RIEMANNSUMMOR OCH DEFINITIONEN AV INTEGRALEN ∫

1

RIEMANNSUMMOR OCH DEFINITIONEN AV INTEGRALEN ∫

^b

a

dx x f )(

Låt f (x )

vara en reell funktion definierad och begränsad på intervallet

[a,b],

Låt

P={x

0

,x

1

,...,x

n

} där a= x

0

≤x

1

≤,..., ≤x

n

=b, vara

en indelning av intervallet

[a,b].

I varje delintervall [x

k-1

, x

k

] väljer och en punkt c

k

. Alltså x

k-1

≤ c

k

≤ x

k .

Uttrycket ∑

=

−

−

n

k

f c

k

x

k

x

k

1

( )(

1

) kallas för en Riemannsumma och betecknas oftast S, S

_n,

R

_n

)

, ( P f

S

_n , eller

R

_n

( P f , )

.

Vi använder ofta beteckning ∆ x

_k

= x

_k

− x

_k−₁

, för längden av intervall (nr. k) samt

|}

max{|

||

|| P = x

_k

− x

_k−₁

dvs "normen" , || P , av indelningen P är längden av största ||

delintervallet. ( Anmärkning: Normen av indelningen

P

betecknas även som | P |

)

Den bestämda integralen

∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥_𝑎𝑎^𝑏𝑏

definieras som gränsvärdet ( om det existerar) av Riemannsummor

 

 



 −

= ∑

∫

− ₋ → = −

n

k k k k

x x b

a

def

f c x x

dx x f

k

k | 0 1 1

|

max

lim ( )( )

) (

1

eller kortare

∫ ∑

→ =

∆

=

ⁿ

k k k

P b

a

def

f c x

dx x f

0 1

||

||

lim ( )

)

( _.

Vad menar vi med gränsvärdet av Riemannsummor preciseras av följande (Riemanns) definition.

Definition 1a: ( Riemanns definition av ∫

^b

a

dx x

f )(

) . Låt f (x ) vara en reell funktion

definierad och begränsad på intervallet [a,b], Vi säger att f (x ) är integrerbar på intervallet

[a,b] om det existerar ett tal A så att följande gäller:

2

För varje ε

>0

existerar δ

>0

så att för varje indelning P={x

0

,x

1

,...,x

n

}, av intervallet [a,b]

och punkter {c

1

,...,c

n

} där a= x

0

≤ c

1

≤x

1

≤,...,≤ c

n

≤x

n

=b, gäller ε

δ ⇒ − ∆ <

< ∑

=

| ) (

|

||

||

1 n

k

f c

k

x

k

A

P .

I detta fall skriver vi

^b f x dx A

a

∫

^{( )} =

^.

UNDERSUMMOR OCH ÖVERSUMMOR

Om vi betraktar en funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) som är kontinuerlig i intervallet [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] då antar funktionen sitt minsta värde 𝑚𝑚_𝑘𝑘 och sin största värde 𝑀𝑀_𝑘𝑘 i varje sluten intervall [𝑥𝑥_𝑘𝑘−1, 𝑥𝑥_𝑘𝑘]. Därför kan vi definiera en

”undersumma”

𝐿𝐿(𝑓𝑓, 𝑃𝑃) = � 𝑚𝑚𝑘𝑘(

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥𝑘𝑘− 𝑥𝑥𝑘𝑘−1) och en ”översumma”

𝑈𝑈(𝑓𝑓, 𝑃𝑃) = � 𝑀𝑀𝑘𝑘(

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥𝑘𝑘− 𝑥𝑥𝑘𝑘−1).

{ Anmärkning: Om funktionen inte är kontinuerlig då använder vi

inf ( ( ))

) 1

(

f x

m

k

k x x

k

=

x ₋ ≤ ≤ _och

)) ( ( sup

) 1 (

x f M

k

k x x

k x

≤

− ≤

=

}.

Låt

P={x

0

,x

1

,...,x

n

} där a= x

0

≤x

1

≤,..., ≤x

n

=b, vara

en indelning av intervallet

[a,b].

