23,9 procent av dess totala koder till sambandet mellan elever i förbindelse till taluppfattning, vilket är en ökning på 20,9 procent (Cheng, Wang, 2012, s. 35).
5.1.6 Taluppfattningens egenskaper
De två inkluderade kinesiska läroböckerna lägger mer uppmärksamhet på taluppfattningens egenskaper av plats värde och bas tio begrepp än vad deras
motsvarigheter från USA gör. Läroböckerna från Kina ökar medan läroböckerna från USA minskar deras uppmärksamhet till dessa taluppfattnings egenskaper från deras traditionella till deras reformerade lärobok. Både läroböckerna från Kina och USA kännetecknar väsentlig och ökande uppmärksamhet på egenskapers relevans till förståelse av kvaliteter, magnituder och mätinstrument som är större än, mindre än, och/eller lika stora (Cheng, Wang, 2012, s. 26). Läroböckerna i USA ökar deras uppmärksamhet medan de Kinesiska läroböckerna minskar deras redan låga uppmärksamhet på talens kompositions egenskaper. Både Kinas och Amerikas
läroböcker lägger mindre uppmärksamhet på bedömningsegenskaperna inom taluppfattning (Cheng, Wang, 2012, s. 27). Kinas läroböcker lägger mer uppmärksamhet på förbindelsen av taluppfattning till operationer än deras Amerikanska motsvarighet (Cheng, Wang, 2012, s. 27-28).
5.1.7 Operationer
Kinas läroböcker ökar medan Amerikas läroböcker minskar deras uppmärksamhet på förbindelsen av taluppfattning till operationer från dess traditionella till dess
reformerade läroböcker i varje land. Kinesiska läroböcker har ca 6,5 procents ökning av dess totala koder medan Amerikanska läroböcker har ca 21,7 procent minskning av dess totala koder i denna förbindelse (Cheng, Wang, 2012, s. 30).
5.1.8 Mätinstrument och mönster
Amerikanske läroböcker visar signifikant mer uppmärksamhet på förbindelsen av taluppfattning till mätinstrument än deras Kinesiska motsvarighet gör. De
Amerikanska läroböckerna har 12,7 procent och 13,2 procent av deras totala koder i denna dimension för förbindelsen till mätinstrument medan Kinas traditionella och reformerade läroböcker har 4,0 procent respektive 5,5 procent (Cheng, Wang, 2012, s. 30). Kinas läroböcker minskar medan de Amerikanska ökar deras uppmärksamhet på förbindelsen mellan taluppfattning och mönster, vilket föreslår att läroböckerna i de båda länderna flyttar sig i motsatt riktning. Amerikanska traditionella och reformerade läroböcker har 5,4 procent respektive 13,8 procent av dess totala koder inom denna dimension för förbindelsen av taluppfattning till mönster, vilket ger en ökning med 8,4 procent. Kinesiska traditionella och reformerade läroböcker har 7,9 procent respektive 0,5 procent, vilket ger en minskning med 7,4 procent (Cheng, Wang, 2012, s. 30).
5.1.9 Dataanalys
Amerikanska läroböcker lägger mer uppmärksamhet på förbindelsen mellan taluppfattning och dataanalys än deras Kinesiska motsvarigheter samt ökar deras uppmärksamhet på detta samband från den traditionella läroboken till den reformerade. Den traditionella läroboken från USA har 6,9 procent medan den reformerade läroboken har 19,7 procent av de totala koderna inom denna dimension tillhörande förbindelsen mellan taluppfattning och dataanalys, vilket ger en ökning med 12,8 procent. De båda Kinesiska läroböckerna har endast mindre än 5 procent av de totala ämnena inom denna aspekt (Cheng, Wang, 2012, s.31).
5.2 Inkludering av taluppfattning och användning av tal
Jämförelserna av de traditionella och reformbaserade/reformerade läroböckerna uppvisar att taluppfattning och användning av tal återfinns i alla av de sammanställda läroböckerna, enligt resultatet ovan. Resultatet visar även på skillnader mellan de traditionella och de reformbaserade/reformerade läroböckerna.
