• No results found

tioner, komplexa tal och transformteori

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "tioner, komplexa tal och transformteori"

Copied!
10
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

tioner, komplexa tal och transformteori

Tentamensdatum 2011-03-22 Totala antalet uppgifter: 6, max 30 p Skrivtid 09.00-14.00 Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨aknare. Bifogad tabellsamling.

Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨or teknikvetenskap och matematik

(2)

Uppgift 1

(a) Skriv p˚ a formen a + bi, a, b ∈ R.

3 − i 5 + 2i

(1 p) (b) L¨os ekvationen

z

4

= −1 + i √ 3

Svaret skrivs p˚ a formen a + bi, a, b ∈ R, och f˚ ar inte inneh˚ alla trigono-

metriska uttryck. (3 p)

Uppgift 2

(a) Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen d

2

y

dx

2

+ 4 dy

dx − 5y = cos x

Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨andas. (3 p)

(b) L¨os begynnelsev¨ardeproblemet dy

dx = (1 + x)(1 + y

2

), y(0) = 1.

Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨andas. (3 p)

Uppgift 3

(a) Best¨am konvergensradien till potensserien

X

k=0

k

2

2

k

x

k

. (2 p)

(b) Best¨am Maclaurinutvecklingen av ordning 3 till funktionen f (x) =

sin x. Ange resttermen p˚ a ordo-form. (1 p)

(c) Best¨am Maclaurinutvecklingen av ordning 3 till funktionen g(x) =

arctan 2x. Ange resttermen p˚ a ordo-form. (1 p)

(d) Best¨am

x→0

lim

arctan 2x − 2x sin x − x

L’Hospitals regel f˚ ar inte anv¨andas. (2 p)

2 (4)

(3)

Best¨am en funktion f (t), t ≥ 0, med Laplacetransformen (a)

1 s

2

− 6s + 8

(2 p) (b)

e

−3s

s

5

(2 p)

Uppgift 5

Antag att funktionen f (t) definieras enligt

f (t) =

 

 

1, 0 ≤ t < 1, 2 − t, 1 ≤ t < 3,

−1, 3 ≤ t.

(a) Rita grafen till f (t). (2 p)

(b) Best¨am Laplacetransformen till f (t). (3 p)

Uppgift 6

L¨ os en och endast en av f¨ oljande alternativa uppgifter.

Uppgift 6.1

(a) L¨os begynnelsev¨ardesproblemet d

2

x

dt

2

+ 4x = g(t), x(0) = 0, dx dt

t=0

= 0, d¨ar

g(t) =

 

 

1, 0 ≤ t < π,

−1, π ≤ t < 2π, 0, 2π ≤ t.

(4 p)

(b) Best¨am exakt funktionsv¨ardet x(3π/2). (1 p)

(4)

Uppgift 6.2

En tratt formad som en r¨at cirkul¨ar kon med h¨ojden h har basradien R medan utloppsh˚ alets radie r ¨ar be- tydligt mindre. Enligt Torricellis lag str¨ommar vattnet ut med hastighe- ten v = √

2gy, d¨ar y ¨ar niv˚ an ¨over utloppsh˚ alet och g tyngdacceleratio- nen g = 9.82 ms

−2

.

h

R

y

Utloppshålets area:

π r2

Antag att R

r = 15 och h = 0.12 m. Ber¨akna hur l˚ ang tid det tar att t¨omma tratten om den fr˚ an b¨orjan ¨ar helt fylld med vatten. Avrunda till tv˚ a deci-

maler. (5 p)

4 (4)

(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)

References

Related documents

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan