M A T E M A T I K U N D E R V I S N I N G E N S R E F O R M E R I N G .
Severin Johansson.
J a g har såsom ämne för m i t t föredrag v a l t m a t e m a t i k e n s oeh m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n s ställning i vårt l a n d . J a g h a r därvid utgått ifrån den t a n k e n a t t det v i d d e t t a forskarmöte icke endast h a n d l a r o m en u p p v i s n i n g av v a d v i k u n n a k a l l a k u l t u r e n s n y v i n n i n g a r . Också den v e r k s a m h e t , u n d e r v i s n i n - gen, som förmedlar k u l t u r e n s v a n d r i n g från generation t i l l generation, b ö r här ha sin plats och k u n n a påräkna s i t t i n - tresse. Sådant är j u också förhållandet i n o m de stora k u l - turländerna, där v i förresten ofta möta de ledande forskar- personligheterna i v e r k s a m h e t på undervisningens område.
V a d n u särskilt m a t e m a t i k e n v i d k o m m e r , så är den j u en i n t e g r e r a n d e beståndsdel i det m a t e m a t i s k - n a t u r v e t e n s k a p - liga b i l d n i n g s i d e a l , som på g r u n d av förskjutningarna i k u l - t u r e n a l l t m e r a r y c k e r i förgrunden. D e t t a är j u r e d a n ägnat a t t länka uppmärksamheten i n på frågan o m dess ställning.
Därtill k o m m e r , a t t m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n v i d s k o l a n för närvarande är föremål för alldeles särskild uppmärk- samhet. D e t h a n d l a r o m en omläggning av hela denna u n - d e r v i s n i n g , en omläggning, som icke endast avser m e t o d i k e n u t a n hela lärostoffet.
Det är en alldeles speciell sak m e d u n d e r v i s n i n g e n . D e n
är icke något särintresse, något som endast v i d k o m m e r f a c k -
m a n n a k r e t s a r . H e l a dess betydelse för bevarande a v s a m -
hällets h i s t o r i s k a k o n t i n u i t e t gör den t i l l e t t v i t a l t allmänt
intresse, e t t av samhällets mest b e t y d a n d e . A t t det härvid
är e t t levande m a t e r i a l , samhällets spröda f r a m t i d s m a t e r i a l ,
som det hela går u t över och som har a t t taga e m o t följderna
6
av e v e n t u e l l a missgrepp, gör u n d e r v i s n i n g e n t i l l en alldeles särskilt ömtålig v e r k s a m h e t , som det är samhällets rätt och s k y l d i g h e t a t t ägna oavlåtlig uppmärksamhet. Lägga v i därtill d e t r e n t personliga intresse, som k n y t e r v a r j e m e d - borgare v i d u n d e r v i s n i n g e n — hans egen och senare hans barns skolgång, saker som sträcka sig över decennier av hans l i v — , s k a l l m a n förstå, a t t o p i n i o n e n är mer än v a n l i g t käns- l i g , då det gäller s k o l a n och dess v e r k s a m h e t .
Denna o p i n i o n bör icke förbises, då det är fråga o m u n - d e r v i s n i n g e n . Pedagogen, f a c k m a n n e n , undgår sällan f a r a n a t t överskatta det, som ligger h o n o m nära. Saker, som i v e r k l i g h e t e n äro rätt betydelselösa, få isolerade från j ä m - förelse m e d v i k t i g a r e t i n g en otillbörlig betydelse. I sådana fall är en sund och a l l v a r l i g o p i n i o n på s i n p l a t s . J a g vågar påståendet, a t t många värdefulla förskjutningar i u n d e r - v i s n i n g e n förberetts av en d y l i k oförvillad allmän u p p f a t t - n i n g . D e t t a u t e s l u t e r j u icke, a t t o p i n i o n e n ofta k a n s k j u t a över målet. I v a r j e fall är d e t skäl, a t t då o p i n i o n e n gör sig s t a r k t gällande i en bestämd r i k t n i n g , u n d e r k a s t a densamma och dess orsaker en n o g g r a n n analys. D e n lönar sig n o g i de
flesta f a l l .
J a g framhåller e t t välbekant sakförhållande, då j a g i fråga o m denna o p i n i o n k o n s t a t e r a r , a t t den bildade allmän- heten i vårt l a n d i c k e är välvilligt stämd m o t m a t e m a t i k e n . J a g borde snarare säga, för a t t ge saken e t t adekvatare u t - t r y c k , a t t det h a n d l a r o m en v ä x a n d e a n i m o s i t e t . A t t d e t t a icke är en företeelse, som g j o r t sig gällande endast i vårt l a n d , är likaså välbekant. V i b e h ö v a b l o t t tänka på de angrepp m o t m a t e m a t i k e n och dess herravälde, som senaste v i n t e r k o m m o t i l l synes i Svergc. D e t b l e v där en a l l v a r l i g sam- m a n d r a b b n i n g , u n d e r v i l k e n m a n e m e l l e r t i d i n g a l u n d a k o m f r a m t i l l sakens kärna. H o s oss har s i t u a t i o n e n nått d e n t i l l - spetsning, a t t m a n r e d a n belagt sakläget med det graverande slagordet: matematikeländet i våra skolor. D e t s k a l l b l i m i t t
föredrags h u v u d s y f t e a t t gå hela denna u p p f a t t n i n g i n på
l i v e t . T i l l s v i d a r e v i l l j a g endast ha sagt, a t t d e n m o t m a t e - m a t i k e n m i n d r e välvilliga o p i n i o n , som sökt sig denna s k a r p a f o r m u l e r i n g , har sina d j u p a orsaker i m a t e m a t i k u n d e r v i s - ningens h i t t i l l s v a r a n d e ståndpunkt i vårt l a n d . D e n är här- v i d i s t o r t sett i n n e på en r i k t i g väg. M a n känner b l a n d l a i c i i n t u i t i v t på sig a t t någonting är på t o k , o m m a n också sak- n a r möjlighet a t t e x a k t f o r m u l e r a sin u p p f a t t n i n g . J a g s k a l l i det följande försöka klargöra, v a r felet ligger.
N u s k j u t e r e m e l l e r t i d denna o p i n i o n på t v e n n e väsentliga p u n k t e r över målet. D e n har svårt a t t erkänna m a t e m a t i - kens betydelse för d e n k u l t u r e l l a u t v e c k l i n g e n och m a t e m a - t i k e n s betydelse för d e t m o d e r n a samhällslivet. Denna obe- nägenhet b o t t n a r i o k u n n i g h e t o m det v e r k l i g a sakläget, v i l - ken o k u n n i g h e t i s i n t u r k a n återföras t i l l j u s t det, som är sakens kärna, nämligen m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n v i d våra s k o l o r .
J a g behöver j u i c k e inför denna krets av forskare resa något äreminne över m a t e m a t i k e n . A l l a forskare i n o m n a t u r - v e t e n s k a p e r n a skola v i l l i g t erkänna, a t t m a t e m a t i k e n ger d e m skarpa v a p e n i deras arbete. De skola också erkänna m a t e - m a t i k e n s sammanhållande filosofiska k r a f t , som samlar o b - servationernas och experimentens strödda detaljer och skå- dar sammanhangen. M a t e m a t i k e n är nog också m e d i k r e t - sen av alla dessa vetenskaper, som manifestera människans eviga sökande efter sanningen.
D e t t a är j u d o c k saker, som m i n d r e intressera en bredare allmänhet. Där hör m a n ofta u t t r y c k av d u b i e r o m m a t e - m a t i k e n s betydelse för det m o d e r n a samhällslivet. F ö r d e n y t l i g e b e t r a k t a r e n ser d e t j u också u t , som o m d e t hela s k u l l e röra sig i n o m r a m e n för q u a t t u o r species. E m e l l e r t i d v e t a v i j u , a t t det finnes ansenliga verksamhetsfält i n o m det m o - derna samhället, i vars arbetares u t b i l d n i n g e t t i v a r j e f a l l icke r i n g a , i många fall rätt högt d r i v e t mått av m a t e m a t i s k t v e t a n d e måste ingå, e t t mått som icke föreskrivits av någon m a t e m a t i s k t v i l s e l e d d d o k t r i n , u t a n av clen e n k l a nödvän- d i g h e t e n .
V i få en föreställning o m dessa arbetsfälts u t b r e d n i n g i sam-
hället, o m v i besinna a t t icke m i n d r e än 54 % av de u n g d o - mar, som arbeta v i d landets högskolor, förbereda sig för v e r k - s a m h e t i n o m dessa arbetsfält. D e t t a p r o c e n t t a l stiger t i l l 60, om v i inskränka oss t i l l den m a n l i g a u n g d o m e n . Därvid ha v i lämnat åsido den militära u t b i l d n i n g e n och u t b i l d n i n g e n v i d n a v i g a t i o n s s k o l o r och t e k n i s k a m e l l a n s k o l o r a v o l i k a a r t , för v i l k a m a t e m a t i k e n är e t t ofrånkomligt v i l l k o r . M o t denna b a k g r u n d förflyktigas alla t v i v e l o m m a t e m a t i k e n s betydelse för samhället.
Det finnes en omständighet, som är ägnad a t t engång år- l i g e n göra den m a t e m a t i k f i e n t l i g a o p i n i o n e n a k u t . D e t är m a t u r i t e t s p r o v e t i m a t e m a t i k . D e t t a beror n a t u r l i g t v i s i första h a n d på i r r i t a t i o n e n över det t i l l en t r a d i t i o n v o r d n a dåliga r e s u l t a t e t och på i n d i g n a t i o n e n över de likaledes t i l l en t r a d i t i o n v o r d n a undersleven. A l l t d e t t a sammanhänger nu med den d i s k o n t i n u i t e t , som u p p e n b a r l i g e n föreligger m e l l a n skolans p r e s t a t i o n och de anspråk dessa p r o v u t t r y c k a och s k a l l här icke debatteras. M e n d e t t a är icke det väsent- l i g a . Inför den u p p m a r s c h a v skolans kunskapsanspråk i m a - t e m a t i k , som dessa u p p g i f t e r representera, k a n den stora a l l - mänheten i c k e undgå a t t f i n n a , och här är o p i n i o n e n inne på en r i k t i g väg, a t t det v i l a r någonting av s t a r k och o n y t t i g specialisering över dessa u p p g i f t e r , som föreläggas t i l l lös- n i n g , och m a n känner sig i r r i t e r a d över a t t u n g d o m e n s k a l l hejdas a v d y l i k a som d e t tyckes a r t i f i c i e l l a h i n d e r .
Jag skänker d e t t a sista m o m e n t en alldeles särskild b e t y - delse. Visserligen vänder sig o p i n i o n e n t i l l o r i k t i g t f o r u m , t y s t u d e n t e x a m e n har j u endast a t t k o n s t a t e r a förefintligheten
av e t t v i s s t kunskapsmått hos a b i t u r i e n t e r n a , e t t kunskaps- mått, vars sammansättning den icke bestämmer, m e n det inneligger i denna u p p f a t t n i n g en s u n d r e a k t i o n m o t det.
som är den y t t e r s t a och v e r k l i g a orsaken t i l l m a t e m a t i k e n s ringa anseende i den allmänna u p p f a t t n i n g e n .
Det är j u u p p e n b a r t a t t hela denna p e r i o d i s k a s t u d e n t -
examenskampanj skall v a r a ägnad a t t skärpa stämningen
mot m a t e m a t i k e n . E m e l l e r t i d är m a n inne på en alldeles
o r i k t i g väg, o m m a n söker den m o t m a t e m a t i k e n b r y s k a o p i -
9
nionens i n n e r s t a orsaker på d e t t a håll. M a n k a n j u lätt av- hjälpa hela denna sak. M a n behöver j u endast sänka ansprå- ken i m a t e m a t i k e n , så a t t de k o m m a i k o n f o r m i t e t m e d ansprå- ken i de övriga prövning u n d e r k a s t a d e ämnena och hela d e t t a årligen återkommande h y s t e r i s k a skede s k a l l försvinna. Men m a n s k a l l därigenom icke avlägsna den u p p f a t t n i n g , som på fullaste a l l v a r frågar, o m det n u icke ifråga o m m a t e m a t i k e n h a n d l a r o m någotslags doktrinär överskattning, som det gäller a t t så s n a b b t som möjligt revidera, för a t t bereda u n g d o m e n större möjlighet a t t ägna sig åt v e r k l i g t b e t y d a n d e och n y t t i g a läroämnen. D e t behövs alldeles andra och v i t t gående åtgärder för a t t avlägsna denna icke endast för m a t e - m a t i k e n s ställning v i d våra s k o l o r u t a n även för den därmed nära sammanhängande k u l t u r e l l a u t v e c k l i n g e n icke ofarliga åskådning.
Därmed äro v i framme v i d sakens kärna. D e t är m a t e - m a t i k u n d e r v i s n i n g e n s n u v a r a n d e ståndpunkt i vårt l a n d , som i n n e r s t bär s k u l d e n t i l l den skeva u p p f a t t n i n g e n o m m a t e m a t i k e n s ställning. D e n s a k n a r i s i n föråldrade f o r m möjlighet a t t ge en r i k t i g b i l d a v m a t e m a t i k e n s v e r k l i g a be- t y d e l s e .
O m v i vända oss t i l l en högt b i l d a d medborgare och fråga
h o n o m o m hans behållning av exempelvis h i s t o r i e u n d e r v i s -
n i n g e n i s k o l a n , så s k a l l h a n u t a n t v i v e l skänka den s i t t er-
kännande. H a n har n a t u r l i g t v i s glömt a l l t det d y n a s t i s k a
smågnabb, som fyller läroböckerna, m e n h a n s k a l l erkänna
a t t denna u n d e r v i s n i n g g i v i t h o n o m många lärdomar, v i s a t
h u r u s o m många a v de idéer, som n u v e r k a i världen r e d a n i
gångna århundraden uppstått, k u l m i n e r a t och d o m n a t b o r t .