5.2.1 Kategorier av problem
Klass A:s läroböcker består av 83 problem medan klass B:s består 111 problem. Det var en konsekvens i utseendets frekvens mellan de två klassernas matematiska läroböcker. Kategorierna som verkade väldigt ofta i klass A:s lärobok var också högt
representerad i klass B:s lärobok. Detsamma gällde de underrepresenterade kategorierna, de verkade i liknande procentsatser i de båda klassarnas läroböcker (Despina, Harikleia, 2014, s. 12). Antalet av problem i klass A:s och klass B:s läroböcker tyder på en generell ökning av världsproblem i samband med övningar inom addition och subtraktion. Klass A:s elevers böcker består av fler världsproblem än arbetsböcker medan motsatsen gäller klass B:s elevers läroböcker. Fördelningen av problemen i de olika kategorierna avslöjar att det inte var en jämn spridning av problemen i de två klasserna (ibid, s. 7). Eleverna uppvisade goda kunskaper inom de väl representerade och måttligt representerade områdena ifrån läroböckerna, de uppvisade även avsaknad av kunskaper inom de områden som var näst intill orepresenterade i läroböckerna (ibid, s. 11).
Före kapitlen som innefattade addition och subtraktion av bråk presenterades liknande innehåll, i de fem läroböckerna från Cypern, Irland och Taiwan. Uppgifter som innefattade addition och subtraktion var även varvade med de övriga delarna av matematiken i alla fem läroböcker (Charalambous, m.fl., 2010, s. 132). Ingen av läroböckerna innefattade additions och subtraktions övningar som innehöll konstruktioner av bråk (ibid, s. 132). Övningarna i de Taiwanesiska läroböckerna, TTA och TTB, uppvisade ett unikt utseende gällande frågornas utformning och hur de var ställda och bestod av tvillingfrågor11
(ibid, s. 137). Övningarna i de Irländska läroböckerna, ITA och ITB, visade sig vara organiserat sammanhängande, från övningar med lägre krav till övningar med högre krav. I CT, läroboken från Cypern, samt i de Taiwanesiska läroböckerna, TTA och TTB, är övningarna av lägre och högre krav varvade genom de relevanta sektionerna. 85 procent av övningarna i CT, ITA och ITB, representerar kognitiva krav. TTA och TTB, uppvisar något lägre procentsats, 71 procent respektive 81 procent. Övningarna i TTA och TTB som innefattade procedurer utan samband var generellt av en annan natur än de inkluderade i CT, ITA och ITB (ibid, s. 138). Läroböcker skiljer sig gällande
responsen de kräver av eleverna, TTB, ställer högre krav på eleverna än de övriga fyra gör (ibid, s. 139-140).
5.2.2 Introduktioner, instruktioner och upplägg
Ingen av läroböckerna inledde med att introducera och presentera olika metoder att arbeta med additioner av bråk för att sedan gå över till att introducera och presentera olika metoder att arbeta med subtraktioner av bråk. Upplägget av innehållet var beroende av talens och inte typens operationer (Charalambous, m.fl., 2010, s. 132). Alla läroböcker har samma procedur som den vanligaste. Denna procedur innefattar två lämpliga bråk, sedan adderas två blandade tal, därefter subtraheras två lämpliga tal och slutligen subtraheras två blandade tal (ibid, s. 133). Exempel på detta återfanns i båda läroböckerna från Irland, ITA och ITB samt TTB, från Taiwan. TTB hade även arbetsexempel där de demonstrerar olika nämnare (ibid, s. 134). Instruktioner
återfinns i både de traditionella samt den reformbaserade läroböckerna i Sood och Jitendras studie (2007, s. 149). Instruktionerna var likartade i de fyra olika böckerna när det gällde det genomsnittliga antalet lektioner adresserade till taluppfattning (ibid, s. 149). I de traditionella läroböckerna (HM, HB och SF) var instruktionerna mer direkta och tydliga medan instruktionerna i EM (reformbaserad lärobok) var
vägledande i form av att läraren ställde frågor och eleverna fick besvara dessa (ibid, s. 151). Läraren vägleder till 100 procent inom de fyra olika läroböckerna (EM, HM,
HB och SF) men instruktionerna skiljer sig på vissa plan. I de traditionella läroböckerna (HM, HB och SF) är instruktionerna mer direkta och tydliga (44 procent) och inom EM är inlärningsmetoden vägledande, där läraren vägleder eleverna in i lärandet och eleverna får visa upp sina kunskaper (ibid, s. 151). EM inkluderade en lärarhandledande helklassaktivitet följd av en partner aktivitet och använde praktiska uppgifter och verkligt material samtidigt som de traditionella läroböckerna innefattar arbetsbladsaktiviteter där eleverna individuellt arbetar utifrån lärarens instruktioner (ibid, s. 151). Kinesiska läroböcker behåller deras väsentliga uppmärksamhet till att engagera elever att arbeta med varandra i deras utvecklande av taluppfattning medan den amerikanska reformerade läroboken ökar sin
uppmärksamhet avsevärt inom denna dimension (Cheng, Wang, 2012, s. 35).
5.2.3 Relationer till och mellan tal
Uppgifter relaterade till en eller två mer och en eller två mindre var högre inom EM än i de traditionella textböckerna. Talrelationer är en viktig del av utvecklingen av taluppfattning på grund av att förståelsen för att tal är relaterade till varandra bidrar till det övergripande konceptet av tal (Sood, Jitendra, 2007, s. 151). Forskning visar att tolkningen av tal i termer av deras olika delar är viktigt för senare matematisk
utveckling (ibid, s. 151). De traditionella läroböckerna erbjuder färre möjligheter för elever att utföra taluppgifter med hjälp av mer än en representation. Inom addition använde sig EM av handgripliga aktiviteter och verkliga objekt, detta reflekterade inte bara användandet av meningsfulla representationer utan också förbättrande av lärande engagemanget av elever när de arbetar tillsammans (ibid, s. 153). Traditionella
läroböcker erbjöd fler möjligheter än EM gällande att låta elever arbeta med nyligen presenterade kunskaper och koncept. EM tillät elever att arbeta med övningar som skiljer sig från de rutinmässiga, för att demonstrera elevernas förmåga att undersöka och förstå tal (ibid, s. 153).
5.2.4 Övningar inom del och helhet
TTA och TTB, de två läroböckerna från Taiwan, avbildar övningar i vilka både del-helhet och operations konstruktioner kan bli framkallade i samma övning. Såda övningar är försedda med information gällande antal av diskreta objekt i varje enhet. I ett av exemplen i TTB handlar övningen om persikor samt två pojkar och deras olika delar av persikor. Elever kan lösa problem genom att använda del-helhet
konstruktionen men även genom att inkludera antalet av persikor i varje påse. Det ger eleverna möjlighet att lösa problemen på ett mer komplicerat, legitimt bemötande (Charalambous, 2010, s. 138). Endast 2 procent av övningarna i läroboken från Cypern, CT, kombinerar en del-helhet och en operation konstruktion. Något som är helt frånvarande i båda av läroböckerna från Irland, ITA och ITB. Inom addition använder TTB kvot konstruktioner i en övning, relaterad till addition och subtraktion av bråk och i ett exempel används isglassar. Exemplet består av tre frågeställningar, en som består av del av helhet samt två additions uppgifter (ibid, s. 138). Tvillingfrågor är något som är vanligt förekommande i båda TTA och TTB. Den första frågan driver på eleverna att fundera över relativa belopp medan den andra frågan, som ofta kräver anställningen av operations konstruktioner, framkallar eleverna att kalkullera ett bestämt belopp (ibid, s. 137-138). Alla övningar i CT, ITA och ITB kräver ensamma svar, TTA och 56 procent av TTB kräver att eleverna representerar den underliggande strukturen av problem i matematisk mening. TTB omber eleverna, i 8
procent av övningarna, att förklara metoden de använder för att lösa övningen. Inga sådana krav observerades i de övriga av de fyra läroböckerna (ibid, s. 139-140).
5.2.5 Modeller och bildspråk
Modeller nyttjades i alla de fem läroböckerna i arbetet med bråk. CT nyttjar pizzor och äppelpajer samt cirklar och rektanglar. ITA användes en mer abstrakt serie av presentationer och nyttjade cirklar i alla 12 arbetsexempel. ITB nyttjade endast cirklar i 2 av 10 arbetsexempel. TTA uppvisade 5 arbetsarbetsexempel, varav 2 exempel var utan representationer, 2 med linjära representationer och 1 med cirklar. TTB
uppvisade 13 arbetsexempel, varav 2 använde cirklar som representationer, 3 använde linjära representationer, 4 använde separata uppsättningar och de återstående 4 hade inga representationer. Alla av de fem läroböckerna uppvisar liknande procedur i deras arbetsexempel i arbetet med del och helhet (Charalambous, m.fl., 2010, s. 135). I Både ITA och i ITB inkluderades lösningen i arbetsexemplen, medan endast 2 av 7
inkluderades i CT och 1 av 5 i TTA samt 6 av 13 i TTB. ITA och ITB illustrerar tydligt stegen som ska följas för att slutföra prosiduren i arbetsexemplen. TTB illustrerar tydligt 2 av 3 av arbetsexemplen medan både TTA och CT endast förklarar hälften av arbetsexemplens steg (ibid, s. 135). Grafiska displayer i form av bilder tillhörande arbetsexemplen återfanns endast i TTA och TTB samt två exempel i CT. De flesta av de grafiska displayerna gestaltar tecknade bilder av elever med tillhörande pratbubblor eller bilder av texter skrivna på griffeltavla (ibid, 2010, s. 136).
5.2.6 Arbetsmetoder och konstruktioner
Antalet arbetsmetoder urskilde skillnader mellan de olika läroböckerna. I CT, ITA och ITB demonstrerades endast en metod. I 2 av 18 av arbetsexemplen i TTA och TTB demonstrerades en ensam metod, både av dessa två återfanns i TTB. I några av arbetsexemplen skiljde sig ITA och ITB från CT och i TTA och TTB gällde
fullständigheten av lösningar och användandet av sammanhang. ITA och ITB erbjöd kompletta lösningar inom dyrbara matematiska sammanhang. TTA och TTB bestod av fler grafiska displayer samt fler lösningar i arbetsexemplen ä CT (Charalambous, m.fl., 2010, s. 136). Inga konstruktioner var tilldelade i de flesta av uppgifterna i ITA (97 procent) och ITB (80 procent) samt ca hälften i CT (47 procent). Detta för att övningarna inte var ackompanjerade av någon representation eller uppsättning i något problem sammanhang (ibid, 136). Uppbygganden av bråk kan bli bestämd för flest övningar i TTB (80 procent) och TTA (65 procent). Konstruktionen av övningar som berör del-helhet identifierad i övningar i alla tre länder. TTA med 6 procent och TTB med 14 procent, uppvisade en mindre frekvens av konstruktionerna av del-helhet. Endast en handfull av övningarna i CT, ITA, ITB och TTB använde mätnings konstruktioner, TTA använde i sin tur 31 procent av denna form av konstruktion (ibid, s. 136). Endast 2 procent av övningarna i CT kombinerar del-helhet och en operations konstruktion. I ITA och ITB var sådana övningar helt uteslutna (ibid, s. 137).
5.2.7 Sammanfattning
Taluppfattning och användning av tal innefattas i alla läroböcker från de fyra
sammanställda artiklarna. Totalt innefattar de fyra studierna 20 läroböcker av olika typ och hemmahörande i olika länder. Antalet uppvisade problem i de Grekiska
läroböckerna tyder på en generell ökning av problem i samband med addition och subtraktion (Despina, Harikleia, 2014, s. 7). De traditionella läroböckerna, HM, HB och SF, innefattade med direkta och tydliga instruktioner än den reformbaserade EM (Sood, Jitendra, 2007, s. 151). HB, HM och SF gav fler möjligheter till talrelaterade uppgifter än vad EM gjorde. EM involverade verkliga anslutningar (ibid, s. 149). EM innefattade även helklassaktiviteter och partneraktiviteter samt nyttjande av verkligt material. HM, HB och SF innefattade individuella arbetsbladsaktiviteter (ibid, s. 151). Återkoppling förekom oftare i EM än i SF, HM och HB (ibid, s. 152). De fem läroböckerna från Cypern (CT), Irland (ITA och ITB) och Taiwan (TTA och TTB), innehöll liknande innehåll gällande addition och subtraktion (Charalambous, m.fl., 2010, s. 132). Ingen av läroböckerna innefattade additions och subtraktions övningar som innehöll konstruktioner av bråk (ibid, s. 132). TTA och TTB använder sig av tvillingfrågor (ibid, s. 137). TTB ställde även högre krav på eleverna än vad de övriga fyra gjorde (ibid, s. 139-140). HM, HB, SF och EM använde sig av likartade
instruktioner samt innefattade samma procedur som den vanligaste(Sood, Jitendra, 2007, s. 133ff). Uppgifter gällande mer och mindre var högre inom EM än i HB, HM och SF (Sood, Jitendra, 2007, s. 151). TTA och TTB avbildar övningar som kombinerar del-helhet och operations konstruktioner (Charalambous, 2010, s. 138). Konstruktionen av övningar inom del-helhet identifieras i CT, ITA, ITB, TTA och TTB. TTA och TTB uppvisade en mindre frekvens av konstruktionerna av del-helhet. (ibid, s. 136). CT, ITA, ITB, TTA och TTB använder sig av modeller i arbetet med bråk. Pizzor, pajer och mer abstrakta figurer är några exempel på gestaltningar (ibid, s. 135). Förbindelsen mellan taluppfattning och mönster minskar i den reformerade läroboken från Kina men ökar i den reformerade läroboken från USA (Cheng, Wang, 2012, s. 30).
Läroböckerna från USA har ändrats till stor del, från de traditionella till de
reformerade. De innehåller färre ämnen men innefattar mer innehåll av taluppfattning (Cheng, Wang, 2012, s. 19ff). Uppmärksamheten gällande taluppfattningens
förbindelse till verklighet och samspel samt gällande talens kompositions egenskaper och minskar gällande förbindelsen mellan taluppfattning och dess förbindelse till operationer (ibid, s. 26ff). Läroböckerna från USA visar även mer uppmärksamhet på förbindelsen mellan taluppfattning och mätinstrument än deras motsvarighet från Kina. Även förbindelsen mellan taluppfattning och dataanalys är större i läroböckerna från USA än i läroböckerna från Kina (ibid, s. 30ff). Ändringarna i läroböckerna från Kina är mindre (ibid, s. 19ff). Läroböckerna fokuserar till största del på taluppfattning i samband med övriga matematiska begrepp (ibid, s. 22). De fortsätter även att hålla en konstant uppmärksamhet på förbindelsen mellan taluppfattning och vardagliga föremål. De lägger även fokus på taluppfattningens egenskaper av plats värde och bas
tio begrepp inom båda sina läroböcker och kvaliteter, magnituder och mätinstrument
får mer uppmärksamhet i den reformerade läroboken (ibid, s. 26). Kina minskar sin redan låga uppmärksamhet gällande talens kompositions egenskaper och ökar sin uppmärksamhet gällande förbindelsen mellan taluppfattning och dess förbindelse till operationer (ibid, s. 27ff).