I varje delintervall [x

k-1

, x

k

] väljer och en punkt c

k

. Alltså x

k-1

≤ c

k

≤ x

k .

Då gäller

( ) ( )( ) (

₁

)

1 1

1 −

= −

−

≤ − ≤ −

− ∑

^{n k k k}

k k k k

k k

k

x x f c x x M x x

m

.

Den bestämda integralen ∫

^b

a

dx x

f )(

kan definieras med hjälp av under- och översummor.

Följande definition (från kursboken Adams Calculus) är ekvivalent med ovanstående definition 1a.

Definition 1b: ( Kursboken Adams Calculus) . Låt vara en reell funktion definierad och begränsad på intervallet [a,b], Vi säger att f (x ) är integrerbar på intervallet [a,b] om det existerar EXAKT ETT TAL A så att för VARJE indelning P gäller:

) , ( )

,

( f P A U f P

L ≤ ≤

.

Nedanstående sats kan användas för att bevisa integrerbarhet för en funktion.

)

(x

f

3

Sats. En funktion f (x ) är integrerbar på [ b a , ] om för varje ε

>0

existerar en översumma U och en undersumma L sådana att en | U − L | < ε .

Vi använder Riemannsummor bl a för att

1. approximera integralen ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥_𝑎𝑎^𝑏𝑏

2. härleda grundegenskaper för bestämda integraler

3. härleda formler som inkluderar bestämda integraler (t ex beräkning av areor, volymer och båglängder)

4. beräkna några typer av gränsvärden 5. uppskatta eller beräkna summor

…….

Satser om integrerbara funktioner ( på ett slutet och begränsat intervall [a,b] ):

Sats 1. {

f (x )

kontinuerlig på

[a,b]}

^⇒

{

f (x )

integrerbar på

[a,b]}

Sats 2. {

f (x )

är begränsat och kontinuerlig på

[a,b] förutom i ändligt antal punkter}

^⇒ {

f (x )

integrerbar på

[a,b]}

Sats 3. {

f (x ) är monoton

på

[a,b]} ⇒

{

f (x )

integrerbar på

[a,b]}

Exempel: a) f(x)= x³ +2sin(x)+3cos(x)+4ln(x)

är integrerbar på intervallet [12, 23] eftersom f (x )

är

kontinuerlig på intervallet.

Exempel: b) Funktionen

 



≤

≤

≤

= ≤

3 2

för sin

2 1

för )

( x x

x x x

f

är integrerbar på intervallet

[1, 3] eftersom

)

f (x

är

kontinuerlig på intervallet förutom i en punkt.

EGENSKAPER HOS INTEGRERBARA FUNKTIONER

(Vi antar att

f (x ) och g (x )

i nedanstående uttryck

är integrerbara funktioner. )

4 1, ^bcdx c(b a)

a

−

∫

=

(där c är en konstant) 2. { f ( ≥ x ) 0 på [a,b] } ⇒ ∫

^b ( ) ≥0

a

dx x

f

3. {

f ( ≤ x ) 0

på

[a,b] } ⇒

∫

^b ( ) ≤0

a

dx x

f

4. {

f ( x ) ≤ g ( x )

på

[a,b] } ⇒

∫

^≤

∫

^b

a b

a

dx x g dx x

f( ) ( )

5.

∫

^≤

∫

^a

b a

b

dx x f dx

x

f( ) | | ( )|

|

6. ^a ( ) ^def0

a

dx x

f =

∫

7.

