• No results found

L¨ os endast en av f¨ oljande tre uppgifter A, B eller C.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "L¨ os endast en av f¨ oljande tre uppgifter A, B eller C."

Copied!
20
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Institutionen för matematik

Tentamen i Linjär analys Ämneskod M0018M

MAM243

Tentamensdatum 2009-08-21

Totala antalet uppgifter: 6 Skrivtid 09.00-14.00 Lärare: Mikael Stenlund

Jourhavande lärare: Mikael Stenlund Tel: 0920-492877 Resultatet meddelas senast: 15 arbetsdagar efter tentamensdagen

Tillåtna hjälpmedel: Beta (Mathematics Handbook).

Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges. Även endast delvis lösta problem kan ge poäng. Enbart svar ger 0 poäng.

(2)

Lule˚a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨or matematik Linj¨ar analys, 5p.

Mikael Stenlund 21:a augusti 2009. Tid: 5h.

Hj¨alpmedel: Beta.

osningar skall presenteras p˚a ett s˚adant s¨att att r¨akningar och resonemang blir atta att f¨olja. M¨ark varje l¨osningsblad med namn och personnummer.

1. L˚at δ0 vara distributionsderivatan av Diracfunktionen. L¨os begynnelsev¨ardesproblemet y00+ y = e−t+ δ0(t − 1), y(0) = 0, y0(0) = 1,

med hj¨alp av Laplacetransform. (5p)

2. a) Best¨am alla v¨arden p˚a variabeln s f¨or vilket den dubbelsidiga Laplacetransformen av

e−t(H(t) − 1) existerar. (1p)

b) Tag fram en begr¨ansad l¨osning till differentialekvationen, y00− y = sin(2x)(H(x) − 1), x ∈ R,

d¨ar H(x) ¨ar Heavisidefunktionen. (4p)

3. Antag att f (t) = t2, t ∈ [−π, π] ¨ar en 2π-periodisk funktion p˚a helaR s˚a att f(t + 2π) = f (t) p˚a hela R. Best¨am en allm¨an l¨osning till differentialekvationen

y00+ y = f (t)

med hj¨alp av Fourierserier. (5p)

4. I denna uppgift ¨ar h¨anvisning till formler i Beta ej till˚aten.

a) L˚at f (t) =

(t2, t ∈ [−1, 2]

0, f¨or ¨ovrigt. Best¨am Distributionsderivatan av f (t) grafiskt. (2p) b) Bevisa med hj¨alp av definitionen av Distributionsderivatan att Distributionsderivatan

av H(t + 1) ¨ar δ(t + 1). (3p)

5. Ber¨akna kurvintegralen Z

ΓF · dr d¨ar F := (y6, x8, xy) och Γ ¨ar bilden av kurvan r(t) :=

(r cos t, r sin t, 0), t ∈ [−π, π], med konstanten r > 0. (5p)

L¨ os endast en av f¨ oljande tre uppgifter A, B eller C.

A a) Utveckla f (t) = (3t2− 1)/3, t ∈ [−1, 1] p˚a formen a0

2 + X n=1

(ancos(n2πt/T ) + bnsin(n2πt/T ))

(4p) b) Visa att genom funktionsber¨akning av ovanst˚aende i t = 1 kan vi ber¨akna

X n=1

1 n2

exakt. Ber¨akna summans v¨arde. (1p)

B Formulera och bevisa integralkriteriet f¨or positiva serier. (5p)

(3)

C a) F¨or vilka v¨arden p˚a u konvergerar serien X n=1

un

n2+ n. (3p)

b) Anv¨and resultatet i a) f¨or att best¨amma f¨or vilka v¨arden serien X

n=1

((x + 1)/x)n

n2+ n konvergerar.

(2p)

(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)

References

Related documents

Resonemang, införda beteck- ningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt redovisade att de blir svåra att följa. Även delvis lösta uppgifter bör emellertid lämnas

Till alla uppgifter skall fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att

Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar får inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa.. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng

Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa. Ef- ter varje uppgift anges maximala antalet poäng

Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra att följa.. Efter varje uppgift anges maximala antalet

Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslös- ningar och uträkningar för inte vara så knapphändigt presenterade att de blir svåra

L¨ osningar skall presenteras p˚ a ett s˚ adant s¨ att att r¨ akningar och resonemang blir l¨ atta att f¨ olja.. M¨ ark varje l¨ osningsblad med namn

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan