Lösa problem Lösa Problem. förebyggande och stödjande metoder för ökad matematisk förståelse och högre måluppfyllelse

20  Download (0)

Full text

(1)

Lösa Problem

förebyggande och stödjande metoder för ökad matematisk förståelse och högre måluppfyllelse

2021-03-22 Johan Sidenvall

Upplägg

• Vanlig undervisning och problemet med den.

• Några av orsakerna till denna undervisning Bensträckare

• Hur man förändrar undervisningen

• Har eleverna lärt sig?

• Tid för frågor

• Lärare presenterar lösningsmetod av uppgiftstyp

• Eleverna räknar uppgifter

• Läraren går runt och hjälper

• Eleverna hjälper varandra

• Eleverna lär sig…

… just då i alla fall

Vanlig undervisning (förenklat och generaliserat)

2

(2)

• Matematikundervisning domineras av utantillinlärning och arbete med rutinuppgifter

• På bekostnad av undervisning där elever egna skapar lösningsmetoder (problemlösning)

• Trots lärandefördelar med undervisning där elever skapar egna lösningsmetoder (problemlösning)

(Boaler, 1998; 2014; Hiebert & Grouws, 2007; Schoenfeld 1985; 2018)

Problemet & utgångspunkt

Matematisk förståelse är att kunna ha rika kopplingar

3

Upplägg

Problemet och utgångspunkter

- Elevers svårigheter med matematik

Övergripande Anledningar

till elevers svårigheter

Orsaker till dessa övergripande

anledningar

Orsak 2

Orsak 3 Orsak

1

Åtgärder för minska elevers svårigheter

med matematik

Åtgärd 1

Åtgärd 2

Åtgärd 3

Tid för frågor Hur

göra

?

4

(3)

Varning!

• Det handlar inte kasta ut läroboken

• Det handlar inte om att inte lära sig utantill

• Det handlar inte om katederundervisning kontra flumpedagogik

"Varning –Livsfarlig ledning"bypellestenis licensedunderCC BY 2.0

5

Anledningar till traditionell undervisning lever kvar

1. Den imitativa undervisningstraditionen är stark (Banilower m fl 2006; Sam &

Ernest, 2000; Wiess & Pasley, 2004)

2.Det är förhållandevis enkelt att undervisa genom att visa

lösningsmetoder för elever (Ball, 1993, 2001; Leinhardt & Steele, 2005; Schoenfeld, 1998; Sherin, 2002; Tall, 1996)

3.Imitation av standardprocedurer är kortsiktigt "effektivt” (Lee m fl, 2014;

Lithner 2008; Jonsson m fl 2014; Ridlon, 2009)

4.Lärande via problemlösning kräver mer ansträngning från lärare och elever än lärande via imitation (Hiebert & Grouws, 2007; Stein m fl., 2008).

6

(4)

Om en uppgift är en problemuppgift avgörs av om eleven har tillgång till en lösningsmetod eller inte.

• Om lösningsmetoden är känd av eleven sedan tidigare är det ingen problemuppgift.

• Om lösningsmetoden ges av bok, lärare eller på annat sätt är det ingen problemuppgift.

• Ett ”lästal” är inte alltid (tom. sällan) en problemuppgift.

Vad som är en problemuppgift är relativt

7

När man sätter samman kvadrater i en rad ser det ut som i figuren till höger. Till 4 kvadrater i rad behövs 13 tändstickor:

Om x är antalet kvadrater som ska läggas i rad så kan man beräkna antalet tändstickor y med funktionen

Exempel: Om 4 kvadrater ska läggas i rad behövs y=3x+1=3·4+1=13 tändstickor.

Hur många tändstickor behövs för att få 100 kvadrater i rad?

y=3x+1

Imitera lösningsmetod

(Jonsson m. fl., 2014)

8

(5)

När man sätter samman kvadrater i en rad ser det ut som i figuren till höger. Till 4 kvadrater i rad behövs 13 tändstickor:

Om x är antalet kvadrater som ska läggas i rad så kan man beräkna antalet tändstickor y med funktionen

Exempel: Om 4 kvadrater ska läggas i rad behövs y=3x+1=3·4+1=13 tändstickor.

Hur många tändstickor behövs för att få 100 kvadrater i rad?

y=3x+1

Skapa lösningsmetod (problemuppgift)

(Jonsson m. fl., 2014)

9

Orsak 1 …

… varför undervisningen är som den är. Uppgifter

10

(6)

Resultat vid träning och test

11

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Imitationsuppgift Problemuppgifter Imiationsuppgift Problemuppgifter

Träningsresultat Testresultat

Andel korrekt svar

Rutinuppgift - imitera lösningsmetod

12

𝑥 6 = 5 𝑥

6 ∙ 6 = 5 ∙ 6 𝑥 = 30

Multiplicera båda leden med 6

𝑥 5 = 12

(Szabo m. fl., 2011)

(7)

Rutinuppgift - imitera lösningsmetod

13

(Alfredsson m. fl., 2011) Ett lån på 30 000 kr ska amorteras med tre lika stora belopp på tre år. Räntan är 5,20 %.

a) Rita och fyll i tabellen.

b) Vilket totalbelopp ska betalas till banken?

När Malin ska köpa sin första bil måste hon ta ett lån på 10 000 kr. Lånet ska betalas tillbaka på 4 år.

Varje år betalar hon tillbaka en fjärdedel av lånet. Vi säger att hon amorterar 2500 kr per år.

Räntan på Malins lån är 7,00 %.

Hur mycket mer än 10 000 kr kommer Malin att ha betalt banken när hela lånet är återbetalt?

Malin har betalat banken 1750 kr i räntekostnader.

Det motsvarar 17,5 % mer än det beloppet hon lånade

.

Problemuppgift - skapa lösningsmetod

Vilket av följande uttryck motsvarar figurens omkrets?

𝑎 + 𝑏 2𝑎 + 2𝑏 3𝑎 + 2𝑏 3𝑎 + 3𝑏 4𝑎 + 2𝑏 Motivera ditt svar i figuren och i ditt block.

Problemuppgift

En uppgift där uppgiftslösaren inte känner till

lösningsmetoden.

14

𝑥 5 = 12

a

b

(NP MaA VT2010, PRIM-gruppen, Stockholms universitet)

(8)

Internationell läroboksanalys

Resultat

• Relativt lika fördelning

• Mest problem- uppgifter bland de svårare uppgifterna

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Andel problemlösnings- och rutinuppgifter i 12 länder

GCMR LCMR AR

problemuppgifter Rutinuppgifter

(Jäder, Lithner & Sidenvall, 2020)

15

Orsak 1

Den typ av uppgifter som elever möter är sällan problemuppgifter; dvs. triggar sällan elever att

skapa lösningsmetoder

16

Matematisk förståelse är att

kunna ha rika kopplingar

(9)

Orsak 2 …

… till att undervisningen är som den är. Lärarens typ av hjälp

17

Lärarens typ av hjälp

Vad är 15% av 90?

90

·0.15 450 +90 13.50

18

(10)

Orsak 2

Sättet som läraren och hjälper elever och hur elever hjälper varandra leder inte till att elever behöver skapa lösningsmetoder i någon större utsträckning.

19

Matematisk förståelse är att kunna ha rika kopplingar

Orsak 3 …

… till att undervisningen är som den är. Uppfattningar som håller tillbaka eleven

20

(11)

• Det finns bara ett rätt sätt att lösa matematikuppgifter på – vanligtvis senaste regeln som läraren gått igenom med klassen.

• Vanliga elever kan inte förvänta sig att förstå matematik.

• Elever som har förstått den matematik som de arbetar med kommer att kunna lösa alla givna uppgifter på fem minuter eller snabbare.

