Institutionen för matematik
Tentamen i Linjär analys Ämneskod M0018M
MAM243
Tentamensdatum 2009-08-21
Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-14.00 Lärare: Mikael Stenlund
Jourhavande lärare: Mikael Stenlund Tel: 0920-492877 Resultatet meddelas senast: 15 arbetsdagar efter tentamensdagen
Tillåtna hjälpmedel: Beta (Mathematics Handbook).
Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.
Lule˚a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨or matematik Linj¨ar analys, 5p.
Mikael Stenlund 21:a augusti 2009. Tid: 5h.
Hj¨alpmedel: Beta.
L¨osningar skall presenteras p˚a ett s˚adant s¨att att r¨akningar och resonemang blir l¨atta att f¨olja. M¨ark varje l¨osningsblad med namn och personnummer.
1. L˚at δ0 vara distributionsderivatan av Diracfunktionen. L¨os begynnelsev¨ardesproblemet y00+ y = e−t+ δ0(t − 1), y(0) = 0, y0(0) = 1,
med hj¨alp av Laplacetransform. (5p)
2. a) Best¨am alla v¨arden p˚a variabeln s f¨or vilket den dubbelsidiga Laplacetransformen av
e−t(H(t) − 1) existerar. (1p)
b) Tag fram en begr¨ansad l¨osning till differentialekvationen, y00− y = sin(2x)(H(x) − 1), x ∈ R,
d¨ar H(x) ¨ar Heavisidefunktionen. (4p)
3. Antag att f (t) = t2, t ∈ [−π, π] ¨ar en 2π-periodisk funktion p˚a helaR s˚a att f(t + 2π) = f (t) p˚a hela R. Best¨am en allm¨an l¨osning till differentialekvationen
y00+ y = f (t)
med hj¨alp av Fourierserier. (5p)
4. I denna uppgift ¨ar h¨anvisning till formler i Beta ej till˚aten.
a) L˚at f (t) =
(t2, t ∈ [−1, 2]
0, f¨or ¨ovrigt. Best¨am Distributionsderivatan av f (t) grafiskt. (2p) b) Bevisa med hj¨alp av definitionen av Distributionsderivatan att Distributionsderivatan
av H(t + 1) ¨ar δ(t + 1). (3p)
5. Ber¨akna kurvintegralen Z
ΓF · dr d¨ar F := (y6, x8, xy) och Γ ¨ar bilden av kurvan r(t) :=
(r cos t, r sin t, 0), t ∈ [−π, π], med konstanten r > 0. (5p)
L¨ os endast en av f¨ oljande tre uppgifter A, B eller C.
A a) Utveckla f (t) = (3t2− 1)/3, t ∈ [−1, 1] p˚a formen a0
2 + X∞ n=1
(ancos(n2πt/T ) + bnsin(n2πt/T ))
(4p) b) Visa att genom funktionsber¨akning av ovanst˚aende i t = 1 kan vi ber¨akna
X∞ n=1
1 n2
exakt. Ber¨akna summans v¨arde. (1p)
B Formulera och bevisa integralkriteriet f¨or positiva serier. (5p)
C a) F¨or vilka v¨arden p˚a u konvergerar serien X∞ n=1
un
n2+ n. (3p)
b) Anv¨and resultatet i a) f¨or att best¨amma f¨or vilka v¨arden serien X∞
n=1
((x + 1)/x)n
n2+ n konvergerar.
(2p)