∫

⁼⁻

∫

^b

a a def

b

dx x f dx

x

f( ) ( )

8. ∫

⁼

∫

⁺

∫

^c

b b

a c

a

dx x f dx x f dx x

f( ) ( ) ( )

9. ∫ (

⁺

)

⁼

∫

⁺

∫

^b

a b

a b

a

dx x g c dx x f c dx x g c x f

c₁ ( ) ₂ ( ) ₁ ( ) ₂ ( )

INTEGRAL ÖVER ETT SYMMETRISKT INTERVAL [ -a, a]

i) Integralen av en jämn funktion över ett symmetriskt intervall kring noll ( d v s från –a till

a) är två gånger integralen av endast ena halvan (från 0 till a):

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

^𝑎𝑎

−𝑎𝑎

= 2 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

^𝑎𝑎

0

( 𝑜𝑜𝑚𝑚 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ä𝑟𝑟 𝑗𝑗ä𝑚𝑚𝑚𝑚) Exempel:

�

^𝜋𝜋/2

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 =

−𝜋𝜋/2

2 �

^𝜋𝜋/2

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑚𝑚(𝑥𝑥)

₀^𝜋𝜋/2

0

= 2[1 − 0] = 2.

ii) Integralen av en udda funktion över ett symmetriskt intervall kring noll

( d v s från –a till a) är lika med 0:

5

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥

^𝑎𝑎

−𝑎𝑎

= 0 ( 𝑜𝑜𝑚𝑚 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ä𝑟𝑟 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑𝑎𝑎) Exempel .

� [𝑥𝑥

⁵

+ 𝑥𝑥 + sin(𝑥𝑥)]𝑑𝑑𝑥𝑥

𝜋𝜋2

−𝜋𝜋2

= 0

Exempel . Integralen i följande exempel beräknas över ett symmetriskt interval, men integranden är varken udda eller jämn. Trots detta kan vi förenkla beräkning genom att separera udda delen av funktionen.

�^𝜋𝜋/2[𝑥𝑥⁵+ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑚𝑚(𝑥𝑥) + 5]𝑑𝑑𝑥𝑥

−𝜋𝜋/2 = �^𝜋𝜋/2[𝑥𝑥⁵+ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑚𝑚(𝑥𝑥) ]𝑑𝑑𝑥𝑥

−𝜋𝜋/2 + �^𝜋𝜋/25 𝑑𝑑𝑥𝑥

−𝜋𝜋/2 = 0 + 5𝜋𝜋 = 5𝜋𝜋

För att förenkla beräkning i samband med Riemannsummor använder vi ofta indelningsintervaller med samma längd h. ( Anmärkning: vi kan dela intervall även i t ex 2n eller 3n .. delar om det förenklar beräkning)

Om vi delar i n delintervall då är ℎ =^{𝑏𝑏−𝑎𝑎}_𝑛𝑛 och 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝑎𝑎 + 𝑘𝑘ℎ.

Då är ℎ → 0 ekvivalent med 𝑚𝑚 → ∞.

Motsvarande Riemannsumma blir då

𝑆𝑆𝑛𝑛 = ℎ[𝑓𝑓(𝑐𝑐1) + 𝑓𝑓(𝑐𝑐2) … + 𝑓𝑓(𝑐𝑐𝑛𝑛)] (∗) och

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥^𝑏𝑏

𝑎𝑎 = lim_ℎ→0𝑆𝑆_𝑛𝑛= lim_{𝑛𝑛→∞}𝑆𝑆_𝑛𝑛.

Vi kan även välja en punkt 𝑐𝑐𝑘𝑘 på ett enkelt sätt: Enligt definitionen, i varje intervall [𝑥𝑥𝑘𝑘−1, 𝑥𝑥_𝑘𝑘] väljer vi fritt en punkt 𝑐𝑐_𝑘𝑘 och beräknar funktionens värde 𝑓𝑓(𝑐𝑐_𝑘𝑘) i denna punkt. Därför kan vi även välja för 𝑐𝑐𝑘𝑘 en av ändpunkterna 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 eller 𝑥𝑥𝑘𝑘. Därmed blir 𝑓𝑓(𝑐𝑐𝑘𝑘) lika med 𝑦𝑦𝑘𝑘−1 eller 𝑦𝑦𝑘𝑘.

6

A) Om vi t ex väljer 𝑐𝑐_𝑘𝑘 = 𝑥𝑥_𝑘𝑘 då blir uttrycket för summan ännu enklare

𝑆𝑆_𝐻𝐻= ℎ[𝑦𝑦₁+ 𝑦𝑦₂… + 𝑦𝑦_𝑛𝑛] (∗∗) ( Lägg märke till att 𝑦𝑦₀ inte finns i summan (**) )

B) Om vi t ex väljer 𝑐𝑐𝑘𝑘 = 𝑥𝑥_𝑘𝑘−1 dvs 𝑐𝑐1= 𝑥𝑥₀, … . , 𝑐𝑐_𝑛𝑛= 𝑥𝑥_𝑛𝑛−1 får vi summan

𝑆𝑆_𝑉𝑉= ℎ[𝑦𝑦₀+ 𝑦𝑦₁+ ⋯ + 𝑦𝑦_𝑛𝑛−1] (∗∗∗) ( Lägg märke till att 𝑦𝑦𝑛𝑛 inte finns i summan (***) )

Anmärkning: Medelvärdet ^{𝑆𝑆𝐻𝐻+𝑆𝑆}₂ ^𝑉𝑉=^ℎ₂[𝑦𝑦₀+ 2𝑦𝑦₁+ 2𝑦𝑦₂… + 2𝑦𝑦_𝑛𝑛−1+ 𝑦𝑦_𝑛𝑛] kan också användas för numerisk approximation av integralen :

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥^𝑏𝑏

𝑎𝑎 ≈ℎ

2 [𝑦𝑦⁰+ 2𝑦𝑦1+ 2𝑦𝑦2… + 2𝑦𝑦𝑛𝑛−1+ 𝑦𝑦𝑛𝑛] [𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑚𝑚]

ÖVNINGAR:

BERÄKNING AV

∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥_𝑎𝑎^𝑏𝑏

MED HJÄLP AV INTEGRALENS DEFINITION OCH RIEMANNSUMMOR

Uppgift 1. Visa med hjälp av Riemannsummor och integralens definition (alltså utan användning av isättnings formel) att

2

1 1

0

∫

^xdx= ^.

7

( Tips: Du kan använda följande formel för aritmetiska summan 1 + 2 + ⋯ + 𝑚𝑚 =^{𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)}₂ )

Lösning: Vi delar intervallet [a,b]=[0,1] i n delintervall med samma längd ℎ =(1 − 0)

𝑚𝑚 =1 𝑚𝑚 Alltså har vi följande indelning

𝐷𝐷: 𝑎𝑎 = 0 = 𝑥𝑥₀< 𝑥𝑥₁< 𝑥𝑥₂< ⋯ < 𝑥𝑥_𝑘𝑘−1< 𝑥𝑥_𝑘𝑘 < ⋯ < 𝑥𝑥_𝑛𝑛= 1 = 𝑏𝑏

Därför

𝑥𝑥₁= 𝑎𝑎 + ℎ = 0 + ℎ 𝑥𝑥₂= 𝑎𝑎 + 2ℎ = 0 + 2ℎ

⋮

𝑥𝑥_𝑘𝑘−1= 𝑎𝑎 + (𝑘𝑘 − 1)ℎ = 0 + (𝑘𝑘 − 1)ℎ 𝑥𝑥_𝑘𝑘 = 𝑎𝑎 + 𝑘𝑘ℎ = 0 + 𝑘𝑘ℎ

⋮

𝑥𝑥_𝑛𝑛= 𝑎𝑎 + 𝑚𝑚ℎ = 0 + 𝑚𝑚ℎ Vi betraktar Riemannsumman

𝑆𝑆𝑚𝑚 = � 𝑓𝑓(𝑐𝑐_𝑘𝑘)(

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥_𝑘𝑘− 𝑥𝑥_𝑘𝑘−1)

för funktionen f(x)=x och väljer 𝑐𝑐𝑘𝑘 = 𝑥𝑥_𝑘𝑘 = 𝑘𝑘ℎ. Därför f(𝑐𝑐_𝑘𝑘) = 𝑐𝑐_𝑘𝑘 = ℎ𝑘𝑘.

Vi har:

𝑆𝑆𝑚𝑚 = � 𝑓𝑓(𝑐𝑐𝑘𝑘)(

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥𝑘𝑘− 𝑥𝑥𝑘𝑘−1) = � 𝑘𝑘ℎ ∙ ℎ

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

= ℎ²� 𝑘𝑘

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

= 1 𝑚𝑚²

𝑚𝑚(𝑚𝑚 + 1)

2 =𝑚𝑚 + 1 2𝑚𝑚

( lägg märke till att 𝑥𝑥𝑘𝑘− 𝑥𝑥_𝑘𝑘−1= ℎ )

8 Eftersom ℎ → 0 är ekvivalent med 𝑚𝑚 → ∞ har vi

� 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥¹

0 ≝ lim

𝑛𝑛→∞(𝑆𝑆𝑚𝑚) = lim

𝑛𝑛→∞�𝑚𝑚 + 1 2𝑚𝑚 � =

1

2 𝑉𝑉. 𝑆𝑆. 𝐵𝐵.

Uppgift2. (gammal KS) Visa med hjälp av Riemannsummor och integralens definition (alltså utan användning av isättnings formel) att

� 𝑡𝑡^{5 𝑥𝑥} 𝑑𝑑𝑥𝑥

3 = 𝑡𝑡⁵− 𝑡𝑡³.

Lösning: Vi delar intervallet [a,b]=[3,5] i n delintervall med samma längd ℎ =(5 − 3)

𝑚𝑚 =2 𝑚𝑚 Alltså har vi följande indelning

𝐷𝐷: 𝑎𝑎 = 3 = 𝑥𝑥₀< 𝑥𝑥₁< 𝑥𝑥₂< ⋯ < 𝑥𝑥_𝑘𝑘−1< 𝑥𝑥_𝑘𝑘 < ⋯ < 𝑥𝑥_𝑛𝑛= 5 = 𝑏𝑏

Därför

𝑥𝑥1= 𝑎𝑎 + ℎ = 3 + ℎ 𝑥𝑥₂= 𝑎𝑎 + 2ℎ = 3 + 2ℎ

⋮

𝑥𝑥_𝑘𝑘−1= 𝑎𝑎 + (𝑘𝑘 − 1)ℎ = 3 + (𝑘𝑘 − 1)ℎ 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝑎𝑎 + 𝑘𝑘ℎ = 3 + 𝑘𝑘ℎ

⋮

𝑥𝑥_𝑛𝑛= 𝑎𝑎 + 𝑚𝑚ℎ = 3 + 𝑚𝑚ℎ Vi betraktar Riemannsumman

𝑆𝑆𝑚𝑚 = � 𝑓𝑓(𝑐𝑐_𝑘𝑘)(

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥_𝑘𝑘− 𝑥𝑥_𝑘𝑘−1)

9 för funktionen 𝑡𝑡^𝑥𝑥och väljer 𝑐𝑐𝑘𝑘 = 𝑥𝑥_𝑘𝑘−1 = 3 + (𝑘𝑘 − 1)ℎ.

Vi har:

𝑆𝑆𝑚𝑚 = � 𝑓𝑓(𝑐𝑐_𝑘𝑘)(

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥_𝑘𝑘− 𝑥𝑥_𝑘𝑘−1) = � 𝑡𝑡^{𝑐𝑐𝑘𝑘} ∙ ℎ

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

= ℎ � 𝑡𝑡^{3+(𝑘𝑘−1)ℎ}

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

= ℎ𝑡𝑡³� 𝑡𝑡^{(𝑘𝑘−1)ℎ}

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

= ℎ𝑡𝑡³��𝑡𝑡^ℎ�^𝑘𝑘−1

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

= ℎ𝑡𝑡³��𝑡𝑡^ℎ�⁰+ �𝑡𝑡^ℎ�¹+ �𝑡𝑡^ℎ�²+ ⋯ + �𝑡𝑡^ℎ�^𝑛𝑛−1�

Vi använder formeln för geometrisk summa och får

𝑆𝑆𝑚𝑚 = ℎ𝑡𝑡³�𝑡𝑡^ℎ�^𝑛𝑛− 1 𝑡𝑡^ℎ− 1 = 𝑡𝑡³

ℎ

𝑡𝑡^ℎ− 1 ��𝑡𝑡^ℎ�^𝑛𝑛− 1�

Eftersom

� 𝑡𝑡^{5 𝑥𝑥} 𝑑𝑑𝑥𝑥

3 ≝ lim

𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥|𝑥𝑥_𝑘𝑘−𝑥𝑥_𝑘𝑘−1|→0(𝑆𝑆𝑚𝑚)

