TNA001
Kontrollskrivning 3 – Svar med kommentarer/Lösningsskisser.
2013-09-23 Sixten Nilsson
Version A
1. A är sant enligt logaritmlag.
B är falskt, ty låt t.ex. = 1, = så har vi VL = −1 medan HL = 0. Anm: ”Förväxla” inte med logaritmlagen ln − ln = ln .
C är sant, ty vi har villkoren − 4 > 0 ⇔ ⋯ ⇔ < −2 eller > 2 och > 0, vilket sammantaget ger
= ]2, ∞[.
D är falskt, ty VL = ln + ln( + 2) = ln ( + 2) ≠ HL.
Svar: A, C
2. A är sant, ty låt = i formeln för dubbla vinkeln: cos 2 = 1 − 2 sin .
B är sant, ty om ligger i tredje kvadranten gäller det att cos = −√1 − sin = − 1 − − = −√ . C är falskt, ty om − < < 0 så är sin < 0.
D är falskt, ty sin 2 = 2 sin cos .
E är sant, ty använd additions- respektive subtraktionssats och vi har VL = sin cos + cos sin − cos cos + sin sin =
√ sin +
√ cos −
√ cos −
√ sin = 0
Svar: A, B, E
3. A är falskt, ty = ln , ≠ 0, ∈ ℝ ⇔ = , ≠ 0, ∈ ℝ ⇔ = ±√ , ∈ ℝ. Detta betyder att det mot varje i värdemängden till svarar två olika i definitionsmängden till . Alltså är inte
omvändbar.
B är sant, ty ( ) = 2 = .
C är sant, ty > 0 för alla ∈ ℝ och då är ln definierat och lika med − 2 för alla ∈ ℝ.
D är falskt, ty ln( − 2 ) är inte definierat om − 2 ≤ 0 ⇔ −√2 ≤ ≤ √2.
Svar: B, C
4. sin 3 − = ⇔ sin 3 − = sin ⇔ 3 − = + 2 eller 3 − = − + 2 ⇔ 3 = + 2 eller 3 = + 2 ⇔ = + eller = +
Svar: = + , ∈ ℤ eller = + , ∈ ℤ.
5. a) Alla termer i ekvationen ln( − 2) + ln( + 1) = 2 ln 2 är samtidigt definierade ⇔ > 2.
Alltså: ln( − 2) + ln( + 1) = 2 ln 2 , > 2 ⇔ ln ( − 2)( + 1) = ln 4, > 2 ⇔ (ty ln − är en omvändbar funktion) ⇔ ( − 2)( + 1) = 4 ⇔ − − 6 = 0, > 2 ⇔ ⋯ ⇔ ⋯ ⇔ = 3 Anm: Andragradsekvationens andra rot = −2 uppfyller inte villkoret > 2.
Svar: = 3
b) 3 + 8 = 3 ⇔ [Låt = > 0] ⇔ 3 + 8 − 3 = 0, > 0 ⇔ ⋯ ⇔ ⋯ ⇔
= ⇔ = ⇔ = − ln 3.
Anm:
Andragradsekvationens andra rot = −3 uppfyller inte villkoret > 0 och ger då ingen lösning i . Svar: = − ln 3