tioner, komplexa tal och transformteori
Tentamensdatum 2011-03-22 Totala antalet uppgifter: 6, max 30 p Skrivtid 09.00-14.00 Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30
Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨aknare. Bifogad tabellsamling.
Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.
Enbart svar ger 0 po¨ ang.
Institutionen f¨or teknikvetenskap och matematik
Uppgift 1
(a) Skriv p˚ a formen a + bi, a, b ∈ R.
3 − i 5 + 2i
(1 p) (b) L¨os ekvationen
z
4= −1 + i √ 3
Svaret skrivs p˚ a formen a + bi, a, b ∈ R, och f˚ ar inte inneh˚ alla trigono-
metriska uttryck. (3 p)
Uppgift 2
(a) Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen d
2y
dx
2+ 4 dy
dx − 5y = cos x
Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨andas. (3 p)
(b) L¨os begynnelsev¨ardeproblemet dy
dx = (1 + x)(1 + y
2), y(0) = 1.
Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨andas. (3 p)
Uppgift 3
(a) Best¨am konvergensradien till potensserien
∞
X
k=0
k
22
kx
k. (2 p)
(b) Best¨am Maclaurinutvecklingen av ordning 3 till funktionen f (x) =
sin x. Ange resttermen p˚ a ordo-form. (1 p)
(c) Best¨am Maclaurinutvecklingen av ordning 3 till funktionen g(x) =
arctan 2x. Ange resttermen p˚ a ordo-form. (1 p)
(d) Best¨am
x→0
lim
arctan 2x − 2x sin x − x
L’Hospitals regel f˚ ar inte anv¨andas. (2 p)
2 (4)
Best¨am en funktion f (t), t ≥ 0, med Laplacetransformen (a)
1 s
2− 6s + 8
(2 p) (b)
e
−3ss
5(2 p)
Uppgift 5
Antag att funktionen f (t) definieras enligt
f (t) =
1, 0 ≤ t < 1, 2 − t, 1 ≤ t < 3,
−1, 3 ≤ t.
(a) Rita grafen till f (t). (2 p)
(b) Best¨am Laplacetransformen till f (t). (3 p)
Uppgift 6
L¨ os en och endast en av f¨ oljande alternativa uppgifter.
Uppgift 6.1
(a) L¨os begynnelsev¨ardesproblemet d
2x
dt
2+ 4x = g(t), x(0) = 0, dx dt
t=0= 0, d¨ar
g(t) =
1, 0 ≤ t < π,
−1, π ≤ t < 2π, 0, 2π ≤ t.
(4 p)
(b) Best¨am exakt funktionsv¨ardet x(3π/2). (1 p)
Uppgift 6.2
En tratt formad som en r¨at cirkul¨ar kon med h¨ojden h har basradien R medan utloppsh˚ alets radie r ¨ar be- tydligt mindre. Enligt Torricellis lag str¨ommar vattnet ut med hastighe- ten v = √
2gy, d¨ar y ¨ar niv˚ an ¨over utloppsh˚ alet och g tyngdacceleratio- nen g = 9.82 ms
−2.
h
R
y
Utloppshålets area:
π r2