H a n s k a l l också ifråga o m exempelvis b o t a n i k e n erkänna,
a t t även den g i v i t e t t värdefullt element i hans b i l d n i n g , o m
h a n också självfallet glömt alla de detaljer, på v i l k a en n i -
t i s k u n d e r v i s n i n g t r o t t sig böra slösa en ansenlig t i d . M e n
ifråga o m m a t e m a t i k e n s k a l l hans o m d ö m e säkert b l i n e d -
slående. H a n skall e r i n r a sig a t t han sysslat m e d o m f a t t a n d e
räkningar m e d p o l y n o m , a t t h a n i åratal löst sällsamma a r i t -
m e t i s k a och algebraiska p r o b l e m , a t t h a n genomgått en d r i l l
10
i begagnande a v l o g a r i t m i s k a tabeller, m e n framförallt s k a l l h a n e r i n r a sig, a t t han bevisat geometriska t e o r e m . H a n s k a l l k n a p p a s t erkänna, a t t h a n senare h a f t k o n t a k t m e d någonting av a l l t d e t t a . Visserligen s k a l l h a n medge, a t t d e t t a j u ieke är det enda utslaggivande, då det gäller a t t be- d ö m a en undervisnings betydelse för den högre b i l d n i n g e n , m e n h a n s k a l l icke v a r a v i l l i g a t t erkänna, a t t a l l t d e t t a g i v i t en behållning som står i någon som helst r i m l i g p r o p o r t i o n t i l l den därpå använda t i d e n .
J a g går n u t i l l en närmare analys av m a t e m a t i k u n d e r v i s - n i n g e n .
J a g h a r höga t a n k a r o m s k o l a n och s k o l u n d e r v i s n i n g e n . Den b ö r i c k e endast följa deras signaler, som i u n d e r v i s n i n - gen se en u p p f o s t r a n t i l l k o m m a n d e samhällelig v e r k s a m h e t , den bör eftersträva en allmänbildning, som äger kännedom o m kulturföreteelsernas u t v e c k l i n g . S k o l a n bör skänka den i l i v e t i n v a n d r a n d e generationen en så f y l l i g världsbild som möjligt, en världsbild, som ger en v i d överblick över alla de k r a f t e r , s o m v e r k a i den värld, där denna generation s k a l l kämpa s i n k a m p .
För m a t e m a t i k e n s v i d k o m m a n d e inneligger i d e t t a en bestämd f o r d r a n . M a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n skall ge det inslag i denna världsbild, de m a t e m a t i s k a i n s i k t e r och d e t mått av m a t e m a t i s k t tänkande och bedömande, som e r f o r d - ras för a t t m a n s k a l l v a r a f u l l t o r i e n t e r a d .
Det v o r e n u av intresse m e n faller t y v ä r r u t o m d e t möjli- gas gränser a t t här följa denna u n d e r v i s n i n g s u t v e c k l i n g s - gång under herraväldet av växlande k u l t u r i d e a l i de ledande länderna. Från u p p l y s n i n g s t i d e n s u t i l i t e t s e p o k k o m m a v i i n i n y h u m a n i s m e n s för m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n så ödes- digra skede. Dess s t a r k a ensidiga betonande av den f o r m e l l a b i l d n i n g e n , inför v i l k e t ifråga o m m a t e m a t i k e n det sakliga innehållet, dess o m f a t t n i n g och betydelse s j u n k a ned t i l l f u l l k o m l i g värdelöshet, inleder och f u l l b o r d a r den förstel-
»
ningsprocess, u r v i l k e n denna u n d e r v i s n i n g h a f t så svårt a t t k o m m a u t och där den hos oss i s t o r t sett ännu är k v a r . V i ha sedan såsom en m o t s a t t p o l a t t i s a m b a n d m e d den t e k - niska undervisningens g e n o m b r o t t observera s t a r k a anspråk på e t t fullständigt tillbakaträngande av alla a n d r a m o m e n t i m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n och e t t e n s i d i g t f r a m s k j u t a n d e a v dess användbarhet, t y p i s k a anspråk av den m o d e r n a i n - genjörkulturen.
D e t som n u här är av intresse a t t veta, är a t t frågan o m m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n under de senaste decennierna där u t e h a f t e t t b e t y d a n d e utvecklingsskede, som u t v e c k l a t sig högt över alla d y l i k a specialåskådningars p l a n . D e t har v a r i t en k o o p e r a t i o n av vetenskap, t e k n i k , samhällelig k u n s k a p och pedagogisk erfarenhet m e d det fast formulerade s y f t e t a t t skapa en t i l l s i t t lärostoff och sin m e t o d i k f u l l t m o d e r n u n - d e r v i s n i n g . Före k r i g e t f o r t g i c k denna u t v e c k l i n g på d e t i n t e r n a t i o n e l l a samarbetets breda bas m e d den i n t e r n a t i o - nella m a t e m a t i s k a u n d e r v i s n i n g s k o m m i s s i o n e n som sam- lande c c n t r a l i n s t i t u t i o n . D e t v a r en s a m m a n d r a g n i n g a v de y p p e r s t a k r a f t e r n a k r i n g u n d e r v i s n i n g s p r o b l e m e t . E t t m o t s t y c k e t i l l d e t t a u p p b å d av a n d l i g k a p a c i t e t t o r d e väl få sökas i n o m någon a n n a n u n d e r v i s n i n g s g r e n . B l a n d a n n a t ha v i här en l i t t e r a t u r som det r e d a n är svårt a t t överblicka och behärska.
Denna l i t t e r a t u r s k v a n t i t a t i v a ansvällning bekräftar v i s - serligen i stor utsträckning det kända u t t a l a n d e t a t t när k o - n u n g a r n a b y g g a få kärrdragarna arbete. M e n där finnes i den första l i n j e n i m p o n e r a n d e enquéter över m a t e m a t i k - undervisningens ställning och s k i f t a n d e a n o r d n i n g i n o m o l i k a länder, där finnas v e t e n s k a p l i g a fördjupningar a v a l l a ele- m e n t a r m a t e m a t i k e n s a k t u e l l a frågeställningar och så finnes där e t t a l l s i d i g t klarläggande a v m a t e m a t i k e n s ställning i n o m k u l t u r e n och samhället.
N u bör hela denna i stora d r a g tecknade b i l d av u n d e r -
v i s n i n g s p r o b l e m e t s u t v e c k l i n g ses m o t b a k g r u n d e n av en
s a m t i d i g t fortgående förändring i u n i v e r s i t e t e n s u n d e r v i s -
n i n g s b i l d . U t i l i t e t s e p o k e n s g r u n d a och e n c y k l o p e d i s k a u n i -
v e r s i t c t s u n d e r v i s n i n g i m a t e m a t i k efterträddes av de höga specialföreläsningarna. Därmed inleddes den divergens m e l - lan u n i v e r s i t e t s m a t e m a t i k och s k o l m a t e m a t i k , som för den senare blev skickelsediger. Skollärarens u t b i l d n i n g gick över de höga specialföreläsningarna. M a n opererade här m e d v e - tet eller o m e d v e t e t m e d den föreställningen, a t t den på en enskild p u n k t högt d r i v n a v e t e n s k a p l i g a u t b i l d n i n g e n ga- ranterade o r i e n t e r i n g i n o m den f r a m t i d a v e r k s a m h e t e n . Man har k a l l a t denna modus för lärarutbildningen das Sys- tem des d o p p e l t e n Vergessens, därmed hänsyftande på a t t den unga s t u d e n t e n glömde s i n s k o l m a t e m a t i k u n d e r s i n färd i m a t e m a t i k e n s högre r y m d e r och sedan v i d inträdet på lärarbanan åter glömde hela den u n d e r s t u d i e t i d e n v u n n a högre i n s i k t e n , som ingen k o n t a k t hade m e d hans v e r k s a m - hets speciella k u n s k a p s b e h o v . D e t är k l a r t , a t t denna h i a - t u s m e l l a n u n i v e r s i t e t s m a t e m a t i k e n och s k o l m a t e m a t i k e n utlevererade den senare åt det m a t e m a t i s k p e d a g o g i s k a k a n n - stöperiet hos allehanda mindervärdiga a u k t o r e r , som där gjorde sig breda.
V i befinna oss n u inne i en alldeles a n n a n fas a v u n i v e r - s i t e t s u n d e r v i s n i n g e n . Självfallet kvarstå de höga specialföre- läsningarna, m e n d e t h a r också samlats e t t s t a r k t intresse k r i n g f a c k u t b i l d n i n g e n för det b l i v a n d e värvet och denna u t b i l d n i n g s specifika k u n s k a p s b e h o v . D e t är här v i ha a t t söka en av de starkaste orsakerna t i l l d e t l i v l i g a intresset för e l e m e n t a r m a t c m a t i k e n , skollärarens kunskapsfält.
Återvända v i n u t i l l d e n för m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n
betydelsefulla epok, som det v a r fråga o m , så k u n n a v i säga,
a t t densamma h a f t en o f a n t l i g betydelse och l e t t t i l l en f u l l -
ständig omläggning av m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n s hela läro-
stoff och m e t o d i k . M a n h a r n u framförallt g j o r t u p p räk-
ningen m e d den formella epokens övertro på m a t e m a t i k e n s
f o r m e l l t b i l d a n d e k r a f t . M a n har också h ä v d a t m a t e m a t i -
kens eget filosofiska och estetiska bildningsvärde inför de
e x t r e m a anspråken på användningar. D e t m a t e m a t i s k a tän-
k a n d e t i dess o l i k a y t t r i n g a r har b l i v i t det centrala. M a n
återgår h e l t e n k e l t t i l l a t t u n d e r v i s a m a t e m a t i k .
N u har d e t t a genast h a f t e t t b e t y d a n d e r e s u l t a t . H e l a d e n f o r m e l l a epokens uppsjö av a r t i f i c i e l l a tillämpningar, t i l l k o m n a i för m a t e m a t i k e n främmande s y f t e n , h a r u t - mönstrats. I stället h a r m a n r e c u r r e r a t t i l l m a t e m a t i k e n s och det m a t e m a t i s k a tänkandets v e r k l i g a inlägg u t i det v e - t e n s k a p l i g a arbetet och samhällslivet, och där f u n n i t en r i k fond för v e r k l i g a och betydelsefulla användningar.
D e t t a betecknar j u u p p e n b a r l i g e n en s u n d u t v e c k l i n g . Därtill k o m m a e m e l l e r t i d såsom logiska konsekvenser ännu a n d r a genomgripande förändringar a v mera m a t e m a t i s k a r t .
M a t e m a t i k e n s betydelse för k u l t u r e n och samhällslivet sammanhänger m e d e t t i n o m m a t e m a t i k e n dominerande begrepp, som saknar plats i den f o r m e l l a åskådningens stela s y s t e m b i l d n i n g . D e t h a n d l a r överallt o m s a m m a n h a n g m e l - lan v a r i a b l a k v a n t i t e t e r och l a g a r n a för d y l i k a s a m m a n - hang. D e t är d e t t a f u n k t i o n s b e g r e p p , det m a t e m a t i s k a tän- kandets centrala begrepp, som b i l d a r d e t f u l l k o m l i g t n y a inslaget i d e n m o d e r n a u n d e r v i s n i n g e n både i analys och g e o m e t r i , a v s e t t a t t genomsila hela lärobyggnaden. D e t följer härmed en i d e n t i d i g a r e u n d e r v i s n i n g e n okänd s k o l - n i n g av e t t för tänkandet överhuvudtaget väsentligt m o -
m e n t .
I nära s a m b a n d m e d f u n k t i o n s b e g r e p p e t opererar m a n sedan flera århundraden i n o m den m a t e m a t i s k a vetenska- pen m e d den grafiska framställningen av f u n k t i o n a l a sam- m a n h a n g . Denna är e t t t i l l den g r a d b e t y d a n d e hjälpmedel, a t t den förbi s k o l a n , där den icke h a f t någon plats, trängt i n i samhället och där b l i v i t e t t tämligen v a n l i g t v e r k t y g , då det gäller a t t åskådliggöra o l i k a a r t e r av v a r i a b i l i t e t . Med funktionsbegreppet har den grafiska framställningen, d i a - g r a m m e t , k u r v a n r y c k t i n i den n y a undervisningens p l a n och är där e t t b e t y d a n d e element.
Det finnes v i d a r e en a n n a n fas av det m a t e m a t i s k a tän-
kandet, som är av betydelse och som i s t o r t sett står främ-
mande för den f o r m e l l a åskådningens u n d e r v i s n i n g s i d e a l .
Det är rymdåskådningen, vars s k o l n i n g i d e n n y a u n d e r v i s -
ningen beretts e t t ansenligt r u m i n o m den t i d i g a r e av syste- met h e l t och hållet u t f y l l d a r a m e n .
D e t t a är n u de ledande p r i n c i p e r , som k a r a k t e r i s e r a den moderna m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n , sådan den utgått u r detta utvecklingsskede. D e t är nämligen a t t märka a t t d e t icke h a n d l a r o m allmänna oprövade idéer. D e t hela k a n sammangjutas t i l l en säkert arbetande m a t e m a t i k u n d e r v i s - n i n g .
Det är n u det k a r a k t e r i s t i s k a för denna u n d e r v i s n i n g , a t t den försiggår i m a t e m a t i k e n s egen stora v e r k s t a d , där ele- verna, lärlingarna, göras förtrogna m e d dess v e r k l i g a arbets- metoder och dess v e r k l i g a betydelse och insats.
T i l l d e t t a k o m m e r sedan en alldeles grundväsentlig o m - ständighet, som på det i n t i m a s t e sammanhänger m e d hela denna u n d e r v i s n i n g s bärande idé. Dess m e t o d i k b r y t e r icke längre i n över barnasjälen m e d färdiga m a l l a r och s t u p i d a anspråk. D e n äger möjlighet a t t röra sig på e t t större p s y k o - l o g i s k t d j u p . D e n b l i r t i l l en f i n t och känsligt arbetande u n - dervisningskonst, som söker sina förebilder i d e t m a t e m a - t i s k a tänkandets egen utvecklingsgång, dess långsamma v a n d - r i n g från det k o n k r e t a och systemfria t i l l det a b s t r a k t a och systematiska. U n d e r v i s n i n g e n g e n o m v a n d r a r i s t a r k för- k o r t n i n g människosläktets egen m ö d o s a m m a u t v e c k l i n g .
Det är n a t u r l i g t , a t t denna u n d e r v i s n i n g s k o n s t s k a l l skänka arbetet, v e r k s a m h e t e n en c e n t r a l ställning. V i äro j u alla v i l l i g a a t t erkänna, a t t den fastaste beståndsdelen i vår kunskapsvärld k o n s t i t u e r a s av a l l t det v i u n d e r vår v e r k - samhet, vårt arbete genom erfarenhet inhämtat. D e t lästa, det hörda och det sedda röra sig på e t t a n n a t p l a n . D e n , som a l d r i g a r b e t a t , k a n i n g e n t i n g . D e t är n u denna u n d e r - visningskonsts stora överlägsenhet, a t t den k a n gå f r a m längs denna a v d e n pedagogiska k o n s t e n i s t o r t sett föga u t n y t t j a d e väg. D e t h a n d l a r därvid icke o m själlös övning och tillämpning, u t a n o m en m e d v e r k a n , som är e t t k o n s t i - t u t i v t element i det helas utvecklingsgång.
Sådan är denna m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g . D e n har s i t t be-
stämda kunskapsvärde, den levande och v e r k s a m m a m a t e -
15 m a t i k e n s kunskapsvärde, den äger det estetiska värde, som v i l a r över den m a t e m a t i s k a t a n k e b y g g n a d e n , den i n n e s l u t e r i s i t t på v e r k l i g t och s u n t arbete v i l a n d e inlägg i den allmänna u n d e r v i s n i n g s b i l d e n e t t e t i s k t m o m e n t . D e n tillför sålunda allmänbildningen beståndsdelar, som f u l l t k u n n a mäta sig med de från a n n a t håll k o m m a n d e . M a t e m a t i k e n b l i r t i l l e t t med de övriga läroämnena j ä m b ö r d i g t läroämne.
Jag vänder m i g n u t i l l m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n v i d våra skolor.
J a g v i l l då genast säga ifrån, a t t denna u n d e r v i s n i n g ännu befinner sig inne i den f o r m e l l a epoken. J a g förbiser därvid icke, a t t m a n på någon enstaka p u n k t arbetar m e d n y a me- t o d e r och a t t m a n väl n u m e r a v i d de flesta skolor r i t a r e t t eller a n n a t d i a g r a m .
Gäller det a t t anlägga en finare analys av s i t u a t i o n e n , så är där d o c k en sak a t t i a k t t a g a . D e n t i d i g a r e av i n t e t r u b - bade u p p f a t t n i n g e n o m systemets ofelbarhet har råkat i g u n g n i n g . J a g t r o r m i g träffa det r i k t i g a , då j a g k o n s t a t e r a r förefintlighet av en f u l l t förnimbar osäkerhet. M a t e m a t i k - lärarna skola v i l l i g t erkänna, a t t de i d e t t a n u befinna sig i den besvärande s i t u a t i o n e n a t t icke på varje p u n k t v e t a , h u r u de skola ställa s i n u n d e r v i s n i n g .
Den f o r m e l l a epokens långa d u r a t i o n hos oss s a m m a n -
hänger i viss mån m e d d j u p a r e liggande k u l t u r e l l a idéers
långsamma v a n d r i n g . T i d e n s händelser ha härvid v e r k a t
y t t e r l i g a r e retarderande. M e n där finnas a n d r a för vårt l a n d
speciella orsaker. Visserligen ha de höga specialföreläsnin-
garna av b e g r i p l i g a orsaker icke d o m i n e r a t i n o m vår u n i -
versitetsundervisnings t i d i g a r e skeden, m e n den åskådning,
som u t r u s t a d e den b l i v a n d e läraren m e d special i n s i k t e r i
m i n i m a l y t o r n a s och de d u b b e l p e r i o d i s k a f u n k t i o n e r n a s t e o -
rier, ledde i alla fall t i l l den h i a t u s m e l l a n u n i v e r s i t e t s m a t e -
m a t i k e n och s k o l m a t e m a t i k e n , som v a r för de höga special-
föreläsningarna t y p i s k . D e t går n u icke i en handvändning
a t t ändra d y l i k t i s y n n e r h e t i e t t l a n d som v å r t m e d dess
r i n g a u t b u d av mera b e t y d a n d e k r a f t e r . B a k o m den mönster-
b i l d av en i alla r i k t n i n g a r f u l l t m o d e r n u n i v e r s i t e t s u n d e r -
v i s n i n g , som v u x i t f r a m u n d e r d e n n u v a r a n d e m a t e m a t i k - professorns händer, ligger många års arbete, v e t e n s k a p l i g t och pedagogiskt arbete. D e t h a r där b l a n d a n n a t gällt a t t v e t e n s k a p l i g t u t b i l d a den från början icke förefintliga stab av k r a f t e r , som erfordras för a t t uppbära en d y l i k u n d e r - v i s n i n g . A t t det hela u t a n en e f f e k t i v lärarutbildning är dömt a t t skära i n på orätt spår, ser m a n r e d a n i de valhänta offer åt tidens n y a f o r d r i n g a r , som t a g i t sig u t t r y c k i an- s l u t n i n g e n av särskilda k a p i t e l o m f u n k t i o n s b e g r e p p e t och grafisk framställning t i l l den r e d a n n e d t y n g d a s k o l k u r s e n .
J a g går n u denna f o r m e l l a u n d e r v i s n i n g i n på l i v e t . A r i t m e t i k e n e r b j u d e r det alldeles n a t u r l i g a fältet för en förnuftig u n d e r v i s n i n g . A r i t m e t i k e n är j u d e t m e d b o r g e r l i g a l i v e t s m a t e m a t i k par préférence. D e t är d e t t a som s k a l l ge a r i t m e t i k u n d e r v i s n i n g e n dess färg. T a l e t , d e t genom u p p - mätning och uppräkning u t v u n n a t a l e t , i n t a r j u en d o m i n e - rande plats i samhällslivet såsom medel för behärskande och jämförande av samhällsföreteelsernas k v a n t i t a t i v a sida.
Räknesätten äro därvid räknekonstens svar på de frågeställ- ningar, s o m osökt v ä x a f r a m u r d e t t a arbete.
På d e t t a sätt f a t t a d b l i r a r i t m e t i k e n e t t b e t y d a n d e läro- ämne. D e n b l i r t i l l e t t slags k v a n t i t a t i v samhällslära. U t - gående från elevens anspråkslösa erfarenhetsvärld m e d dess måttliga och överskådbara t a l , för denna a r i t m e t i k h o n o m stegvis u t t i l l samhällets mera s t o r s t i l a d e k v a n t i t a t i v a för- hållanden. D e n för h o n o m också i n i d e t m o d e r n a samhällets finare m e k a n i s m . Bankväsendet, lånerörelsen, statens och k o m m u n e r n a s finansoperationer, försäkringsväsendet i n r y c - kas i arbetet. F l u k t u a t i o n e r n a , hela det levande samhälls- livets k v a n t i t a t i v a v a r i a b i l i t e t , de f u n k t i o n a l a s a m m a n - hangen k o m m a a t t invävas i hans erfarenhetsvärld. D e t är m e d en b e t y d a n d e f o n d a v fasta sociala i n s i k t e r h a n utgår ur en d y l i k u n d e r v i s n i n g . H a n för därjämte m e d sig den r i k - t i g a k v a n t i t a t i v a o r i e n t e r i n g i samhället, det k v a n t i t a t i v a o m d ö m e , som äger förmågan a t t inställa storleksförhållan- dena i deras r i k t i g a b e l y s n i n g och draga r i k t i g a slutsatser.
På d e t t a sätt ser n u icke skolans a r i t m e t i k u n d c r v i s n i n g
ut. D e n rör sig innanför den f o r m e l l a åskådningens galler.
Räknesätten, de f o r m e l l a o p e r a t i o n e r n a äro de primära.
V a d sedan det y m n i g a fältet av isolerade exempel v i d k o m - mer, så är d e t t a i n o r d n a t i det f o r m e l l a systemets schema.
Där finnes enkel och s a m m a n s a t t r e g u l a d e t r i , intresseräk- n i n g , rabatträkning, bolagsräkning, kedjeräkning och v a d a l l t dessa u r g a m l a skolastiska f o r m a t i o n e r heta.
N u är d e t det betänkliga, a t t dessa exempel, som i legio lösas a v s k o l b a r n e n , icke hålla inför en förnuftig k r i t i k . De äga en falsk a n s t r y k n i n g av v e r k l i g h e t , m e n en b l i c k i de d i g r a exempelböckerna är n o g för a t t m a n s k a l l inse, a t t de äro a r t i f i c i e l l a . De äga sålunda i n t e t socialt a k t u a l i t e t s i n t r e s - se. M e n saken är a l l v a r l i g a r e . De äro hopkonstruerade för a t t tjäna såsom s u b s t r a t för den f o r m e l l a exercisen. Därvid har i de flesta f a l l t a l m a t c r i a l e t s r e a l i t e t t i l l den grad fått träda i b a k g r u n d e n , a t t dessa exempel m e d sina befängda t a l u p p g i f t e r äro en bestämd fara för det k v a n t i t a t i v a v e r k - lighetssinnet. De ha m y c k e t l i t e t , i stor utsträckning i n g e n - t i n g alls m e d m a t e m a t i k e n s betydelse för samhället a t t skaffa. De färdigheter och t a n k e k o m b i n a t i o n e r de inträna äro också i s t o r t sett överflödiga.
I n o m skolans a l g e b r a u n d e r v i s n i n g är sakläget b e t y d l i g t a l l v a r s a m m a r e . Där har m a n t i l l s k a p a t sig e t t fält för an- vändningar, s o m i c k e finnas i v e r k l i g h e t e n . Jag tänker på de algebraiska problemen, som finnas i h u n d r a d e t a l i exempel- böckerna och v i d v i l k a eleverna i åratal kvarhållas. De äro på några enstaka u n d a n t a g när på s i n höjd a t t beteckna som något slags m a t e m a t i s k a skämtuppgifter som i n g e n t i n g ha med en a l l v a r l i g u n d e r v i s n i n g a t t skaffa. J a g behöver j u endast påminna o m f a m i l j e n , som löser en e k v a t i o n av andra graden för a t t bestämma f a m i l j e m e d l e m m a r n a s a n t a l och t r o t s d e t t a stannar i o k u n n i g h e t o m sakläget enär e k v a t i o - nen visar, a t t a n t a l e t är a n t i n g e n 5 eller 13, för a t t inställa hela denna t r a f i k i dess rätta p l a n . Dessa p r o b l e m ha t i l l - k o m m i t under den andfådda j a k t e n efter tillämpningar. D e t är endast skollärarne och deras elever, som syssla m e d d e m .
N u l i d e r algebraundervisningen a v e t t a n n a t grundväsent-
2 — Forskartnötet II
