• No results found

Resonemang som gör skillnad : En fallstudie om elevers resonemangsförmåga i matematik

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Resonemang som gör skillnad : En fallstudie om elevers resonemangsförmåga i matematik"

Copied!
41
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Resonemang

som gör skillnad

En fallstudie om elevers resonemangsförmåga

i matematik

KURS:Examensarbete för grundlärare årskurs 4-6, 15 hp

PROGRAM:Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4-6

FÖRFATTARE:Natalie Ingelsten Krusell

EXAMINATOR:Anna-Lena Ekdahl

TERMIN:VT20

JÖNKÖPING UNIVERSITY Examensarbete 15 hp

School of Education and Communication Grundlärarprogrammet årskurs 4-6

(2)

SAMMANFATTNING

___________________________________________________________________________ Natalie Ingelsten Krusell

Resonemang som gör skillnad – en fallstudie om elevers resonemangsförmåga i matematik Reasoning that makes a difference – a case study about students’ reasoning ability in math task

Antal sidor: 34

______________________________________________________________________________

I studien synliggörs elevers resonemang

vid problemlösning i

matematikundervisning genom att

ljudupptagning används som ett

pedagogiskt verktyg. Genom en

fallstudie besvaras frågeställningarna: Vilka kvalitativa skillnader i elevernas resonemang går att identifiera? och

Vilka processer av

resonemangsförmågan går att

identifiera? I resultatet beskrivs kvalitativa skillnader i form av olika

betygsnivåer samt skillnader inom

nivåerna. Mest påtaglig är den kvalitativa skillnaden av precisionen i elevernas förklaringar. Även de identifierade processerna bevisning och jämförelse

presenteras i kapitlet.

Sammanfattningsvis kan fastställas att resonemang som gör skillnad handlar om

uppgifters utformning, bedömning,

elevers möjligheter till resonemang samt lärares förhållningssätt till förmågan.

This study aims to make students’ reasoning visible when solving a math problem, through using audio recording as a pedagogical tool. The research questions: What qualitative differences in students’ reasonings are possible to identify? and Which processes of the ability of reasoning are possible to identify? are answered by a case study. In the result, the qualitative differences that are shown in levels of grades, but also within the levels, are described. The most palpable differences are shown in the mathematical precision of the reasonings. Proving and comparing are identified as processes of the ability of reasoning. In summary, reasoning that makes a difference deals with tasks, assessment, student’ opportunities to reasoning and the teacher’s approach to the ability.

______________________________________________________________________________ Sökord: resonemangsförmåga, matematikundervisning, bedömning, matematikuppgifter,

ljudupptagning

(3)

Innehållsförteckning

SAMMANFATTNING... 2 Inledning ... 1 1. Bakgrund ... 3 1.1 Matematik och språk ... 3 1.2 Resonemangsförmågan ... 4 1.2.1 Resonemang i klassrummet ... 4

1.3. Resonemang som struktur och process ... 5

1.3.1 Sökandet efter likheter och skillnader ... 6

1.3.2 Bekräftande ... 6 1.3.3 Exemplifiering ... 7 1.4 Resonemangsförmågan i styrdokumenten ... 7 2. Syfte ... 9 3. Metod ... 10 3.1 Urval ... 10 3.1.1 Klassen ... 10 3.1.2 Uppgiften ... 11 3.1.3 Grupper ... 12 3.2 Datainsamling ... 13 3.3 Analys ... 14 3.4 Etiska överväganden ... 16 3.5 Tillförlitlighet ... 16 4. Resultat ... 17 4.1 Kvalitativa skillnader ... 17 4.1.1 A-nivå ... 17 4.1.2 C-nivå ... 20 4.1.3 E-nivå ... 21

4.1.4 Icke godtagbart resonemang ... 22

4.2 Identifierade processer av resonemang ... 23

4.3 Sammanfattning... 24 5. Diskussion ... 25 5.1 Metoddiskussion ... 25 5.2 Resultatdiskussion ... 27 5.2.1 Uppgifter ... 27 5.2.2 Bedömning ... 28

5.2.3 Elevers möjligheter att resonera ... 29

5.2.4 Lärarens förhållningssätt till resonemangsförmågan ... 30

5.3 Behov av vidare forskning ... 31

5.4 Slutord ... 31

(4)

Bilagor ... 1

Bilaga 1 – uppgiften ... 1 Bilaga 2 - samtyckesblankett ... 3

(5)

1

Inledning

Traditionell katederundervisning1 och tyst individuellt arbete i matematikböckerna. Ja, så

ser matematikundervisning till stor del ut i dagens klassrum (Wedin, 2010). Avsaknad av samtal i klassrummet gällande matematiskt innehåll leder till att elever får färre tillfällen och möjligheter att utveckla sitt matematiska tänkande genom att se samband, resonera och skapa mening (Vukovic & Lesaux, 2013). Uppgifter i matematikböcker erbjuder oftast inte heller de rika möjligheter att utveckla det matematiska tänkandet genom resonemang då elevers fokus är på att lösa många uppgifter snarare än att reflektera över vad och varför man löser dem som man gör (Sidenvall, 2015).

Under de senaste årtionden har viss forskning inom matematikdidaktik inriktats på förmågor (Lithner, 2017). Förmågorna är det samlade begreppet för att förstå, värdera, använda, lösa och resonera kring matematik. En av förmågorna är resonemangsförmågan, vilken visar sig vara problematisk att både definiera (Jeannotte & Kieran, 2017), utveckla (Lithner, 2000) och undervisa om (Lithner, 2017). Resonera innebär att förklara sin tankekedja oberoende av om svaret är rätt eller inte (Lithner, 2017), vilket med fördel görs tillsammans med andra i grupp (Viseu & Oliveira, 2012). När elever både får förklara sin egen tankekedja och lyssna på andras ges de möjlighet att utveckla förmågan att ”föra och följa resonemang” (Skolverket, 2019, s. 60), vilket är den formulering som skrivs i styrdokumenten. Vid kommunikativ undervisning ställs lärare inför dilemmat att man inte hinner med att lyssna, stötta och ge elever feedback (Sterner, 2015). För att underlätta en sådan undervisningssituation prövas i studien hur kvalitativa skillnader i elevers matematiska resonemang kan synliggöras genom att använda sig av ljudupptagningar i undervisningen.

Studien är en fallstudie som genomfördes i en grupp med 51 elever i årskurs 5. Elevernas resonemang, som låg till grund för studiens analys och beskrivs i resultatkapitlet, samlades in genom ljudupptagning. Resonemangen utgick från en uppgift från de nationella ämnesproven i matematik för årskurs 6 läsåret 2014/2015 och löstes i grupper om 2–4

1 Traditionell katederundervisning innebär undervisning i helklass där läraren styr innehållet genom exempelvis föreläsningar (Katederundervisning, u.å.-d).

(6)

2

elever. Bedömningsanvisningarna för uppgiften samt de nio processer vid vilka resonemang kan uppstå, utgjorde grunden för analysen.

(7)

3

1. Bakgrund

Med anledning av språkets betydelse för såväl skriftliga som muntliga resonemang i matematik inleds kapitlet med att beskriva på vilka sätt matematikundervisning kan utveckla elevers språkförmåga. Vidare i kapitlet ges en redogörelse för hur resonemangsförmåga beskrivs i matematikdidaktisk forskning och styrdokument.

1.1 Matematik och språk

Språkets betydelse är av särskild vikt när det kommer till att skapa mening, se samband och resonera i matematik (Vukovic & Lesaux, 2013). Det visar sig också att uppgifter i matematik kräver olika hög grad av språkkunskaper. Aritmetiska uppgifter av till exempel karaktären 234 × 3 kräver inte lika mycket språkkunskaper som uppgifter som behandlar geometriska begrepp eller statistik. Problemlösningsuppgifter som möjliggör för elever att hjälpa varandra genom diskussioner gynnar både deras språk- och kunskapsutveckling (Wedin, 2010; Viseu & Oliveira, 2012). För att elever ska få möjlighet till språk- och matematikutveckling är även organisationen av undervisningen särskilt viktig. Lärarledd interaktion är nödvändig för att hjälpa elever till ett fördjupat resonemang samt att gå från ett här-och-nu-språk till ett mer kontextoberoende och ämnesadekvat språkbruk (Gibbons, 1998). Traditionell katederundervisning och mycket individuellt arbete tenderar att vara ogynnsamt för elevers språk- och kunskapsutveckling (Wedin, 2010), istället bör man se interaktion som grund för att möjliggöra lärande hos elever (Gibbons, 1998). Ett språk- och kunskapsutvecklande arbetssätt bör med tanke på dagens flerspråkiga klassrum tas i beaktning av alla lärare (Skolverket, 2012). Genom att i undervisningen planera för kommunikativa aktiviteter, meningsfulla och utmanande uppgifter samt belysa de språkliga utmaningar som finns i matematikämnet ges elever goda möjligheter att utveckla både sitt språk och sitt matematikkunnande (Wedin, 2010; Viseu & Oliveira, 2012; Gibbons, 1998). Samtidigt finns utmaningar i sådana aktiviteter. Att leda samtal och diskussioner som möjliggör för alla elever att få komma till tals och den otillräcklighet som kan upplevas i att man inte kan eller hinner lyssna och förstå elevers tankar (Sterner, 2015), är två av dem. En tredje utmaning är de invanda mönster som finns i att lärare ställer frågor som elever svarar på och som både lärare och elever kan ha svårt att bryta, vilket behövs för att elevers tankar ska få större utrymme i undervisningen (Viseu & Oliveira, 2012).

(8)

4

1.2 Resonemangsförmågan

Resonemangsförmågan är en av två kommunikativa förmågor som elever ska utveckla (Skolverket, 2017). I styrdokumenten beskrivs resonemangsförmågan med ”att föra och följa resonemang” (Skolverket, 2019, s. 55). Jahnke (2016) bryter ner förmågan i två delar och menar följande: Föra resonemang innebär att pröva och ompröva sina tankar genom exempelvis beräkningar. Frågor som: Kan det stämma? Varför? Varför inte? hör till att kunna föra ett resonemang. Följa resonemang innebär istället att tolka andras resonemang, vilket kan göras i samtal, diskussioner eller i matematiska texter, genom att till exempel ställa frågor eller bidra till vidareutveckling. Att föra och följa resonemang kan således göras skriftligt eller muntligt.

Resonemangsförmågans innebörd för undervisning och elevers lärande visar sig vara en källa till osäkerhet bland verksamma lärare (Sterner, 2015). Att uppfatta förmågan som enbart en kommunikationsförmåga med definitionen att elever ska få prata om matematik är inte tillräcklig utan innebörden är mer komplex än så. Osäkerheten hos lärare är befogad då resonemangsförmågan beskrivs olika i kursplaner beroende på vilken forskning och kunskapssyn de baseras på (Jeannotte & Kieran, 2017). Förmågan kan beskrivas utifrån att lärare bör betrakta elevers resonemang som en produkt av deras tänkande, vilket i tal eller skrift måste synliggöras (Liljekvist, 2014). Att kunna resonera är fördelaktigt för dels det enskilda matematiska tänkandet, dels för att få syn på och lära sig ny matematik (Sullivan & Davidson, 2014).

1.2.1 Resonemang i klassrummet

I klassrummet är det inte tillräckligt att lärare planerar och organiserar aktiviteter där elever samtalar med varandra för att resonemangsförmågan ska utvecklas. Förutom undervisning som möjliggör för elever att resonera bör lärare även skapa normer i undervisningen som möjliggör för resonemang (Jeanotte & Kieran, 2017). Den i matematikklassrum vanligaste normen är att undervisning utgår från att lära sig procedurer och räkna rutinuppgifter för att befästa kunskaper. Å ena sidan är sådana uppgifter nödvändiga då arbetsminnet blir mindre belastat om vi känner oss trygga med att utföra en procedur (Lithner, 2017). Å andra sidan är omställningen till matematikundervisning som ger utrymme för resonemang och som inriktar lärandet på elevers nyskapade eller återskapade kunskap problematisk

(9)

5

och tidskrävande (Lithner, 2017). En förutsättning för en sådan undervisning är ett stöttande klassrumsklimat, relevanta uppgifter och tydliga strukturer (Sidenvall, 2015). Resonemang tillåter elever att gå bortom rutiner och procedurer för att se logik och samband som finns i matematiken. För att utveckla förmågan och kvaliteten i resonemang behöver elever ges goda exempel på hur man resonerar (Sterner, 2015). De behöver även få möta uppgifter som utmanar deras matematiska kunskap och tänkande (Mata-Pereira & da Ponte, 2017). Uppgifter som inbjuder elever till ”zone of confusion” (Sullivan & Davidsson, 2014, s. 606) gynnar deras utveckling av matematiskt tänkande. I ”zone of confusion” finns ingen given lösningsmetod, utan elever blir utmanade att tänka utanför de procedurer och metoder de redan kan.

Lärare har en viktig betydelse i matematikundervisning som bidrar till elevers utveckling av resonemangsförmågan. De kan utmana, stötta, klargöra, uppmuntra, guida, bedöma och utmana elever när de resonerar eller löser uppgifter. Lärares agerande i undervisningen resulterar i att resonemang lyfts fram på olika sätt vilket också får konsekvenser för lärandet (Mata-Pereira & da Ponte, 2017). ”Varför?” är inte en tillräcklig fråga att ställa till elever, utan relevanta följdfrågor som fördjupar och utmanar snarare än förenklar är att föredra. Undervisning som utgår från grupper eller helklassdiskussioner försätter lärare i olika dilemman (Brodie, 2010); Hur möter man elevers bidrag till undervisningen i förhållande till kursplanen? Vad hör man/vad hör man inte? Hur bemöter man missuppfattningar? Hur förhåller man sig till individen i den stora gruppen? I lärares iver att synliggöra elevers resonemang ombeds elever ofta att klargöra, förtydliga, argumentera och utveckla sina svar. Dock finns risk för kontraproduktiv undervisning om läraren alltid intar rollen som följdfrågare och sällan fördjupar eller utvecklar elevers bidrag (Brodie, 2010).

1.3. Resonemang som struktur och process

I syfte att sammanställa vad matematiskt resonemang kan betyda i ett skol- och lärandesammanhang genomförde Jeannotte och Kieran (2017) en litteraturstudie bestående av 145 texter. I deras resultat framträder nio processer som matematiska resonemang kan synliggöras genom. Processerna besvarar frågan vad man gör när man resonerar och delas in under två kategorier, sökandet efter likheter och skillnader samt bekräftande. I följande

(10)

6

stycken förklaras processerna inom respektive kategori mer ingående. Begreppen är markerade med fet stil.

1.3.1 Sökandet efter likheter och skillnader

När man resonerar i syfte att försöka finna nya slutsatser eller relationer utifrån och mellan en given och avgränsad mängd utför man generaliseringar (Jeannotte & Kieran, 2017). Ett annat sätt att använda resonemang är genom att anta. Vid antaganden är något förmodligen sant och andra resonemang behövs för att stödja eller dementera antagandet. För att kunna göra antaganden är det även viktigt att använda resonemangen till att beskriva

jämförelser mellan objekt och relationer. Generaliseringar, antaganden och jämförelser

kan även associeras med de resonemang som används vid klassificering av matematiska begrepp och samband. Klassificering innebär att man ur ett meta-perspektiv länkar samman och strukturerar det matematiska objektet utifrån vedertagna definitioner och egenskaper. Till sist, när man söker efter likheter och skillnader mellan matematiska objekt och relationer kan man göra det genom att förutsäga och se regelbundenheter i mönster. Vid sådana processer används resonemang som identifikation av mönster (Jeannotte & Kieran, 2017).

1.3.2 Bekräftande

I kontrast till de fem ovan beskrivna processerna fokuserar följande tre processer istället på sanningshalten i resonemang. De bekräftande processerna är sociala i den betydelsen att det är flera individer inblandade när man söker efter data och bevis som kan komma ännu närmare sanningen (Jeannotte & Kieran, 2017). Justering är när resonemang används för att förändra det sannolika värdet på en matematisk beskrivning från troligen till mer troligt eller från troligen till sant/falskt. Likt justering, syftar resonemang som används vid bevisning också till att förändra det sannolika värdet på den matematiska beskrivningen, dock genom att ta bort alla former av tvivel. I centrum för bevisning står en begränsad mängd data som dessutom är känd för andra individer i sammanhanget. Bevisning syftar till att öka värdet från troligen till sant. En vidareutveckling på bevisning är formell bevisning vilken än mer syftar till att värdemässigt komma nära sanningen. Här används resonemang till att analysera data och bevis i syfte att bevisa matematiska teorier (Jeannotte & Kieran, 2017).

(11)

7

1.3.3 Exemplifiering

Både när det gäller processer i att söka efter likheter och skillnader eller bekräfta sanningen kan exemplifiering fylla en viktig funktion genom att förklara eller fördjupa exempelvis antaganden eller generaliseringar (Jeannotte & Kieran, 2017). Dock är det viktigt att poängtera, att processer av resonemang används och samverkar vid de tillfällen elever resonerar. Processerna sammanställs i figur 1.

Figur 1 – En sammanfattning av processerna i vilka resonemang uppstår. 1.4 Resonemangsförmågan i styrdokumenten

De matematiska förmågorna har blivit centrala i diskussionen gällande matematik som ämne (Jahnke, 2016). Förmågorna varierar mellan länders skolväsenden i antal, kunskapssyn och forskning. I svensk grundskola är det följande fem förmågor som dominerar; begrepps-, kommunikations-, resonemangs-, problemlösnings- och procedurförmågan (Jahnke, 2016). Resonemangsförmågan innebär att elever ska utveckla sin förmåga att argumentera för sina lösningar och slutsatser (Skolverket, 2019). Förmågan innebär således även att kunna se eller återupptäcka matematiska samband samt på ett logiskt sätt resonera sig fram till exempelvis vilken lösningsmetod som är lämplig att använda och varför. I situationer då matematik används aktiveras ett samarbete mellan förmågorna, vilket leder till att matematikämnet bör studeras och undervisas i sin helhet och inte inrikta sig på att utveckla en förmåga i taget (Jahnke, 2016). Det överensstämmer med hur ämnet beskrivs i kommentarmaterialet då elever i till exempel problemlösningssituationer ska reflektera och värdera de valda strategier, modeller och metoder de använder sig av eller resonera kring sambandet mellan olika begrepp (Skolverket, 2017). I det centrala innehållet beskrivs inte resonemangsförmågan explicit, däremot beskrivs det i kommentarmaterialet som viktiga komponenter i områdena sannolikhet och statistik, geometri, algebra och rimlighetsbedömning (Skolverket, 2017). Kunskapskraven ger resonemangsförmågan desto mer utrymme då elevers förmåga att resonera bedöms utifrån hur väl eleven kan beskriva tillvägagångssätt och rimlighet i en

Generlisering Jämförelse Antagande Klassificering Identifikation av mönster

(12)

8

problemlösning, hur väl eleven kan relatera begrepp till varandra samt hur väl eleven kan följa och ifrågasätta andras samt föra sina egna resonemang framåt i en redovisning eller i samtal (Skolverket, 2019). Progressionen ligger således i hur eleven bemöter och framför matematiska argument i samtal, redovisning och diskussioner (Skolverket, 2017).

(13)

9

2. Syfte

Studien syftar till att synliggöra elevers resonemang när de löser ett matematiskt problem, genom att använda ljudupptagning i undervisningen.

Syftet besvaras genom följande frågeställningar:

• Vilka kvalitativa skillnader i elevers resonemang går att identifiera? • Vilka processer av resonemangsförmågan går att identifiera?

(14)

10

3. Metod

Studien syftar till att synliggöra resonemangsförmågan genom att använda appen Röstmemo på iPads som ett pedagogiskt verktyg. Med utgångspunkt i syftet designades en kvalitativ fallstudie med ett begränsat antal elever som i grupp muntligt resonerade om en uppgift från de nationella ämnesproven i matematik för årskurs 6 läsåret 2014/2015. De fall som studeras i fallstudier kan vara av olika form (Bryman, 2011). Fallet i den här studien kan beskrivas som ett exemplifierande fall eftersom det beskriver en vardaglig situation i ett klassrum och forskningsfrågorna ges möjlighet att besvaras utifrån en specifik kontext. Studiens insamlade data utgör de inspelade resonemang från de 13 grupper av elever. Utifrån insamlade data analyserades elevernas förmåga att föra och följa resonemang samt de processer som gick att identifiera i resonemangen. Genomförandet av studien, det vill säga urval, insamling av data och analys, de etiska aspekterna samt studiens tillförlitlighet beskrivs nedan.

3.1 Urval

Med forskningsfrågorna i åtanke genomfördes tre målinriktade urval i studien - urval av undersökningsgrupp, uppgift samt grupper att analysera.

3.1.1 Klassen

Bryman (2011) menar att det som särskiljer fallstudier från andra forskningsdesigner är det idiografiska synsättet, det vill säga intresset av att belysa fallets specifika drag. I den här studien innebär det att intresset finns i att synliggöra kvaliteter i elevers resonemang. För att få tillgång till kvaliteterna bedömdes att situationen skulle vara så naturlig och trygg som möjligt för eleverna när de resonerar. Av den anledningen gjordes ett målinriktat urval av undersökningsgrupp till en klass som kände mig väl på grund av att jag gjorde min senaste verksamhetsförlagda utbildning (VFU) hos dem. Klassen blev därför strategiskt utvald som lämplig att studera i syfte att besvara forskningsfrågorna (Bryman, 2011). Av de 51 elever som klassen bestod av samtyckte 46 elever till medverkan i studien. Under datainsamlingen var endast 37 elever av de som samtyckt till medverkan i studien närvarande, vilka delades in i 13 grupper. Vid sammansättningen av grupper förhöll jag mig till Skolverkets (u.å.-a) rekommendationer för genomförande av de muntliga

(15)

11

nationella ämnesproven i matematik, delprov A. De förespråkar att läraren konstruerar grupper om 3–4 elever som ska fungera väl och vara relativt homogena i kunskapsnivå. Grupperna sattes ihop i samråd med den undervisande läraren i klassen då ett antagande var att läraren har bäst vetskap om elevernas kunskapsnivå och gruppdynamik. En grupp bestod, på grund av frånvaro, enbart av två elever.

3.1.2 Uppgiften

Nästa målinriktade urval var den uppgift eleverna skulle lösa. Då det var önskvärt att uppgiften möjliggjorde för resonemang, var väl genomtänkt och beprövad samt prövade elevers kunskaper i förhållande till kunskapskraven i matematik, inriktades urvalet på de äldre och genomförda nationella ämnesproven i matematik för årskurs 6. Till dessa prov fanns dessutom tydliga anvisningar gällande genomförande, bedömning samt uppgifters kopplingar till förmågorna, vilka togs i beaktande i studien. Anvisningarna om gruppers storlek, tidsangivelse och tillåtna hjälpmedel beaktades vid genomförandet av studien och vid analysen användes matris och elevexempel från bedömningsanvisningarna. Av de tre äldre nationella ämnesprov som fanns tillgängliga på Stockholms universitets hemsida2

fanns nio uppgifter (utöver tre muntliga delprov) som prövade resonemangsförmågan. Uppgifter från det muntliga delprovet exkluderades i urvalet då de kräver lärarledning på ett sätt som inte var möjligt att genomföra i studien. De muntliga proven krävde exempelvis att läraren ställer följdfrågor eller delar ut nästa frågekort, vilket inte gick att genomföra i studien. Efter att ha studerat de nio uppgifterna valdes uppgift 35 i delprov E från

ämnesprovet läsåret 2014–2015 (Skolverket, u.å.-b). Förutom att pröva

resonemangsförmågan, ansågs uppgiften inbjuda till diskussion och bedömdes i relation till eleverna i klassen ha en rimlig svårighetsnivå, trots att provet var avsett för elever i årskurs 6. Den utvalda uppgiften syftade till att pröva elevers resonemang om statistik genom en undersökning som har gjorts om djur, vilket väckte vissa elevers intresse. Statistik är, enligt kommentarmaterialet till kursplanen i matematik, ett av de innehåll i kursplanen vid vilken resonemangsförmågan blir en viktig komponent då det handlar om att se samband mellan olika matematiska företeelser (Skolverket, 2017), i det här fallet tabell och diagram. Figur 2 nedan visar uppgiften i litet format, den finns även bifogad i bilaga 1.

(16)

12

Figur 2 - Uppgift 35 från delprov E, nationella ämnesproven i matematik 2014–2015 som användes i studien I sin helhet bestod delprov E av två uppgifter vilket avgränsades i studien till att enbart beröra uppgift 1, dock med deluppgifterna a, b och c. Uppgiften var ursprungligen enskild och skriftlig men bedömdes ändå möjliggöra för samtal och resonemang i grupp. Enligt bedömningsanvisningarna prövades även andra förmågor i uppgiften, vilket inte fokuserades på här.

3.1.3 Grupper

Efter att lektionen genomförts och elevernas resonemang spelats in lyssnade jag igenom inspelningarna i syfte att se i vilka uppgifter resonemang uppstod och om alla grupper gick att inkludera i analysen. Vid genomlyssnandet av ljudinspelningarna blev det tydligt att eleverna enbart resonerade i deluppgift c. I övriga uppgifter diskuterades exempelvis hur man skulle lösa uppgiften eller vem som skulle skriva svaret, vilket inte bidrog till fördjupade resonemang. Av de 13 gruppernas inspelade samtal exkluderades två gruppers inspelningar då deras resonemang inte gick att följa på grund av att de inte fokuserade på uppgiften. Övriga 11 gruppers resonemang inkluderades i analysen. Gruppernas resonemang utgör studiens insamlade data.

Hjälpmedel: miniräknare, linjal

Äp6Ma15 Delprov E 2

Uppgift 35. Statistik (5/5/5)

I. En undersökning i Majas klass

Läraren har berättat om några djur i Sverige. I slutet av lektionen frågar läraren vilket av dessa fyra djur eleverna tycker bäst om.

Så här svarade eleverna i klassen.

Djur Avprickning Antal

Räv 6 Älg 4 Säl 2 Björn 12 a) Hur många elever har svarat?

Visa hur du löser uppgiften.

b) Maja har påbörjat ett stapeldiagram för att visa resultatet av undersökningen.

Gradera y-axeln (antal elever) och rita färdigt alla staplar.

Hjälpmedel: miniräknare, linjal

Äp6Ma15 Delprov E 2

Uppgift 35. Statistik (5/5/5)

I. En undersökning i Majas klass

Läraren har berättat om några djur i Sverige. I slutet av lektionen frågar läraren vilket av dessa fyra djur eleverna tycker bäst om.

Så här svarade eleverna i klassen.

Djur Avprickning Antal

Räv 6 Älg 4 Säl 2 Björn 12 a) Hur många elever har svarat?

Visa hur du löser uppgiften.

b) Maja har påbörjat ett stapeldiagram för att visa resultatet av undersökningen.

Gradera y-axeln (antal elever) och rita färdigt alla staplar.

Hjälpmedel: miniräknare, linjal

Äp6Ma15 Delprov E 3

c) Vilket cirkeldiagram visar undersökningens resultat?

Ringa in diagrammet och förklara hur du kommer fram till ditt svar. Du ska också visa och förklara vilket djur och vilken färg som hör ihop.

(17)

13

3.2 Datainsamling

I fallstudier är målet att på ett ingående sätt beskriva den miljö eller situation som studeras, eftersom ”fallet” ofta förknippas med en plats eller organisation (Bryman, 2011). ”Fallet” i den här studien är de elever som undervisades under den lektion som planerades med utgångspunkt i uppgiften. Lektionen varade i 45 minuter och genomfördes två gånger då eleverna var indelade i två grupper/klasser. I inledningen av lektionen introducerade jag, i rollen som undervisande lärare, lektionens mål och syfte samt uppgiften. I introduktionen lades stort fokus på att uppmana eleverna att förklara hur de tänker och varför de tänker som de gör. Även vikten av att låta alla i gruppen få komma till tals och att förklara så att alla förstår poängterades. Därefter delades materialet ut och grupperna placerades på förutbestämda platser. Då möjligheten fanns att använda två klassrum, två grupprum samt ett bord i korridoren användes alla utrymmena under aktiviteten. Det material eleverna hade till sin hjälp var kladdpapper, pennor, linjal och om de så önskade även miniräknare, enligt Skolverkets (u.å.-b) rekommendationer för genomförandet av provet. När eleverna arbetade med uppgiften gick jag och den undervisande läraren runt till grupperna och lyssnade, uppmanade dem att förklara hur de tänkte samt kontrollerade att eleverna var på rätt väg i sitt arbete. Vi valde att inte förklara uppgifter eller svara på frågor angående matematiken utan uppmuntrade eleverna att istället vända sig till varandra med den typen av frågor. När eleverna slutfört uppgiften samlades materialet ihop och de fortsatte med sitt arbete i matematikboken.

Anledningen till att eleverna delades in i grupper för att lösa uppgiften var det fördelaktiga med att deltagarna hjälps åt att fördjupa, utveckla, argumentera och förklara sina tankar när de samtalar med varandra, vilket gav ett rikt material att analysera i studien (Bryman, 2011). Dock fanns inte möjlighet för mig att ställa följdfrågor eller styra innehållet i samtalet eftersom deltagarna själva ledde det.

Elevernas resonemang samlades in genom appen Röstmemo på iPads. Användning av teknik vid en studie medför risker i att något strular eller att deltagare i studien hämmas av upplevelsen av att bli inspelad (Bryman, 2011). För att kringgå teknikstrul tog jag vid genomförandet av studien god tid på mig att göra iPadsen redo genom att kontrollera laddning samt trycka fram appen för att spara tid för eleverna. Vid instruktionen poängterades för eleverna att enbart låta iPaden ligga i mitten på bordet och ”försöka tänka bort den” för att få ett så autentiskt material som möjligt.

(18)

14

Då studiens frågeställning syftar till att analysera vilka kvalitativa skillnader av elevernas resonemang som synliggjordes var språket, det vill säga det som faktiskt sades, i särskild fokus under analysen (Bryman, 2011). Därför fungerade ljudupptagningarna inte enbart som pedagogiskt verktyg utan även som datainsamlingsmetod. Ljudupptagningarna fungerade väl för att genomföra analysen genom att de förbättrade min minneskapacitet, gav mig möjligheten att lyssna flera gånger samt spara materialet för att styrka studiens trovärdighet (Bryman, 2011). De delar av elevernas samtal där resonemang fördes transkriberades sedan i syfte att underlätta analysen. Transkribering är en tidsödande process men nödvändig för analysen (Bryman, 2011).

3.3 Analys

Som tidigare nämnts i bakgrunden innebär resonemangsförmågan inte enbart samtal. Ett resonemang kräver att elever förklarar och motiverar sina tankar, vilket kan göras i varierande kvalitet. För att synliggöra resonemangen transkriberades enbart de delar av samtalen vid vilka resonemang förs och följs medan ”pratet” exkluderades. ”Prat” kunde exempelvis vara diskussioner om vilket djur eleverna gillade mest eller yttranden som ”tänk att hon ska lyssna på det här sen”. Det material som kvarstod efter exkluderingen utgör studiens analysenhet, vilket resulterade i 13 transkriberade samtal à 1–5 minuter. Analysen av de transkriberade delarna påbörjades tidigt och gjordes efterhand i syfte att öka förståelse och underlätta tolkning (Bryman, 2011). Materialet lästes igenom flertalet gånger och noteringar fördes både under tiden samt sammanfattades vid avslutad läsning. Vid analysen fokuserades studiens frågeställningar och inleddes med att synliggöra de kvalitativa skillnaderna i elevresonemangen. Resonemangsförmågan bedöms utifrån bedömningsanvisningarna för delprovet enligt betygsstegen E, C och A med de kriterier som listas nedan i figur 3.

E. För ett enkelt resonemang om

diagram C, t.ex. att björn utgör hälften och hur djur och färger matchar mot varandra.

C. För ett resonemang kring diagram C,

t.ex. genom att på ett godtagbart sätt koppla andelarnas storlek till respektive djur.

A. För ett väl underbyggt resonemang3 kring samtliga djurs andelar i diagram C

Eller

för ett systematiskt, logiskt resonemang som utesluter övriga diagram.

Figur 3 - bedömningsanvisning för uppgiften (Skolverket, u.å.-a, s. 15)

3 Väl underbyggt exemplifieras i bedömningsanvisningarna till att innehålla ett resonemang om samtliga djurs andelar (Skolverket, u.å.b, s. 48).

(19)

15

Förmågan som bedöms är ”föra och följa resonemang” (Skolverket, 2019, s. 60) och bedömningsanvisningarna som finns för delprovet behandlar till stor del endast hur eleverna för resonemang. Samtidigt inbjuder uppgiften, så som den utförs i studien, eleverna att dessutom följa resonemang. Därför togs hela förmågan samt kunskapskravet ”i redovisningar och samtal kan eleven föra och följa matematiska resonemang genom att ställa frågor och framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som till viss del

för resonemangen framåt (E)/för resonemangen framåt (C)/för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem (A)” (Skolverket, 2019, s. 60–62), i beaktande

vid analysen.

Inledningsvis analyserades varje grupps resonemang var för sig och hänsyn togs då till hela gruppens och inte till enskilda individers insatser. De transkriberade samtalen placerades i plastfickor uppmärkta med A, C, E och F för vidare analys av kvalitativa skillnader inom kvalitén. Vid analysen av kvalitativa skillnader inom samma nivå jämfördes resonemangen inbördes för att få syn på intressanta vinklar inom resonemangen.

Därefter analyserades resonemangen utefter de nio processer som blivit beskrivna i kapitel 2.4. Processerna tillämpades som begreppsliga redskap för att upptäcka i vilka former resonemangen uppstår. I den här delen av analysen lästes varje transkription återigen, dock utan inbördes ordning. Inledningsvis i den här delen av analysen försökte jag att identifiera flera processer i av elevernas resonemang genom att kategorisera enskilda yttranden som en process. Det medförde dock svårigheter eftersom eleverna samtalar och följer upp varandras tankar samt att alla yttranden inte resulterade i resonemangets slutsats. Exempelvis kunde elever i början av samtalet uttrycka ”jag tror det är a”, vilket skulle kunna identifieras som ett antagande. När eleverna sedan diskuterade vidare kom de dock fram till något annat, vilket medförde att det första yttrandet var irrelevant. Därför beslöt jag, efter flertalet genomläsningar och diskussion med en kollega, att ta hela resonemanget i beaktning istället för olika delar av det. I ett försök att urskilja essensen i resonemanget jag ställde följande frågor till texten: Vad gör eleverna när de resonerar? Vilken av processerna identifieras? Frågorna möjliggjorde, till slut, att två processer kunde identifieras eftersom de gick att besvara med exempelvis; de bevisar att diagram C överensstämmer med tabellen.

(20)

16

3.4 Etiska överväganden

I enlighet med de forskningsetiska principer som gäller för humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning (Vetenskapsrådet, 2017) har elever som deltar i studien och deras vårdnadshavare informerats och samtyckt till deltagande genom en skriftlig blankett (bilaga 1). I blanketten informeras kort om studiens syfte, genomförande och hur materialet kommer att användas och ett samtycke lämnas genom att vårdnadshavaren signerar blanketten. Ett samtyckte av den här karaktären är av särskild vikt då studien involverar barn under 15 år samt datainsamling genom ljudupptagning. Deltagarna är informerade om att de eller deras vårdnadshavare när som helst kan avbryta sitt deltagande utan att ange anledning. Då innehållet i ljudinspelningarna transkriberas och därmed anonymiseras och avidentifieras omöjliggörs att elevernas identitet syns i studiens resultat, vilket bidrar till att skydda deras identitet (Vetenskapsrådet, 2017). Ljudupptagningarna används inte för att presentera studien i något sammanhang utan att först blivit transkriberad och avidentifierad. I utdragen från elevernas resonemang i resultatet används ”elev X” för samtliga elever. Personligen har jag ansvarat för utdelning, insamling och bevarande av blanketterna samt all data som används i studien i syfte att skydda personuppgifterna. Då dessa etiska överväganden har gjorts anses studien vila på forskningsetisk god grund.

3.5 Tillförlitlighet

En kvalitativ fallstudie bör bedömas utifrån hur tillförlitligt resultatet är (Bryman, 2011). För att stärka den här studiens trovärdighet har fallet beskrivits ingående med hänsyn till de etiska aspekterna. Resultat och metod redovisas på ett tydligt och beskrivande sätt för att möjliggöra överförandet av att testa den pedagogiska idén i andra klassrum. På ett transparent sätt har jag redogjort för både metod och resultat samt diskuterar det på ett kritiskt sätt i diskussionskapitlet (kap. 5) vilket stärker pålitligheten i processen. För att stärka studiens tillförlitlighet har jag försökt att agera professionellt och inte medvetet låtit personliga åsikter och värderingar påverka undersökningens genomförande och resultat. Larsson (2005) menar vidare att kvalité i studien kan vidhållas genom en röd tråd som löper genom alla kapitlets delar samt författarens förkunskaper är förankrat i tidigare forskning. Även de här aspekterna har jag på ett ärligt sätt försökt att beakta i studien.

(21)

17

4. Resultat

I kapitlet beskrivs vilka processer som identifierats samt vilka kvalitativa skillnader elever uppvisade utifrån den analys som genomförts. De kvalitativa skillnaderna beskrivs både utifrån betygsnivåerna A, C, E och F samt inom A- och C-nivå. E- och F-nivå beskrivs inte utifrån kvalitativa skillnader eftersom det inte gick att identifiera några sådana.

4.1 Kvalitativa skillnader

Elevernas resonemang bedömdes på gruppnivå då det i många grupper inte var möjligt att fånga enskilda individers resonemang eftersom de utvecklade, stöttade och diskuterade sig fram till en gemensam slutsats. Vid bedömningen synliggjordes att sex av de elva grupperna visade A-kvalitet utifrån de bedömningsanvisningar som användes. Två grupper visade C-kvalitet, två grupper visade E-kvalité och en grupp visade inte godtagbart resonemang i uppgiften och bedömdes därmed med F. Gemensamt för grupperna var den jämförelse av diagrammen som diskuterades och som uteslöt diagram A och B. Det uteslutande resonemanget baserades på att en cirkelsektor måste utgöra hälften av cirkeln, eftersom 12 är hälften av 24. Samtliga grupper kom även fram till att diagram C var korrekt utifrån tabellen de fått ta del av. Tabellen och diagrammen som hörde till uppgiften visas i figur 4.

Figur 4 - Uppgiften är att komma fram till vilket diagram som visar resultatet i tabellen.

4.1.1 A-nivå

Ett resonemang som bedömdes som A-kvalité redogjorde för samtliga djurs andelar i diagram C eller uteslöt övriga diagram på ett systematiskt sätt. Resultatet visar att samtliga sex grupper som visade A-kvalité redogjorde för två eller tre djurs andelar och uteslöt sedan på ett systematiskt sätt övriga diagram. I utdrag 1 visas ett exempel på en grupps resonemang vid vilket de systematiskt och logiskt uteslöt övriga diagram.

Hjälpmedel: miniräknare, linjal

Äp6Ma15 Delprov E 2

Uppgift 35. Statistik (5/5/5)

I. En undersökning i Majas klass

Läraren har berättat om några djur i Sverige. I slutet av lektionen frågar läraren vilket av dessa fyra djur eleverna tycker bäst om.

Så här svarade eleverna i klassen.

Djur Avprickning Antal

Räv 6

Älg 4

Säl 2

Björn 12

a) Hur många elever har svarat?

Visa hur du löser uppgiften.

b) Maja har påbörjat ett stapeldiagram för att visa resultatet av undersökningen.

Gradera y-axeln (antal elever) och rita färdigt alla staplar.

Hjälpmedel: miniräknare, linjal

Äp6Ma15 Delprov E 3

c) Vilket cirkeldiagram visar undersökningens resultat?

Ringa in diagrammet och förklara hur du kommer fram till ditt svar. Du ska också visa och förklara vilket djur och vilken färg som hör ihop.

(22)

18

Utdrag 1

Eleverna turades om och hjälpte varandra att vidareutveckla resonemanget. När elev 2 sa ”A och B för det var inte hälften av djuren” och uteslöt diagram A och B gav elev 3 senare ett exempel på varför de uteslöt diagram D ”om det hade varit tre älgar och tre sälar så hade det varit D”. Att lyssna, stötta och fördjupa varandras tankar likt eleverna i den gruppen var kännetecknande för A-grupperna, vilket tyder på att de både förde och följde resonemang på ett utvecklat sätt. De grupper som visade A-kvalité visade även generellt att de förde och följde varandras resonemang på ett mer kvalitativt sätt än i de andra grupperna. De fördjupade, lyssnade, deltog och hjälptes åt att nå en gemensam slutsats i större grad än de grupper som visade C-, E- och F-kvalité. Grupperna som visade lägre kvalité visade även en större tendens till individuella resonemang som inte fördjupade eller vidareutvecklade varandras.

Även mellan grupper på A-nivå gick det att urskilja kvalitativa skillnader i resonemangen. Då de spelades in och fördes muntligt i grupp visades skillnader i hur tydliga de var samt vilket matematiskt språk som användes. Det matematiska språket var inget krav för A-nivå i resonemangsförmågan enligt matrisen, dock blev det tydligt i analysen att ett specifikt matematiskt språk förtydligar resonemanget avsevärt. Jämför exempelvis tydligheten i utdrag 2 och 3:

Utdrag 2

Utdrag 3

För att förstå vad eleven i utdrag 2 menade och ville säga krävdes att man är insatt i uppgiften och förstod vilken cirkelsektor hen pekade på när hen uttryckte ”den” och ”den

Elev 1: Vi uteslöt

Elev 2: A och B för det var inte hälften av djuren

Elev 3: Vi vet ju att björn var hälften, ja björn var ju hälften

Elev 2: Ja och då måste det vara 50% eller halva, ja och då kan vi utesluta A och B Elev 1: Då skriver du lila är lika med björn, blå är lika med

Elev 3: Räv för 6 är en fjärdedel av 24 eftersom det var 24 elever Elev 1: Och de två som finns kvar är ändå mindre än räven Elev 2: Vad är röd egentligen då

Elev 3: Röd var älg, om det hade varit tre älgar och tre sälar så hade det varit D Elev 2: Vi uteslöt även D för det inte var lika många av de här så det måste vara C

Vi gör så här, den där är hälften av den, den där är hälften av den, den där är hälften av den. För då måste det ju vara C då.

Vi tänker att det måste vara C för att den har både 50% björn och 25% räv och att det borde vara älgen som är en sjättedel.

(23)

19

där”. Resonemanget var inte matematiskt tydligt och kunde inte stå för sig själv i en skriftlig kontext. Däremot i den kontext det uppkom, i samtal med andra elever som löste samma uppgift, fungerade resonemanget då det var konkret och förklarande för de som befinner sig i samma kontext som eleven själv. Dock visar utdrag 3 på ett betydligt mer matematiskt tydligt resonemang då eleven använde sig av procent, bråk samt djurens namn vilket gör att resonemanget kunde stå för sig själv och förstås utan att man delar samma kontext. Med anledning av det blev resonemanget i utdrag 3 mer generellt då det fungerade utanför den aktuella bilden.

