Virvelgator i atmosfären

(1)

V

Examens

Virvelg

arbete C

gator i

Chri

i Meteoro

atmo

istoffer

ologi Nr 1

osfären

Hallgre

1 n

n

(2)

Tryckt hos Institutionen för geovetenskaper, Geotryckeriet, Uppsala universitet, Uppsala, 2011.

(3)

Referat

Virvelgator i atmosfären, Christoffer Hallgren

De virvelgator som bildas i atmosfären bakom höga berg på öar påminner till utseendet starkt om de periodiska flöden som uppstår vid strömning kring en cirkulär cylinder. Friktionen mellan fluiden och cylinderns yta gör att det bildas en vak nedströms cylindern. Periodisk virvelspridning där von Kármán-virvlar sänds ut kan uppstå. Utifrån Reynolds tal går det att karaktärisera strömning- en och med hjälp av en numerisk modell kan tillstånden simuleras. Saknas en turbulensmodell i algoritmen blir resultaten för höga Reynolds tal felaktiga.

De atmosfäriska virvelgatorna uppstår dock inte på grund av friktion. Istället krävs blockering av luftmassor och variationer i densitet för att virvlarna ska utvecklas.

För att dra slutsatser om de atmosfäriska virvelgatorna har 11 satellitbilder med virvelgator analyserats. Sambandet λ = 3.9b − 5.3 (förklaringsgrad r² = 0.91) hittades mellan virvelgatans våglängd λ och bredden b på ön. Kvoten λ/bberäknades till medelvärdet 4.33 vilket är jämförbart med resultat från en liknande studie.

Nyckelord:virvelgator, virvelspridning, von Kármán-virvlar, CFD, satellitbildsanalys

Institutionen för Geovetenskaper, Uppsala universitet, Villavägen 16, 752 36 Uppsala

(4)

Abstract

Vortex streets in the atmosphere, Christoffer Hallgren

The visual appearance of the atmospheric vortex street behind a high mountain on an island is very similar to the periodic pattern caused by the flow past a circular cylinder. The friction between the fluid and the surface of the cylinder creates a wake downstream of the cylinder and periodic von Kármán vortex shedding occurs. The flow may be characterized by means of the Reynolds num- ber and using a numerical model the different states can be simulated. If the algorithm lacks a turbulence model, the results for high Reynolds numbers will be wrong. The atmospheric vortex streets do not, however, arise due to friction.

Instead, blocking of air masses and density variations are needed for the vortices to develop.

To be able to draw conclusions about atmospheric vortex streets 11 satellite images showing the vortex streets have been analyzed. The relation λ = 3.9b−5.3 (coefficient of determination r² = 0.91) was found, where λ is the wavelength of the vortex street and b the width of the island. The mean value of the ratio λ/bis 4.33 which is comparable with results from a similar study.

Keywords:vortex streets, vortex shedding, von Kármán vortices, CFD, satellite image analysis

Department of Earth Sciences, Uppsala University, Villavägen 16, SE-752 36 Uppsala

(5)

Innehåll

1. Inledning . . . 6

2. Teori . . . 6

2.1 Grundläggande samband . . . 6

2.2 Navier-Stokes ekvation för atmosfären . . . 7

2.3 Potentialflöde kring en cirkulär cylinder . . . 7

2.4 Visköst flöde kring en cirkulär cylinder . . . 9

I Tillstånd med jämnt flöde, Re < 49 . . . 10

II Tillstånd med laminär virvelspridning, 49 < Re < 194 . 11 III Övergångstillstånd, 194 < Re < 260 . . . 12

IV Turbulent tillstånd, 260 < Re < 200 000 . . . 13

2.5 Atmosfärens skiktning . . . 13

2.6 Förutsättningar för atmosfäriska virvelgator . . . 13

3. Metod . . . 14

3.1 Numerisk lösning . . . 14

3.1.1 Polygonyta . . . 14

3.1.2 Inställningar för integrationen . . . 14

3.1.3 Randvillkor . . . 15

3.1.4 Numerisk simulering . . . 15

3.2 Analys av satellitbilder . . . 16

4. Resultat . . . 16

4.1 Numeriska resultat . . . 16

4.2 Mätningar i satellitbilder . . . 17

5. Diskussion . . . 17

5.1 Utvärdering av numeriska resultat . . . 17

5.1 Virvelgator i atmosfären . . . 19

5. Slutsatser . . . 20

Tack . . . 21

Referenser . . . 21

Satellitbilder . . . 23

Bilaga 1 Analytisk lösning för potentialflödet . . . 24

(6)

(7)

1. Inledning

Ett grundläggande problem inom fluidmekaniken är att förstå fluiders beteende när de strömmar kring ett objekt. Det kan handla om att optimera en flygplans- vinges lyftkraft, att strömlinjeforma en bil för att minska luftmotståndet eller för elitcyklister att utnyttja det sug som bildas bakom cyklisten framför.

I den här rapporten undersöks ett av de enklaste fallen av strömning kring ett objekt: då objektet är en cirkulär cylinder och fluiden antas vara två- dimensionell. Ett vardagsexempel på ett sådant system är strömmande vatten som passerar en bropelare. Nedströms pelaren bildas en sträcka med periodiska virvlar, kallad von Kármáns virvelgata, vilken specialstuderas i rapporten.

I atmosfären kan virvelgatorna bli flera hundra kilometer långa. Dessa upp- står oftast om det blåser mot en ö som domineras av ett högt berg. De luft- strömmar som passerar nära berget tvingas ändra riktning och följden blir att virvlarna uppstår. Virvlarna syns tydligast i en fuktig marin atmosfär domine- rad av moln på låg höjd. Molnen fungerar som en markör för virvelgatan, se satellitbilden över Heard Island på rapportens framsida (National Aeronautics and Space Administration (NASA) 2005). Virvlarna betraktas som ett meso- skaligt fenomen i atmosfären eftersom de är för stora för att upptäckas från marken men tillräckligt små för att inte påverkas av Corioliskraften (Ackerman

& Knox 2007, s. 369). På de öar som ger upphov till virvlarna har man obser- verat kraftiga oscillationer av både tryck och vindriktning i samband med att virvlarna skickats ut. Dessa förändringar kan bland annat orsaka svårigheter för flygtrafiken (Jan Mayen 2006).

Bildandet av von Kármán-virvlar kan få förödande konsekvenser. När virvlarna skickas ut periodiskt uppstår stora kraftoscillationer. Detta fenomen ledde till att Tacoma Narrows Bridge i delstaten Washington kollapsade år 1940, bara månader efter att den öppnats för trafik (Crowe et al. 2010, s. 376).

Rapportens fokus ligger på att beskriva virvelfenomenen både teoretiskt och genom numeriska beräkningar samt att undersöka den meteorologiska aspekten av virvelgatorna utifrån mätningar i satellitbilder.

2. Teori

2.1 Grundläggande samband

För att beräkna hur en fluid rör sig används Navier-Stokes ekvation

∂~v

∂t + (~v · ∇) ~v = 1

ρ(−∇p − ρ∇gz) +µ

ρ∇²~v (Navier-Stokes ekvation) som uttrycker rörelsemängdens bevarande. ~v är fluidens hastighet och ρ dess densitet. Vänsterledet beskriver accelerationen för ett fluidelement och termen

∂~v/∂t svarar mot hur hastigheten förändras med tiden för en fix position i rummet. I högerledet ser vi att tryckkraften/enhetsvolym är −∇p och att gra- vitationskraften/enhetsvolym är −∇gz. Den sista termen (µ/ρ) ∇²~v behandlar viskositetskrafterna, vilka är karaktäristiska för fluider och beskriver skjuvningskrafterna i en strömmande fluid. Den dynamiska viskositetskoefficienten µ anger förhållandet mellan skjuvningskrafterna och hastighetsgradienten och mäts i SI- enheten Ns/m²(Feynman, Leighton & Sands 1971, ss. 40-1 - 40-3, Crowe et al.

2010, s. 19).

(8)

För att härleda Navier-Stokes ekvation görs antagandet att ρ är konstant och att fluiden därför är inkompressibel. Detta är en bra approximation om flödets hastighet är mycket mindre än ljudets utbredningshastighet i fluiden (Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 40-2).

Bevarandet av materia ger

∇ · (ρ~v) = −∂ρ

∂t (1)

och med konstant densitet ger denna ekvation att (Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 40-3)

∇ · ~v = 0 (Kontinuitetsekvationen)

Vorticiteten beskriver virvelstyrkan för fluiden och definieras som

Ω = ∇ × ~~ v (2)

För en rotationsfri fluid är ~Ω = ~0 (Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 40-5).

2.2 Navier-Stokes ekvation för atmosfären

Vid studier av atmosfärens dynamik måste Navier-Stokes-ekvation utökas för att beskriva Corioliseffekten och temperaturfält. De virvlar som bildas på läsidan av en ö har liten utsträckning och därför är det rimligt att försumma Corioliskraften (Ackerman & Knox 2007, s. 369). Temperaturvariationer i en luftmassa gör att densiteten inte är densamma överallt, vilket gör att lyftkrafter uppstår.

Om hänsyn tas till variationerna i densitet för lyftkraften (men ignoreras för kontinuitetsekvationen) erhålls Boussinesq-ekvationerna











∂~v

∂t + (~v · ∇) ~v = _ρ¹

0

−∇p − ˆkgα (T₀− T ) +_ρ^µ

0∇²~v

∇ · ~v = 0

∂T

∂t + ~v · ∇T = κ∇²T

(Boussinesq-ekv.)

där T0är temperaturen vid densiteten ρ0och ˆk är enhetsvektorn i z-riktningen.

Koefficienterna α och κ anger styrkan för den termiska expansionen respektive diffusionen (Doering & Gibbon 2004, s. 18).

2.3 Potentialflöde kring en cirkulär cylinder

För att förenkla Navier-Stokes ekvation kan man studera det friktionsfria så kallade potentialflödet genom att sätta viskositeten till noll. För ett jämnt flöde (steady flow) är hastigheten i varje punkt konstant vilket innebär att ∂~v/∂t = ~0.

Med matematiska identiteter för vektorräkning ges

(~v · ∇) ~v = 1

2∇ |~v|² (3)

och Navier-Stokes ekvation kan med dessa förenklingar skrivas som

−∇ p

ρ+ gz + |~v|² 2

!

= 0 (4)

(9)

Integrering ger p

ρ+ gz + |~v|²

2 =konstant (Bernoullis ekvation) Bernoullis ekvation gäller i allmänhet längs strömlinjer i fluiden (linjer som är hastighetstangenter och visar färdvägen för en liten partikel) men för rotations- fria flöden gäller den även mellan strömlinjer (Faber 2011).

En inkompressibel friktionsfri fluid som initalt är rotationsfri kommer att fortsätta vara det för all framtid (Crowe et al. 2010, s. 102). Denna sats förenklar ekvationerna men gäller inte för en verklig fluid (µ 6= 0) eftersom hänsyn inte tas till kontaktytan mellan fluiden och ett objekt (Faber 2011).

För en tvådimensionell inkompressibel fluid i en friktionsfri och rotationsfri strömning kring en cirkulär cylinder med radien a och mittpunkt i origo går det att hitta ett analytiskt uttryck för hastighetsfältet. Lösningen, presenterad i bilaga 1, ger hastigheten

~v = v0+ v0a y²− x² (x²+ y²)²

!

, −v0a 2xy (x²+ y²)²

!

(5) där ~v = (v0, 0)på stort avstånd från cylindern.

Eftersom flödet är rotationsfritt kan Bernoullis ekvation appliceras för två godtyckliga punkter i flödet. Flödet sker i horisontalplanet vilket medför att gravitationstermerna kan strykas. Därför gäller

p + 1

2ρ |~v|²= p0+1

2ρv₀² → p = p0+1 2ρ

v²₀− |~v|²

(6) där p0är trycket långt bort från cylindern. Strömlinjerna och trycket för potential- flödet visas i figur 1.

Figur 1: Potentialflödet kring en cylinder. Pilarna visar fluidelementens väg längs strömningslinjerna. Tryckfältet visualiseras med en färgskala från blått (lågt tryck) till rött (högt tryck).

I figuren ses ett symmetriskt mönster för både trycket och hastigheten. Tryc- ket är som högst där hastigheten är noll (stagnationspunkterna) och där hastigheten når sitt maximala värde är trycket som lägst.

Potentialflödet är endast en tillfredsställande teori för de områden där vorticiteten är noll. Eftersom till exempel flygplansvingar strömlinjeformas för att

(10)

hålla turbulensen (och därmed vorticiteten) på så låg nivå som möjligt kan flö- det kring dessa betraktas som ett potentialflöde (Feynman, Leighton & Sands 1971, ss. 41-7 - 41-10).

2.4 Visköst flöde kring en cirkulär cylinder

Det fysikaliskt sett mer intressanta fallet med visköst flöde kring en cylinder har ingen analytisk lösning. I följande avsnitt behandlas de slutsatser man har dragit från experimentella studier.

För en verklig fluid som passerar ett objekt är hastigheten noll vid kontaktytan. I ett tunt lager utanpå cylindern, kallat gränsskiktet, går hastigheten från att vara noll till den fria strömningshastigheten. Fluiden som når cylindern följer till en början dess form väl men vid separationspunkterna avviker flödet och en turbulent vak bildas nedströms (Crowe et al. 2010, ss. 111-112). Begreppen illustreras i figur 2.

Stagnationspunkt Separationspunkt

Gränsskikt Vak

Figur 2: Vid visköst flöde kring en cylinder bildas ett gränsskikt utgående från stagnationspunkten och en vak bakom cylindern. Det par av punkter där flödet lämnar cylinderns yta kallas separationspunkter. Trycket är lägre i vaken än på cylinderns uppströmssida (efter Crowe et al. 2010, s. 111).

För att kategorisera de olika typer av situationer som kan uppstå nedströms cylindern används de dimensionslösa Reynolds tal och Strouhaltalet

Re = ρv0D

µ (Reynolds tal)

St = f D

v₀ (Strouhaltalet)

där D är cylinderns diameter och f anger frekvensen i Hertz med vilken virvlarna skickas ut (Crowe et al. 2010, s. 376).

Kraften på cylindern ges av

F = C_DAρv₀²

2 (7)

där CD är cylinderns motståndskoefficient och A dess referensyta. Den projice- rade referensytan definieras som ytan av ett objekts silhuett mot den huvud- sakliga flödesriktningen. För cylindern vinkelrät mot flödet är A = D · L där L är cylinderns längd. (Crowe et al. 2010, s. 366)

De tillstånd som kan skapas vid flöde kring en cylinder klassificeras enklast med grafer där Strouhaltalet eller motståndskoefficienten CD plottas mot Rey- nolds tal, se figur 3 och 4.

(11)

0.18 0.16 0.14 0.12

40 80 Re ¹²⁰ ¹⁶⁰

St

Re St

0.30

0.20 0.15 0.25

10⁵ 10⁴

10³ 10²

a) b)

Figur 3: Strouhaltalet som funktion av Reynolds tal. I a) visas hur St ökar för 40 < Re < 180(graf efter Williamson 1996, figur 7) och i b) hur St varierar för 10² < Re < 10⁶ (graf efter Crowe et al. 2010, s. 376). Notera att skalorna är olika i de båda graferna.

Re CD

10⁵ 10⁴ 10³ 10 10

1 ²

1 2 3

10⁶ 10⁷

Figur 4: Motståndskoefficienten CD beror på Reynolds tal. I grafen visas hur CD förändras för 1 < Re < 10⁷ (graf efter Feynman, Leighton & Sands 1971, figur 41-4).

Separationspunkternas placering påverkar vakens storlek, vilket avgör hur stora krafterna på objektet blir. Detta påverkar både motståndskoefficienten och Strouhaltalet och generellt kan man säga att då St ökar minskar CD och vice versa (Drazin 2002; Roshko 1954. s. 11).

Det finns fyra karaktäristiska tillstånd för flödet indelade efter Reynolds tal (baserat på Roshko 1954, s. 11, och Williamson 1996, ss. 482-491):

I Tillstånd med jämnt flöde, Re < 49

II Tillstånd med laminär virvelspridning, 49 < Re < 194 III Övergångstillstånd, 194 < Re < 260

IV Turbulent tillstånd, 260 < Re < 200 000

De exakta gränserna beror bland annat på experimentuppställningen och hur pass turbulent flödet är uppströms cylindern.

I Tillstånd med jämnt flöde, Re < 49

För mycket låga Reynolds tal (Re << 1) uppstår ett symmetrisk flöde som till utseendet liknar potentialflödet. Vid Re ≈ 1 går det att med blotta ögat se att

(12)

denna symmetri brutits och för Re ≈ 10 syns att ett stabilt par av återcirkule- rande virvlar bildats på läsidan, se figur 5 (Drazin 2002). Virvlarnas styrka och utbredning ökar i takt med att Reynolds tal växer. Samtidigt minskar insuget i vaken på grund av viskösa krafter. Separationspunkterna rör sig successivt upp- ströms längs cylindern, men symmetrin bibehålls. Det jämna flödet innebär att strömningen är identisk ut oavsett när vi tittar, eftersom ∂~v/∂t = ~0 för varje Reynolds tal i intervallet (Drazin 2002; Feynman, Leighton & Sands 1971, ss.

41-7 - 41-8 och figur 41-6a; Williamson 1996, ss. 484-487).

Figur 5: Vid Re ≈ 10 syns ett par återcirkulerande virvlar i vaken precis intill cylindern (efter Feynman, Leighton & Sands 1971, figur 41-6b).

II Tillstånd med laminär virvelspridning, 49 < Re < 194

När Re överstigit 49 blir en av virvlarna bakom cylindern så lång att den bryts loss och förs bort med den strömmande fluiden. Samtidigt börjar en ny virvel att ta form på dess gamla plats. Virvlarna släpper växelvis från cylinderns sidor.

På så sätt bildas ett periodiskt stråk med en övre rad med negativa virvlar (medurs-rotation) och en undre rad med positiva virvlar (moturs-rotation). I figurerna 6 samt 7b)-f) visas skisser och fotografier som illustrerar förloppet.

Fenomenet kallas von Kármáns virvelgata efter Theodore von Kármán (1881- 1963) som var den förste att upptäcka att denna struktur var en inneboende egenskap hos flödet och inte en produkt av den experimentella uppställningen, vilket man tidigare ansett. (Feynman, Leighton & Sands 1971, ss. 41-8 - 41-9;

Samuelsson 2011; Williamson 1996, s. 480).

Figur 6: Skissad ögonblicksbild av von Kármáns virvelgata nedströms cylindern (efter Feynman, Leighton & Sands 1971, figur 41-6c).

För att studera hur en ny virvel bildas betraktar vi situationen då det finns två lika stora men motsatta virvlar i vaken nedströms cylindern. Vorticiteten skapas på grund av den stora hastighetsskillnaden mellan cylinderns yta (0m/s) och en bit därifrån. Om den fria strömningshastigheten är tillräckligt låg kommer vorticiteten att diffundera från ytan och ackumuleras i ett större område intill cylindern. Vorticitet har en förmåga att förstärka sig själv och stora virvlar

(13)

a) b)

c) d)

e) f)

Figur 7: Fotografier och motsvarande skisser över flödets utveckling i vaken. I det här fallet startar cylindern från vila, i a), och observatören följer dess rörelse, fram till f) (efter Perry, Chong & Lim 1981, figur 1).

bildas (Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 41-10). En av virvlarna transpor- teras bort av strömmen. Den virvel som är närmast cylindern fortsätter att öka i styrka men när den blivit tillräckligt lång bryts den loss. Samtidigt börjar en ny virvel bildas på motsatt sida av cylindern. (Williamson 1996, s. 481). Tids- utvecklingen åskådliggörs i figur 8a)-h) som visar en period av virvelspridningen.

a) b) c)

f) e)

d)

g) h)

Figur 8: Skisserna i sekvensen a) till h) visar en period av virvelspridningen (efter Perry, Chong & Lim 1981, figur 2).

Både tillstånd I (∂~v/∂t = ~0) och II (∂~v/∂t 6= ~0 men periodiskt flöde) är lami- nära (turbulensfria) flöden, vilket innebär att hastighetsfältet är exakt förutsäg- bart vid varje tidpunkt. I båda dessa tillstånd kommer störningar att dämpas (Roshko 1954, s. 16; Feynman, Leighton & Sands 1971, figur 41-6b och c).

För flöden i tillstånd II kan virvlarna aldrig bli turbulenta. Deras styrka avtar genom diffusion när de färdas med strömmen (Roshko 1954, s. 17).

III Övergångstillstånd, 194 < Re < 260

Enligt Williamson (1996, s. 488) uppstår en diskontinuitet i Strouhaltalet då Re ≈ 194 och ytterligare en vid Re ≈ 240 samtidigt som karaktären för hur

(14)

virvlarna skickas ut förändras. Man tror att övergången från laminärt till turbulent flöde i tillstånd III alltid sker i det separerade gränsskiktet vilket innebär att virvlarna blir turbulenta innan de bryter sig loss. Alla virvlar nedströms cylindern är därför turbulenta (Roshko 1954, ss. 16-17).