beräknar vi gränsvärdet av 𝑆𝑆𝑚𝑚 då h går mot 0 ( eller ekvivalent, då n går mot ∞ ) : i) Vi vet att _𝑒𝑒ℎ^ℎ₋₁ → 1 𝑑𝑑å ℎ → 0 (standardgränsvärde eller l’ Hospitals regel)

ii) �𝑡𝑡^ℎ�^𝑛𝑛− 1 = �𝑡𝑡^𝑛𝑛2�^𝑛𝑛− 1 = 𝑡𝑡²− 1 Härav

𝑆𝑆𝑚𝑚 = 𝑡𝑡³ ℎ

𝑡𝑡^ℎ− 1 ��𝑡𝑡^ℎ�^𝑛𝑛− 1� → 𝑡𝑡³∙ 1 ∙ [𝑡𝑡²− 1] = 𝑡𝑡⁵− 𝑡𝑡³ 𝑉𝑉. 𝑆𝑆. 𝐵𝐵.

Udda och jämna funktioner

Uppgift3 : Bevisa att följande funktion är jämn:

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

⁸

− 3𝑥𝑥

²

+ 3𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑥𝑥 − 3

Lösning: f(–x) = (−𝑥𝑥)

⁸

− 3(−𝑥𝑥)

²

+ 3𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐(−𝑥𝑥)𝑥𝑥 − 3 = 𝑥𝑥

⁸

− 3𝑥𝑥

²

+ 3𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑥𝑥 − 3 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Alltså 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ( 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑥𝑥) och därför är funktionen jämn.

Uppgift4 : Bevisa att följande funktion är udda:

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

⁵

− 3𝑥𝑥

Lösning: 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = (−𝑥𝑥)

⁵

− 3(−𝑥𝑥) = −𝑥𝑥

⁵

+ 3𝑥𝑥 = −(𝑥𝑥

⁵

− 3𝑥𝑥) = − 𝑓𝑓(𝑥𝑥).

Alltså 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥) ( 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑥𝑥) och därför är funktionen udda.

Uppgift 5. Bestäm om följande funktioner är udda, jämna eller varken udda eller jämna.

( lägg märke till att 𝑥𝑥𝑘𝑘− 𝑥𝑥𝑘𝑘−1= ℎ )

10 i) Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är växande i [a, b] och h=(b-a)/n då 𝑚𝑚_𝑘𝑘 = 𝑦𝑦_𝑘𝑘−1 och 𝑀𝑀𝑘𝑘 = 𝑦𝑦_𝑘𝑘

𝑆𝑆_{𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑒𝑒𝑢𝑢} = 𝑆𝑆_𝑉𝑉= ℎ[𝑦𝑦₀+ 𝑦𝑦₁+ ⋯ + 𝑦𝑦_𝑛𝑛−1] , 𝑆𝑆_{ö𝑣𝑣𝑒𝑒𝑢𝑢} = 𝑆𝑆_𝐻𝐻= ℎ[𝑦𝑦₁+ 𝑦𝑦₂… + 𝑦𝑦_𝑛𝑛], och

𝑆𝑆_𝑉𝑉≤ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥^𝑏𝑏

𝑎𝑎 ≤ 𝑆𝑆_𝐻𝐻

a) 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 + 3𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑥𝑥 − 10 b) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐(𝑥𝑥) c) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐(𝑥𝑥) Svar: a) jämn b) udda c) varken udda eller jämn

Uppgift 6. Beräkna följande integraler

a) ∫ [𝑥𝑥

₋₁₀^{10 5}

+ 𝑥𝑥

³

+ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑚𝑚

³

(𝑥𝑥) ]𝑑𝑑𝑥𝑥 b) ∫ [𝑥𝑥

₋₁₀^{10 3}

+ 𝑥𝑥 + sin (𝑥𝑥) + 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑚𝑚

¹³

(𝑥𝑥) + 5]𝑑𝑑𝑥𝑥 Svar: a) 0 b) 100

UPPSKATNING AV INTEGRALER MED HJÄLP AV TVÅ RIEMANNSUMMOR

Om vi betraktar en funktion 𝑓𝑓(𝑥𝑥) som är kontinuerlig i intervallet [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] då antar funktionen sitt minsta värde 𝑚𝑚_𝑘𝑘 och sin största värde 𝑀𝑀_𝑘𝑘 i varje sluten intervall [𝑥𝑥_𝑘𝑘−1, 𝑥𝑥_𝑘𝑘]. Därför kan vi approximera integralen med både en ”undersumma”

𝑆𝑆_{𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑒𝑒𝑢𝑢} = � 𝑚𝑚𝑘𝑘(

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥𝑘𝑘− 𝑥𝑥𝑘𝑘−1) och en ”översumma”

𝑆𝑆ö𝑣𝑣𝑒𝑒𝑢𝑢 = � 𝑀𝑀𝑘𝑘(

𝑛𝑛 𝑘𝑘=1

𝑥𝑥𝑘𝑘− 𝑥𝑥𝑘𝑘−1).

{ Anmärkning: Om funktionen inte är kontinuerlig då använder vi

inf ( ( ))

) 1

(

f x

m

k

k x x

k

=

x ₋ ≤ ≤ _och

)) ( ( sup

) 1 (

x f M

k

k x x

k x

≤

− ≤

=

}

Vi kan approximera integralen från båda sidor

𝑆𝑆_{𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑒𝑒𝑢𝑢} ≤ ∫ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥_𝑎𝑎^𝑏𝑏 ≤ 𝑆𝑆_{ö𝑣𝑣𝑒𝑒𝑢𝑢}

Följande sats kan användas för att visa att en funktion är integrerbar.

Sats. En funktion

f (x )

är integrerbar på

[ a , b ]

om för varje

ε

>0 existerar en översumma U och en undersumma L sådana att en

| U − L | < ε

.

Antag att f(x) är monoton ( växande eller avtagande) på

[ b a , ]

. Då antar funktionen sina största och minsta värden i [𝑥𝑥_𝑘𝑘−1, 𝑥𝑥_𝑘𝑘] i intervallets ändpunkter.

11 ii) Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) är avtagande i [a, b] och h=(b-a)/n då 𝑀𝑀_𝑘𝑘 = 𝑦𝑦_𝑘𝑘−1 och 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 𝑦𝑦_𝑘𝑘

𝑆𝑆_{ö𝑣𝑣𝑒𝑒𝑢𝑢} = 𝑆𝑆_𝑉𝑉= ℎ[𝑦𝑦₀+ 𝑦𝑦₁+ ⋯ + 𝑦𝑦_𝑛𝑛−1] , 𝑆𝑆𝑢𝑢𝑛𝑛𝑢𝑢𝑒𝑒𝑢𝑢 = 𝑆𝑆𝐻𝐻 = ℎ[𝑦𝑦1+ 𝑦𝑦2… + 𝑦𝑦𝑛𝑛], och

𝑆𝑆_𝐻𝐻 ≤ � 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥^𝑏𝑏

𝑎𝑎 ≤ 𝑆𝑆_𝑉𝑉

Uppgift 7. Låt

f (x )

vara en monoton funktion på intervallet

[ b a , ]

. Visa att

f ( x )

är integrerbar på

)

(x f

.

Lösning. Anta att

f (x )

är växande på

[ a , b ]

. (På samma sätt visar man påståendet om

f (x )

är avtagande. ) Vi delar

[ b a , ]

i delintervall som har samma längd

n a h = b −

.

Låt

a= x

0

≤x

1

≤,..., ≤ x

n

=b,

vara en indelning av intervallet

[ a , b ]

där

x

_k

− x

_k−1

= h

_{. Låt 𝑚𝑚𝑘𝑘} och 𝑀𝑀𝑘𝑘 beteckna funktionens minsta och största värden i intervallet

[ x

_k−₁

, x

_k

]

. Då gäller ( eftersom

) (x

f

är växande)

m_k = f(x_k−₁)= y_k−₁ och

M

_k

= f ( x

_k

) = y

_k

Då blir motsvarande undersumma L=

(

_{0 1 2 1}

)

1 −

=

+ + + +

=

∑

ⁿ

⋅

ⁿ

k

m

k

h h y y y  y

och översumma U=

(

_{1 2}

)

1 n

n

k

M

k

⋅ h = h y + y + + y

∑

=



^.

Härav

| | (

₀

) − ( ( ) − ( )) → 0

=

−

=

− f b f a

n a y b

y h L

U

_n om n→∞.

(Därför kan vi för varje

ε

>0 finna en översumma U och en undersumma L sådana att en

ε

<

− |

| U L

. )

Därmed är

f (x )

integrerbar. (Vad skulle bevisas).

12 Uppgift 8.

Visa att

� ln𝑘𝑘

𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1

< 𝑚𝑚 ln 𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 + 1 < � ln𝑘𝑘

𝑛𝑛 𝑘𝑘=2

Tips: Betrakta integralen: ∫ ln 𝑥𝑥

₁^𝑛𝑛

𝑑𝑑𝑥𝑥.

Lösning:

Först beräknar vi integralen ∫ ln 𝑥𝑥

₁^𝑛𝑛

𝑑𝑑𝑥𝑥.

� ln 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = [𝑡𝑡𝑎𝑎𝑟𝑟𝑡𝑡𝑠𝑠𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑚𝑚𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑟𝑟𝑎𝑎𝑡𝑡𝑠𝑠𝑜𝑜𝑚𝑚] = 𝑥𝑥 ln 𝑥𝑥 − � 1𝑑𝑑𝑥𝑥 = x ln 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 Härav

∫ ln 𝑥𝑥

₁^𝑛𝑛

𝑑𝑑𝑥𝑥 = n ln 𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 + 1

Funktionen 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln 𝑥𝑥 är positiv och växande.

Talet ∫ ln 𝑥𝑥

₁^𝑛𝑛

𝑑𝑑𝑥𝑥 är lika med arean mellan grafen av 𝑓𝑓(𝑥𝑥) och x-axeln för 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑚𝑚.

Alltså

𝐴𝐴

₁

= � ln 𝑥𝑥

^𝑛𝑛

1

𝑑𝑑𝑥𝑥 = n ln 𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 + 1

Vi delar intervallet [1, 𝑚𝑚] i (n-1) delintervall av med delningspunkterna 1,2,3,…,n.

Varje delintervall har längden 1.

13

Arean A

1

approximerar vi med underarean A

2

och överarean A

3

. Då gäller

A

2

< A

¹

< A

³

Först beräknar vi underarean A

2

(=summan är sammanlagda arean av de rektanglarna som ligger under grafen )

𝐴𝐴

₂

= � 𝑓𝑓(𝑘𝑘) ∙ 1 = 1 ∙ ln 1 + 1 ∙ ln 2 + ⋯

𝑛𝑛−1 𝑘𝑘=1

1 ∙ ln (𝑚𝑚 − 1)

På samma sätt beräknar vi A

3

𝐴𝐴

₃

= 1 ∙ ln 2 + 1 ∙ ln 3 + ⋯ 1 ∙ ln 𝑚𝑚 Nu har vi

A

2

< A

¹

< A

³

⇒

ln 1 + ln 2 + ⋯ ln (𝑚𝑚 − 1) < n ln 𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 + 1 < 1 ∙ ln 2 + 1 ∙ ln 3 + ⋯ 1 ∙ ln 𝑚𝑚

V.S.B.