Rätt svarsalternativ: a a 0.38 b 0.37 c 0.34 d 0.33 e Inget av a till d

MA2018 Tillämpad Matematik III-Statistik, 3.5hp, 2021-06-02 Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal. Räknedosa och medföljande formelsamling är tillåtna!

Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Mats 0729 773 575 Del A

1. Vid en produktion kan två olika fel, A och B, uppkomma på den tillverkade detaljen. Man vet att P A 0.3, P B 0.1 och P A B 0.02. Beräkna sannolikheten att minst ett av felen uppkommer på en slumpmässigt vald detalj. (1p)

Lösningsförslag: P minst ett av felen P A B P A P B P A B 0.3 0.1 0.02 0.38.

0.3 0.1 0.02 0.38

Rätt svarsalternativ: a a 0.38 b 0.37 c 0.34 d 0.33 e Inget av a till d.

2. I en låda ligger 15 bollar, 10 svarta och 5 vita. Hur stor är sannolikheten att få högst en svart boll om man väljer 5 st slumpmässigt och utan återläggning ur lådan? (1p)

Lösningsförslag: P högst 1 svart P ingen svart P exakt en svart

5 5

10 0

5 4

10 1 15

5

1 1 5 10

15 14 13 12 11 5 4 3 2 1

51 3003

17

1001 0.017.

p

Binomial 5, 5 Binomial 10, 0 Binomial 5, 4 Binomial 10, 1

Binomial 15, 5 , p N

 17

1001, 0.016983

p CDF HypergeometricDistribution 5, 10, 15 , 1 , p N

 17

1001, 0.016983

Rätt svarsalternativ: c a ₁₄₃⁵⁰ 0.350 b ₃₀₀₃⁵⁰ 0.0167 c ₁₀₀₁¹⁷ 0.0170 d ₁₄₃⁶² 0.434 e Inget av a till d.

3̅4. Ett företag tillverkar fjäderbrickor av en viss typ i tre maskiner, här kallade A, B och C. 60% av tillverkningen sker i maskin A, 25% i maskin B och 15% i maskin C. Av de tillverkade brickorna blir 2% defekta i maskin A, 4% defekta i maskin B och 5%

defekta i maskin C.

3. Hur stor andel av alla tillverkade fjäderbrickor blir defekta? (1p)

Lösningsförslag: Låt D vara händelsen att en fjäderbricka blir defekt. Enligt förutsättningarna är P A 0.6, P B 0.25 och P C 0.15 samt P D A 0.02, P D B 0.04 och P D C 0.05, så

P D P A D P B D P C D

P A P D A P B P D B P C P D C 0.6 0.02 0.25 0.04 0.15 0.05 0.0295.

m 0.6, 0.25, 0.15 ; p 0.02, 0.04, 0.05 ; m.p

0.0295

Rätt svarsalternativ: a a 0.0295 b 0.11 c 0.0345 d 0.0515 e Inget av a till d.

4. Man väljer slumpmässigt en fjäderbricka ur produktionen och finner att denna är defekt. Hur stor är sannolikheten att den är tillverkad i maskin C? (1p)

Lösningsförslag: Vi får P C D ^{P C D}_{P D} ^{P C P D C}_{P D} uppg 3 ^{0.15 0.05}_0.0295 0.2542.

m p m.p

P Tillverkad i A,B,C

0.40678, 0.338983, 0.254237

Rätt svarsalternativ: e a 0.8012 b 0.5625 c 0.4067 d 0.3390 e Inget av a till d.

5̅6. Vid tillverkning av skruvar och muttrar kan diametern för en viss typ av skruv betraktas som en normalfördelad stokastisk variabel X, med väntevärdet 4.10 mm och standardavvikelsen 0.16 mm. För muttrarna kan hålets diameter betraktas som en nor- malfördelad variabel Y, med väntevärdet 4.35 mm och standardavvikelsen 0.12 mm.

5. Beräkna väntevärde och standardavvikelse för skillnaden mellan hålets och skruvens diametrar, Y X . (1p)

Lösningsförslag: Vi har X N 4.10, 0.16 och Y N 4.35, 0.12 . Μ E Y X E Y E X 4.35 4.10 0.25

Σ² V X Y V X V Y 0.16² 0.12² 0.04 Σ 0.2

Μ, Σ 4.35 4.10, 0.16² 0.12²  0.25, 0.2

Rätt svarsalternativ: e a Μ,Σ 0.29, 0.28 b Μ,Σ 0.25, 0.04

c Μ,Σ 0.25, 0.28 d Μ,Σ 0.29, 0.04 e Inget av a till d.

6. En mutter anses passa till en skruv om hålets diameter är större än skruvens och om skillnaden inte överstiger 0.60 mm. Om en skruv och en mutter väljs slumpässigt ur produktionen, hur stor är sannolikheten att muttern passar skruven? (1p)

Lösningsförslag: Vi har X N 4.10, 0.16 , Y N 4.35, 0.12 och Y X N 0.25, 0.2 enligt föregående uppgift, så P 0 Y X 0.6 ^{0.6 0.25}_0.2  ^{0 0.25}_0.2  1.75 1.25 0.9599 1 0.8944 0.8543 CDF NormalDistribution Μ, Σ , 0.6 CDF NormalDistribution Μ, Σ , 0

0.854291

Probability 0 x 0.6, x NormalDistribution Μ, Σ 0.854291

Rätt svarsalternativ: c

a 94.8 b 95.2 c 85.4 d 96.0 e Inget av a till d.

7̅8. Den stokastiska variabeln Ξ har sannolikhetsfunktionen f x k2x x² 0 x 2

0 annars , där k är en konstant.

7. Bestäm k. (1p)

Lösningsförslag: Definition, f x x 1 ₀²k2x x² x 1 kx^{2 x}₃³

0

2 1 k4 ⁸₃ 1 k ³₄.

f x : k 2 x x²; kå Solve

0 2

f x x 1, Plot f x . kå, x, 0, 2 

k 3 4^,

0.5 1.0 1.5 2.0

0.2 0.4 0.6



Rätt svarsalternativ: a a ³₄ b 1 c ⁴₃ d ³₂ e Inget av a till d.

8. Bestäm väntevärdet för Ξ. (1p)

Lösningsförslag: EΞ x f x x ₀²x³₄2x x² x ³₄^{2 x}₃^{3 x}₄⁴

0

2 3

4¹⁶₃ ¹⁶₄ ^{3 16}₄ ₁₂⁴ ₁₂³ 1.



0 2

x f x x . kå 1

Rätt svarsalternativ: e a ¹⁴₉ b ⁶₅ c ²²₂₁ d ¹⁰₉ e Inget av a till d.

9. Ur ett parti med taktegel packat i buntar tar man på måfå ut 15 buntar för kontroll. Hur stor är sannolikheten att man i dessa buntar hittar någon spräckt tegelpanna om partiet består av 1000 buntar varav 150 innehåller några spräckta tegelpannor. (1p)

Lösningsförslag: LåtΞ antal buntar med spräckta pannor, så med p ₁₀₀₀¹⁵⁰ 0.15 har viΞ Hyp 1000, 15, 0.15 Bin 15, 0.15

P Ξ 1 1 P Ξ 0 Hyp 1

150 0

850 15 1000

15

1 0.0874 0.9143

P Ξ 1 1 P Ξ 0 Bin 1 1 0.15¹⁵ 0.9126

1 Binomial 850, 15 Binomial 1000, 15

,

CDF HypergeometricDistribution 15, 150, 1000 , 0 , CDF BinomialDistribution 15, 0.15 , 0 ,

1 0.15 ¹⁵ N

0.914266, 0.914266, 0.912646, 0.912646

Rätt svarsalternativ: e

a 90.3 b 92.8 c 76.9 d 23.1 e Inget av a till d.

10. Antal inkommande samtal Ξ, per 30-minutersperiod till en telefonväxel är Poissonfördelad med väntevärdet 2 samtal/30 min. Hur stor är sannolikheten att det under en 30-minutersperiod inkommer exakt 4 samtal? (1p)

Lösningsförslag: LåtΞ antal inkommande samtal,Ξ Po 2

P Ξ 4 ₄²²⁴ P Ξ 4 P Ξ 3 ^tabell0.9473 0.8571 0.0902



22⁴ 4

, PDF PoissonDistribution 2 , 4 ,

CDF PoissonDistribution 2 , 4 CDF PoissonDistribution 2 , 3 , Probability x 4, x PoissonDistribution 2  N

0.0902235, 0.0902235, 0.0902235, 0.0902235

Rätt svarsalternativ: b

a 8.8 b 9.0 c 94.7 d 14.2 e Inget av a till d.

Del B

11̅12. En tentamen med flervalsfrågor finns 4 olika svarsalternativ och 15 frågor. För godkänt betyg på tentamen krävs minst 8 rätt.

11. Beräkna sannolikheten att en tentand kan gissa sig till betyget godkänd. Ange ditt svar i % avrundat till en decimal. (1p) Lösningsförslag: LåtΞ antal rätta svar,Ξ Bin 15, 0.25 .

P Godkänd PΞ 8 1 PΞ 7 ^tabell1 0.9827 0.0173 1 CDF BinomialDistribution 15, 0.25 , 7

0.0172998

Rätt svarsalternativ: a a 1.7 b 5.7 c 0.4 d 5.0 e Inget av a till d.

12. Beräkna approximativt sannolikheten att om 800 studenter tenterar att minst 10 lyckas gissa sig till godkänt resultat. Använd den avrundade sannolikheten du beräknade i föregående uppgift och ange ditt svar i % avrundat till en decimal. (1p)

Lösningsförslag: SättΖ antal tentander som lyckas gissa sig till betyget G av 800

Med sannolikhet p 0.017 beräknad i föregående uppgift blirΖ Bin 800, 0.017 EΖ np 800 0.017 13.6 och V Ζ np 1 p 800 0.017 1 0.017 13.3688 Ζ^CGSN13.6, 13.3688

PΖ 10 1 PΖ 9 1  ^{9 13.6}

13.3688  1 1.26 1 1 1.26 1.26 0.8962

1 CDF BinomialDistribution 800, p , 9 , CDFNormalDistribution800 p, 800 p 1 p , 9,

CDFNormalDistribution 0, 1 , 9 800 p 800 p 1 p

,

CDF PoissonDistribution 800 p , 9  . p 0.017 0.872408, 0.89582, 0.89582, 0.87027

Rätt svarsalternativ: e a 77.2 b 79.6 c 12.8 d 85.6 e Inget av a till d.

13̅14. Erfarenhetsmässigt vet en konstruktionsfirma att antalet dagar som olika konstruktionsuppdrag försenas kan betraktas som en stokastisk variabel Ξ, med fördelningen

x 0 1 2 3

p x 0.5 0.3 0.1 0.1 13. Bestäm väntevärde Μ och varians Σ² för Ξ. (1p)

Lösningsförslag: LåtΞi antal dagar ett uppdrag försenas och

Μ E Ξi 0.5 0 0.3 1 0.1 2 0.1 3 0.8

Σ² V Ξi EΞi2 0.8² 0.5 0² 0.3 1² 0.1 2² 0.1 3² 0.8² 0.96 E Y E _{i 1}¹⁰⁰⁰Ξi _{i 1}¹⁰⁰⁰E Ξi och V Y V _{i 1}¹⁰⁰⁰Ξi^Ober _{i 1}¹⁰⁰⁰V Ξi

E Y 1000 0.75 750 och V Y 1000 0.7875 787.5 x 0, 1, 2, 3 ; p 0.5, 0.3, 0.1, 0.1 ;

 x.p, Σ2 x².p ² 0.8, 0.96

Rätt svarsalternativ: c a Μ,Σ² 0.8, 1.6 b Μ,Σ² 1, 1.6

c Μ,Σ² 0.8, 0.96 d Μ,Σ² 1, 0.96 e Inget av a till d.

14. Bestäm med lämplig approximation hur stor sannolikheten är att 50 konstruktionsuppdrag sammanlagt försenas högst 30 dagar.

Antag att olika uppdrag försenas oberoende av varandra. Ange ditt svar i % och avrunda till 1 decimal. (1p) Lösningsförslag: Låt Y antalet förseningsdagar för 50 uppdrag. Vi ska bestämma P Y 30

Y _{i 1}⁵⁰ Ξi. Med stöd från Centrala gränsvärdessatsen kan vi nu säga att Y N50 0.8, 50 0.96och

P Y 30  ^{30 40}

50 0.96  1.44 1 1.44 ^tabell1 0.9251 0.0749

a 30 40

50 0.96

CDFNormalDistribution40, 50 0.96 , 30, CDF NormalDistribution , 1.44  1.44338

0.0744573, 0.0749337

Rätt svarsalternativ: a a 7.5 b 6.2 c 92.5 d 93.8 e Inget av a till d.

15̅16. Man har bestämt densiteten för 13 provkroppar av gasbetong med följande resultat i g cm³:

0.506 0.510 0.507 0.510 0.508 0.511 0.501 0.493 0.518 0.508 0.504 0.528 0.500 Densiteten anses vara N Μ,Σ. Beräkningshjälp x 0.508 och s 0.008544.

15. Bestäm ett 95% konfidensintervall för den genomsnittliga densiteten Μ? Avrunda, nedåt på nedre gräns och uppåt på övre gräns, till 4 decimaler. (1p)

Lösningsförslag: Stickprovet gerΜ x 0.508 och s 0.008544.

Ett konfidensintervall förΜ x t_0.025^{n 1 s}

n , med t_0.025¹² 2.18 Μ 0.508 2.18 ^0.008544₁₃ , 95 Μ 0.508 0.0051659 , 95 Μ 0.5028, 0.5132 , 95

Needs "HypothesisTesting`"

data

0.506, 0.510, 0.507, 0.510, 0.508, 0.511, 0.501, 0.493, 0.518, 0.508, 0.504, 0.528, 0.500 ; Mean data , StandardDeviation data , MeanCI data, ConfidenceLevel 0.90

e 2.18 0.008544 13 0.508 e, 0.508 e

0.508, 0.008544, 0.503777, 0.512223 0.0051659

0.502834, 0.513166

Rätt svarsalternativ: b a Μ 0.5037, 0.5123 b Μ 0.5028, 0.5132

c Μ 0.5033, 0.5127 d Μ 0.4995, 0.5673 e Inget av a till d.

16. Tolka intervallet ovan? (1p)

Rätt svarsalternativ: c

a I genomsnitt över många försök innerhåller intervallet 95 av observationerna.

b Minst 95 av observationerna faller alltid inom intervallet.

c Det är minst i 95 chans att intervallet kommer hamna så att det innehållerΜ. d Det är statistiskt säkerställt attΜ 0.508 g cm³.

e Inget av a till d.

17̅18. Med en väntevärdesriktig metod vill man bestämma fryspunkten för en lösning. Av erfarenhet kan man anta att Σ² 0.7 C². Efter 10 mätningar fick man medelvärdet av fryspunkten till x 1.2 C. Antag att fryspunkten är N Μ,Σ.

17. Bestäm ett 99% konfidensintervall för den genomsnittliga fryspunkten Μ? Avrunda, nedåt på nedre gräns och uppåt på övre gräns, till 2 decimaler. (1p)

Lösningsförslag: Stickprovet gerΜ x 1.2 ochΣ 0.7 känd

Ett 99 konfidensintervall förΜ x Λ0.005 ^Σn , medΛ0.005 2.5758

Μ 1.2 2.5758 ^0.7₁₀ , 99 Μ 1.2 0.681493 , 99 Μ 0.51, 1.89 , 99

x 1.2, Σ 0.7 , Λ0.005 2.3263, Λ0.005

Σ 10



1.2, 0.83666, 2.3263, 0.615481 x 1, 1 Λ0.005

Σ 10 0.584519, 1.81548

Rätt svarsalternativ: e a Μ 0.62, 1.78 b Μ 0.68, 1.72 c Μ 0.58, 1.81 d Μ 0.52, 1.88 e Inget av a till d.

18. Hur många gånger måste man minst bestämma fryspunkten för att ett 99% konfidensintervall ska bli hälften så brett som det i uppgift 17? (1p)

Lösningsförslag: Formulera önskemålet och lös ut n, 2Λ0.005 ^Σn 1

2 2Λ0.005 ^Σ10 2 10 n n 2 10² 40.

Reduce 1 n

1 2

1 10

, n Integers

n n 40

Rätt svarsalternativ: c

a 20 b 30 c 40 d 60 e Inget av a till d.

19̅20. Om någon vecka startar fotbolls EM. Efter besked om Zlatans återkomst till landslaget genomförde ett fotbollsmagasin en internetundersökning bland sina läsare. I denna deltog 971 personer varav 534 svarade NEJ på frågan: Kommer Sverige slås ut ur EM efter gruppspelet?

19. Kan man med utgångpunkt från denna undersökning säga att en majoritet av magasinets läsare tror på att Sverige går vidare från gruppspelet i EM? Besvara frågan med ett 95% konfidensintervall för p = andelen NEJ-svar. Avrunda, nedåt på nedre gräns och uppåt på övre gräns, till 3 decimaler. (1p)

Lösningsförslag: Ξ antal NEJ–svar,Ξ Bin 971, p , p ^Ξ_n^CGSN p, ^{p 1 p}_n

Konfidensintervall för p : p p Λ_Α2 p 1 p

n , 1 Α 100

Λ0.025 1.96 ger konfidensgrad 95 och från stickprovet fås p ⁵³⁴₉₇₁ 0.55 Detta ger p 0.55 0.0313 , 95 dvs p 0.518, 0.582 , 95

Λ0.025 1.96, p

534

971., n 971, e Λ0.025

p 1 p

n 

1.96, 0.549949, 971, 0.0312924

p e, e 0.518656, 0.581241

Rätt svarsalternativ: d a Nej eftersom p 0.500, 0.600 95 b Nej eftersom p 0.497, 0.603 95

c Ja eftersom p 0.530, 0.571 95 d Ja eftersom p 0.518, 0.582 95 e Inget av a till d.

20. Hur många behöver svara på frågan för att längden på konfidensintervallet ovan ska bli högst 0.04? Använd skattningen av p ovan och avrunda till närmsta 10-tal. (1p)

Lösningsförslag: Längden av intervallet ovan 2 1.96 0.55 1 0.55

971 0.0626. Antag att p 0.55, och bestäm n så att 2 1.96 0.55 1 0.55

n 0.04 n ^{2 1.96}_0.04 ²0.55 1 0.55 2377

Reduce2 1.96 p 1 p N

0.04, N Integers

N N 2378.

Rätt svarsalternativ: e a 1520 b 3550 c 4230 d 9510 e Inget av a till d.