Flödet har fortfarande samma generella form som i tillstånd II men med ökad turbulens blir flödet allt mer tredimensionellt. Detta medför att virvelgatan börjar lösas upp. Turbulenta virvlar diffunderar snabbt och är utplånade inom 50 diametrar nedströms cylindern (Roshko 1954, s. 17; Williamson 1996, s. 488).

IV Turbulent tillstånd, 260 < Re < 200 000

Vid högre Reynolds tal (Re ≈ 500) hinner inte diffusionstransporten föra bort all vorticitet. Ju högre Reynolds tal blir desto längre uppströms på cylindern klätt- rar det turbulenta området. Vid Re ≈ 10⁵ har det nått separationspunkterna och CDminskar kraftigt. Flödet är nu helt turbulent nedströms cylindern vilket främjar diffusionen. De experimentella resultaten visar att periodiciteten verkar ha försvunnit (Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 41-9). Det finns delade meningar om vad som händer för Reynolds tal utanför intervallets övre gräns.

Enligt Feynman inträder en ny oscillation då hela vaken rör sig omväxlande framåt och bakåt men exempelvis Kirk hävdar att von Kármán-virvlar finns upp till Re = 10⁷(Feynman, Leighton & Sands 1971, s. 41-9; Kirk 2011).

2.5 Atmosfärens skiktning

Troposfären, det skikt av atmosfären som angränsar till jordytan och där det mesta av vädret sker, är uppdelad i ett turbulent gränsskikt och den fria atmo- sfären. Gränsskiktets utsträckning från markytan beror på graden av turbulens och kan vara allt från hundra meter till ett par kilometer (Nationalencyklopedin (NE) 2011b).

All fukt som finns i atmosfären har förts från jordytan genom gränsskiktet.

Transporten sker med tredimensionella virvlar som finns i många olika storlekar, från de allra minsta med en diameter på cirka 1 mm till virvlar som är lika stora som gränsskiktet (Sahlée 2010). Övergången mellan det turbulenta gränsskiktet och den stabila fria atmosfären präglas av en temperaturinversion som gör att molntyperna cumulus och stratocumulus formas på denna höjd (American Me- teorological Society (AMS) 2011a).

2.6 Förutsättningar för atmosfäriska virvelgator

Majoriteten av satellitbilderna där virvelgatorna kan ses är tagna när himlen till största del är täckt av stratocumulusmoln. Det finns tre kriterier som mås- te tillgodoses för att virvlarna ska uppstå i atmosfären och synas på bilderna (Japan Meteorological Agency 2002, s. 50):

1. Ett stort område av oceanen ska vara täckt av stratocumulus (eller even- tuellt stratus) och molnen ska bildas vid en kraftig temperaturinversion vid övergången mellan gränsskiktet och den fria atmosfären.

2. Det måste blåsa en relativt stark vind på låg höjd med konstant riktning.

3. Ön måste ha en bergstopp som sticker upp några hundra meter över gräns- skiktets höjd.

(15)

För många öar uppfylls dessa krav flera gånger per år. Den atmosfäriska virvelgatan har samma periodiska mönster som flödet kring en cirkulär cylinder och kan sträcka sig över 400 km från öarna. Virvlarna har normalt en diameter på 20 − 40 km (Etling 1990). Våglängden λ definieras som avståndet mellan två virvlar med samma rotationsriktning som följer på varandra, se figur 9.

Vind b λ

Figur 9: Öns bredd b, virvelgatans våglängd λ och vindriktningen markerade i en satellitbild över Jan Mayen, 6 juni 2001. Bilden är redigerad.

3. Metod

3.1 Numerisk lösning

Beräkningsbaserad strömningsdynamik (computational fluid dynamics, CFD) är den gren inom fluidmekaniken som behandlar hur man löser flödesproblem numeriskt. För detta ändamål finns många olika datorprogram, alla med sina respektive för- och nackdelar. För att simulera det tvådimensionella inkompressib- la viskösa flödet kring en cirkulär cylinder används i den här studien MATLAB- programmet Navier2d utvecklat av Engwirda (2005). Navier2d använder ett grafisk användargränssnitt vilket gör programmet intuitivt och lättnavigerat.

Navier2d är en nodbaserad algoritm som använder finita volymmetoden på kontrollvolymer kring varje nod. Den linjära approximationen av tids- och rumskoordinater sker oberoende av varandra. Navier-Stokes ekvation löses med en semi-implicit Runge-Kutta-metod och LU-faktorisering används för att be- räkna trycket. Tidsutvecklingen bestäms med hjälp av en steguppdelningsmetod (fractional step method) (Engwirda 2005).

3.1.1 Polygonyta

Det första steget för att kunna beräkna fluidens rörelse är att diskretisera problemets domän. I Navier2d kan oregelbundna polygonytor användas. För cylinderberäkningarna används en triangelbaserad polygonyta för en cylinder med radien 1 m, vilket visas i figur 10. Både upplösningen på polygonnätet och trianglarnas utformning (likformiga trianglar är optimalt) är avgörande för noggrannheten i lösningen (Engwirda 2005).

3.1.2 Inställningar för integrationen

I Navier2d finns tre möjligheter att välja hur Navier-Stokes ekvation ska lösas:

Normal, Tracer och Thermal. Normal löser ekvationen för hastighets- och tryck-

(16)

Figur 10: Polygonytan för cylindergeometrin.

fälten och är det alternativ vi använder för cylinderproblemet. Tracer löser dessutom transportekvationen för ett skalärfält, till exempel ett färgämne. Thermal betraktar skalärfältet som temperatur så att värmetransporter kan beräknas.

Navier-Stokes ekvation kompletteras då med en ekvation för värmekonvektion och en kopplingsterm mellan dem (Boussinesq-ekvationerna) (Engwirda 2005).

Initialvillkoren sätts i vårt fall till (U, V ) = (1, 0) m/s. Även fluidens egenska- per och beräkningens inställningar kan justeras. Maximala antalet beräknings- steg sätts till 2500 och den kinematiska viskositeten till 0.0067 m²/s. Kinema- tisk viskositet definieras som ν = µ/ρ vilket gör att Reynolds tal kan skrivas Re = v₀D/ν. I övrigt används standardinställningarna. Navier2d har ingen modell för att beskriva turbulens vilket gör att resultaten inte blir tillförlitliga för höga värden på Re (Engwirda 2005).

3.1.3 Randvillkor

Randvillkoren måste anges för alla noder på lösningsdomänens gränser. Hastig- heten kan ställas in så att U och V specificeras eller att gradienterna (längs randens normal) sätts till noll. Det finns även två fördefinierade utflödesvillkor som minskar den artificiella reflektionen tillbaka in i domänen. Med det ena ut- flödesvillkoret extrapoleras värden genom dp/dn = 0, det andra tvingar trycket att vara konstant vid noderna. Generellt sett är extrapoleringsmetoden bättre, och används här, men kan vara känslig för instabiliteter. U och V sätts till noll på cylinderns yta och i domänens vänsterkant sätts (U, V ) = (1, 0) m/s. För de övre och undre gränserna av domänen sätts V till noll liksom dU/dn, vilket motsvarar att väggarna inte utövar någon kraft på fluiden (Engwirda 2005).

3.1.4 Numerisk simulering

Navier2d ritar automatiskt upp en animerad graf över hastighetsfältets föränd- ring med tiden. Därutöver kan man välja fler parametrar att studera, exempelvis trycket och vorticiteten.

(17)

För att analysera hur väl resultaten från Navier2d stämmer överens med den teoretiska beskrivningen i avsnitt 2.4 görs körningar för olika Reynolds tal som svarar mot tillstånden I - IV. Fluiden i beräkningarna antas vara vatten (ν = 1.00 · 10⁻⁶m²/svid 20°C och normalt lufttryck) och U anges i intervallet 10⁻⁵− 1 m/sså att motsvarande Reynolds tal blir 10, 100, 220, 500, 10⁴respektive 10⁶ (Crowe et al. 2010, s. A-10). Inställningar för övriga parametrar är som tidigare.

3.2 Analys av satellitbilder

För att studera de atmosfäriska virvelgatorna har satellitbilder för sju platser valts ut, se karta i figur 11. Alla öarna i studien är av vulkaniskt ursprung.

Urvalet är i första hand baserat på tillgången och kvalitén på satellitbilderna, men även för att få en stor spridning av positioner över hela jordklotet.

Guadeloupe

Selkirkön

Heard Island Socorroön

Jan Mayen

Gran Canaria Madeira

Figur 11: Valda platser i jämförelsen (figur efter Encyclopædia Britannica (EB) 2011d)

11 satellitbilder har valts och mätningarna har gjorts på samma sätt i alla bilderna. Våglängden, definierad i avsnitt 2.6, har i den här studien utsetts som karaktäristisk parameter för att beskriva virvelgatan. Först mäts våglängden i satellitbilden relativt öns bredd (vinkelrät mot virvelgatans utbredningsrikt- ning). Öns absoluta bredd b mäts i en karta med angiven skala och därefter kan den absoluta våglängden λ beräknas. I figur 9 är λ och b definierade. Uppgif- ter om vinden vid det aktuella tillfället hämtas ur återanalysdata från National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA) (Kalnay et al. 1996).

4. Resultat

4.1 Numeriska resultat

Figur 12 visar en ögonblicksbild av trycket och vorticiteten vid slutet av en simulering utifrån indata givna i avsnitt 3.1.1 - 3.1.3. Resultatet av körningarna för de Reynolds tal som svarar mot tillstånden I - IV visas i figur 13.

(18)

a)

b)

Figur 12: Simulering av von Kármáns virvelgata med Navier2d. a) Tryckets och b) vorticitetens variation i rummet vid det sista tidssteget i körningen.

Re = 500

Re = 10 000 Re = 1 000 000

Re = 10 Re = 100

Re = 220

Figur 13: Simuleringar av vorticiteten för vattenflöde kring en cylinder för Rey- nolds tal i intervallet 10 − 10⁶.

4.2 Mätningar i satellitbilder

Resultatet av mätningarna för de 11 satellitbilderna presenteras i tabell 1 och i figur 14 visas sambandet mellan den uppmätta våglängden och öns bredd.

5. Diskussion

5.1 Utvärdering av numeriska resultat

Enligt Petrin (1997) krävs att en störning införs för att von Kármán-virvelgator ska uppstå. Detta är endast ett problem i matematiska lösningar eftersom verk- liga fluider alltid innehåller någon oregelbundenhet. I den numeriska simuleringen kan störningen vara ett diskretiserings- eller trunkeringsfel eller en avsiktlig förändring, till exempel att vorticiteten förstärks (Wu & Thompson 1972, s.

211).

I simuleringen för Re = 10 (figur 13) ses ett par återcirkulerande virvlar bildas, vilket överensstämmer med beskrivningen för tillstånd I. Under exekve- ringen växer vakens storlek successivt som en följd av vorticitetens diffusion.

(19)

Plats Datum

(ååmmdd) Öns bredd [km]

Öns höjd [m. ¨o. h]

Vindstyrka [m/s]

λ [km]

Gran Canaria¹ 000424 45.3 1950 9 − 10 155

Gran Canaria 100606 45.3 1950 5 − 6 161

Guadeloupe² 990820 1.9 275 4 − 6 22.7

Heard Island³ 050105 18.6 2745 12 − 15 83.0

Jan Mayen⁴ 790412 15.4 2277 8 − 10 45.0

Jan Mayen 010606 15.4 2277 12 − 15 33.1

Jan Mayen 050407 15.4 2277 16 − 18 24.6

Jan Mayen 051019 15.4 2277 14 − 16 70.3

Madeira⁵ 100821 48.8 1861 6 − 7 222

Selkirkön⁶ 990915 3.3 1320 14 − 16 18.9

Socorroön⁷ 100701 10.8 1130 6 − 8 30.2

Tabell 1: Data för 11 tillfällen då virvelgator uppstått. Källorna för bildmateri- alet anges i referensförteckningen. Data för öns högsta berg hämtades från (1) Jakobsson 2011 (2) Anderberg 2011 (3) EB 2011a (4) Jan Mayen 2006 (5) NE 2011c (6) EB 2011b (7) EB 2011c.

Våglängd [km]

Öns bredd [km]

10

0 20 30 40 50

100 200 150

50 0

λ = 3.9 b – 5.3.

Figur 14: Våglängden (λ) plottad mot öns bredd (b). Ett förstagradspolynom har anpassats till datapunkterna.

Ökas antalet beräkningssteg uppnår vaken en viss storlek som därefter är konstant vilket stämmer med teorin som säger att flödet ska vara tidsoberoende.

I början av körningen för Re = 100 blir vaken allt mer utsträckt på samma sätt som för Re = 10. En tendens till att vaken ändrar utseende märks och den övergår snart till att vara vågformad. Strax därefter löses vaken upp och bildar enskilda virvlar som formar von Kármáns virvelgata. För Re = 220 är förloppet detsamma. Eftersom resultatet endast studeras i två dimensioner går det inte att avgöra om flödet blivit mer tredimensionellt i övergångstillståndet (tillstånd III) jämfört med det laminära tillstånd II.

Ju högre Reynolds tal desto kortare blir vaken. En förskjutning uppträder så att den ena återcirkulerande virveln blir längre än den andra vilket ger en oba- lans. Detta sätter igång virvelspridningen som följer samma förlopp som visas i figur 7. De första virvlarna som sänds ut hamnar utanför virvelgatan. Simule- ringarna i figur 13 antyder att högre Reynolds tal ger en tydligare uppdelning

(20)

med virvlar i två distinkta rader samtidigt som våglängden minskar.

Även för Re = 10⁴ och 10⁶, vilka ligger utanför tillstånd IV, blir resultatet von Kármáns-virvelgata. Det är, vilket anmärktes i beskrivningen av tillstånd IV, möjligt att von Kármán-virvlarna existerar ända upp till Re = 10⁷ (Kirk 2011). Enligt Kirk uppträder en instabilitet när det Reynolds tal som ger upphov till virvelgatan överstigs. Denna instabilitet finns kvar för alla Re större än tröskelvärdet. Även vid ett högt värde på Reynolds tal kommer instabiliteten att existera på stor skala, och därmed även virvelgator, även om flödet är turbulent på liten skala (Kirk 2011). En simulering för Re = 10⁹gjordes för att kontrollera hur väl den numeriska modellen klarar höga Reynolds tal. Den resulterande vorticitetsgrafen blev identisk med utfallet för Re = 10⁶. Detta belyser det faktum att Navier2d inte kan hantera turbulenta flöden eftersom programmet saknar turbulensmodell (se avsnitt 3.1.2).

5.1 Virvelgator i atmosfären

Ett antal approximationer har gjorts i satellitbildsmätningarna. Det är svårt att exakt mäta upp våglängderna. I de flesta fall har mätningarna gjorts över flera perioder för att ge ett medelvärde till λ. Ingen korrektion gjorts till eventuella skalförändringar i satellitbilderna, men det är antagligen försumbart jämfört med de andra felkällorna. Vindstyrkan har tagits ur återanalysdata från NOAA (Kalnay et al. 1996). Återanalysdata bygger på att en numerisk modell använder observationer tagna både före och efter den angivna tidpunkten. Därefter kan till exempel vindfältet beräknas (Reanalyses 2011). Eftersom exakt information om när satellitbilderna är tagna saknas gäller alla vinddata för klockan 12 UTC det aktuella datumet, vilket är en liten approximation eftersom alla bilder är tagna dagtid.

För luftströmmarna kring öar går det att göra en uppskattning av Reynolds tal trots att bergets diameter på den höjd där virvlarna uppträder är okänd.

Den kinematiska viskositeten för luft är 10⁻⁵m²/s (Crowe et al. 2010, s. A-8) och vindstyrkan ungefär 10 m/s vilket ger Re = D · 10⁶m⁻¹. För att uppfylla kraven för de tillstånd som beskrivs i avsnitt 2.4 krävs att bergets diameter är i storleksordningen 0.1 mm − 0.1 m, vilket är orimligt lite. Kirks (2011) gräns på Re = 10⁷ger D = 10m. Istället för att definiera Reynolds tal utifrån kinematisk viskositet kan den så kallade virvlingsviskositeten användas. Virvlarna transpor- terar rörelsemängd vilket skapar en inre friktion i fluiden. Denna beskrivs med en viskositetskoefficient i storleksordningen 1 m²/s. Har berget en diameter på mindre än 100 m blir Re < 10³(Chern 2011; AMS 2011b).

Enligt Olafsson (2011) skiljer sig bildandet av atmosfäriska virvelgator på läsidan av en ö från det viskösa flödet kring en cirkulär cylinder. Olafsson menar att virvlarna inte bildas på grund av friktion utan av att stabila luftmassor bloc- kerar varandra. Detta stöds av Sun (2011) som dessutom hävdar att virvlarna i första hand skapas av baroklinitet. Begreppet innebär att densiteten varierar längs en isobar yta i fluiden och baroklin instabilitet är orsak till att små stör- ningar kan utvecklas till virvlar (NE 2011a). Viskositet är inte en nödvändighet för att virvlarna ska bildas (Sun 2011). Etling (1990) sammanfattar genom att skriva ”trots att strukturen för atmosfäriska virvelgator och von Kármán-virvlar till synes är ganska lika kan inte bildandet av de kvasi-tvådimensionella virvlarna med vertikala axlar i vaken av en ö förklaras utan att ta hänsyn till den stabila skiktningens dämpning av verikala rörelser”. Enligt Chern (2011) kan

(21)

virvlarna i vaken av en bergig ö bildas på många olika sätt, men hur de skapas skiljer sig kraftigt från laboratorieexperimenten beskrivna i avsnitt 2.4.

För att kunna dra några slutsatser om de atmosfäriska virvelgatorna bör man alltså välja att studera andra parametrar än Reynolds tal. Relationen mellan våglängden och öns bredd framgår i figur 14. Ingen korrelation hittades mellan λoch vindstyrkan respektive öns höjd.

Det minstakvadratanpassade förstagradspolynomet i figur 14 har förklarings- graden r²= 0.91. Av detta dras slutsatsen att det finns ett samband mellan öns bredd och våglängden för atmosfäriska virvelgator. Ju större ön är desto längre blir våglängden. Anpassningen kan endast anses gälla för öar med en bredd i intervallet 2 − 50 km, eftersom alla öar i mätningen är av denna storlek.

Det verkar rimligt att ett berg med stor diameter skapar utbredda virvlar men sambandet behöver inte vara linjärt. Även parametrar som vindhas- tighet, bergets utformning och rådande förhållanden i atmosfären (exempelvis temperatur- och tryckvariationer) påverkar virvelgatans exakta utformning, se exempelvis de fyra fallen från Jan Mayen. I en liknande studie (Young &

Zawislak 2005) där 30 satellitbilder analyserats beräknades både förhållandena h/λ = 0.42 (aspect ratio) och den dimensionslösa bredden h/b = 1.61, där h anger avståndet mellan den övre och den undre virvelraden. Utifrån dessa data kan kvoten λ/b beräknas till medelvärdet 3.83 (4.95 om hänsyn tas till jordens krökning). Detta stämmer väl överens med mätresultaten i den här rapporten som ger medelvärdet 4.33. Värdena ligger i intervallet 1.6 − 5.7 med undantag för Guadeloupe som ger λ/b = 11.9. Anledningen till denna avvikelse är oklar men Guadeloupe särskiljer sig från de andra öarna i undersökningen genom att ha den minsta bredden samt att berget har den klart lägsta höjden.

Förhållandena h/λ och h/b undersöktes för några satellitbilder. Mätningarna gav en stor spridning kring de värden som anges av Young och Zawislak (2005) men resultatet kan antagligen förbättras om de korta avstånden mäts med hög noggrannhet och på många ställen i satellitbilderna för att ge ett medelvärde.

5. Slutsatser

Programmet Navier2d fungerar bra för att simulera tvådimensionella viskösa flöden i tillstånd I och II. För höga Reynolds tal står det klart att avsaknaden av en turbulensmodell ger resultat som inte överensstämmer fullt ut med den teoretiska beskrivningen.

Trots den uppenbara synliga likheten mellan de experimentella von Kármán- virvlarna och virvelgatorna i atmosfären behövs olika fysikaliska beskrivningar för att förklara fenomenen. De von Kármán-virvlar som uppstår vid visköst flöde kring en cirkulär cylinder bildas på grund av friktionen mellan cylinderns yta och fluiden. I atmosfären är det däremot troligen blockering av luftmassor och baroklinitet som orsakar virvelgatorna.

De mätningar som gjorts i satellitbilderna visar att det finns ett samband mellan virvelgatans våglängd och öns bredd. Relationen är sådan att desto bre- dare ö som ger upphov till virvelgatan, desto större blir våglängden.

(22)

Tack

Först och främst vill jag rikta ett varmt tack till handledaren Erik Nilsson (doktorand i meteorologi, Uppsala universitet) som under hela arbetets gång givit värdefulla tips och bidragit med konstruktiv kritik.

Ett stort tack till Jiundar Chern (doktor i mesoskaliga atmosfäriska proces- ser, NASA, Greenbelt), Benjamin Kirk (ingenjör i tillämpad luftvetenskap och CFD, NASA, Houston), Haraldur Olafsson (professor i meteorologi, universite- tet i Bergen) samt Wen-Yih Sun (professor i meteorologi, Purdue University) som alla bidragit med information om hur atmosfäriska virvelgator bildas.

Darren Engwirda (PhD student i matematik, University of Sydney) som skrivit programmet Navier2d och Britton J. Olson (PhD student i aero/astro, Stanford University) som skickade koden förtjänar båda ett stort tack.

Referenser

Ackerman, S. A. & Knox, J. A. (2007). Meteorology: Understanding the Atmosphere.United States of America: Thomson Brooks/Cole.

American Meteorological Society (2011a). Glossary. Atmospheric boundary layer.[Elektronisk] Tillgänglig: http://amsglossary.allenpress.com/glossary/

search?p=1&query=Atmospheric+boundary+layer&submit=Search [2011-04-12]

American Meteorological Society (2011b). Glossary. Eddy viscosity.

[Elektronisk] Tillgänglig http://amsglossary.allenpress.com/glossary/

search?id=eddy-viscosity1 [2011-04-29]

Anderberg, S. (2011). Guadeloupe. I Nationalencyklopedin. [Elektronisk]

Tillgänglig: http://www.ne.se/lang/guadeloupe [2011-04-13]

Chern, J. (2011). Goddard Space Flight Center, NASA, Greenbelt. Privat kommunikation. [2011-04-28]

Crowe, T. C., Elger, D. F., Williams, B. C. & Roberson, J. A. (2010).

Engineering Fluid Mechanics, 9th edition.Asia: Wiley

Doering, C. R. & Gibbon J. D. (2004). Applied analysis of the Navier- Stokes equations. Cambridge University Press.

Drazin, P. G. (2002). Introduction to Hydrodymanic Stability. Cambridge University Press.

Encyclopædia Britannica (2011a). Heard and McDonald Islands.

[Elektronisk] Tillgänglig: http://www.britannica.com/EBchecked/topic/

258268/Heard-and-McDonald-Islands [2011-04-13]

Encyclopædia Britannica (2011b). Juan Fernández Islands.

306992/Juan-Fernandez-Islands [2011-04-13]

Encyclopædia Britannica (2011c). Revillagigedo Islands.

500519/Revillagigedo-Islands [2011-04-13]

Encyclopædia Britannica (2011d). World map. [Elektronisk] Tillgänglig:

http://www.britannica.com/EBchecked/media/69323/ [2011-04-13]

(23)

Engwirda, D. (2005). Navier2d Readme.

Etling, D. (1990). Mesoscale Vortex Shedding from Large Islands: A Com- parison with Laboratory Experiments of Rotating Stratified Flows.

Meteorology and Atmospheric Physics, vol. 43, ss. 145-151 Faber, T. E. (2011). Fluid mechanics. I Encyclopædia Britannica.

211272/fluid-mechanics [2011-03-24]

Feynman, R. P., Leighton, R. B. & Sands, M. (1971). The Feynman Lectu- res on Physics. Volume II.Addison-Wesley.

Jakobsson, A. (2011). Kanarieöarna. I Nationalencyklopedin. [Elektronisk]

Tillgänglig: http://www.ne.se/lang/kanarieöarna [2011-04-13]

Jan Mayen (2006). Jan Mayen. [Elektronisk] Tillgänglig:

http://www.jan-mayen.no/ [2011-04-13]

Japan Meteorological Agency (2002). Analysis and Use of Meteorological Satellite Image. Meteorological Satellite Center.

Kalnay et al. (1996). The NCEP/NCAR 40-year reanalysis project, Bul- letin of the American Meteorological Society, vol. 77, ss 437-470.

Återanalysdata tillgängligt: http://nomad3.ncep.noaa.gov/cgi-bin/

pdisp_6p_r1.sh [2011-04-14]

Kirk, B. (2011). Lyndon B. Johnson Space Center, NASA, Houston. Privat kommunikation. [2011-04-22]

Nationalencyklopedin (2011a). Baroklin. [Elektronisk] Tillgänglig:

http://www.ne.se/baroklin [2011-04-26]

Nationalencyklopedin (2011b). Gränsskikt. [Elektronisk] Tillgänglig:

http://www.ne.se/gränsskikt/186907 [2011-04-12]

Nationalencyklopedin (2011c). Madeira. [Elektronisk] Tillgänglig:

http://www.ne.se/lang/madeira/248131 [2011-04-13]

Olafsson, H. (2011). Univeristetet i Bergen. Privat kommunikation. [2011- 04-23]

Perry, A. E., Chong, M. S & Lim, T. T (1981). The vortex-shedding process behind two-dimensional bluff bodies. Journal of Fluid Mechanics, vol.

116, ss. 77-90

Petrin, A. B. (1997). Integro-differential equation method in the hydro- dynamics of an incompressible viscous fluid. Journal of Experimental and Theoretical Physics, vol 85, ss. 724-727

Råde, L. & Westergren, B. (2004). Mathematics Handbook for Science and Engineering. China: Elanders Beijing Printing Co.

Sahlée, E. (2010). Gränsskikt. Föreläsning 2010-10-04

Samuelsson, A. (2011). Theodore von Kármán. I Nationalencyklopedin.

[Elektronisk] Tillgänglig: http://www.ne.se/theodore-von-karman [2011-04-29]

Sun, W-Y. (2011). Purdue University. Privat kommunikation. [2011-04-22]

Reanalyses (2011). Reanalysis Intercomparison and Observations. [Elektro- nisk] Tillgänglig: http://reanalyses.org/ [2011-04-25]

(24)

Roshko, A. (1954). On the development of turbulent wakes from vortex streets. National Advisory Committee for Aeronautics, report 1191.

Williamson, C. H. K. (1996). Vortex dynamics in the cylinder wake. An- nual review of fluid mechanics, vol 28, ss. 477-539

Wu, J. C. & Thompson, J. F. (1972). Numerical solutions of time-dependent incompressible Navier-Stokes equations using an integro-differential formulation. Computers & Fluids, vol 1, ss. 197-215

Young, S. G. & Zawislak, J. (2005). An Observational Study of Vortex Spacing in Island Wake Vortex Streets. Monthly Weather Review, vol 134, ss. 2285-2294

Satellitbilder

Gran Canaria (2010-06-06). European Space Agency (ESA) [Elektronisk]

Tillgänglig: http://earth.eo.esa.int/cgi-bin/satimgsql.pl?show_url=

2058&startframe=0 [2011-04-12]

Gran Canaria (2000-04-24). National Aeronautics and Space Administra- tion (NASA) Visible Earth. [Elektronisk] Tillgänglig:

http://visibleearth.nasa.gov/view_rec.php?id=752 [2011-04-12]

Guadeloupe (1999-08-20). NASA Visible Earth. [Elektronisk] Tillgänglig:

Heard Island (2005-01-05). NASA Visible Earth. [Elektronisk] Tillgänglig:

Jan Mayen (1979-04-12). Dundee Satellite Receiving Station. [Elektronisk]

Tillgänglig: http://www.sat.dundee.ac.uk/gallery/

gallery_imagedetails.php?id=979 [2011-04-11]

Madeira (2010-08-21). NASA Modis. [Elektronisk] Tillgänglig:

http://modis.gsfc.nasa.gov/gallery/individual.php?

db_date=2010-08-21 [2011-04-12]

Selkirkön (1999-09-15). NASA Landsat. [Elektronisk] Tillgänglig:

http://earthobservatory.nasa.gov/IOTD/view.php?id=625 [2011-04-11]

Socorroön (2010-07-01). National Oceanic and Atmospheric Administration (NOAA). [Elektronisk] Tillgänglig: http://www.nnvl.noaa.gov/MediaDetail .php?MediaID=447&MediaTypeID=1&MediaFileID=65 [2011-04-12]

(25)

Bilaga 1 Analytisk lösning för potentialflödet

Vi vill hitta en stationär lösning för en inkompressibel fluid i en friktionsfri och rotationsfri strömning kring en cirkulär cylinder (i 2D) med radien a.

Lösning:

Randvillkor: Långt bort från cylindern är strömningshastigeten

~v = ~v₀= v₀xˆ (8)

Vi inför variabeln

~

u = ~v − ~v0 (9)

och kan då med hjälp av ekv. 8 skriva

ρ→∞lim ~u = ~0 (R1)

där ρ mäts från origo. Vid cylinderns yta är ~v parallell med ytan, det vill säga

~

v_ρ=a· ˆρ = 0 (10)

där ˆρ är normal till cylinderns yta. Skrivs detta om med ekv. 9 blir vid ρ = a

~

u · ˆρ + ~v0· ˆρ = 0 → uρ= −v0,ρ (11) Utifrån ekv. 8 kan vi i polära koordinater (ρ, ϕ) skriva

~

v0= v0x = vˆ 0cos (ϕ) ˆρ − v0sin (ϕ) ˆϕ → v0,ρ= v0cos (ϕ) (12) vilket ger

uρ= −v0cos (ϕ) (R2)

Differentialekvation: Eftersom ~v är rotationsfri är även ~u rotationsfri,

∇ × ~u = ~0. Det finns därför en potential φ så att ~u = ∇φ (Råde & Westergren 2004, s. 248). Ekv. 9 kan nu skrivas

~

v = ~v₀+ ∇φ (13)

En inkompressibel vätska uppfyller kontinuitetsekvationen ∇ · ~u = 0. Eftersom

~

u = ∇φger detta Laplace-ekvationen ∇ (∇φ) = ∆φ = 0. I polära koordinater blir differentialekvationen (Råde & Westergren 2004, s. 252):

∆φ = 1 ρ

∂

∂ρ

ρ∂φ

∂ρ

+ 1

ρ²

∂²φ

∂ϕ²

= 0 (14)

och med ansatsen φ (ρ, ϕ) = R (ρ) V (ϕ) kan den skrivas om till

ρ²R⁰⁰+ ρR⁰ 1

R = −V⁰⁰

V = λ (15)

där λ är en separationskonstant. Detta ger två ekvationer. Den ena är

V⁰⁰+ λV = 0 (16)

(26)

som har lösningen (Råde & Westergren 2004, s. 202) V (ϕ) = A cos√

λϕ

+ B sin√

λϕ

(17) Eftersom vi har periodiska randvillkor (periodicitet 2π) får vi

Vn(ϕ) = Ancos (nϕ) + Bnsin (nϕ) λ = n² n = 0, 1, 2, ... (18) I lösningen för R måste fallet n = 0 specialbehandlas. Då är (från ekv. 18) V0(ϕ) = A0=konstant. För n = 0 blir ekv. 14

1 ρ

d dρ

ρdR₀

dρ

= 0 (19)

eftersom φ inte har något ϕ-beroende. Uttrycket i parentesen måste vara en konstant, C0, för att ekvationen ska vara uppfylld.

ρdR₀

dρ = C0 → R0= C0ln (ρ) + D0 (20) För fallet n > 0 gäller från ekvationerna 15 och 18

ρ²R⁰⁰+ ρR⁰− n²R = 0 (21)

Ansatsen R = Eρ^αger α²= n² så att α = ±n och därför blir

Rn= Enρⁿ+ Fnρ⁻ⁿ (22)

Eftersom ~u = ∇φ gäller även (med hjälp av randvillkoret R1) att

ρ→∞lim (∇φ) = ~0 → lim

ρ→∞R⁰ = 0 (23)

Ekv. 20 ger att

R⁰₀(ρ) = C0

ρ (24)

och då ρ → ∞ går R⁰0 mot 0 vilket uppfyller ekv. 23. Från ekv. 22 ser vi att

R⁰_n(ρ) = nEnρⁿ⁻¹− nFn

ρⁿ⁺¹ (25)

och för att ekv. 23 ska vara uppfylld måste En = 0.

Potential: Lösningarna för Vⁿ och Rn multipliceras samman vilket ger φ = C₀ln (ρ) + D₀+

∞

X

n=1

ρ⁻ⁿ(A_ncos (nϕ) + B_nsin (nϕ)) (26) där konstanterna An, Bn, C0 och D0 inte är desamma som tidigare. För att bestämma konstanterna används randvillkoret R2

∂φ

∂ρ

ρ=a

= u_ρ= −v₀cos (ϕ) (27)

(27)

Ekv. 26 ger h_∂φ

∂ρ

i

ρ=a=h C01

ρ+P∞

n=1−nρ⁻ⁿ⁻¹(Ancos (nϕ) + Bnsin (nϕ))i

ρ=a=

= C01 a +P∞

n=1−na⁻ⁿ⁻¹(Ancos (nϕ) + Bnsin (nϕ))

(28)

För att ekvationerna 27 och 28 ska vara lika måste C0= 0, Bn= 0 och An6=1= 0. För fallet n = 1 får vi

−a⁻²A1cos (ϕ) = −v0cos (ϕ) → A1= a²v0 (29) Sätts D0= 0ger ekvationerna 26 och 29

φ = a²v₀

ρ cos (ϕ) (30)

Vi vill nu hitta en potential Φ som uppfyller ∇Φ = ~v (kom ihåg att ∇φ = ~u).

~

v = ~v₀+ ∇φ = v₀cos (ϕ) ˆρ − v₀sin (ϕ) ˆϕ +^∂φ_∂ρρ +ˆ ¹_ρ^∂φ_∂ϕϕ =ˆ

=

v0cos (ϕ) +^∂φ_∂ρ, −v0sin (ϕ) +¹_ρ^∂φ_∂ϕ

=

v₀cos (ϕ) −^a_ρ²^v₂⁰cos (ϕ) , −v₀sin (ϕ) −¹_ρ^a²_ρ^v⁰sin (ϕ)

= ∇Φ

(31)

Detta uppfylls av potentialen

Φ = ρv0cos (ϕ) +1

ρA1cos (ϕ) = v0

ρ +a²

ρ

cos (ϕ) (32)

vilket omskrivet till kartesiska koordinater ger

Φ = v₀x + v₀a² x

x²+ y² (33)

och hastigheten

~v = v0+ v0a y²− x² (x²+ y²)²

!

, −v0a 2xy (x²+ y²)²

!

(34)

(28)