men TEN1, Hd HF1012 d: 8:00-12:0och examin

Tentam

Kurskod Skrivtid Lärare o Hjälpm vilken ty Förbjud internet Skriv na Denna t med lös Poängfö Betygsg Komple

======

men TEN1, H

d HF1012 d: 8:00-12:0

och examin medel: Bifog

yp som hels dna hjälpm t.

amn och pe tentamensla sningar.

ördelning oc gränser: För ettering: 11

=========

HF1012, 15

00

ator : Armin gat formelh st.

medel: Tele rsonnumme app får ej be ch betygsgr r betyg A, B

poäng på te

=========

S 5 aug 2017

Mate

n Halilovic äfte ("Form fon, laptop er på varje b ehållas efter ränser: Tent B, C, D, E k entamen ger

========

Sida 1 av 13 ematisk sta

mler och tabe och alla ele blad.

r tentamenst tamen ger m krävs 30, 24

r rätt till kom

=========

3 atistik

eller i statis ektroniska m

tillfället uta maximalt 32 , 20, 16 resp mplettering

=========

tik ") och m medel som k

an ska lämn poäng.

pektive 12 p (betyg Fx)

=========

miniräknare kan kopplas

nas in tillsam

poäng.

.

===

av s till

mmans

Sida 2 av 13

 

  

 för övrigt x x kx

f 0

2 0

) , (

2

Uppgift 1. (3p) Bara för dem som inte klarat ks1.

För händelserna A och B gäller att P(A)0.5 , P(A B)0.3 och P(B)0.6. a) Bestäm sannolikheten P(AB)

b) Bestäm sannolikheten P(AB^C).

c) Bestäm sannolikheten att exakt en av händelserna A, B inträffar ( dvs antingen A eller B inträffar).

Uppgift 2. (3p) Bara för dem som inte klarat ks2.

Låt

vara täthetsfunktionen för en stokastisk variabel X . a) Bestäm konstanten k.

b) Beräkna sannolikheten P(0 X 1). c) Bestäm medianen till X.

Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.

En Markovkedja i diskret tid med två tillstånd E1 och E2 har övergångsmatrisen

P= 



 



 y x 6 . 0

3 .

0 .

a) Bestäm x och y.

b) Systemet startar i E2. Bestäm sannolikheten att systemet är i E1 efter 2 steg.

c) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.

================================================

Uppgift 4. (3p) En studentförening vill organisera spelet med ett lyckohjul vid en fest på KTH. När man spelar lyckohjulet en gång så har man 10% chans att få 500 kr, 20% chans att få 300 kr, 30% för 100 kr och 40% för 0 kr. (Se figuren nedan). Bestäm priset på ett spel så att studentföreningen tjänar i genomsnitt 100 kr per ett spel.

Sida 3 av 13

Var god vänd.

Uppgift 5. (4p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Man väljer 5 kort på måfå. Vad är sannolikheten för att få (utan hänsyn till ordning)

a) ett par och ett triss dvs xx yyy, ( till exempel 44 555) b) alla fem hjärter

c) fyrtal dvs xxxx y, ( till exempel 5555 8) d) Två olika par dvs xx yy z ( till exempel 44 77 9).

Du ska svara med binomialkoefficienter.

Uppgift 6. (4p) Man kastar en tärning 12 gånger. Bestäm sannolikheten att få (utan hänsyn till ordning)

a) 2:an exakt 3 gånger, 4:an exakt 5 gånger (och något annat 4 gånger).

b) 1:an exakt 3 gånger, 3:an exakt 5 gånger och 5:an 4 gånger).

Uppgift 7. (4p) (Centrala gränsvärdessatsen) En fotbollsförening planerar en insamling och skickar därför till var och en av de 1000 medlemmarna ett brev, i vilket man ber om ett bidrag på 100 eller 500 kronor. Från tidigare erfarenhet gör man uppskattningen att (cirka) 60% av medlemmarna ger 500 kronor, 10% ger 100 kronor, och att 30% av medlemmarna inte ger något bidrag alls. Beräkna, med en lämplig approximation, sannolikheten att föreningen får in minst 300 000 kronor.

Uppgift 8. (4p) Peter gjorde 10 mätningar av en storhet och fick följande resultat i lämpliga enheter:

250, 245, 242, 245, 262, 248, 251, 234, 255, 248.

Normalfördelningen kan antas och standardavvikelse är känt, σ=8.

a) Bestäm ett tvåsidigt konfidensinterval av typen [a,b] ) för väntevärdet μ med 95 % konfidensgrad.

b) Bestäm ett 98 % konfidensintervall för väntevärdet μ av typen [,b].

Uppgift 9. (4p) Ett betjäningssystem kan modelleras som M/M/3/4 system (tre betjänare och 4 köplatser) . Ankomstintensiteten är λ =5 kunder/minut och betjäningsintensiteten för en betjänare är  =4 kunder/minut.

a) Bestäm sannolikheterna p0, p1,…,p7.

b) Bestäm medel totaltid (T) för en kund i systemet.

Lycka till

Sida 4 av 13 Beteckningar:

pk Stationära sannolikheter;

pkär sannolikheten för k kunder i systemet N Medelantal kunder i systemet, N  N_q N_s Nq Medelantal kunder i kön

Ns Medelantal kunder i betjänarna

x~ Betjäningstid för en kund (stokastisk variabel ) x Medel betjäningstid för en kund, x =E(x~)

w~ Väntetid (=tid i kö) för en kund (stokastisk variabel ) W Medel väntetid för en kund, W E(w~)

s~ Total tid i systemet för en kund; s~=~x+w~ T Medel totaltid i systemet för en kund ,

x W T  

 Ankomstintensitet

spärr

 Spärrade kunder per tidsenhet

 eff Effektiv ankomstintensitet

 =  -eff _spärr

 Betjäningsintensitet

 Erbjuden trafik ,



  

Några formler för ett M/M/m/K kösystem:

 ^



k

p

k

N

kmax

spärr

   p





   

eff

T N

 ,



 1

x , T W x

Littles formler: N _eff T , N_q _eff W , N_s _eff x

s

q N

N

N   ,



  , erbjuden trafik (kallas också "betjäningsfaktor")



_spärr ^spärr , spärrad trafik ;



_eff ^eff , effektiv trafik

Belastning per betjänare = Ns/m

~) (s E T 

FAC Uppgift För hän a) Bestä b) Bestä c) Best inträffar

Lösning Vi anvä

a) P(A b) P(A c) Sann (A P

Svar: a Rättning

Uppgift Låt

vara tät a) Bestä

x f (

CIT

t 1. (3p) Ba ndelserna A äm sannolik äm sannolik täm sannolik

r).

g:

änder nedan



 )B P( A ( )

B^C P olikheten a

( )P A

B^{C C}

a) 0.8 b gsmall: 1p f

t 2. (3p) Ba

thetsfunktio äm konstant

 

  kx

x 0

) ,

2

ara för dem och B gälle kheten (AP kheten P(A kheten att e

nstående mä

) ( )P B P A

( )

(A P A att exakt en 2 . 0 )

 B

C

b) 0.2 c) för varje de

ara för dem

onen för en ten k.

S



 övrig för

0 x ,

som inte kl er att P(A)

)

B ) BC

 .

exakt en av

ngddiagram

) (AB  P

0 5 . 0

) 

 B

n av händels 5 . 0 3 . 0

2 

) 0.5 l.

som inte k

stokastisk v

Sida 5 av 13

 gt

2

larat ks1.

5 .

0 , P(A

händelsern

m:

6 . 0 5 .

0  



2 . 0 3 .

0 

serna A, B 5

klarat ks2.

variabel X

3

3 . 0 )

 B A

na A, B intr

8 . 0 3 .

0 

inträffar är

X .

3 och P(B

räffar ( dvs

r

6 . 0 )

B .

s antingen AA eller B

Sida 6 av 13 b) Beräkna sannolikheten P(0 X 1).

c) Bestäm medianen till X.

Lösning:

a) x k

k dx kx dx x f Arean

3 8 ) 3

(

2

0 2 3

0 2 2

0

 



 









 

8 1 3

3

18   

 k k

Arean .

b) P(0 X 1)

8 1 3 8 3 8

) 3 (

1

0 1 3

0 2 1

0

 



 











c) Medianen m bestämmer vi genom att lösa ekvationen

3 3 3

0 3 0

2 0

4 2 4

1 8 2 1 3

8 3 2 1 8

3 2 ) 1

(        



 















m m m

Svar: a) 8

3

k b)

8 ) 1 1 0

(  X  

P c) m³ 4

Rättningsmall: 1p för varje del.

Uppgift 3. (3p) Bara för dem som inte klarat ks3.

En Markovkedja i diskret tid med två tillstånd E1 och E2 har övergångsmatrisen

P= 



 



 y x 6 . 0

3 .

0 .

a) Bestäm x och y.

b) Systemet startar i E2. Bestäm sannolikheten att systemet är i E1 efter 2 steg.

c) Bestäm den stationära sannolikhetsvektorn.

Lösning:

a) Radsumman i övergångsmatrisen=1. Detta ger att x=0.7 och y=0.4.

Alltså P= 



 





4 . 0 6 . 0

7 . 0 3 .

0 .

b) Startvektorn är p(0) 0, 1 eftersom systemet startar i E2 . Vi beräknar

) 4 . 0 , 6 . 0 4 ( . 0 6 . 0

7 . 0 3 . ) 0 1 , 0 ( ) 0 ( ) 1

( 



 



 

 p P

p 

Sida 7 av 13 P

p

p(2) (1) = )(0.42, 0.58 4

. 0 6 . 0

7 . 0 3 . ) 0 4 . 0 , 6 . 0

( 



 





Sannolikheten för E1 efter två steg är 0.42, (första koordinaten i p(2)).

c)

Låt q ( yx, ) vara en stationär sannolikhetsvektor.

Då gäller

q P q och x y1

Vi skriver q P q på komponent form:

y y x

x y y x

x y

x  



 





 





4 . 0 7 . 0

6 . 0 3 . ) 0 , 4 ( . 0 6 . 0

7 . 0 3 . ) 0 ,

(

och lägger till ekvationen

x y1 q är en sannolikhetsvektor Därmed har vi systemet:





















 



















1

0 6 . 0 7 . 0

0 6 . 0 7 . 0 1

4 . 0 7 . 0

6 . 0 3 . 0

y x

y x

y x

y x

y y x

x y x

Andra ekvationen är samma som första.

Från första ekvationen har vi 6

y7x som vi substituerar i tredje ekvationen och får

13 1 6

6 1 13 6

7     

 x x x

x .

Från x y1 har vi 13

 7

y

Svar: a x=0.7 och y=0.4

b Sannolikheten för E1 efter två steg är 0.42, c q(6/13, 7/13)

Rättningsmall: 1p för varje del.

Uppgift 4. (3p) En studentförening vill organisera spelet med ett lyckohjul vid en fest på KTH. När man spelar lyckohjulet en gång så har man 10% chans att få 500 kr, 20% chans att

Sida 8 av 13

få 300 kr, 30% för 100 kr och 40% för 0 kr. (Se figuren nedan). Bestäm priset på ett spel så att studentföreningen tjänar i genomsnitt 100 kr per ett spel.

Lösning:

Låt X beteckna resultat vid ett spel med lyckohjulet. Då är 140 40 . 0 0 30 . 0 100 20 . 0 300 10 . 0 500 )

(X         

E

Om man vill tjäna i genomsnitt 100 kr per ett spel då blir priset 140 100 240 kr.

Svar: 240 kr

Rättningsmall: 1p för korrekt E(X)140. Allt korrekt=3p.

Uppgift 5. (4p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger ( hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Man väljer 5 kort på måfå. Vad är sannolikheten för att få (utan hänsyn till ordning)

a) ett par och ett triss dvs xx yyy, ( till exempel 44 555) b) alla fem hjärter

c) fyrtal dvs xxxx y, ( till exempel 5555 8) d) Två olika par dvs xx yy z ( till exempel 44 77 9).

Du ska svara med binomialkoefficienter.

Lösning:

a)



 







 



 



 







5 52

3 12 4 2 13 4 Pa

b)



 







 





 5 52

5 13 Pb

Sida 9 av 13 c)



 







 



 



 







5 52

1 12 4 4 13 4 Pc

d) Vi kan välja två olika valörer som bildar två olika par på sätt. Två kort som bildar ett par väljer vi på sätt. Samma gäller för andra paret. Femte kort kan vi välja bland återstående 11 valörer.



 







 



 



 







 







 







5 52

1 11 4 2 4 2 4 2 13 Pd

Svar: Se ovan

Rättningsmall: 1p för varje del.

Uppgift 6. (4p) Man kastar en tärning 12 gånger. Bestäm sannolikheten att få (utan hänsyn till ordning)

a) 2:an exakt 3 gånger, 4:an exakt 5 gånger (och något annat 4 gånger).

b) 1:an exakt 3 gånger, 3:an exakt 5 gånger och 5:an 4 gånger).

Lösning:

a) Sannolikheten att få resultatet 2,2,2,4,4,4,4,4, x,x,x,x, i given ordning (där x2 och

4

x ) är lika med

4 5 3

6 4 6 1 6

1 



 



 



 



 



 



 .

Det finns

! 4

! 5

! 3

! 12



 sådana ordningar (permutationer av 12 element med tre identiska element av typ 2, fem av typ 4 och fyra av typ x.)

Därmed är

4 5 3

6 4 6 1 6 1

! 4

! 5

! 3

!

12 



 



 



 



 



 







  Pa

b) Med liknande resonemang får vi

4 5 3

6 1 6 1 6 1

! 4

! 5

! 3

!

12 



 



 



 



 



 







 

Pb .

Svar:

4 5 3

6 4 6 1 6 1

! 4

! 5

! 3

!

12 



 



 



 



 



 







 

Pa ,

4 5 3

6 1 6 1 6 1

! 4

! 5

! 3

!

12 



 



 



 



 



 







  Pb Rättningsmall: 2p för varje del.

Uppgift skickar på 100 e medlem något bi minst 30 Lösning Låt X_k b väntevä varianse och stan

Låt Y 

Enligt C

3 (Y  P

0,0 1

 Svar: 0 Rättni 3 ( N Y  Uppgift lämplig 250, 245 Normal a) Bestä konfide b) Bestä

a) 

t 7. (4p) (C därför till v eller 500 kr mmarna ger

idrag alls. B 00 000 kron g:

beteckna bid ärdet m E en Var V( ndardavvike



¹⁰⁰⁰

1 k

Xkvara CGS är Y 

1 ) 300000 

0.91 0885 0.9115

ingsmall: 1p 740 , 310000 t 8. (4p) P

a enheter:

5, 242, 24 fördelninge äm ett tvåsid

nsgrad.

äm ett 98 %

Centrala grä var och en a ronor. Från t

500 krono Beräkna, me

nor.

drag från en 500 ) (X_k  E

500 ( ) (X_k  elsen s V a summan a

, (n m s N 

30 ( 

 YP 15 .

p för korrek ) 09.45 . 4p o

eter gjorde 45, 262, en kan antas

digt konfide

% konfidensi

S änsvärdessa av de 1000 m

tidigare erfa or, 10% ger

ed en lämpli

n medlem. D 10 60 . 0

*

0 

0

* ) 310

0 ²

 Var 234.3 av alla bidra

310 ( ) N n 

1 ) 0000  

kt m, +1p fö om allt är k

e 10 mätning 248, 251, s och standa

ensinterval intervall fö

Sida 10 av 1 atsen) En fo medlemmar farenhet gör

r 100 kronor ig approxim

Då är 0 10 . 0

*

00 

100 ( 60

.  

3074903

ag.

7409.

, 0000

) 300000 (

F

ör korrekt s, korrekt.

gar av en st 234, 255, ardavvikelse

av typen [a ör väntevärd

13

otbollsfören rna ett brev, man uppsk r, och att 30 mation, sann

31 30 . 0

* 

1 . 0

* ) 310 ²



) 45 .

(30 1 ) 

+1p om ma

torhet och fi 248.

e är känt, σ a,b] ) för vä det μ av type

ing planerar i vilket ma kattningen at

0% av medl nolikheten a

0, 310 0 ( 0 

7409.45 3100 0000

an kommer

ick följande

σ=8.

äntevärdet μ en ][,b .

ar en insamli an ber om et att (cirka) 6 lemmarna i att föreninge

5 30 . 0

* )

0 ² 

1 000) 

till att

e resultat i

μ med 95 %

ing och tt bidrag

0% av nte ger en får in

54900

1.35) (



x= 1175

(



Konfiden

(x



=[243.04 b)

 (



Konfide

, ( x

Svar a)    Rättni

Uppgift 4 köplat betjänar a) Bestä b) Bestä Lösning

5/8=248  

.

025 1

.

0 





nsintervall fö

2 ,

/ x

n



 

4,    252.96] 

02 

.



n) x





  [243.04,     ingsmall: a) b)

t 9. (4p) Ett tser) . Anko re är  =4 k äm sannolik äm medel to

g: Med hjäl

) 96 .  

ör a delen: 

2 )

/ n







0537 :

)₌ (,

252.96]         

) 2p för korr ) 2p för kor

t betjänings omstintensit kunder/minu kheterna p0,

otaltid (T) f

lp av följand

S

)₌ (2481

2.05 48

2 

     b) (, rekt a-delen rrekt b-delen

system kan teten är λ = ut.

p1,…,p7.

för en kund

de grafer be

Sida 11 av 1 10, 96 8 . 1

10) 537 8

) 2 . 253 n. -1p för r

n. -1p för r

n modelleras

=5 kunder/m

d i systemet.

estämmer vi

13

9 . 1 48 2 

=(, 25

räknefel.

räknefel.

s som M/M/

minut och b

i relationer

10) 96 8   

) 2 . 53

/3/4 system etjäningsint

mellan p0 o

m (tre betjän tensiteten fö

och p1,…,p7

nare och ör en

7.

Vi har p p p p6 p7

Från p0

p1= 1.2500 p2 = 0.7812 p3 = 0.3255 p4= 0.13563 p5 = 0.05651 6 = 0.02354

7 = 0.009811

0 +p1+…+p7

p0=

p1= p2 = p3 = p4= p5 = p6=

p7=

000000 p0

2500000 p0

5208333 p0

336806 p0

1403356 p0

4751399 p0

1464161 p0 7=1 får vi nu

=0.2791520

= 0.3489400

= 0.21808

= 0.0908697

= 0.0378624

= 0.0157760

= 0.0065733

= 0.0027388

S u 3.582277 0179 0224 875140

79750 41562

00651 336046 890019

Sida 12 av 1 7526p0=1 o

13

och därför

Sida 13 av 13 Därefter

^  ^

k

p

k

N

7 6 5 4 3 2 1

0 1 2 3 4 5 6 7

0p p p p p p p p 1.346666385.

Enligt formlerna har vi _spärr=

kmax

p

 =5 p = 0.013694450 kunder per minut. ₇

spärr

eff  

   =4.986305551

Från Littles formel: N _eff T har vi T  N/_eff =0.2700729771 min.

Svar

Rättningsmall. a) korrekt p0= 1p, allt korrekt=2p b) korrekt N= 1p, allt korrekt=2p