Ex.
Lös ekvationen 0 2
2+ z2 + = z
Lösning:
Metod 1
(
z) (
z)
j z j z jz
z2+2 +2=0⇔ +12−12+2=0⇔ +12 =−1* 2 ⇔ +1=± ⇔ =−1± Metod 2 (Ej korrekt men acceepterad)
( )
z z jz z
z2+2 +2=0⇔ =−1± −12−2⇔ =−1± −1⇔ =−1±
Ex.
Lös ekvationen 0
2+ jz−1− j= z
Metod 1 (kvadratkomplettring)
0 4 1
1 1 2
2 2
4 3
2 2
=
−
−
⎟+
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ +
⇔
−
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ +
−
−
j j z j j
z j
8 7 6
Sätt: j x jy
z + = +
2
d.v.s.
(
+)
− − = ⇔ + − − − =0⇔ 42 3 4 0
3 2 2
2 j x xyj y j
jy x
(
2 1)
0 43
0 Im 0
Re 2
2 − − + − =
= =
43 42 43 1
42 1
xy j y
x
Vi får då följande ekvationssystem att lösa
y x xy
y x
2 1 0
1 2
4 0
2 3
2
=
⎪⎩ ⇒
⎪⎨
⎧
=
−
=
−
− Vi får då:
4 0
1 3 4
4 0 3 4
1 4
0 4 4 3 4 0 1
4 3 2
1
2 2 4
2 2 2 2 4 2
2 2
2
− =
−
⇔
=
−
−
⇔
=
−
−
⇔
=
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛
x x x
x x x x x x x
x x
Lös: täljaren=0 0 1 3
4x4− x2 − = Sätt x2 =t:
! 1
4 ! 1
8 5 8 3 64
16 64
9 8 0 3
4 1 4 0 3
1 3 4
2 1
2 2
Ok t
Falsk t
t t
t t t
x
=
−
=
±
=
⇔ +
±
=
⇔
=
−
−
⇔
=
−
−
Vi får då:
j j z
z y
x
z j j
z y
x x
−
−
=
⇔
−
−
= +
⇒
−
⇒
−
=
=
⇔ +
= +
⇒
=
⇒
=
⇔
=
2 1 1 1 2 2
1 1
2 1 1 1 2 2
1 1 1
2 2
2 2
1 1
1 1
1
Metod 2 (ej bra, bara ibland):
Sätt: z=x+ jy
( ) ( )
(
2 1)
01
0 1 2
0 1
2 2
2 2
2
=
− + +
−
−
−
⇔
=
−
−
− + +
−
⇔
=
−
− + + +
⇒
x xy j y y x
j y jx xyj y
x
j jy
x j jy x
Vi får då följande ekvationssystem att lösa
) 1 ( 2 inf
1 0
1 2
0
2 1
2
örningi Ejbravid
x y x x
xy
y y
x ⇒ = − ⇒
⎩⎨
⎧
=
− +
=
−
−
−
(
−)
− − − = ⇔−
⇔
=
− −
⎟−
⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛ − 1 0
2 1 4
0 1 2 1
1 2 1
2 2 2
2
x x x
x x x
x x
x x
Förläng med MGN
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 1 3 4
0 4 2 2 2
1 4
0 4 2 2 2
1 4
0 4 1
2 1
4
4 0
4 1
2 1
4
2 4
2 2 2
4
2 2 2
4
2 2 4
2 2 2 4
=
−
−
⇔
=
− +
−
− +
−
⇔
=
− +
− +
−
−
⇔
=
−
−
−
−
−
⇔
− =
−
−
−
−
x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x
x x x x x
PSS (Samma som tidigare)
Komplex-konjugerande rötter
z beyder konjugat Om en algebraisk ekvation med reella koefficienter har en linje-reell
lösning z0 har den också lösningen z 0
Ex.
Ekvationen 2z4 −z3+z2−z−1=0 har roten z= . Bestäm ekvationens övriga lösnoingar. j Lösning:
Enligt sats: z0 =z0 vi får då enligt sats:
(
z j) (
z j) ( )
k z zz z
z 1 * *
2 4− 3+ 2− − = + − Där k
( )
z är en polynom av grad 2 Polynomdivision ger:( )
( )
( )
0
1 1
1 2 2
1 2
|
1 2
1
2 2
3 2 3
2 4
2 3 4
2
2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
− +
− − + − −
−
− +
z z
z z
z z z
z z
z z z z
z z z
Lös k
( )
z =0 d.v.s.2 1 1
4 3 4 1
16 8 16
1 4 1
2 1 4 1 4 1
2 0 1 2 0 1
1 2
4 3
2 2 2
−
=
=
⇔
±
=
⇔ +
±
=
⇔
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
± ⎛
=
⇔
=
−
−
⇔
=
−
−
z z z z z
z z z
z
Ex.
a) Ekvationen z3+2z2+4z+8=0 har en lösning z=−2. Bestäm ekvationens övriga lösningar
b) Ekvationen z3+1=0 har en heltalsrot. Lös ekvationen.
c) Ekvationen 2z3+z2+z+1=0 har roten z= . Lös ekvationen. j
d) Visa att ekvationen z3− z11 +20=0 har lösningen z= 2+ j ange ekvationens övriga lösningar.