Några gymnasieelevers förståelse av derivatabegreppet

Full text

(1)Malmö högskola Lärarutbildningen Natur, miljö, samhälle. Examensarbete 15 poäng. Några gymnasieelevers förståelse av derivatabegreppet A few High-school students knowledge of the derivative concept. Robert Pozgaj Novica Šušnjević. Lärarexamen 270 poäng Matematik och lärande Vårterminen 2009. Examinator: Leif Karlsson Handledare: P-E Persson.

(2) Sammanfattning I denna uppsats undersöker vi några gymnasieelevers förståelse av begreppet derivata. Vi gör detta genom att presentera teoretiska verktyg för att kunna mäta begreppsförståelse. Vi försöker bedöma elevernas kunskaper genom att eleverna får göra ett skriftligt prov och några av eleverna en efterföljande intervju. Undersökningen gjordes på en skola och omfattar 8 elever i en naturvetare klass i årskurs 2. De resultat som vi presenterar visar på att eleverna inte uppnår någon högre konceptuell förståelse. Det verkar inte heller finnas någon större skillnad i begreppsförståelse mellan elever som har höga betyg, MVG, och elever med lägre betyg.. Nyckelord: matematik, derivata, APOS, begreppsförståelse, matematiska världar, matematik kurs C. ii.

(3) iii.

(4) Innehåll Inledning Syfte, frågeställning och avgränsningar Teoretisk bakgrund APOS-modellen De tre matematiska världarna Vår teoretiska utgångspunkt Metod Urval Teknik Val av frågor Uppgift 1 Uppgift 2 Uppgift 3 Uppgift 4 Uppgift 5 Validitet och reliabilitet Genomförande Etisk bedömning Bakgrund till undersökningen Analys och resultat Resultat av undersökning Uppgift 1 Uppgift 2 Uppgift 3 Uppgift 4 Uppgift 5 Slutsats Diskussion och Reflektioner Referenser Bilaga A. 1 2 3 3 7 11 12 12 12 13 14 14 15 15 16 17 17 19 20 21 21 22 25 29 31 34 35 37 40. iv.

(5) v.

(6) Inledning En av de viktigaste egenskaper som en lärare bör besitta är att kunna hjälpa och möta elever på den kunskapsnivå som eleverna själva befinner sig på. Men hur vet vi vilken denna nivå är? Under lärarutbildningen men även ute i skolorna har vi inte mött någon strukturerad och standardiserad metod för att belysa vilka kunskaper elever besitter, vilka mentala bilder de har kopplade till matematiska begrepp samt hur de ordnar denna begreppskunskap. Detta blir en uppgift där få formella verktyg erbjuds läraren. Denne är ofta hänvisad till sin egen personliga duglighet. Det säger sig själv att om denna bild stämmer öppnar den för väldigt varierande nivåer på undervisningen beroende på vilken lärare som eleverna får i matematik. En pusselbit för att råda bot på detta borde vara att vi besitter formaliserade metoder för att identifiera vilken förståelse elever har beträffande matematiska begrepp. Vårt examensarbete är ett försök till att på ett systematiskt sätt, genom relevanta teoretiska modeller, kunna klassificera elevers kunskap.. 1.

(7) Syfte, frågeställning och avgränsningar Gymnasieeleverna ska under sin skolgång lära sig om demokratiska värden som vårt samhälle vilar på, medmänsklighet och alla människors lika värden oberoende av vilken ras, religion eller politisk övertygelse de har. I någon mening ska skolan hjälpa till att skapa människor som passar in i samhället. Parallellt med dessa värden ska skolan också förmedla kunskap och färdigheter i en lång rad ämnen. De verktyg som vi som lärare primärt har för att kontrollera att eleverna har tillgodosett sig kunskapen är i första hand prov och redovisningsuppgifter såsom inlämningsarbeten eller projektarbeten. Inom matematiken har traditionellt framförallt prov använts som metod för att värdera elevers kunskaper. Vi anser att detta sätt att mäta i bästa fall ger en fingervisning om vilka elever som kanske har en större förståelse, men i övrigt är ett ganska trubbigt instrument för att veta vilka kunskaper eleverna har. För att avgränsa omfattningen av arbetet har vi bestämt oss för att undersöka förståelsen av begreppet derivata. De frågor som vi sökt svar på är: 1. Hur kan man mäta elevers matematiska begreppsförståelse, exempelvis vad gäller derivata? 2. På vilken nivå av förståelse vad gäller begreppet derivata befinner sig några elever på naturvetenskapsprogrammet på? Syftet med detta är att tydliggöra vilken kunskap eleverna har och hur dessa används för att lösa matematiska uppgifter. Vi anser att detta är den mest väsentliga kunskapen en lärare bör ha tillgång till för att till exempel sätta betyg, utforma lektioner som bättre överensstämmer med elevernas behov vad gäller förståelse samt mer exakt identifiera felaktigheter i elevernas begreppsförståelse för att sedan kunna arbeta metodiskt för att rätta till dessa. Vi kommer inte att vidareutveckla verktyg för detta, då detta är utanför arbetets omfattning, utan nöjer oss med att belysa elevernas kunskaper samt hur dessa kan struktureras med hjälp av teori som gås igenom i nästa avsnitt.. 2.

(8) Teoretisk bakgrund För att kunna göra en bedömning av elevers begreppsförståelse måste vi utgå från en teoretisk grund som ger oss verktyg för att mäta och beskriva elevernas kunskapsnivå. Nedan beskriver vi två modeller för utveckling av kunskaper inom matematik. Först beskrivs APOS-modellen som en rimlig utgångspunkt för att förstå hur matematisk kunskap kan struktureras hierarkiskt. Vi beskriver vidare Talls teori om de tre matematiska världarna som vi finner är en bättre beskrivning av hur individen lär sig matematik. Anledningen till att vi presenterar två teorier är att även om APOS-modellen visserligen är väldigt konkret och förhållandevis lätt att använda för att beskriva kunskapsnivåer så finner vi att dess beskrivning av kunskapsnivåer och hur individen rör sig mellan nivåerna är väldigt snäv. Talls beskrivning av de tre matematiska världarna är betydligt mer nyanserad och visar på att matematisk förståelse kan uppnås på olika sätt. Kanske just på grund av detta har vi funnit den vara betydligt svårare att konkret använda för att bestämma och klassificera begreppsuppfattningar hos eleverna. Slutligen beskriver vi en endimensionell skala som vi också använder för att beskriva den matematiska kunskapsnivån hos eleverna. Detta gör vi då upplösningen av de resultat som presenteras senare inte medger en exaktare beskrivning.. APOS-modellen APOS-modellen är en hierarkisk modell som delar in den matematiska mognadsgraden i fyra delar och akronymet APOS utläses Action, Process, Object och Scheme. Vi har valt att översätta action till handling då detta ord på svenska bäst överensstämmer med vad författarna till modellen menar med action, anser vi. Av samma skäl har vi översatt scheme till system. För de engelska orden process och object har vi valt de vanligare översättningarna process och objekt på svenska. Modellen är uppbyggd kring hypotesen att matematisk kunskap består av individens vilja att ordna matematiska problem genom att konstruera mentala handlingar, processer, objekt samt mer sofistikerade system för att förstå problemet (Asiala, et al., 1996). Modellen är en utveckling av Piagets teorier om reflektiv abstraktion vid inlärning. Reflektiv abstraktion är grunden till den matematiska. 3.

(9) kunskapen enligt Piaget (Glaserfeld, 1998). Kunskapen uppstår inte då individen betraktar ett objekt och identifierar objektets egenskaper efter hur olika handlingar påverkar objektet, empirisk abstraktion, utan från de handlingar som utförs på objektet. Ett exempel är en elev som precis lärt sig att multiplicera och upptäcker att 2  3  4  2  4  3  3  2  4  3  4  2  4  2  3  4  3  2  24. Hur eleven än ordnar. permutationerna av de tre talen blir produkten ändå samma. Eleven, menar Piaget, har konstruerat en logisk relation genom abstraktion av handlingen. Handlingen är att eleven har ordnat talen i olika följder som ger samma svar. I APOS-modellen diskuteras mer ingående vilka mekanismer som ligger bakom och hur den matematiska kunskapen ordnas. En handling (action) är något som eleven utför utan att reflektera över hur detta påverkar objektet som handlingen utförs på. Ett exempel som är relevant för denna uppsats kan till exempel vara: Derivera funktionen. f  x    x 3  3x 2  8 x  e3x. (1). Om eleven löser uppgiften genom att konsultera läroboken för att replikera de instruktioner som finns där om hur en produkt av två funktioner deriveras och utför dessa instruktioner utan att reflektera över hur detta påverkar polynomet, då utför eleven en handling. Då handlingen har repeterats och eleven reflekterat över transformationen av objektet kan eleven skapa en mental konstruktion som i APOS kallas för process. Eleven kan utföra handlingen utan behov av yttre stimuli som att få instruktioner från läraren eller genom att följa instruktioner i boken. Individen kan gå bakåt i processen och komponera ihop den med andra processer för att lösa ett matematiskt problem. Eleven kan dock bara använda processen för en specifik funktion eller på ett specifikt problem och har alltså inte generaliserat kunskapen. Till exempel kan eleven derivera funktionen (1) med 4.

(10) reglerna för hur produkter av två funktioner deriveras men kan inte identifiera att samma metod kan användas för att derivera funktionen nedan (2). Eleven kan alltså inte derivera kvoten nedan eftersom uttrycket är fundamentalt skilt från vad eleven är van att se vid derivering av produkter av funktioner.. f  x. x . 3.  3x 2  8x  e3 x. (2). Ett objekt konstrueras från en process först då individen blir varse processen som en helhet som kan omvandlas för att tillgodose det matematiska behov som individen har. Objektet ”derivera funktionen” innefattar då alla för individen kända processer för att derivera funktioner. Objekten kan användas som byggstenar och kombineras med andra byggstenar för att lösa mer komplexa problem. Slutligen är ett system (scheme) för ett specifikt matematiskt koncept en samling av handlingar, processer och objekt som är ordnade i ett ramverk och som eleven kan mobilisera för att lösa problem eller tolka situationer som innefattar begreppet. Detta kan till exempel vara att lösa uppgiften:. Bestäm den minsta möjliga materialåtgången för en läskedrycksburk som ska innehålla 50 centiliter dryck.. (3). För att lösa uppgiften (3) ovan måste eleven mobilisera flera objekt och processer, efter reflektion kan dessa sättas samman i system. System kan i sin tur bli till objekt som kan ordnas i än större strukturer för att bilda nya system (Dubinsky och McDonald, 2001). Detta är en iterativ process där gamla kända system som blivit till objekt bildar nya system.. 5.

(11) APOS-modellen är uppbyggd hierarkiskt där nästa nivå i modellen inte kan uppnås utan att de föregående har uppfyllts, se figur 1.. A. P. O. S. Figur 1: En schematisk bild över APOS-modellens hierarkiska uppbyggnad.. Pilen i figuren pekar åt det håll som den matematiska mognaden sker. APOS-modellen har anklagats för att vara för rigid (Tall, 1999) och hierarkisk till sitt utseende. Detta betyder att en högre nivå i modellen inte kan uppnås innan den föregående är uppfylld. En av dessa kritiker är Tall som framförallt riktar in sig på att APOS-modellen förespråkar handling framför objekt. Inom t.ex. geometrin är detta svårt att identifiera. Till exempel har alla en uppfattning om vad en triangel är och i objektet triangel ordnas alla trianglar; liksidiga, likbenta, räta, trubbiga och spetsiga in. Detta görs utan att först gå genom handling och sedan process i APOS. Detta menar Tall betyder att eleven grundar sin förståelse av geometrin på objekt. Förståelsen kommer också från kunskap som eleven genom egna erfarenheter redan har. Vidare säger Tall att kunskap inte bildas genom den hierarkiska följd som APOS-modellen förespråkar.. 6.

(12) Detta är Dubinsky,(en av grundarna till APOS-modellen) och McDonald också medvetna om och skriver:. ”The Four components, action, process, object and scheme have been presented here in a hierarchical, ordered list. This is a useful way of talking of these constructions and, in some sense, each conception in the list must be constructed before the next step is possible. In reality, however, when an individual is developing her or his understanding of a concept, the constructions are not actually made in such a linear manner.” (Dubinsky och McDonald, 2001, s. 275276). De föreslår att modellen används för att analysera elevers kunskapsnivåer genom att studera elevers användning av de kognitiva nivåerna då de löser specifika matematiska problem. Genom dessa analyser kan APOS identifiera specifika pedagogiska strategier som kan användas för att förbättra elevernas begreppsuppfattning. Vidare menar Tall att APOS-modellen inte kan användas på matematik som lärs ut på universitet och högskolor då den i första hand är framtagen för matematik som lärs ut vid lägre åldrar. Tall menar också att en svaghet är att symbol inte nämns någonstans i beskrivningen av modellen. Detta då han menar att symboler är en av de mest centrala delarna för att kunna utveckla förståelse för bland annat aritmetik och algebra (Tall, 1999).. De tre matematiska världarna Grunden till modellen till de tre matematiska världarna är två egenskaper hos människan som Tall kallar för ”set-before” och ”met-before”. Tall menar att det finns tre egenskaper som vi har när vi födds som avgör hur vi uppfattar matematik, (Tall, 2008). Dessa. 7.

(13) egenskaper som vi har hårdkodade i generna kallar han för ”set-befores”. Han delar in dessa ”set-befores” på följande vis: . Igenkänning av mönster, likheter och skillnader.. . Repetition av sekvenser och handlingar tills dessa blir automatiserade.. . Språk för att kunna beskriva företeelser samt för att kunna förfina metoder som vi använder då vi resonerar kring dessa företeelser.. Talls summerar detta på följande sätt:. Mathematical development depends profoundly on these three set-befores. By being able to routinise a sequence of actions so that we can do it without effort, we can think about it and do it again, and again. (Tall, 2008, s. 6). Då vi ställs inför nya situationer kommer vår tolkning av denna situation bero på erfarenhet som individen har från tidigare liknande situationer. Tall betecknar dessa tidigare erfarenheter som ”met-befores” och definierar dem på följande vis:. I define a met-before to be ’a current mental facility based on specific prior experiences of the individual.’ (Tall, 2008, s. 6). Dessa ”met-befores” skiljer sig framför allt genom den kognitiva nivå som individen har uppnått. En ingenjör kan till exempel ha integraler, area och cirkeln som ”met-before” för att skapa förståelse kring begreppet rotationsvolym. Till skillnad från APOS-modellen är modellen om de tre matematiska världarna fokuserad kring den kognitiva strukturen i hur begreppsbildningen sker. Den förutsätter inte att processer måste paketeras till objekt som sen ordnas i system för att individen ska. 8.

(14) kunna få en viss förståelse av begreppet (Tall, 1999). Modellen delar in den matematiska kunskapen i tre världar som inte har någon hierarkisk relation till varandra förutom för individens kognitiva utveckling (Tall, 2008). Modellen förutsätter inte heller att individen går igenom världarna i någon speciell ordning för att nå en högre begreppsförståelse. Att pricka in en elevs kunskaper i de tre världarna blir snarare en lägesbeskrivning av vad elevens samlade kognitiva bilder av det matematiska begreppet är. Eleven kan till exempel ha tidigare erfarenhet av vilka egenskaper ett klot har innan han eller hon blir varse den matematiska beskrivningen av klotet. Modellen grundar sig på observationer av tre helt skilda matematiska begrepp, de geometriska, de symboliska samt de axiomatiska, (Tall, 2004). Dessa tre olika sätt att bilda förståelse för matematiska begrepp är sedan i sin tur grunden till de tre världarna. Den första världen består av begrepp som vi har upptäckt genom att vi kan iaktta företeelser i den reella världen, det vill säga kunskap som vi genom betraktelse, med hjälp av våra sinnen, kan ge vissa egenskaper, se figur 2 på nästa sida. Begreppen inordnas i vår egen mentala struktur. Denna värld innefattar inte bara begrepp som existerar i den reella världen utan också begrepp som vi kan bilda mentala bilder av och ge fysiska egenskaper till fast de inte existerar i den reella världen. Till exempel kan vi uppfatta punkten i planet som att den har en utbredning fast den inte har detta eller den räta linjen som om den har en tjocklek och inte är perfekt rak. Tall kallar denna värld för ”conceptual-embodied”. Genom att vi använder begreppen, möter nya begrepp och reflekterar kring dessa kan mer avancerade och sofistikerade begreppsbilder skapas utan att vi för den delen i egentlig mening stött på dessa tidigare i den reella världen. Den röda tråden som förenar dessa begrepp är att vi på något sätt uppfattar dessa som begrepp som vi kan skapa mentala bilder kring och koppla fysiska egenskaper till. Den andra världen består av symboler och handlingar som vi utför då vi till exempel manipulerar algebraiska uttryck. Hela APOS-modellen, se figur 2, ingår i denna värld som Tall benämner ”proceptual-symbolic”. En central del i förståelsen av denna värld är begreppet ”procept” som består av första delen av pro-cess och slutet av kon-cept. Vi kapslar in dessa handlingar och begrepp till ”procept”. Då vi befinner oss i denna värld. 9.

(15) kan vi obehindrat använda oss av handlingen eller reflektera kring begreppet. För begreppet derivata skulle detta till exempel vara att vi ser derivatan som funktioners förändringshastighet, koncept, och de algoritmer som vi använder oss av för att räkna fram derivatan för olika funktioner, process, som kapslas in till ett ”procept”. I den ”proceptual-symbolic” världen inordnas begrepp som kan ha sitt ursprung ur den första världen, ”conceptual-embodied”, men som vi saknar mentala bilder av.. Axiomatic-formal. S O P A. Matematisk mognad. Proceptualsymbolic ConceptualEmbodied Figur 2: En schematisk bild över de tre matematiska världarna. Nya begrepp skapas i pilarnas riktning. (efter Tall, 2008). För de flesta elever som på gymnasiet för första gången kommer i kontakt med begreppet derivata bör dess hemvist vara i denna värld. Eleverna har inget som kopplar begreppet till verkligheten. Detta innebär inte att en gestaltning av begreppet till den reella världen inte kan ske vid ett senare tillfälle. Den tredje världen är baserad på formella definitioner och bevis av begrepp samt axiom som beskriver matematiska strukturer som till exempel derivatans definition, definitioner för gränsvärden, geometriska axiom, etc. I denna värld skapas förståelse genom att arbeta. 10.

(16) med definition och bevis och att genom dessa strikt logiska strukturer hitta nya egenskaper som används för att bygga större och nya strukturer. Den tredje världen benämns ”axiomatic-formal”. Begrepp här kan uppstå ur en kombination av mentala bilder av ett begrepp i kombination med reflektioner kring handlingar som existerar i ”proceptual-symbolic” världen, se figur 2.. Vår teoretiska utgångspunkt Vi har valt att primärt använda APOS-modellen. Detta då det trots kritiken ovan är en väldig konkret modell vars nivåer är väl avgränsade enligt vad som beskrivits innan. Vi anser också att det är förhållandevis enkelt att konstruera uppgifter som vi kan använda för att klassificera elevernas kunskap genom att använda tankegångarna i APOS. Vi har använt oss av APOS för att beskriva de begreppskunskaper som utifrån APOS-modellen kan tillskrivas de testade eleverna. Dock anser vi också att den strikt hierarkiska ordningen som förespråkas i APOS inte beskriver verkligheten på ett helt tillfredställande sätt. Här anser vi att Talls tre världar kommer närmare en mer riktig bild av hur kunskap kring matematiska begrepp skapas. Vid några tillfällen har svaren från eleverna saknat tillräcklig upplösning för att kunna avgöra vilken APOS-nivå som eleverna befinner sig på. Vid dessa tillfällen har vi valt att försöka placera dem på en bipolär skala med procedurell som den ena polen och konceptuell som den andra, se figur 3.. A. P Procedurell. O. S Konceptuell. Figur 3: Den bipolära skalan i förhållande till APOS.. Med detta menar vi att om eleven ligger närmare den procedurella polen så är nivån på en algoritmnivå som motsvarar handling, process i APOS. Befinner sig eleven närmare den konceptuella så befinner sig eleven närmare objekt och system.. 11.

(17) Metod Urval Undersökningen gjordes på en skola i Lund på elever som läser matematik kurs D. Först presenterade vi vår undersökning i en klass och fick där endast två elever som kunde tänka sig att delta i undersökningen. Då vi inte ansåg att detta var tillräckligt många presenterades undersökningen för en annan klass på skolan. Nio stycken elever anmälde då sitt intresse och vi bestämde oss för att göra undersökningen med dessa elever. De nio eleverna var fördelade med betygen enligt följande: en elev med betyg IG, fyra elever med betyg G, två elever med betyg VG och två elever med betyg MVG. Läraren, som hade eleverna i matematik D kursen, hade även haft de nio eleverna i matematik C kursen och betygen som refereras till ovan var från denna kurs. Enligt läraren stämde betygen överens även med den kurs de läser nu, det vill säga matematik D kursen. De eleverna som deltog i undersökningen bekantade sig med begreppet derivata under föregående matematikkurs, det vill säga kurs C. Vid undersökningstillfället dök inte eleven med betyg IG upp och vi hade inte möjlighet att boka in ytterligare en tid för denna elev. Slutligen hade vi alltså åtta stycken elever med i undersökningen med fördelningen fyra elever med betyg G, två elever med betyg VG och två elever med betyg MVG.. Teknik Efter noga överväganden bestämde vi oss för att börja vår undersökning med en enkät. Fördelarna med att använda sig av en enkät är att frågorna blir de samma för alla deltagare i undersökningen. Därmed eliminerar man ”intervjueffekten”, dvs. undviker att intervjuaren påverkar svaren från den som intervjuas genom att ställa frågor och följdfrågor (Ejlertsson, 1996).. 12.

(18) Med hjälp av svaren vi fick in från enkätundersökningen kunde vi därefter välja ut lämpliga elever för intervjuer. Genom intervjuerna försökte vi ta del av de intervjuades uppfattning och förståelse av begreppet derivata ur olika perspektiv (Kvale, 1997). Efter vi fått in svaren från enkäten gjorde vi separata bedömningar av svaren. Vi träffades därefter och jämförde och diskuterade våra bedömningar. Gemensamt kom vi fram till fem elever vars svar på olika sätt genererat ett intresse för en vidare kvalitativ intervju. Hur detta urval gjordes finns specificerat i avsnittet Genomförande. Den kvalitativa intervjun valde vi att göra på ett ostandardiserat sätt (Ejlertsson, 1996). Frågorna formulerades under intervjuns gång och i den ordning som var lämpligt just för den person som skulle intervjuas (Patel & Davidsson, 1998). Eleverna kontaktades via telefon där tid och plats bestämdes. Intervjuerna ägde rum i ett grupprum på skolan där de ostört kunde fortgå och spelades in med hjälp av en diktafon. Därefter gick vi igenom inspelningarna och transkriberade dem till uppsatsen.. Val av frågor Den första uppgiften konstruerade vi själva. De andra tog vi från gamla nationella prov och uppgiftsbanker. Vi valde att sortera uppgifterna i en sådan ordning att det inte omedelbart var självklart att vi undersökte kunskaper kring begreppet derivata. Vi var inte primärt ute efter rätta svar utan det vi var mest intresserade av var hur de kom fram till svaren, hur de hade resonerat och om de hade använt ett automatiserat handlande, processtänkande, kunde se användandet av derivata som en del i ett större sammanhang.. 13.

(19) Uppgift 1 Beräkna den maximala arean som figuren kan anta.. x5. x. Denna uppgift liknar en av de många standarduppgifterna i böckerna om maximi- eller minimivärde och har ingenting med derivata att göra. Om eleverna löser uppgiften på ett korrekt sätt kan vi inte uttala oss om deras kunskaper vad gäller förståelse av derivatabegreppet. Det blir intressant för oss först om eleverna försöker lösa uppgiften med hjälp av att använda derivatan. Vår tanke är att kunna urskilja om eleven som löst uppgiften felaktigt har ett i huvudsak procedurellt-, algoritmiskt-tänkande och hur de då förstår uppgiften.. Uppgift 2 I vilken punkt på kurvan y  x x är tangenten parallell med linjen. y 3x 7    0. 2 2 2 I den andra uppgiften handlar det om ifall eleverna kan identifiera derivatan som en del, objekt, i lösningen. I denna uppgift anser vi, beroende på hur eleven hade tänkt och löst. 14.

(20) uppgiften, att det ska kunna gå att urskönja om det finns elever som uppnått objektnivån i APOS-modellen. I uppgiften måste eleven göra en koppling mellan de tre olika begreppen tangent, lutning och parallell med och således ordna dessa processer till ett objekt i systemet derivata, enligt APOS-modellen.. Uppgift 3 a) Derivera funktionen y  xe x . b) Derivera funktionen y  x ln x  x, x  0.. Uppgiften går ut på att derivera produkter av funktioner. Tanken med denna uppgift är att få en uppfattning om hur eleverna behärskar produktderivering av funktioner. Vi är ute efter att kontrollera om eleverna har uppnått processnivån vad gäller att derivera produkter av funktioner. Dessa uppgifter måste anses vara av standardtyp vad gäller att derivera produkter av funktioner. Om eleverna använder sig av derivatans definition för att lösa uppgifterna kan detta antyda att eleverna har en förståelse av begreppet som kan klassificeras till Talls tredje, ”axiomic-formal”, värld.. Uppgift 4 Funktionerna f och g är deriverbara. Man bildar en ny funktion h  x    f  x     g  x   . 2. 2. För funktionerna f och g gäller f  0   2 och g  0   1 f   x   g  x  och g   x    f  x . Bestäm h  x  och använd resultatet till att visa att h  x   5 för alla x.. 15.

(21) För att lösa denna uppgift måste derivatan ses som ett objekt. Funktionerna som ingår i uppgiften betecknades endast med f  x  och g  x  . De är alltså okända för eleverna som måste betrakta dem som objekt. För att lösa uppgiften behövs också att objekten sätts i ett sammanhang. Eleverna kan visa att de vet vad det betyder att en funktion är deriverbar. Det krävdes också att de kan derivera en sammansatt funktion. De ska också kunna visa att h x   5 för alla x, dvs. att funktionen, linjen, är parallell med x-axeln. Alla dessa delar ska pusslas ihop och kan ingå i ett större system enligt APOS-modellen. De elever vars kunskaper vi kan klassificera till processnivån ska kunna lösa enskilda segment i uppgiften, var för sig, men endast en fullständig lösning tyder på att eleven kanske hade uppnått objektnivån i APOS-hierarkin. Klarade eleverna av att förklara vad det innebar att funktionerna är deriverbara och hur detta är kopplat till uppgiften kan vissa kopplingar till Talls tredje ”axiomatic-formal” värld antydas.. Uppgift 51 En kork flyter på vattnet. En person, som läst D-kursen i matematik, noterar att avståndet mellan två på varandra följande vågtoppar är 5 meter och att höjdskillnaden mellan en vågtopp och en vågdal är 60 centimeter. Personen minns att en enkel formel för vågrörelse är y  A sin kx. Bestäm korkens maximala hastighet i y-led. I denna uppgift har vi tänkt oss att elever som lyckas lösa problemet troligen ser derivatan som ett objekt, då denna ingår som en del i uppgiften. I uppgiften är givet formeln och två värden. Dessa värden ska identifieras utifrån informationen i formeln. Detta är den första process som ska genomföras. Vidare har vi lösandet av en derivata av en trigonometrisk funktion som den andra processen. Den inre derivatan är den tredje processen i denna uppgift. Dessa tre moment borde inte vara svårt att genomföra för de elever som befann sig på processnivån och som ser derivatan i uppgiften som ett objekt. Därefter hade vi ordet ”hastighet” som ska identifieras med derivatan av funktion. 1. Denna uppgift är felaktig. Detta förklaras och kommenteras vidare i delen diskussion och reflektion nedan.. 16.

(22) Validitet och reliabilitet Genomförande Vi kontaktade en av matematiklärarna på en skola i Lund som undervisar elever med inriktning på naturprogrammet och kom överens att besöka en av hans lektioner. Vid besöket presenterade vi projektet för eleverna. Eleverna fick inte reda på detaljerna kring innehållet i projektet. De fick endast veta att det var ett arbete inom matematik. Klassen blev tillfrågad om det var någon som ville delta i vår undersökning. På grund av att eleverna skulle göra nationella provet inom kort var det bara två av eleverna som var villiga att delta i undersökningen. Därför kontaktade vi en annan matematiklärare i en annan parallell klass. Vi förklarade återigen vårt arbete och skickade runt en lista där eleverna skulle skriva in namn och telefonnummer om de var villiga att delta i undersökningen. I denna klass var det nio elever som var villiga att delta i vår undersökning. Vi informerade också att deltagarnas identitet var anonym och att det endast var vi som utförde undersökningen som kommer att kunna koppla deras namn till resultatet från enkäten eller intervjun. Deltagandet var frivilligt och de avgjorde själva om de ville vara med i undersökningen eller inte. För att hitta en tid som passade eleverna kontaktade vi sekreteraren på skolan och fick tillgång till deras tidsschema. Sju av nio elever kontaktades via telefon och vi kom överens om en tid för enkätundersökningen. För att minska bortfall valde vi en tid direkt efter en av deras matematiklektioner. Vi kontaktade matematikläraren igen och med lärarens samtycke kom vi under lektionstiden. Vi påminde eleverna om undersökningen och berättade att den skulle komma att äga rum i ett klassrum som vi bokat på skolan. På plats i lektionssalen fanns förutom de sju eleverna som vi lyckats kontakta per telefon också en av de två eleverna som vi inte fick tag på. Den nionde eleven, som var den andra eleven som vi inte lyckades kontakta per telefon, var inte i skolan den dagen och kom inte att delta i undersökningen.. 17.

(23) De åtta eleverna vi nu hade att tillgå gjorde enkäten som bestod av fem frågor. Enkätundersökningen genomfördes samtidigt för alla åtta elever. Eleverna hade ingen information om enkätens innehåll innan de såg den vid undersökningstillfället. Varje elev fick ett omslagspapper som deras namn skrevs på. De fem frågorna delades ut till eleverna i samma ordning från uppgift 1 till uppgift 5. Efter varje avslutad uppgift lämnade eleven in den och fick först då nästföljande uppgift. Frågebladen markerades med den siffra mellan 1 till 8 som eleven blivit tilldelad och lades i motsvarande omslagspapper med elevens namn. Eleverna hade obegränsad tid på sig. De första var färdiga efter 23 minuter och den sista eleven efter 58 minuter. Härefter gjorde vi separata bedömningar av svaren från enkäten. Vi träffades för att diskutera och jämföra de bedömningar som vi gjort.. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Alma. Bodil. Cajsa. David. Erik. Fredrik Gustav Hanna. P. P-O?. P?. P. P. X. P-O?. X. P. P-O?. P. P. P. A-P?. P-O?. X. P. P-O?. P. P. P. X. P. P. O. P-O?. O. P. P-O?. A?. P-O?. P. P. P. P. P. X. X. P. X. P?. A-P?. P. P. X. X. P. A?. X. P. X. X. P-O?. X. X. X. X. P. X. X. P-O?. A-P?. A-P?. X. X. X. X. P. X. X. P-O?. X. X. X. X. P?. X. X. O. P?. Tabell 1: Författarnas bedömning av elevernas begreppsförståelse enligt APOS-modellen.. Våra kriterier för att välja ut dessa elever var, enligt nedan, att vi: . Inte var överens om bedömningen, detta var fallet med Alma och Cajsa för uppgift 2.. 18.

(24) . Båda oberoende av varandra kommit fram till att elevens lösning var svårbedömd, detta är fallet med Bodils lösningar till uppgift 1 och 2 samt Eriks lösning till uppgift 4 samt Gustavs lösning till uppgift 1.. . Lösningar som vi tyckte var speciellt intressanta då de indikerade att elevens lösning var av en högre nivå, objekt eller system, i APOS-modellen, detta gäller alla de, i tabell 1, gult skuggade uppgifterna.. Av de fem elever vi ville gå vidare med fick vi slutligen endast kontakt med två elever. Dessa kontaktades via telefon där vi bestämde tid och plats för ytterligare en intervju. Eleverna gavs fingerade namn, enligt tabell 1, för att dölja deras identitet samt att göra det lättare att följa det som framkommer i kapitlet resultat. Intervjun ägde rum i ett grupprum på skolan där den kunde fortgå ostört. Intervjun pågick mellan 12 och 15 minuter och spelades in med hjälp av en diktafon. Därefter gick vi igenom inspelningarna och transkriberade dem för att ingå i uppsatsen.. Etisk bedömning Deltagandet i undersökningen var helt frivilligt, (Forskningsetisk policy, 2002). Eleverna var i åldern kring arton år. För att ta reda på om de var myndiga eller ej fick de skriva ner sina namn och födelsedatum, dock inte de fyra sista siffrorna i personnumret. Detta var viktigt i fall de skulle behöva kontaktas. I det fallet skulle det behövas en tillåtelse av föräldrar för att kontakta eleverna eller för att offentliggöra dennes svar på enkäten eller intervjun. På grund av att undersökningen är anonym har det tilldelats till varje elev en siffra och alla enkätexemplar är märkta med en siffra som motsvarar en elev.. 19.

(25) Bakgrund till undersökningen Det finns ett par saker som bör beaktas och förtydligas då läsaren går igenom resultatet av vår undersökning. Vi använder oss av primärt APOS och Talls modell med de tre matematiska världarna som verktyg för att undersöka och sortera det eleverna redovisar under intervjuerna och på de skriftliga uppgifterna. Vi har ingen möjlighet att veta exakt hur denna kunskap ser ut eller hur den är ordnad i hjärnorna hos eleverna. Det är för oss okänt om detta går att göra över huvud taget. Det faktum att det finns olika syn på hur människor samlar in, ordnar och konstruerar egen kunskap borde peka på att det i alla fall inte är helt klarlagt hur detta sker. Vår utgångspunkt har varit att mäta sådan kunskap som eleverna har varit i kontakt med i den svenska skolan. Vi anser att en god bild av hur undervisning av derivatan sker ges av den litteratur som används. I Caprétz och Ericsson (2007) undersöker de fem olika matematikböcker. Det gemensamma för dessa böcker är att begreppet presenteras på ett likartat sätt. Derivatan troliggörs genom att begreppet ändringskvot. y , och begreppet gränsvärde presenteras. Begreppet gränsvärde x. presenteras utan dess definition. Dessa begrepp används sedan för derivatans definition, som i de flesta fall presenteras som i uttryck (4) där k anges som riktningskoefficienten i punkten  x, f  x   .. k  lim h 0. f ( x  h)  f ( x ) f ( x  h)  f ( x)  lim h 0 h  x  h  x. (4). Deriveringsregler för polynomfunktioner, potensfunktioner och exponentialfunktioner presenteras och metoder för hur dessa funktioner kan analyseras med hjälp av derivatan och teckentabell visas. Böckerna innehåller också tillämpningar av derivatan för att till exempel räkna ut största och minsta värde av en funktion. De uppgifter som eleverna, i vår undersökning, fick lösa överensstämmer väl med vår erfarenhet av uppgifter från svenska undervisningsböcker. Således borde elever som läst kurserna matematik C och matematik D ha en tillräcklig förståelse av begreppet derivata för att lösa uppgifterna som de testades med.. 20.

(26) Analys och resultat Resultat av undersökning Vi kom tillsammans fram till fem elever som enligt vår bedömning kvalificerat sig till en vidare intervju, se tabell 1. De elever som vi ville intervjua är markerade med blå skuggning. Av dessa var det bara två som var villiga att intervjuas. Den övre delen är Novica Šušnjevićs bedömning och den undre är Robert Pozgajs bedömning av elevernas prestation utifrån svaren i undersökningen. Bedömningarna har gjorts utifrån APOS-modellen och bokstäverna som syns i tabellcellerna anger nivån som vi anser att svaret visar enligt APOS. De svar som bedömts som intressanta att gå vidare med för intervju har markerats med gul skuggning. Där bedömningen har ansetts särskilt svår att göra har detta följts av ett frågetecken (?). Där bedömningen inte har kunnat göras, på grund av att eleven inte skrivit något eller bara påbörjat lösningen med att endast skriva upp information som gets i uppgiftstexten, har detta markerats med ett X. För elevernas fullständiga lösningar se bilaga A. I resultatet kommer vi att gå igenom elevernas svar fråga för fråga. Elevernas begreppsförståelse kommer att belysas med exempel från lösningarna samt intervjuerna. För att underlätta och förbättra förståelsen av den transkriberade konversationen har vårt generella mål varit att utelämna och förtydliga där detta inte inverkar på betydelsen av intervjuarens frågor eller den intervjuades svar. Detta har skett enligt följande överväganden: . Vi har utelämnat ord som är otydliga och som vi inte anser inverkar på förståelsen av elevens svar eller intervjuarens frågor.. . Talspråksord som till exempel ja (jag), o (och) ändras till skrivspråksord. Detta görs för att underlätta läsbarheten i texten.. 21.

(27) . I transkriptionen av intervjuerna utelämnas gutturala ljud som till exempel mmm (instämmande), öhh (neutralt fyllnadsord) eller aha (förståelse) om syftet inte är att nyansera eller öka förståelsen av konversationen.. . Tvekan eller en längre tystnad symboliseras av tre punkter (…) efter varandra.. Uppgift 1 Som vi beskrivit tidigare var vår tanke med denna uppgift att undersöka hur väl eleverna löser en uppgift som vid en första anblick ser ut som ett maximeringsproblem men som löses intuitivt genom att förstå att sidorna kan anta hur stora värden som helst. Sex av eleverna som deltog i undersökningen började lösa uppgiften som om det handlade om ett maximeringsproblem. Detta menar vi tyder på att de framförallt besitter procedurella kognitiva kvaliteter vad gäller att lösa denna typ av problem. Bara två visade upp ett annat sätt att lösa uppgiften. Bodil börjar med att teckna uttrycket för arean, dock felaktigt, men avbryter sina beräkningar för att konstatera att arean blir oändlig, se lösning 1.. Lösning 1: Bodils lösning av uppgift 1.. 22.

(28) Gustav tecknar också uttrycket för arean och konstaterar att x kan anta vilket positivt tal som helst, se lösning 2. I intervjun visar Gustav att det finns en konkurrerande hypotes hos honom om hur han kan lösa problemet. Intervjuaren tänkte fråga om x verkligen kan anta alla positiva tal men hinner inte ställa frågan helt.. Lösning 2: Gustavs Lösning av uppgift 1.. Robert: Finns det någon annan begränsning på detta (pekar på rektangels sida benämnd som x.). Kan den verkligen anta alla positiva… Gustav: Nej egentligen… eller man borde kunna derivera den och hitta ett maxvärde. Det tänkte jag inte på då. Robert: öhum (förvånat) OK! Du säger så, x kan anta vilka positiva värden som helst. Om detta stämmer hur stor kan arean bli? Gustav: Den kan inte bli hur stor som helst, utan den kan bli… eller om man deriverar det här (pekar mot uttrycket för rektangelns area) så får man ju att… x är lika med… plus eller vad den nu blir. Robert: Ja precis du får den… derivatan. Och sedan? Gustav: Och sedan hittar man ett maxvärde. Vi gör bedömningen att det som kommer fram i intervjun tyder på att Gustav har två konkurrerande metoder för att lösa uppgiften. Han har inte reflekterat kring orimligheten till att båda metoderna kan ge en rätt lösning. Den första lösningen som redovisas i lösning 2 existerar i ”conceptual-embodied” världen.. 23.

(29) Svaren som Gustav ger under intervjun pekar på att han i bästa fall uppnått processnivån vad gäller att lösa derivator. Erik har löst uppgiften enligt lösning 3.. Lösning 3: Eriks lösning av uppgift 1.. Ur hans lösning framgår det att han har gått in i något som liknar ett automatiskt tillvägagångssätt för att lösa uppgiften. I intervjun säger han: Robert: Första frågan på första uppgiften är då: Hur tänker du då du löser denna uppgiften? Novica: Vilka vägar går du? Erik: För det första vill jag ha fram en ar… en funktion för arean, och då tar jag de båda sidorna och multiplicerar med varandra. Sedan för att få fram den maximala arean så div… så deriverar jag dem för att hitta extrempunkter till var de kan vara som mest… ungefär. Robert: OK. Novica: OK. Robert: Om du nu inte hade tänkt på detta sättet… om du bara hade titta på denna här (Robert pekar på figuren med rektangeln.) Hur… har du någon känsla för, mellan. 24.

(30) tummen och pekfingret, hur stort eller hur litet det här skulle kunna bli så att säga, utifrån de uppgifter du kan se i uppgiften? Novica: Utan att räkna. Robert: Precis. Erik: … Nej inte direkt. Även från konversationen framgår att Erik framförallt använder sig av ett procedurellt sätt att lösa uppgiften. Erik har inte uppfattat situationen på ett korrekt sätt utan har direkt mobiliserat algoritmer för hur maximi- och minimiproblem löses utan att förstå den geometriska betydelsen av problemet. Det sker alltså ingen reflektion av uppgiftens karaktär för att i ett senare skede ta fram objekt eller system för att lösa den. Detta tyder på att utifrån denna uppgift går det inte att säga att eleven uppnått någon av de högre kognitionsnivåerna för begreppet derivata. Han värderar inte heller rimligheten i svaret. Vi bedömer att eleven befinner sig på processnivån i APOS-modellen vad gäller begreppet derivata.. Uppgift 2 Den andra uppgiften testar eleverna i om de kan identifiera att de kan använda derivata för att lösa den utan att explicit få instruktioner till detta. Detta är också den uppgift som vi tycker att eleverna klarat bäst. Trots detta är det bara Erik som har ett fullständigt svar på denna uppgift, se lösning 2. Vi bedömer att fyra av de övriga eleverna har förstått hur derivatan ska användas för att hitta punkten där tangenten till kurvan och linjen är parallella. Tre av dessa räknar bara ut x-koordinaten för när detta sker. En av de fyra, Bodil, löser uppgiften genom att först derivera funktionen, se lösning 3. Hon gör fel vid derivering och räknar ut en primitiv funktion till den ursprungliga funktionen, istället för att derivera den. Ur hennes lösning kan vi se att hon verkar förstå att derivata till en funktion, kan ses som en tangent till funktionen.. 25.

(31) Vi anser att hon till viss del verkar kunna hantera derivatan som ett objekt. Samtidigt visar hon att hon inte besitter processförståelse för att derivera funktioner.. Lösning 4: Bodils lösning av uppgift 2.. Med APOS-modellens uppbyggnad i minnet verkar detta vara en paradox. Hon borde inte kunna se derivatan som en byggsten för att lösa den större uppgiften utan att ha processteget klart först. Vi tycker att detta är ett bra exempel på när Talls tre matematiska världar visar bättre hur hennes förståelse verkar vara uppbyggd. Enligt detta har hon ganska stora brister i den ”proceptual-embodied” världen vad gäller manipulering och beräkning av derivata. Erik är den enda eleven som löste uppgiften helt och rätt, se lösning 5. Han har förstått att för att två linjer ska kunna vara parallella måste deras riktningskoefficienter vara samma belopp.. 26.

(32) Ur lösningen verkar det som Erik använder derivatan som ett objekt när han löser uppgiften.. Lösning 5: Eriks lösning av uppgift 2.. I intervjun med Erik undrar vi om han har gjort kopplingar från den ”proceptualsymbolic” världen till den ”conceptual-embodied” världen. I intervjun frågar vi: Robert: Hur tänker du när du ställs inför en sådan här uppgift? Får du några bilder i huvudet? Erik: Ja, det här är lätt. Det här har jag löst innan. Novica: Du känner igen uppgiften? Erik: För det första så gör jag om de olika ekvationerna för att förenkla… (pekar på ekvationen för linjen) På den här ser man att alla är delat med två. De vill gärna förvirra en. Robert: Precis. Erik: Så det är bara att flytta över det och sätta y är lika med. Erik svarar inte på frågan men börjar förklara hur han löst uppgiften på ett procedurellt sätt. Vi frågar honom vid flera tillfällen om han kan ge en generell bild på hur denna uppgift skulle kunna se ut om kurvan och linjen plottades i ett diagram. Han klarar inte av att ge en generell beskrivning av situationen utan börjar försöka beskriva hur han kan. 27.

(33) plotta specifikt linjen och har inga mentala bilder hur situationen skulle kunna se ut. Erik säger också att han känner igen denna typ av uppgifter och därför kan också hans skriftliga svar ge en uppfattning att han har en högre förståelse än vad han verkligen besitter. Vi skulle vilja beskriva detta som att han besitter fragment av strukturer som han lärt sig under matematikkurserna men inte riktigt reflekterat kring vad dessa betyder och hur de hänger ihop med andra strukturer. Gustav verkar också bekräfta att eleverna inte kopplar ihop derivatan med mentala bilder av vad den kan betyda. I intervjun med honom svarar han: Robert: Hur tänker du när du ser sådan här uppgift? Jag menar, får du en bild i huvudet hur det här ser ut, eller? Gustav: Nej, jag brukar liksom… jag bara läser den och sen så får man tänka efter i efterhand. Han ser samband mellan tangenten, linjen och derivata. I intervjun säger han: Novica: Vad tänker du? Känner du igen uppgiften? Vad innebär innehållet i själva frågan? Gustav: Jag tänker att tangenten är parallellt med linjen. Den har en punkt där derivatan är samma där (pekar på kurvan) som derivatan här (pekar på linjen).. 28.

(34) Uppgift 3 Vi valde denna uppgift för att vi ville se om eleverna har processtänkande vad gäller derivering av produkten av två funktioner.. Lösning 6: Cajsas lösning av deluppgifterna i uppgift 3.. Tre av eleverna, Cajsa, David och Gustav, har löst de två deluppgifterna korrekt och visar att de når upp till processnivå vad gäller att derivera produkter av funktioner. Cajsa visar detta väldigt klart då hon skriver upp formeln för hur produkten av två funktioner deriveras, se lösning 6. Bodil lyckas lösa den första deluppgiften men inte den andra. Detta tyder på att hon i processen inte har innefattat hur logaritmiska funktioner ska deriveras, se lösning 7.. 29.

(35) Lösning 7: Bodils lösning av deluppgifterna i uppgift 3.. Erik löser den första deluppgiften felaktigt genom att identifiera uttrycket till hur en exponentialfunktion deriveras, se lösning 8, för att i den andra deluppgiften skriva upp uttrycket korrekt till hur produkter av funktioner ska deriveras. Dock får han ett felaktigt svar.. Lösning 8: Eriks lösning av deluppgifterna i uppgift 3.. De andra eleverna visar inte att de har nått upp till processnivån i APOS-modellen. 30.

(36) Uppgift 4 I uppgift 4 anser vi att eleverna har möjlighet att visa att de befinner sig på objektnivå eftersom det för att lösa uppgiften krävs att de resonerar kring derivatan som ett objekt eftersom funktionerna som ingår inte är kända mer än till sina egenskaper. Det är bara fyra av eleverna som gör en ansats till att lösa uppgiften. Av dessa verkar tre inte använda någon strukturerad metod för att lösa problemet utan verkar kombinera de givna uppgifterna på olika sätt i förhoppning att se ett mönster som kan ge en fingervisning till hur uppgiften kan lösas. I lösning 9 provar David först att manipulera h(x).. Lösning 9: Davids lösning av uppgift 4.. Vi bedömer att detta görs utan någon djupare reflektion för hur detta ska föra lösningen framåt. Sedan försöker han derivera h  x  för att slutligen stoppa in funktionsvärdet för. f och g då x  0.. 31.

(37) Erik är den enda som visar upp en lösning som vi anser närmar sig ett objekttänkande. Han börjar också med att utföra handlingar som inte för lösningen framåt, se lösning 10. Först räknar han ut funktionsvärdet för h  0  .. Lösning 10: Eriks lösning av uppgift 4.. Den senare delen av lösningen tyder dock på en större förståelse av begreppet och alltså närmare den konceptuella förståelsen. Han undviker att derivera de sammansatta funktionerna genom att göra om uttrycket så att han kan använda reglerna för derivering av en produkt. Dock förändras detta ståndstagande då vi intervjuar honom: Erik: Jag hade ingen aning hur jag gjorde den. Jag bara skrev på och använde de kunskaperna jag hade och gissade mig fram lite så. Då vi ändå ber Erik att redovisa hur han tänkte då han löste uppgiften svarar han följande: Robert: Ja… Kan du bara gå igenom ungefär vad du gjort här och förklara hur du tänkte? Det är som du säger, OK, du gissade men du måste ändå haft någon struktur i tänkandet. Du ligger väldigt nära ett korrekt svar, kan jag säga.. 32.

(38) Erik: Ja, alltså, jag har… jag visste inte riktigt hur man skulle derivera en funktion som var upphöjd till… så därför gjorde jag… delade jag upp den i två. Jag bröt ut dem så jag delar dem… Robert: …och så kör du produktderivata på den. Erik: Ja. Robert: Det visar du där. Erik: Ja Robert: Mycket bra… Men vad händer om jag sätter x=0 här i derivatan? Erik: Den blir alltid noll. Alltså den har ingen, den har inget k värde, alltså den går rakt hela tiden. Novica: Men varför sätter du x=0? Erik: Det kommer jag inte riktigt ihåg… Jag chansade där tror jag. Robert: OK! Och sedan säger du så här ”Derivata blir alltid noll oavsett tal, alltså linjen är konstant”. Erik: Alltså är linjen konstant ja… Det var något sådant desperat skrivande i sista minuten. Robert: OK! Vi avslutar intervjun med frågor kring deriverbarhet. Robert: En sista fråga. Den här meningen ”Funktionerna f och g är deriverbara”. Erik: Ja. Robert: Vet du vad det betyder? Erik: Ja, jag tror det är så, att de kan bli deriverade. Men det behöver inte vara så. Robert: Man kan derivera dem, så att säga? Erik: Ja. Robert: Men du ser inte att detta kan betyda något annat? Att man kopplade till något annat? Erik: Nej, deriverbara betyder att de kan deriveras.. 33.

(39) Eriks svar tyder på att han till trots den skrivna lösningen inte går att placera på någon högre kognitiv nivå i APOS-modellen. Han förstår inte vad det innebär att en funktion är deriverbar. Alltså går det heller inte att placera honom i Talls tredje formella värld.. Uppgift 5 Denna uppgift valde vi för att kunna identifiera om eleverna kan lösa uppgifter som kräver att de har ett objekttänkande vad gäller derivata och klarar av att använda detta objekt i ett större system för att lösa en uppgift. Uppgifter av denna typ, där det inte står ”derivera funktion” visar sig vara svår för eleverna. Det är bara Gustav som visar upp en lösning som indikerar objektsnivå i APOS, se lösning 11.. Lösning 11: Gustavs lösning av uppgift 5.. Då vi intervjuar honom är vi intresserade av hur han tänkt då han löste uppgiften: Robert: Visualiserar du den här situationen? Hur gör du rent konkret i huvudet? Gustav: Ja, här tänkte jag så att skillnaden mellan botten och topp var 60 centimeter, alltså nu fattar jag också den (pekar på amplituden) ska vara 0,3 i så fall. Robert: Ja, bra. Robert: I svaret skriver du så här… är max hastighet eftersom det är den största lutningen den ursprungliga funktionen kan få. Gustav: Ja.. 34.

(40) Robert: Då är min fråga, hur vet du att det är den största lutningen? Gustav: …Jag tänkte att derivata av den (pekar på funktionen) är den (pekar på uttrycket för derivatan). … Jag tänkte att det högsta värde som den kan anta (pekar på derivatan) är den högsta hastigheten, men sen, ja. Vi tycker att Gustav här uppvisar en högre grad av kognitiv förståelse. Han ser derivatan som en byggsten i lösningen till uppgiften. Detta överrensstämmer med APOS-modellens objektsnivå. Han skriver felaktigt perioden till 5x . Detta anser vi beror på att han har brister i sina trigonometriska kunskaper på processnivå.. Slutsats Slutligen anser vi att undersökningen ger en bild av att kunskaperna hos eleverna finns som fragment. Ingen av eleverna uppvisar en större sammanhängande struktur av förståelse av derivata begreppet.. Axiomatic-formal. S O P A. Matematisk mognad. Proceptualsymbolic ConceptualEmbodied. Elevernas kunskapsnivå. Figur 4: Elevernas kunskapsnivå insatt i Talls tre matematiska världar.. I de flesta fall når eleverna inte högre upp än till processnivån enligt APOS. Även de elever som lyckas visa en högre kognitiv nivå kan inte visa detta för helheten vad gäller begreppet derivata, utan lyckas bara visa detta i enstaka fall. Om vi markerar den kunskapsnivå som eleverna befinner sig på i modellen för Talls tre matematiska världar. 35.

(41) får vi figur 4. Ur denna figur ser vi att de till största del befinner sig på APOS-modellens två första nivåer handling och process. Någon kan i vissa enstaka fall uppvisa en objektsförståelse. Detta resultat är i linje med vad Meel (1998) kommer fram till då han jämför studenter som går speciella program, ämnade för högpresterande elever, med elever som går vanliga program, vad gäller förståelse av analys (calculus). Han finner att båda grupperna har begreppssvårigheter med differentialer samt att skillnaderna mellan grupperna inte är så stora. Jutter (2006) finner att det finns studenter som kan klara en hel kurs genom att bara lära sig lösa standarduppgifter, utan att de lär sig de viktiga begreppen som finns i kursen. Hon drar slutsatsen att det inte är troligt att dessa elever efter avklarad kurs försöker att fördjupa sin förståelse för begreppen. Studien gjordes på studenter som läste den första analyskursen på universitetsnivå. Engelbrecht et al. (2005) verkar bestrida vår uppfattning att elever har bättre procedurella kunskaper än konceptuella. De visar att studenter som går första året på universitet i Sydafrika och läser det som i Sverige motsvarar analys, inte löser procedurella problem bättre än konceptuella.. 36.

(42) Diskussion och Reflektioner I en ideal situation så hade en pilotundersökning med ett stort antal uppgifter gjorts på ett stort antal elever. Efter bedömning av svaren och intervjuer av eleverna hade de uppgifter som mätte det som förväntades valts ut. Detta har inte kunnat göras då tid till detta inte funnits. Dock tycker vi att uppgifterna vi valt att testa eleverna med väl överensstämmer med vad eleverna kan förväntas klara av efter att ha läst matematik C- och D-kurserna på gymnasiet. Vi anser också att frågorna är relevanta för att testa det som redovisas i kapitlet: Val av frågor, på sidorna 16-19. Vi är medvetna om att frågorna fyra och fem verkar överlag ha uppfattats som mycket svåra. Dock ser vi inte detta som ett skäl till att exkludera dessa då det för att kunna få en bild av elevernas kunskaper måste finnas uppgifter som testar alla nivåer på APOS samt som en följd av detta ligger på gränsen för vad eleverna klarar av. I tabell 1 på sidan 20 redovisar vi hur vi bedömt elevernas lösningar enligt APOSmodellen. Vi är medvetna om att vissa bedömningar kan tyckas konstiga. Ett exempel på detta är Hannas svar på uppgift fem, Novica bedömde hennes svar som för ofullständigt för att kunna bedömas. Robert gjorde bedömningen att eftersom hon försöker att derivera funktionen, se bilaga A, möjligen visar tendenser till att nå upp till process-nivån i APOS-modellen. Denna skillnad i bedömningen anser vi beror på faktorer som kan härledas till författarnas oerfarenhet av APOS-modellen, författarnas generella oerfarenhet att bedöma prov samt att det i bedömningens natur alltid måste finnas utrymme för olika tolkningar. Då en undersökning som vi har redovisat görs blir det i slutändan alltid en diskussion kring hur bedömningen av kunskaperna har gjorts. Även om vi vid intervjuerna har försökt att uppmuntra eleverna, så långt som möjligt, att dela med sig av sina mentala bilder av derivatabegreppet är det ändå svårt att veta vad och hur de tänker kring detta. Det blir vi som på något sätt ska väga och värdera det som eleverna skriftligt och muntligt redovisar. Med detta sagt blev vi ändå förvånade att inga större skillnader fanns mellan eleverna, med tanke på deras förståelse, beroende om de hade ett högt eller lågt. 37.

(43) betyg. Här kan nämnas att den elev som befanns sig väldigt nära botten vad gäller korrekt lösta uppgifter, Bodil, har mvg i betyg i matematik C-kursen. Detta tyder på att vi som lärare kanske inte sätter betyg efter den kognitiva begreppsförståelsen utan snarare efter procedurell skicklighet. I den svenska gymnasieskolan presenteras matematiken ofta som algoritmer som eleverna ska lära sig för att kunna lösa typexempel. Det finns ingen betoning på axiom eller bevis. Vi måste fråga oss vad matematikundervisningen i gymnasieskolan syftar till. Om dess primära mål är att skapa förutsättning för vidare matematiska studier, så tror vi att undervisning, som nästan uteslutande är fokuserad kring processförståelse, inte tillgodoser detta. Just derivatabegreppet kan vara svårt att koppla till företeelser i vardagen, som eleverna tycker är intressanta. Det hade varit intressant att undersöka hur den nyligen föreslagna modellen med profilklasser för matematikintresserade elever kommer att påverka begreppsförståelsen för dessa elever, förutsatt att förslaget blir verklighet. En annan anledning till att elever har en större procedurell skicklighet än konceptuell kan också vara hur de flesta läroböcker är uppbyggda. I början av kapitlen brukar uppgifter av procedurell karaktär finnas och de mer konceptuella i slutet. Detta kan innebära att bara de verkligt intresserade studenterna får en chans att pröva sina färdigheter på konceptuella problemen. Att eleverna inte når, i någon större utsträckning, upp till de högre nivåerna i APOS måste också betraktas med bakgrunden att grunden till den formella förståelsen av derivatans definition involverar förståelse och bevis av gränsvärden. Uppgift 5 är som vi tidigare nämnt felaktig. Detta då uppgiften är given utan att det går att få fram vågens tidsberoende. Uppgiften kan liknas vid att man tar en bild på havet vid en viss tidpunkt där topparna, dalarna samt korken syns. På bilden syns det inte med vilken hastighet vågen utbreder sig. För att vi ska kunna bestämma denna krävs t.ex. att vi har en position till på korken och information om hur många perioder det passerat mellan de två positionerna, samt hur lång tid det är mellan bilderna.. 38.

(44) Det faktum att uppgiften är felaktig anser vi inte påverkar de slutsatser som vi kommit fram till. Det underliggande materialet blir mindre men slutsatserna som dras i kapitlet Slutsats, blir de samma även om vi exkluderar uppgift 5 helt. Elevernas förståelse av begreppet derivata blir inte mindre fragmenterat och skillnaden mellan elever med höga och låga betyg blir inte större utan uppgift 5.. 39.

(45) Referenser Asiala, M., Brown, A., Devries, D., Dubinsky, E., Mathews, D., & Thomas, K. (1996). A. Framework for Research and Curriculum Development in Undergraduate Mathematics Research in Collegiate Mathematics Education. vol. 2. American Mathematical Society, s. 1-32. Caprétz. D., Ericsson, A. (2007). Det lutar åt derivata. Hämtad: 2009-06-12 från http://dspace.mah.se/handle/2043/5897 Dubinsky, E. &, McDonald, M. (2001) APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research. I D. Holton (red.) The. teaching and learning of mathematics at university level: An ICMI study. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. 273-280. Ejlersson, G. (1996). Enkäten i praktiken. Lund: Studentlitteratur. Engelbrecht, J., Harding, A.& Potgieter, M. (2005). Undergraduate students' performance and confidence in procedural and conceptual mathematics. International Journal of. Mathematics Education in Science and Technology, vol. 36 n. 7. s. 701-712. Forskningsetisk policy, (2003). Luleå Tekniska Universitet. Hämtad 2009-04-19 från http://www.luth.se/admin/ffn/policy/foetiskpolicy.pdf. Glaserfeld, E. (1998). Kognition, kunskapskonstruktion och undervisning. I Engström, A. (red) Matematik och reflektion. Lund: Studentlitteratur. s. 34-53 . Juter, K. (2006). Limits of Functions: University Students’ Concept Development. Doktorsavhandling 2006:08, Luleå tekniska universitet, Luleå. Kvale, Steinar. (1997). Den kvalitativa forskningsintervjun. Lund: Studentlitteratur.. 40.

(46) Meel, David E. (1998). Honors Students’ Calcukus Unserstandings: Comparing Calculus & Mathematica and Traditional Calculus Students. I A. Schoenefeld, J. Kaput &, E. Dubinsky, (red), Research in Collegiate Mathematics Education. 3. American Mathematical Society, 163-215. Patel, R. Davidsson, B. (1998). Forskningsmetodikens grunder. Lund : Studentlitteratur . Tall, D. (1999). Reflections on APOS theory in Elementary and Advanced Mathematical Thinking. I O. Zaslavsky (red.), Proceedings of the 23rd Conference of PME, Haifa, Israel, 1, s. 111-118. Tall, D. (2004). Thinking Through Three Worlds of Mathematics. Proceedings of the. 28th Conference of PME, Bergen, Norway, 4, s. 281–288. Tall, D. (2008). The Transition to Formal Thinking in Mathematics. Mathematics. Education Research Journal, vol. 20. n 2. Hämtad 2009-05-11 från ERIC.. 41.

(47) Bilaga A Elevernas svar på uppgifterna som de testades med..

(48) Alma.

(49)

(50)

(51)

(52)

(53) Bodil.

(54)

(55)

(56) Eleven besvarade inte uppgift 5..

(57) Cajsa.

(58)

(59)

(60)

(61)

(62) David.

(63)

(64)

(65)

(66)

(67) Erik.

(68)

(69)

(70)

(71)

(72) Fredrik.

(73)

(74)

(75)

(76)

(77) Gustav.

(78)

(79)

(80)

(81)

(82) Hanna.

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

No results found