• Den matematik som lärs ut i skolan har lite eller inget att göra med den riktiga världen.

(Schoenfeld, 1992)

Uppfattningar om matematik

21

Studie – Uppfattningar, resultat

Indikerade uppfattningar

Lösningsstrategi

Teman Exempel

Förväntningar “Jag vet bara hur man gör om det är vanliga figurer” Imitera metod

Motivation “Sånt här kan inte jag” Imitera metod

Säkerhet “Jag är osäker när jag måste tänka annorlunda” Imitera metod

“Jag är osäker om det är rätt” Skapa metod

22

(Jäder, Sidenvall & Sumpter, 2015)

(NP MaA VT2010, PRIM-gruppen, Stockholms universitet)

a

b

(12)

Orsak 3

Elevers uppfattningar av vad som är matematik och deras inställning till deras förmåga, gör att det väljer

att inte skapa lösningsmetoder

23

Matematisk förståelse är att kunna ha rika kopplingar

Orsaker till traditionell undervisning lever kvar

1. Den imitativa undervisningstraditionen är stark (Banilower m fl 2006; Sam & Ernest, 2000; Wiess & Pasley, 2004) 2.Det är förhållandevis enkelt att undervisa genom att

visa lösningsmetoder för elever (Ball, 1993, 2001; Leinhardt

& Steele, 2005; Schoenfeld, 1998; Sherin, 2002; Tall, 1996) 3.Imitation av standardprocedurer är kortsiktigt

"effektivt” (Lee m fl, 2014; Lithner 2008; Jonsson m fl 2014;

Ridlon, 2009)

4.Lärande via problemlösning kräver mer ansträngning från lärare och elever än lärande via imitation (Hiebert &

Grouws, 2007; Stein m fl., 2008).

Vad föreslår forskning att man ska göra?

24

(13)

När ses vi igen?

25

Åtgärder

1. Rätt uppgifter 2. Rätt hjälp

3. Rätt infrastruktur

26

Orsaker

1. Uppgifter som elever jobbar med

2. Den hjälp som lärare ger 3. Elevernas uppfattningar

om matematik

(14)

Åtgärd 1 – rätt angreppssätt till uppgifter

1. Läraren talar om lösningsmetoden:

”Räkna antalet sidor, subtrahera med 2, multiplicera med 180.

2. Läraren bjuder in eleverna får undersöka själva komma fram till en lösningsmetod

I framgångsrika länder används majoritet av lektionstiden till problemlösning (Hiebert m. fl., 2003) STRUGGLE

27

UPPGIFT

Hur beräknas vinkelsumman i en månghörning?

• Läraren beskriver målet, men inte metoden

• Eleverna arbetar utan lärarens inblandning Adidaktisk situation (Brousseau,1997)

Pilot studie ekvationer, åk 6-7

Lärandemål: generell lösningsmetod för typen ekvationer 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐

28

(15)

Pilot studie – Uppgiftsdesign, resultat

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Imitation & skapa metod, tränings- och testresultat

Imitationsmetod Skapa lösningsmetod

29

Åtgärd 2 – rätt hjälp

30

(16)

Alternativ 1: ge lösningsmetoden

Alternativ 2: låta eleven fortsätta att skapa lösningsmetoden genom att ge rätt hjälp

• Måste ta reda på var eleven befinner sig i problemlösningsprocessen

• Ge en återkoppling som matchar svårigheten

Hur kan man hjälpa elever att skapa lösningsmetod trots att hen har kört fast?

31

Ställa undersökande frågor

• Lägg inte ut brödsmulor – lotsa mindre

• Stödja genom frågor

• Hur?

• Varför?

• Efterfråga de matematiska argumenten

• Formativ återkoppling

• Eleven ges agens

Nivå 0: Rätt/fel frågor. Korta elevsvar. Läraren kan också ge svaren.

Nivå 1: Frågor som till viss del efterfrågar elevernas tänkande. Läraren kan fylla på en förklaring. Eleverna ger korta beskrivningar av deras tänkande utifrån lärarens frågor.

Nivå 2: lärarens ställer undersökande frågor för att mer förstå elevernas tänkande. På eget initiativ djupar eleverna sina svar. Eleverna börjar försvara sina svar.

Nivå 3: Läraren följer noggrant elevens svar.

Eleven försvarar och motiverar sitt svar med endast lite stöd av läraren.

(Hufford, Fuson & Sherin, 2014)

32

(17)

Åtgärd 3 – rätt infrastruktur

33

Åtgärd 3 – rätt infrastruktur

Undervisning som kopplar ihop och motiverar matematiken

• Rika möjligheter att göra kopplingar mellan begrepp och metoder

• Efterfråga och skapa förutsättningar för resonemang

• Problemlösning ☺

34

Matematisk förståelse är att

kunna ha rika kopplingar

(18)

Åtgärd 3 – rätt infrastruktur

Undervisning som aktivt stödjer att alla elever ges tillgång till stoffet

• Engagera eleverna att dela sina matematiska idéer

• Urval och sekvensering av helklassdiskussioner

• Skapa diskurs som gör elever till agenter

(NCTM, 2014)

35

Vid helklassdiskussioner 1. Förutse svårigheter 2. Monitorerna arbete 3. Välja lösningar

4. Sekvensera lösningar 5. Koppla lösningar med

matematiska idéer

5 undervisningspraktiker, (Natur & Kultur)

Hur jag märker att något har hänt?

Vad säger eleverna?

1 4 + 2

3

Vad säger inte eleverna?

Ställer färre, men mer reflekterande frågor Klarar av nya typer av uppgifter

36

(19)

Ja, ok… men hur?

• Lärare har svårt att förändra undervisningen om man inte ges goda förutsättningar för det.

(Hiebert, 2003)

• Det kan handla om att få tillräckligt med tid till

utvecklingsarbete, men även ämnesspecifikt kunskapsstöd från forskning och beprövad och erfarenhet samt möjlighet att göra utvecklingen tillsammans med kollegor.

(Desimone, 2009)

• Utvärdering av Matematiklyftet visade att undervisningen förbättrades under det år som skolornas matematiklärare deltog i matematiklyftet, men denna förbättring planade ut året efter lärarna deltagit matematiklyftet

(Österholm m fl., 2016).

Alltså: lärare ska vara i en lärande organisation - ständigt

37

Tack

johan.sidenvall@umu.se johan.sidenvall@hudiksvall.se www.diva-portal.org, ”johan sidenvall 2019”

http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:umu:diva-157557

Tid för frågor

38

(20)

Referenser

Ball, D. (1993). With an eye on the mathematical horizon: dilemmas of teaching elementary school mathematics. The Elementary School Journal, 93(4), 373-397. doi:10.1086/461730

Ball, D. (2001). Teaching with respect to mathematics and students. I T. Wood, B. S. Nelson, & J. Warfield (red.), Beyond classical pedagogy: teaching elementary school Mathematics. Studies in mathematical thinking and learning series (s. 11-22). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Banilower, E. R., Boyd, S. E., Pasley, J. D., & Weiss, I. R. (2006). Lessons from a decade of mathematics and science reform: a capstone report for the local systemic change through teacher enhancement initiative. Horizon Research.

Boaler, J. (1998). Open and closed mathematics: student experiences and understandings. Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 41-62. doi:10.2307/749717 Boaler, J. (2014). The road to reasoning. I K. Brodie (red.), Teaching mathematical reasoning in secondary school classrooms (s. v-vii): Springer. Hämtad frånhttp://ebookcentral.proquest.com.

Brousseau, G. (1997). Theory of didactical situations in mathematics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Desimone, M. (2009) Improving impact studies of teachers’ professional development: Toward better conceptualizations and measures. Educational researcher 38(3), 181- 199. doi: 10.3102/0013189X08331140

Hiebert, J. (2003). What research says about the NCTM standards. I J. Kilpatrick, W. G. Martin, & D. Schifter (red.), A research companion to principles and standards for school mathematics (s. 5-23). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Hiebert, J., Gallimore, R., Garnier, H., Givven, K. B., Hollingsworth, H., Jocobs, J., . . . Stigler, J. W. (2003). Teaching mathematics in seven countries: results from the TIMSS 1999 video study. Hämtad från http://nces.ed.gov

Hiebert, J., & Grouws, D. A. (2007). The effects of classroom mathematics teaching on students' learning. I F. K. Lester (red.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning: a project of the National Council of Teachers of Mathematic s (vol. 1, s. 371-404). Charlotte, NC: Information Age Publishing.

Hufferd-Ackles, K., Fuson, K. C., & Sherin, M (2014). Describing Levels and Components of a Math-Talk Learning Community. I E. A. Silver & P. A. Kenney (red.) Lessons learned from research. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics, 2014.

Jonsson, B., Norqvist, M., Lithner, J., & Liljekvist, Y. (2014). Learning mathematics through algorithmic and creative reasoning. The Journal of Mathematical Behavior, 36, 20-32. doi:10.1016/j.jmathb.2014.08.003 Leinhardt, G., & Steele, M. D. (2005). Seeing the complexity of standing to the side: instructional dialogues. Cognition and Instruction, 23(1), 87-163. doi:10.1207/s1532690xci2301_4

NCTM. (2014). Principles to actions: ensuring mathematical success for all. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Lee, N. H., Yeo, D. J. S., & Hong, S. E. (2014). A metacognitive-based instruction for primary four students to approach non-routine mathematical word problems. ZDM – Mathematics Education, 46(3), 465-480. doi:10.1007/s11858-014-0599-6 Lithner, J. (2008). A research framework for creative and imitative reasoning. Educational Studies in Mathematics, 67(3), 255-276. doi:10.1007/s10649-007-9104-2

Ridlon, C. L. (2009). Learning mathematics via a problem-centered approach: a two-year study. Mathematical Thinking and Learning, 11(4), 188-225. doi:10.1080/10986060903225614 Sam, L. C., & Ernest, P. (2000). A survey of public images of mathematics. Research in Mathematics Education, 2(1), 193-206. doi:10.1080/14794800008520076

Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving. Orlando: Academic Press.

Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. I D. A. Grouws (Red.), Handbook for research on mathematics teaching and learning (s. 334-370). New York, NY: Macmillan.

Schoenfeld, A. H. (1998). Toward a theory of teaching-in-context. Issues in Education, 4(1), 1-94. doi:10.1016/S1080-9724(99)80076-7

Schoenfeld, A. H. (2018). Video analyses for research and professional development: The teaching for robust understanding (TRU) framework. ZDM – Mathematics Education, 50(3), 491-506. doi:10.1007/s11858-017-0908-y Sherin, M. G. (2002). When teaching becomes learning. Cognition and Instruction, 20(2), 119-150. doi:10.1207/S1532690XCI2002_1

Smith, M., & Stein, M. (2014). 5 undervisningspraktiker i matematik: för att planera och leda rika matematiska diskussioner: med handledning för fortbildnin g. Natur & kultur.

Stein, M. K., Engle, R. A., Smith, M. S., & Hughes, E. K. (2008). Orchestrating productive mathematical discussions: five practices for helping teachers move beyond show and tell. Mathematical Thinking and Learning, 10(4), 313-340. doi:10.1080/10986060802229675 Tall, D. (1996). Functions and calculus. I A. J. Bishop (red.), International handbook of mathematics education (s. 289-325). Dordrecht: Kluwer.

Weiss, I. R., & Pasley, J. D. (2004). What is high-quality instruction? Educational Leadership, 61(5), 24.

39

Figure

Updating...

References

Related subjects :