• No results found

Ex. Lös ekvationen

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Ex. Lös ekvationen"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Ex.

Lös ekvationen 0 2

2+ z2 + = z

Lösning:

Metod 1

(

z

) (

z

)

j z j z j

z

z2+2 +2=0⇔ +12−12+2=0⇔ +12 =−1* 2 ⇔ +1=± ⇔ =−1± Metod 2 (Ej korrekt men acceepterad)

( )

z z j

z z

z2+2 +2=0⇔ =−1± −12−2⇔ =−1± −1⇔ =−1±

(2)

Ex.

Lös ekvationen 0

2+ jz−1− j= z

Metod 1 (kvadratkomplettring)

0 4 1

1 1 2

2 2

4 3

2 2

=

⎟+

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⎟ −

⎜ ⎞

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

j j z j j

z j

8 7 6

Sätt: j x jy

z + = +

2

d.v.s.

(

+

)

− − = ⇔ + − − − =0⇔ 4

2 3 4 0

3 2 2

2 j x xyj y j

jy x

(

2 1

)

0 4

3

0 Im 0

Re 2

2 − − + − =

= =

43 42 43 1

42 1

xy j y

x

Vi får då följande ekvationssystem att lösa

y x xy

y x

2 1 0

1 2

4 0

2 3

2

=

⎪⎩ ⇒

⎪⎨

=

=

− Vi får då:

4 0

1 3 4

4 0 3 4

1 4

0 4 4 3 4 0 1

4 3 2

1

2 2 4

2 2 2 2 4 2

2 2

2

− =

=

=

=

⎟ −

⎜ ⎞

−⎛

x x x

x x x x x x x

x x

Lös: täljaren=0 0 1 3

4x4− x2 − = Sätt x2 =t:

! 1

4 ! 1

8 5 8 3 64

16 64

9 8 0 3

4 1 4 0 3

1 3 4

2 1

2 2

Ok t

Falsk t

t t

t t t

x

=

=

±

=

⇔ +

±

=

=

=

Vi får då:

j j z

z y

x

z j j

z y

x x

=

= +

=

=

⇔ +

= +

=

=

=

2 1 1 1 2 2

1 1

2 1 1 1 2 2

1 1 1

2 2

2 2

1 1

1 1

1

(3)

Metod 2 (ej bra, bara ibland):

Sätt: z=x+ jy

( ) ( )

(

2 1

)

0

1

0 1 2

0 1

2 2

2 2

2

=

− + +

=

− + +

=

− + + +

x xy j y y x

j y jx xyj y

x

j jy

x j jy x

Vi får då följande ekvationssystem att lösa

) 1 ( 2 inf

1 0

1 2

0

2 1

2

örningi Ejbravid

x y x x

xy

y y

x ⇒ = − ⇒

⎩⎨

=

− +

=

(

)

− − =

=

− −

⎟−

⎜ ⎞

−⎛ − 1 0

2 1 4

0 1 2 1

1 2 1

2 2 2

2

x x x

x x x

x x

x x

Förläng med MGN

( ) ( )

( ) ( )

( )

0 1 3 4

0 4 2 2 2

1 4

0 4 2 2 2

1 4

0 4 1

2 1

4

4 0

4 1

2 1

4

2 4

2 2 2

4

2 2 2

4

2 2 4

2 2 2 4

=

=

− +

− +

=

− +

− +

=

− =

x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x

x x x x x

PSS (Samma som tidigare)

(4)

Komplex-konjugerande rötter

z beyder konjugat Om en algebraisk ekvation med reella koefficienter har en linje-reell

lösning z0 har den också lösningen z 0

Ex.

Ekvationen 2z4z3+z2z−1=0 har roten z= . Bestäm ekvationens övriga lösnoingar. j Lösning:

Enligt sats: z0 =z0 vi får då enligt sats:

(

z j

) (

z j

) ( )

k z z

z z

z 1 * *

2 43+ 2− − = + − Där k

( )

z är en polynom av grad 2 Polynomdivision ger:

( )

( )

( )

0

1 1

1 2 2

1 2

|

1 2

1

2 2

3 2 3

2 4

2 3 4

2

2

− +

− − + − −

− +

z z

z z

z z z

z z

z z z z

z z z

Lös k

( )

z =0 d.v.s.

2 1 1

4 3 4 1

16 8 16

1 4 1

2 1 4 1 4 1

2 0 1 2 0 1

1 2

4 3

2 2 2

=

=

±

=

⇔ +

±

=

⎟ +

⎜ ⎞

± ⎛

=

=

=

z z z z z

z z z

z

(5)

Ex.

a) Ekvationen z3+2z2+4z+8=0 har en lösning z=−2. Bestäm ekvationens övriga lösningar

b) Ekvationen z3+1=0 har en heltalsrot. Lös ekvationen.

c) Ekvationen 2z3+z2+z+1=0 har roten z= . Lös ekvationen. j

d) Visa att ekvationen z3− z11 +20=0 har lösningen z= 2+ j ange ekvationens övriga lösningar.

References

Related documents

[r]

[r]

[r]

Element¨ ar gruppteori, hemuppgifter till torsdag vecka

Satsen g¨aller alltid, oavsett om X ¨ar diskret eller kontinuerlig eller ingetdera (t.ex. bland- ning av diskret och kontinuerlig stokastisk variabel).. Vi betraktar den

Materialet som vi passerat under veckorna 9 till 16 är stort men på prov 2 kommer vi att fokusera på det som varit mer eller mindre nytt

• Kommunfullmäktige föreslås bevilja Stiftelsen Herrljunga Industrilokaler (org.nr. 864000-0892) tillstånd att sälja fastigheten Ölltorp 1:18 för 9,7 miljoner kronor.

Irena Fujerová Datum obhajoby: