KONTROLLSKRIVNING I SF1920/SF1921 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 7:e FEBRUARI 2018 KL 15.00–17.00.
Till˚atna hj¨alpmedel : minir¨aknare
Svara med minst tre v¨ardesiffrors noggrannhet!
F¨or godk¨ant kr¨avs att minst 3 av 5 uppgifter ¨ar korrekt besvarade.
Efternamn:
F¨ornamn:
Personnummer :
Uppgift 1
Vi har tv˚a askar som vi kallar A och B. De inneh˚aller vardera tv˚a mynt: ask A inneh˚aller en 1-euro och en svensk 10-krona; ask B inneh˚aller tv˚a 1-euro mynt.
Man tar en av askarna p˚a m˚af˚a och d¨arefter ett av mynten ur den valda asken p˚a m˚af˚a som visar sig vara en 1-euro. Best¨am sannolikheten f¨or att det andra myntet i asken ¨ar en 10-krona.
0.333
...
Uppgift 2
Best¨am sannolikheten att under fem kast med en symmetrisk t¨arning erh˚alla minst tv˚a stycken sexor.
0.196
...
Uppgift 3 Den stokastiska variabeln X har t¨athetsfunktionen
fX(x) = 12x2(1 − x) , om 0 ≤ x ≤ 1
0, annars
Best¨am P X < 12.
0.3125
...
Var god v¨and!
Uppgift 4
De stokastiska variablerna X och Y har standardavvikelserna D(X) = 8 och D(Y ) = 6. De
¨
ar beroende p˚a s˚a s¨att att kovariansen ¨ar Cov (X, Y ) = 30. Ber¨akna standardavvikelsen av 2X − 3Y + 7.
14.8
...
Uppgift 5
De oberoende stokastiska variablerna X och Y har sannolikhetsfunktionerna p(k), d¨ar pX(1) =
1
3, pX(2) = 23, samt pY(1) = 16 och pY(2) = 56 (och 0 f¨or ¨ovrigt). Definiera den stokastiska variabeln Z som X + Y . Ber¨akna variansen f¨or Z.
0.361
...
Lycka till!
L¨osningsf¨orslag
Uppgift 1
Om v˚art andra mynt i asken ska vara en 10-krona, s˚a m˚aste vi v¨alja ask A. D¨arf¨or ska vi ber¨akna den betingade sannolikheten att vi drar ask A, givet att vi har erh˚allit ett 1-euro mynt. Det kan vi g¨ora med Bayes sats.
P (ask A | 1-euro) = P (ask A ∩ 1-euro) P (1-euro) T¨aljaren ber¨aknar vi med hj¨alp av multiplikationssatsen
P (ask A ∩ 1-euro) = P (ask A) P (1-euro | ask A) = 1 2 · 1
2 = 1 4 N¨amnaren ber¨aknar vi med hj¨alp av lagen om total sannolikhet
P (1-euro) = P (ask A ∩ 1-euro) + P (ask B ∩ 1-euro)
= P (ask A) P (1-euro | ask A) + P (ask B) P (1-euro | ask B)
= 1 2 · 1
2+ 1 2· 1
= 3 4
D¨armed erh˚aller vi
P (ask A | 1-euro) = P (ask A ∩ 1-euro) P (1-euro) =
1 4 3 4
= 1 3
Uppgift 2
Vi g¨or en sannolikhetsmodell f¨or de fem kasten med den symmetriska t¨arningen. Antingen f˚ar vi sexa eller inte vid varje enskilt kast. Utfallen av varje kan kan anses vara oberoende av varandra. Om vi definierar X som antalet lyckade f¨ors¨ok under de fem f¨ors¨oken, d¨ar lyckad ska f¨orst˚as som att vi erh˚aller en sexa, s˚a vet vi att X f¨oljer en binomialf¨ordelning d¨ar n = 5 och p = 1/6. F¨or att svara p˚a fr˚agan ska vi ber¨akna sannolikheten att X ¨ar minst tv˚a.
Sannolikhetsf¨ordelningen f¨or X ges som
pX (k) =5 k
1 6
k
5 6
5−k
P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2)
= 1 − P (X ≤ 1)
= 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)]
= 1 − [pX(0) + pX(1)]
= 1 −
"
5 0
1 6
0
5 6
5
+5 1
1 6
1
5 6
4#
= 1 −
"
5 6
5
+5 6
5 6
4#
= 1 −
"
2 5 6
5#
= 1 − 3125 3888
= 763
3888 = 0.196 Uppgift 3
P
X < 1 2
=
Z 1/2 0
12x2(1 − x) dx
= 12 Z 1/2
0
x2− x3 dx
= 12 x3 3 −x4
4
x=1/2 x=0
= 12
1 2
3
3 −
1 2
4
4
!
= 12 1 24− 1
64
= 12 24− 12
64
= 1 2− 3
16
= 5
16 = 0.3125
Uppgift 4
Var (2X − 3Y + 7) = Var (2X − 3Y )
= 22· Var (X) + (−3)2· Var (Y ) + 2 Cov (2X, −3Y )
= 4 · Var (X) + 9 · Var (Y ) + 2 · 2 · (−3) Cov (X, Y )
= 4 · 82+ 9 · 62+ 2 · 2 · (−3) · 30
= 220 D¨armed blir
D (2X − 3Y + 7) =p
Var (2X − 3Y + 7) =√
220 = 14.832 Uppgift 5
Utifr˚an texten har vi f¨ordelningarna f¨or X
i 1 2
pX(i) 13 23 respektive Y
j 1 2
pY (j) 16 56
Vi inleder med att best¨amma f¨ordelningen f¨or Z = X + Y . Vi anv¨ander falningsformeln f¨or oberoende stokastiska variabler
pZ(k) = X
i+j=k
pX(i) pY (j) .
Summan i + j f¨or alla kombinationer av i och j blir:
i \ j 1 2
1 2 3
2 3 4
Om man t¨anker efter inser man att k = 2, 3, 4.
pZ(2) = pX(1) pY (1) = 1 3· 1
6 = 1 18. pZ(3) = pX(1) pY (2) + pX(2) pY (1) = 1
3 · 5 6+ 2
3· 1 6 = 7
18. pZ(4) = pX(2) pY (2) = 2
3· 5 6 = 10
18. Allts˚a blir f¨ordelningen f¨or Z
k 2 3 4
pZ(k) 181 187 1018
F¨or att ber¨akna variansen f¨or Z anv¨ander vi ber¨akningsformeln Var (Z) = E Z2 − (E (Z))2 E (Z) = X
alla k
k pZ(k) = 2 · 1
18 + 3 · 7
18+ 4 · 10 18 = 63
18 = 7 2 E Z2 = X
alla k
k2pZ(k) = 22· 1
18+ 32· 7
18+ 42· 10
18 = 227 18
Var (Z) = E Z2 − (E (Z))2 = 227 18 − 7
2
2
= 227 18 − 49
4 = 13 36 D˚a 1336 = 0.361 ¨ar allts˚a Var (Z) = 0.361.
