Sida 1 av 6
Kontrollskrivning 5 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic
Datum: Onsdag 15/5
Version A Resultat:
Inga hjälpmedel tillåtna. Minst 8 poäng ger godkänt.
Godkänd KS nr n medför godkänd uppgift n vid tentor till (men inte med) nästa ordinarie tenta (högst ett år), n = 1,2,…,5.
13–15 poäng ger ett ytterligare bonuspoäng till tentamen.
Uppgifterna 3)–5) kräver väl motiverade lösningar för full poäng.
Uppgifterna står inte i svårighetsordning.
Spara alltid återlämnade skrivningar till slutet av kursen!
Skriv dina lösningar och svar på samma blad som uppgifterna; använd baksidan om det behövs.
Σ p P/F Extra Bonus
Sida 2 av 6
1) (För varje delfråga ger rätt svar 1/2 p, inget svar 0 p, fel svar –1/2 p. Totalpoängen på uppgiften rundas av uppåt till närmaste icke–negativa heltal.)
Kryssa för om påståendena a) – f) är sanna eller falska (eller avstå)!
Sant Falsk a) Varje komplett graf med 7 noder har 21 kanter x
b) Varje träd med 9 noder har 10 kanter x
c) En eulerväg i en graf måste passera varje nod precis en
gång. x
d) En hamiltonstig i en graf måste passera varje nod precis en
gång. x
e) En graf kan ha 4 noder med grader 1, 2, 2, 2. x
f) Den kompleta grafen K5 är planär. x
Upp 1. poängsumma : ……….
Sida 3 av 6 2) a)
En graf har 5 noder med grader 1, 2, 3, 4 och 4. Bestäm antalet kanter i grafen.
Svar: 7
(Anmärkning: En sådan graf är faktiskt en multigraf.)
b) En sammanhängande planär graf har 30 kanter och 12 fasetter. Bestäm antalet noder.
Svar: 20
c) Skriv ned en Eulerväg för följande graf. (Skriv svaret som en sekvens av noder.)
Svar: En lösning : D-E-A-C-D-A-B-C-E (Det finns flera lösningar.)
Upp 2. poängsumma : ……….
Sida 4 av 6
3)Den bipartita grafen G har två mängder X och Y av noder. Det finns inga kanter mellan noder i X och inga kanter mellan noder i Y . Varje nod i
mängden X har graden 6 och varje nod i mängden Y har graden 5. Det finns 80 noder i X, (dvs |X| =80). Bestäm antalet noder i Y .
OBS. Ditt svar skall motiveras.
Lösning: Antalet kanter e X=| | 4 | | 5⋅ =Y ⋅ . Eftersom |X |=80 har vi 80⋅6=|Y |⋅5.
Härav 16 6 96
5 6
| 80
|Y = ⋅ = ⋅ = . Svar: | =Y | 96
Rättningsmall:
Korrekt ekvationen e X=| | 6 | | 5⋅ =Y ⋅ ger 1p.
Korrekt metod med 1 räknefel ger 2p.
Allt korrekt=3p
Upp 3. poängsumma : ……….
Sida 5 av 6
4) En sammanhängande planär graf G har 12 fasetter, och varje nod i grafen har grad 3.
a) Bestäm antalet kanter i grafen. b) bestäm antalet noder i grafen OBS. En komplett lösning med fullständiga motiveringar skall ges.
Lösning:
Vi betecknar som vanligt:
v=antalet noder, e= antalet kanter och f = antalet fasetter.
Låt S beteckna summan av gradtalen i grafen G.
Summan av gradtalen i varje graf grafen är lika med 2e (varje kant bidrar med 2 grader).
Alltså S 2= e (*)
I vår graf gäller det att varje nod har grad 3. Därmed är summan av gradtalen i grafen G lika med 3v.
Alltså S 3= v (**).
Därmed är 3 =v 2e eller v e 3
= 2 (***) Vi substituerar (***) f =12 i Eulers formel
2
= +
−e f v
och får
2 3 12
2e−e+ = .
Härav 10 30
3
1 =− ⇒ =
− e e .
Antalet noder är 20 2 =3
= e
v .
Svar: a) e=30 b) v =20 Rättningsmall:
Korrekt sambandet 3 =v 2e ger 1p.
Korrekt e=30 ger +1p . Korrekt v =20 ger +1p . Allt korrekt=3p
Upp 4. poängsumma : ……….
Sida 6 av 6
5) Låt G vara en planär sammanhängande graf med minst en cykel.
Anta vidare att alla cykler är av längd ≥ 4 (d.v.s varje cykel i G har minst 4 kanter) . Bevisa olikheten e≤2 −v 4.
Lösning:
Runt varje fasett finns minst 4 kanter. Om vi plussar alla kanter som begränsar fasetter då räknas varje kant två gånger. Antalet kanter runt fasetter är därmed ≥4 f⋅ /2.
(Notera att grafen kan ha även andra kanter, förutom de som bildar fasetter.) Därför gäller
2 / 4 f
e≥ ⋅ eller 2
f ≤ e (*)
Enligt Eulers formel är v−e+ f =2 eller 2
+
−
=e v
f (**) .
Från ( *) och (**) ”eliminerar ” vi f och får
2 e2 v
e− + ≤ .
Härav 2
2e ≤v− eller e≤2 −v 4 V.S.B.
Rättningsmall:
Korrekt till e≥4 f⋅ /2 ger 1p.
Korrekt till
2 e2 v
e− + ≤ ger 2p.
Allt korrekt=3p
Upp 5. poängsumma : ……….
