Tal
!!
€
N = 0,1,2,3,
{
…}
!!!!
€
x +3= 0!!!!!!!!!!x = ?
Hela tal !!
€
Z =
{
…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
€
N
!!!!
€
4x = 1!!!!!!!!!!!!x = ? Rationella tal
!!!!
€
Q = a
b:!!a,b ∈ Z,!b ≠ 0
$ %
&
' ( )
€
Q
!!!!
€
x2= 2!!!!!!!!!!!!x = ?
Reella tal !!
€
R = alla!rationella!och!irrationella!tal
{ }
!!!!
€
x2= –1!!!!!!!!!!!!x = ? Komplexa tal !!!!
€
C = a+ib : !a,b ∈ R
{ }
Inför imaginära enheten i sådan att i2 = –1
€
Z
€
R
€
C Naturliga tal
z = a + bi Räkning med komplexa tal fungerar som
vanligt (men i2 = –1)
i2 = –1 i3 = –i i4 = +1
in = +1 om n delbart med 4 Div. med komplext tal: förläng med konj.
i:s potenstabell:
i2 = –1
Realdelen av z: Re z = a
Imaginärdelen av z: Im z = b Absolutbeloppet av z:
Konjugatet till z:
z = a2 + b2 z = a – bi
Re z = 4 + 3i Im z = 3
Re z = 4 Im
1i z = 5
z = 4 – 3i -1i
-5i 5i
–5 5
z = a + bi i2 = –1
Realdelen av z: Re z = a
Imaginärdelen av z: Im z = b Absolutbeloppet av z:
Konjugatet till z:
z = a2 + b2 z = a – bi
Re z = 4 + 3i Im z = 3
Re z = 4 Im
1i z = 5
z = 4 – 3i -1i
-5i 5i
–5 5
En metod för ekvationslösning:
1) Ansätt z = a + bi 2) Förenkla VL och HL till
A + Bi = C + Di
3) Jämför realdelar och imaginärdelar (A = C, B = D)
(ger ekvationssytem med x och y som kan lösas).
(Två komplexa tal är lika om 1) realdelarna lika 2) imaginärdelarna lika.)
Komplexa tal kan representeras av punkter eller vektorer i komplexa talplanet.
z – w kan tolkas som
“avståndet mellan (punkterna som representerar) z och w”
Re
z = 4 + 3i z = 4 + 3i
Im
5 1
Re Im
1i -1i 5i
1i -1i 5i
5 1
z = 5 (cos 36,87° + i sin 36,87°)
v = 36,87° Re
Im
1i r = z = 5 -1i
-5i
-10i
-15i 5i 10i 15i
–5 –10
–15 5 10 15
280° 290° 300°
310°
320°
330°
340°
350°
190°
200°
210°
220°
230°
240°
250° 260°
10°
80° 70°
60°
50°
40°
30°
20°
100°
170°
160°
150°
140°
130°
120°
110°
z = a + bi
40°
50°
60°
70°
80°
I polär form:
(vanligtvis: 0° < v < 360°) z = r (cos v + i sin v) där r = z = a2 + b2 v = arg z
z = 5 (cos 36,87° + i sin 36,87°)
v = 36,87° Re
1i r = z = 5 -1i
-5i
-10i
-15i 5i
–5 –10
–15 5 10 15
280° 290° 300°
310°
320°
330°
340°
350°
190°
200°
210°
220°
230°
240°
250° 260°
10°
30°
20°
170°
160°
z = a + bi 150°
40°
50°
60°
70°
80°
I polär form:
(vanligtvis: 0° < v < 360°) z = r (cos v + i sin v) där r = z = a2 + b2 v = arg z
Eftersom i = cos 90° + i sin 90°
innebär multiplikation med i vridning 90° i positiv riktning...
... och division med i vridning 90° i negativ riktning.
Re –z
i z
z
zi 1i Im
1 z = 5 (cos 36,87° + i sin 36,87°)
v = 36,87° Re
1i r = z = 5 -1i
-5i
-10i
-15i 5i 10i 15i
–5 –10
–15 5 10 15
280° 290°
300°
310°
320°
330°
340°
350°
190°
200°
210°
220°
230°
240°
250° 260°
10°
30°
20°
100°
170°
160°
150°
140°
130°
120°
110°
z = a + bi
40°
50°
60°
70°
80°
I polär form:
(vanligtvis: 0° < v < 360°) z = r (cos v + i sin v) där r = z = a2 + b2 v = arg z
Multiplikation av komplexa tal i polär form:
Multiplicera beloppen, addera argumenten!
z u = z u , arg(z u) = arg(z) + arg(u) Division av komplexa tal i polär form:
Dividera beloppen, subtrahera argumenten!
de Moivres formel
(cos v + i sin v)n = cos nv + i sin nv, n heltal
En metod för att lösa ekvationer av typen zn = w:
1) Skriv w i HL i polär form.
2) Ansätt z = r (cos v + i sin v) och använd de Moivres formel i VL.
3) Jämför belopp och argument.
(Två komplexa tal på polär form är lika om 1) beloppen lika
2) argumenten lika sånär som på n 2π, där n heltal.)
Rötterna till zn = w i komplexa talplanet utgör hörn i en regelbunden n-hörning med medelpunkten i origo.
z4 = –16
Re z1 z2
z3 z4
2 Im
[1]
de Moivres formel
(cos v + i sin v)n = cos nv + i sin nv, n heltal
En metod för att lösa ekvationer av typen zn = w:
1) Skriv w i HL i polär form.
2) Ansätt z = r (cos v + i sin v) och använd de Moivres formel i VL.
3) Jämför belopp och argument.
(Två komplexa tal på polär form är lika om 1) beloppen lika
2) argumenten lika sånär som på n 2π, där n heltal.)
Rötterna till zn = w i komplexa talplanet utgör hörn i en regelbunden n-hörning med medelpunkten i origo.
z3 = –1
Re z1
z2
z3 1 Im
z2 + pz + q = 0 (där q reellt) har lösningen
Om p, q reella så är rötterna konjugerade tal!
z = – – q p2 – +
( )
p2 2Re z1
z2 2 Im
8
859 = 6 100 + 6 40 + 6 3 + 1 = 6 (100 + 40 + 3) + 1 = 6 143 + 1 859 = 6 143 + 1
859= ? 6
Kvot Rest
5 9 1 4 3 6 0
0 00
0 0 2 5 9 2 41 9 1 8 1
6 8 5 9
1 4 3
6 2 5 2 41 9
1 8 1
6
x2 - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2) + 0
Resten vid divisionen är f (a).
f (x) polynom.
Kan läsas "resten vid division med x - a är noll"
"x = a är nollställe till f (x)"
"x = a är rot till ekv. f (x) = 0"
(Restsatsen)
(Faktorsatsen) f (a) = 0 f (x) har faktorn (x - a).
f (x) har faktorn (x - a) f (a) = 0.
f (x) x - a x2 - 5x + 6 = ?
x - 3
Kvot Rest x2 - 5 x + 6
2 x + 6 x2 -
-
2 x + 6 - 0
3 x )
( x - 3
x - 2
) (
x2 - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2) + 0
Resten vid divisionen är f (a). Varje polynomekvation av grad n med komplexa koefficienter har exakt n komplexa rötter.
f (x) polynom.
(Restsatsen)
(Faktorsatsen) f (a) = 0 f (x) har faktorn (x - a).
f (x) har faktorn (x - a) f (a) = 0.
f (x) x - a x2 - 5x + 6 = ?
x - 3
Kvot Rest x2 - 5 x + 6
2 x + 6 x2 -
-
2 x + 6 0 -
3 x )
( x - 3
x - 2
) (
Icke-reella rötter till polynomekvationer med reella koefficienter förekommer i konjugerade par.
Kan läsas "resten vid division med x - a är noll"
"x = a är nollställe till f (x)"
"x = a är rot till ekv. f (x) = 0"
Källor
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/File:Abraham_de_moivre.jpg