De grupper som visade A-kvalité valde alla att utesluta övriga diagram genom ett systematiskt och logiskt resonemang. Med anledning av det förde de inte något resonemang om alla djurs och färgers andelar i diagrammen, likt det skriftliga resonemang som exemplifierar begreppet väl underbyggt i bedömningsanvisningarna: ”Diagram C för

24

2 är 12. Då är det den som är 1 2.

12

2 är ju 6 och då blir den blå delen den med rävar som är 1

4. Älgen var 4 och sälen 2. Och eftersom 2+4 är 6 så passar det in i diagrammet. Så lila är 1 2 och björn. Blå är 1 4 och räv. Röd 1 6 och älg. Grön är 1

12 och säl” (Skolverket, u.å.-b, s. 48).

Ett sådant tydligt resonemang förekom inte i studiens data utan eleverna varierade i hur de uttryckte sig med andelar och antal, vilket bidrog till otydlighet i resonemangen. Om eleverna exempelvis inledde med att resonera om björnen som utgör hälften av djuren och räven som utgör en fjärdedel för att sedan tala om antal och storlek på cirkelsektorerna minskade det följsamheten i resonemanget. En sådan svårighet exemplifieras i utdrag 4 då eleven blandade antal med andelar och storlek på cirkelsektorer för att bevisa att diagram C stämmer före diagram D.

Utdrag 4

Återigen, i den kontext resonemanget uppkom gick det att följa och förstå men i fråga om matematisk precision och tydlighet uppstod tveksamheter. Resonemanget bedömdes ändå uppnå A-kvalité då eleverna uteslöt de andra diagrammen på ett systematiskt och logiskt sätt.

Älg är 4 och säl är 2. Det är liksom hälften av fyra här och om de delar den här på mitten, den här röda då så ser du att en sån här är lika stor som den här och det ryms ju liksom två.

(24)

20

Ett annat exempel på ett utstickande resonemang är utdrag 5 då ett resonemang fördes kring andelar, antal och de olika diagrammen men som motiverades:

Utdrag 5

Eleverna konstaterade att det är rimligt att diagram C är rätt men de förklarade inte varför det är rimligt. Därför ifrågasattes argumentet som matematiskt hållbart då det inte styrktes med uträkningar eller förklaringar. Enligt kunskapskraven för årskurs 6 bör elever ställa sig frågande till om resultatet i en problemsituation är rimligt och utifrån det föra underbyggda resonemang (Skolverket, 2019), med andra ord förklara varför ett resultat är rimligt. Här konstaterades dock enbart rimligheten, vilket inte är hållbart för uppgiften. 4.1.2 C-nivå

C-nivå visar de två grupper som återgav två djurs andelar och två djurs antal i sina resonemang, vilket bedömdes vara ett godtagbart sätt att koppla andelarnas storlek till respektive djur. I utdrag 6 ges ett sådant exempel.

Eleven förde ett godtagbart resonemang och redogjorde för att 12 är hälften (av 24) och att 6 är hälften av 12. För mer matematisk tydlighet i resonemanget hade det varit önskvärt att hänvisa till antalet 6 som en fjärdedel av helheten istället för hälften av hälften. Grupperna på C-nivå förde inte ett systematiskt och logiskt resonemang om de andra diagrammen, även om diagram D nämndes i diskussionen likt ”det står mellan C och D”.

De två grupper som visade C-kvalité i sina resonemang hade båda intressanta aspekter värda att lyfta. Den första gruppen förde ett resonemang som var nära på att exkluderas från urvalet då det var svårt att följa eftersom de fokuserade på fler saker än uppgiften. En minuts sammanhängande resonemang framkom dock i slutet av inspelningen vilket gjorde att det trots allt inkluderades. Eleverna kom fram till att diagram C ska vara rätt på ett mycket knapphändigt vis. När de sammanfattade hur de kom fram till sitt resultat framfördes ett utstickande resonemang från en av eleverna. Eleven menade att älgen, som är fyra till antalet, är två tredjedelar av den blå cirkelsektorn och alltså representerar den röda cirkelsektorn. Den intressanta formuleringen ”två tredjedelar av den blå” visar hur

Rimlighet får man tänka, man måste tänka rimlighet. För här på D är det ju samma på röd och grön.

Utdrag 6

Elev: Den lila är björnen och det är 12 så det är hälften (ohörbart) och sen kommer det blå och det är räv för det är 6 stycken och det är hälften av 12 då. Och sen kommer älg och det är fyra stycken och det är två tredjedelar av det blåa och den är röd och det är 4 och då är det två kvar och det är säl och det är gult.

(25)

21

eleven troligtvis jämförde cirkelsektorerna med varandra istället för med helheten. Figur 5 visar diagram C som eleverna resonerade kring.

Figur 5 – ett av de diagram som ingår i uppgiften.

Den andra gruppen var intressant ur den aspekten att de kämpade med hur de skulle formulera sig (utdrag 7). De kom fram till rätt diagram och matchade färger med djur, men problemet uppstod när de skulle förklara hur de tänkte. De inledde med att beskriva i procent (björn = 50% och räv = 25%) men gav upp när de skulle ange procent till de mindre andelarna. De verkade även sakna begreppen för att tydligt förklara vad som skiljer diagram C och D åt.

Utdrag 7

Eleverna i utdrag 7 ville visa en matematisk beräkning för sin bevisning att diagram C är korrekt, vilket de lyckades med för två av djuren men de kunde inte räkna ut procentandelarna för älg och säl. När de sedan behövde förklara det på ett annat sätt användes begreppet ”skala” för att beskriva cirkelsektorernas storlek samtidigt som eleverna uttryckte att det var ”svårt att förklara”. Trots att eleverna saknade begrepp och metod för att beskriva sina tankar rent matematiskt gick deras resonemang att följa. De svårigheter som synliggjordes här kan motivera till undervisning om hur man kan uttrycka sig när man förklarar sina tankar.

4.1.3 E-nivå

Ett resonemang på E-nivå är ett enkelt resonemang eftersom man till exempel redogör för att björn utgör hälften och sedan parar ihop djur och färger med varandra. De två grupper som visade E-kvalité i sina resonemang berörde visserligen att diagram A och B inte var lämpliga med tanke på att björnen måste utgöra hälften och att antalet cirkelsektorer inte stämmer överens med antalet djur i diagram B. När hela resonemanget bedömdes framgick

Hjälpmedel: miniräknare, linjal

Äp6Ma15 Delprov E 3

c) Vilket cirkeldiagram visar undersökningens resultat?

Ringa in diagrammet och förklara hur du kommer fram till ditt svar. Du ska också visa och förklara vilket djur och vilken färg som hör ihop.

Elev 1: 25 delat på 2 är 12,5. Vi måste räkna ut det. Elev 2: Det blir ju 75%

Elev 1: Vi måste veta vad det är Elev 2: De tillsammans blir 15%

Elev 1: 15? Det blir 25%. Det borde vara typ 7,5% och… 25 delat på fyra eller tre (tar fram miniräknaren) Elev 3: Skit i det

Elev 1: Ja, man ser att det är rimligt typ

Elev 3: Man ser det för det är en större skala som gillar älg

Elev 1: Svårt att förklara

(26)

22

dock att slutsatserna endast baserades på att björnen utgör hälften och att djuren matchar med färgerna utifrån deras antal snarare än andelar. Därav bedömdes resonemangen som E-nivå trots att det fanns spår av högre kvalité.

Grupper som visade på lägre kvalité tenderade även att följa varandras resonemang i lägre utsträckning. Resultatet visar att individer i de grupperna gärna förde sitt eget resonemang och inte fördjupade eller utvecklade sina kamraters. I utdrag 8 exemplifieras det utifrån ett resonemang som bedömdes som E-nivå. Eleverna i gruppen hade svårt att fördjupa varandras tankar samtidigt som de inte förklarade sina argument särskilt väl. Det ledde till att två elever nästintill hamnade i konflikt då elev 1 inte upplevde sig lyssnad på tidigare.

Utdrag 8

Elev 1 uttryckte tidigt att hen trodde att diagram C är rätt, vilket inte lyssnades på av gruppen utan var och en hade sitt eget argument de trodde på. Elev 2 prövade alla diagram utan att direkt bevisa eller argumentera för dem. Utdraget visar att alla elever var aktiva och bidrog även om de inte följde varandras resonemang på ett utvecklat sätt, genom att ställa frågor och fördjupa varandras tankar.

4.1.4 Icke godtagbart resonemang

Det resonemang som bedömdes som icke godtagbart fastställde att diagram C (antagligen) är rätt svar men redogjorde inte för vilka färger och djur som hör samman. Diagram A uteslöts vid diskussion om hälften av 24 och ett försök till att skilja diagram C och D åt gjordes genom resonemanget ”den liknar lite mer en femtedel än vad den liknar en sjättedel”. Gruppen gjorde även ett försök att rita upp en egen cirkel med åttondelar för att försöka förklara hur de tänkte. Cirkeln bidrog dock inte till någon vidare lösning på uppgiften.

Elev 1: Det känns mer som att det är c

Elev 2: Jag tycker det ser ut som b, men jag har ingen aning Elev 1: hur kan det vara b?

Elev 2: Vänta är det fem djur? Nej, det är ju fyra djur. Vänta va, vad tänkte jag? (fnissar) Men hur ska man veta vilket djur som vilket?

Elev 3: Men kolla Elev 1: Jag tror det är c Elev 3: Ja det där är bra Elev 2: D eller a Elev 3: svar d Elev 1: jag tror det är c ….

Elev 4: Nej d kanske inte är rätt Elev 1: Nej exakt, det var ju det jag sa Elev 2: Jag tror det är c eller a Elev 1: Det var ju det jag sa Elev 4: Du förklarade inte Elev 1: Nej men jag sa c

(27)

23

Utdrag 9

Eleverna i utdrag 9 verkade vara överens om att de kommit fram till rätt svar, dock var deras resonemang svårt att följa. De grundade sig heller inte på matematiska antaganden, bevis eller uträkningar. Till största delen fördes resonemanget av en elev som försökte tydliggöra sina tankar och förklaringar. Ibland bekräftades eller korrigerades elevens yttranden av en annan elev medan den tredje eleven läste uppgiften och påbörjade att förklara sina tankar men avbröts av den mer framträdande eleven och blev därefter tyst. 4.2 Identifierade processer av resonemang

Elevernas resonemang fördes på liknande sätt och de processer som gick att identifiera var av samma karaktär. Resonemangen fördes genom att eleverna bekräftade att diagram C beskrev tabellens innehåll genom processen bevisning. I varierande grad och kvalité fördes bevisande resonemang för att radera eventuella tvivel för sina argument. Bevisningen utgick från den begränsade data som var gemensam för alla och som presenterades i tabellen. Bevisen grundade sig i uträkningar, logiska slutsatser och uteslutningar. I några fall sökte eleverna efter likheter och skillnader mellan diagrammen vilket möjliggjorde att processen jämförelse gick att identifiera. Utdrag 10 visar ett resonemang vid vilket elever jämförde och bevisade genom att föra logiska slutsatser som utesluter övriga diagram.

Utdrag 10

Elev 1: Jag ritar upp en cirkel, och så ja. Det här är ju tolv då kan man säga då är ju A fel, det går inte. D då är det 1, 2, 3, 4, 5 olika det går inte. Då är det den här C, hälften, då är det de här två som är olika den här är ju typ en femtedel och om man tänker en sån plus en sån där och där.

Elev 2: Det blir en sjättedel

Elev 1: Jo, C blir det nog faktiskt om man tänker lite

Elev 1: Men då kan vi ta och plussa ihop alla som inte är björnen? Och då kanske man kan se om det blir 12? Elev 2: Björnen är hälften ju

Elev 1: Men om det blir 12

Elev 2: Det kan inte vara b för den har 5, b har 5

Elev 3: Ja det kan inte vara b och inte a, för dom två har inte hälften och björn är hälften

Elev 1: Ja, men då måste vi ju räkna ihop att det är hälften Elev 4: Jo men björn är hälften, räv, älg och säl är ju 12 som björnen

Elev 2: Ja det är ju säkert C då för Elev 3: Nej

Elev 2: Det är ju inte vad heter det 6 och 6 Elev 3: Det är c

(28)

24

Eleverna förde ett resonemang som inte är matematiskt korrekt (6 och 6 överensstämmer inte med tabellen) men logiskt och jämförande. Följaktligen bevisades vilket diagram som är korrekt genom de jämförelser och slutsatser som drogs.

Resonemangen var tvungna att ses som en helhet då eleverna byggde vidare på varandras argument i de samtal de förde. Därför gick det endast att identifiera de två ovan nämnda processerna även om tendenser till antaganden och exemplifiering förekom i samtalen. Processerna framkom dock främst som något eleverna trodde och sedan bevisade eller motbevisade. I utdrag 11 exemplifieras det då resonemanget i början var tveksamt och ordet antar användes. I slutet av resonemanget var bevisningen tillräckligt stark för eleverna vilket ledde till att de istället använde ordet måste.

Utdrag 11

I utdraget var det främst elev 1 som var tveksam och ville antyda att björn är lila, vilket bekräftades av elev 2. När gruppen sedan kommit överens om vilket diagram, färger och djur som borde matchas med varandra ökade nivån i deras bekräftanden och de antydde att röd måste vara älg och gul måste vara säl.

4.3 Sammanfattning

I fallet som studerats visar resultatet att de resonemang som uppstod var av olika kvalitativa skillnader enligt både A, C, E och F-nivå och att det även förekom skillnader mellan resonemang inom nivågrupperingarna. Av de resonemang som grupperna förde identifierades två processer. Eleverna använde sig av bekräftande processer då de genom uträkningar och logiska slutsatser bevisade att diagram C överensstämde med tabellen. De sökte även efter likheter och skillnader genom de jämförelser som utfördes mellan diagrammen eller mellan tabell och diagram. Då uppgiften genomfördes muntligt blev det tydligt framträdande att elevernas resonemang fungerade i kontexten men i stor utsträckning saknade matematisk precision och tydlighet för att vara generellt användbara.

Elev 1: Lila måste ju vara hälften då eftersom det är 24, lila som antagligen då är björn.

Elev 2: Lila är björn Elev 1: Jaa, jag antar det …

Elev 1: Eftersom att Elev 2: Röd är större

Elev 1: Det är fler som gillar älg

(29)

25

5. Diskussion

I följande kapitel diskuteras studiens metod och resultat. Kapitlet avslutas med förslag till fortsatt forskning samt slutord.

5.1 Metoddiskussion

Mitt intresse låg i att pröva en pedagogisk idé för att skapa ett kommunikativt matematikklassrum med fokus på elevers resonemang. Experimentella studier som antas effektivisera undervisningen är ett fruktbart sätt för att inom ramen för ett examensarbete bidra till den pedagogiska forskningen (Nilholm, 2016). I studien bidrar jag med ett experiment till den pedagogiska forskningen samt nyttiga lärdomar om såväl ljudupptagning i undervisningen samt resonemangsförmågan, för både nyexaminerade och erfarna lärare. Då min lärarutbildning snart är till ända och min lärargärning ska inledas var det av eget intresse även gynnsamt att ha genomfört en fallstudie då den bidrar med kunskap att ta med mig i framtiden. Fallstudie som metod är även vanligt förekommande i skolutvecklingsprojekt (Elliott, 2016) och att då ha genomfört ett sådant projekt en gång kan vara användbart om liknande projekt förekommer i framtiden.

Det inspelade material som erhölls vittnar om att elever i klassen upplevde en viss nervositet i situationen och ovana av att bli inspelade. Nervositeten framkom genom fnitter och yttranden från elever såsom ”tänk att hon ska lyssna på det här” och ”skärp er nu, hon hör ju”. De två grupper som fick väljas bort i urvalet för analysen vittnar även de om ovanan vilket resulterade i resonemangen inte kunde användas för analys på grund av att de skrattade och pratade om andra samtalsämnen. Ett sådant utfall hade möjligtvis kunnat uppstå i andra klasser och kan inte förklaras med min relation till eleverna. Vid planering av liknande aktiviteter kan sådana aspekter vara viktiga att betänka. Går undervisningen att organisera på bättre sätt för att elever ska vara fokuserade på uppgiften? Möjligen kunde gruppsammansättning samt placering av grupperna organiserats annorlunda i studiens genomförande för att minska risken för ofokuserade elever. De bortvalda grupperna var placerade i grupprum, kanske hade resonemangen sett annorlunda ut om de istället hade varit placerade i klassrummet? Eller fungerar möjligtvis inte ljudupptagning som ett fungerande verktyg för de här eleverna utan en lärares ständiga närvaro i gruppen är nödvändig?

(30)

26

Vid studiens genomförande placerades eleverna på flera olika platser. Att ha mycket plats att sprida ut sig på var var fördelaktigt för kvalitén på ljudupptagningarna. Ljudupptagningar möjliggjorde för mig att höra alla elever, vilket inte alltid görs i helklassundervisning. Dock var det svårt att göra individuella bedömningar på eleverna då de i samtalen byggde vidare på varandras tankar. Vid användande av ljudupptagningar för individuella bedömningar behöver den aspekten tas i särskild beaktning för hur enskilda individers resonemang kan synliggöras trots ett gruppsamtal.

I studien beskrevs ett enda fall och därmed möjliggjordes inget bidrag för ny generell kunskap. För att bidra med ny kunskap bör det finnas en möjlighet att replikera studien samt generalisera resultatet (Bryman, 2011), vilket för studien kan ifrågasättas. Istället syftar studien till att beskriva hur man möjligt kan använda ljudupptagning i matematikundervisning med syftet att låta elever få öva på resonemang. De svårigheter som uppstod med att använda ljudupptagningar i den här klassen, är specifika för det här fallet och behöver inte nödvändigtvis uppstå i andra elevgrupper. Däremot kan resultatet bistå med användbara kunskaper och inspiration för andra lärare som undervisar i matematik i årskurs 4-6.

Vidare kan studiens utförande diskuteras. Valet av uppgift hade stor inverkan på studiens resultat. Uppgiften, som var hämtad från de nationella ämnesproven i matematik för årskurs 6 läsåret 2014–2015, bidrog till att synliggöra kvalitativa skillnader i elevers resonemang samt till identifieringen av de två processer av resonemang som uppstod. Inför studiens genomförande borde en pilotstudie genomförts i syfte att testa om uppgiften var lämplig att använda. Av tidsskäl genomfördes dock inte någon sådan studie, vilket kan ha påverkat studiens resultat. Uppgiften hade å ena sidan tydliga instruktioner och bedömningsanvisningar, vilka jag förhöll mig till och därmed stärker resultatets tillförlitlighet. Å andra sidan var uppgiften konstruerad för ett enskilt och skriftligt prov, vilket gjorde elevernas muntliga gruppresonemang svåra att bedöma och analysera. Svårigheterna låg dels i att de pratade och därmed inte behövde vara lika matematiskt tydliga som vid skrift, dels inbjöd inte uppgiften till att använda fler processer än två vilket medförde att teorin var svår att applicera i analysen. Vid en revidering av studien skulle en annan uppgift ha valts och då en uppgift som kräver mer muntligt resonemang än den uppgift som användes i studien. Uppgiften skulle också testats i en pilotgrupp innan den skulle användas för studien.

(31)

27

5.2 Resultatdiskussion

Drivkraften i lärares/lärarstudenters forskning borde vara de didaktiska frågorna, vad, hur, vem, när och varför? (Nilholm, 2016). Varför-frågan besvaras ofta i läroplanens inledande delar medan vad-frågan besvaras i kursplanen för respektive ämne. Den komplexa hur-frågan beror på undervisningens syfte, därav finns inget givet recept eller metod som besvarar frågan (Hirsh, 2017). Mycket tid läggs på hur-frågan i en lärares vardag och för att erbjuda sina elever bästa tänkbara undervisning som leder till ökat lärande krävs att man som lärare strävar efter att utveckla sin egen praktik och fördjupa sina didaktiska kunskaper. Den här studien kan bidra med sådan kunskap då den utgår från en didaktisk teori och syftar till att ge en bild av hur-frågan.

Utifrån studiens resultat och den tidigare forskning som presenterats i bakgrunden diskuteras resultatet utifrån fyra teman som verkar särskilt viktiga för elevers utveckling av resonemangsförmågan.

5.2.1 Uppgifter

Att används begrepp som redskap i analysen är kännetecknande för en kvalitaitv studie (Bryman, 2011). De begreppsliga redskapen i studien är processerna. Processerna beskrivs av Jeanotte och Kieran (2017) utan att exemplifieras. Studier som bidrar med exempel på begrepp kan anses vara teoriutvecklande studier (Larsson, 2005). Den här studien kan således bidra med teoriutveckling av processerna som används i studien. Trots svårigheter med att identifiera fler processer än bevisning och jämförelse i elevernas resonemang gav resultatet av studien en nyanserad beskrivning av dem. Möjligtvis hade fler aspekter kunnat synliggöras i resultatet om jag hade fördjupat mig ännu mer genom att tagit del av fler studier som beskrivit processerna. Med resultatet i hand är utfallet av identifiering inte särskilt överraskande då uppgiften som användes i stor grad handlade om att just bevisa att diagram C överensstämde med tabellen. Kanske bör lärare fundera mer på vilka processer som är möjliga att använda i de uppgifter som elever tilldelas för att säkerställa att elever får möjligheten att resonera på olika sätt? Uppgiften som användes i studien gav elever möjlighet att resonera genom bevis och jämförelser, medan det exempelvis inte var möjligt att resonera för att identifiera ett mönster eller klassificera matematiska begrepp eller symboler.

(32)

28

De uppgifter som elever tilldelas att lösa är avgörande för elevers utveckling av resonemangsförmågan (Lithner, 2017; Mata-Pereira & da Ponte, 2017; Sidenvall, 2015). Uppgifter som utmanar elevers resonemangsförmåga och inte enbart handlar om att komma ihåg procedurer, möjliggör för elever att lära sig matematik som blir användbar i vardagen (Mata-Pereira & da Ponte, 2017). I studien gavs eleverna möjlighet att resonera genom två processer. Att behärska resonemangsförmågan fullt ut innebär att kunna använda sig av resonemang på olika sätt (Jeanotte & Kieran, 2017), det vill säga genom flera av de processer som används i studien. Jag menar att det därför kan vara betydelsefullt att elever ges möjlighet att utveckla olika sätt att resonera genom att få lösa varierade typer av uppgifter.

Vidare kan ifrågasättas om eleverna upplevde någon ”zone of confusion” (Sullivan & Davidsson, 2014, s. 606) när de löste uppgiften. Eftersom eleverna i studien löste uppgiften tillsammans i grupp gavs ingen antydan att någon grupp upplevde uppgiften som svår. Viss antydan fanns dock i att några grupper kämpade med att förklara hur de tänkte för att sedan skriva ner sitt svar på papper. Kämpandet utgick alltså inte från hur uppgiften skulle lösas utan snarare i att förklara och kommunicera sitt svar. Utifrån det kan en möjlig slutsats dras att den studerade klassen behöver utveckla fler strategier för att kommunicera matematik då kommunikations- och resonemangsförmågan på många sätt förutsätter varandra. Vid några tillfällen gav ett fåtal elever antydan på att de upplevde viss ”confusion” och ifrågasatte sina kamraters resonemang eller tankar. Det här märktes främst i frågor som ”Va? Hur tänkte du nu?” eller ”Varför blir det så?”.

5.2.2 Bedömning

När grupperna fick diskutera med varandra och föra och följa varandras resonemang fördjupades innehållet och en högre kvalité av resonemang synliggjordes. Troligtvis hade de 20 elever som ingick i A-grupperna inte visat lika hög kvalité vid enskilt och skriftligt arbete. Med anledning av det vill jag poängtera att det är viktigt att som lärare ha syftet med lektionen och de verktyg som används under lektionen klart för sig då det är svårt att göra en enskild bedömning på den här typen av resonemang. För att möjliggöra en sådan bedömningssituation krävs en uppgift vid vilken eleverna får förklara sin egen slutsats mer än att bygga på en gemensam slutsats.

Definitionen av resonemangsförmågan utifrån kommentarmaterialet för matematikämnet är att den är en av två kommunikativa förmågor (Skolverket, 2017). De kvalitativa

Figure

Figur 1 – En sammanfattning av processerna i vilka resonemang uppstår.
Figur 2 - Uppgift 35 från delprov E, nationella ämnesproven i matematik 2014–2015 som användes i studien
Figur 3 - bedömningsanvisning för uppgiften (Skolverket, u.å.-a, s. 15)
Figur 4 - Uppgiften är att komma fram till vilket diagram som visar resultatet i tabellen

References

Related documents

En annan del av syftet med vår studie är att undersöka uppfattningen om de skillnader i formulering som finns beträffande läsning och arbete med litteratur i kursplanen i svenska för

Genom att ta stöd i de verksamheter som jag har urskilt i studien och de förutsättningar för lärande i matematik som finns där, finns möjlighet för lärare att på ett mer

föräldrarnas bakgrund tydligt av en lärare som menar att hen idag får utöva sin profession som lärare till skillnad mot tidigare skolor hen arbetat på. Läraren anser

Kidney Disease Improving Global Outcomes (KDIGO) and Chronic Kidney Disease–Mineral and Bone Disorder (CKD-MBD) guidelines [5], endorsed by European Renal Best Practice (ERBP) work

Innehållet syftar till att lägga en grund för elevernas förståelse av vad som kännetecknar naturvetenskapen och vad som skiljer den från andra sätt att beskriva och

Däremot ska ämnet teckenspråk inte ta ansvar för att eleverna kan förstå till exempel de särskilda begrepp som finns i kemitexter eller texter i matematik.. De faktatexter

kulturperspektivet, en kompetens för framtiden, innefattar en syn på kultur som levnadssätt, vanor och värderingar (ett antropologiskt perspektiv). Kultur kan både

Vi har kommit fram till att det första strävansmålet; att eleven ”utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig