EuKlides Elementa, 4,5 hp

Full text

(1)

EuKlides Elementa, 4,5 hp

LIB120 Fredrik Engström

2021

(2)

Ett uppslag med manteckningar från den första tryckta upplagan av Euklides Elementa, tryckt av Erhard Ratdolt 1482

Euclid (author), Erhard Ratdolt (printer) / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

(3)

IntRo

▶ Fredrik Engström, fredrik.engstrom@gu.se, 031–786 6335, C508

▶ Canvas: https://canvas.gu.se/courses/44173

▶ Efter avslutad kurs ska studenten kunna redogöra för

grundläggande satser och bevis i axiomatisk euklidisk geometri.

Delkursen tar sin utgångspunkt i Euklides klassiska verk ”Elemen- ta”. Studenterna introduceras till grundläggande geometri, dels som ett exempel på ett axiomatiskt system, och dels som förberedelse för kommande kurser om astronomi och fysik. På originalspråk används verket dessutom för att introducera programmets studier i grekiska.

(4)

FÖRhistoRia

▶ Geometri från geo (jord) och metrein (mäta).

▶ Babylonsk och egyptisk geometri kunde beräkna volym och areor av rektanglar, trianglar, pyramider, osv. Empirisk vetenskap.

▶ Thales (500-talet fvt): Varför? Härledde påståenden från andra påståenden.Deduktiv vetenskap.

▶ Pythagoras fortsatte Thales arbete med att göra geometrin deduktiv.

▶ Aristoteles (300-talet fvt): En deduktiv teori måste bygga på en axiomatisering. Logikens grundare.

(5)

AxiomatisKa metoden

▶ Enligt Aristoteles:

▶ Primitiva begrepp

▶ Axiom (eller postulat)

▶ Alla andra begrepp definieras utifrån primitiva begrepp

▶ Alla andra påståenden härleds ur axiomen

▶ Den axiomatiska metoden definierar inte (de primitiva) begreppen, den beskriver dem.

▶ En axiomatisering tar ofta sininspirationfrån verkliga världen, men utgör i strikt meningen snarare ett “logiskt spel”

▶ Axiomen tidigare sanna, idag snarare konsistenta.

(6)

Elementa

▶ Aristoteles axiomatiserade aldrig geometrin.

▶ Euklides (300-talet fvt) gjorde det genom Elementa.

▶ Visade att komplexa matematiska samband kan härledas ur enkla “självklara” axiom.

▶ Standardverk i mer än 2000 år.

▶ 13 band eller böcker.

▶ Inordnar tidigare kända resultat i ett logiskt, axiomatiskt, system.

▶ Första boken behandlar trianglar, parallella linjer och parallellogram.

(7)

AllmÄnna axiom

1. Storheter som är lika med en och samma storhet är också inbördes lika.

2. Om lika storheter adderas till lika storheter så är summorna lika.

3. Om lika storheter subtraheras från lika storheter så är skillnaderna lika.

4. Storheter som sammanfaller med varandra är lika.

5. Det hela är större än sina delar.

(8)

Postulat

1. Man kan dra en (unik) sträcka mellan varje par av punkter.

2. Varje sträcka kan (på ett unikt sätt) förlängas till en linje.

3. Man kan beskriva en cirkel med godtycklig medelpunkt och godtycklig radie.

4. Alla räta vinklar är lika.

5. Om en linje skär två linjer så att summan av två inre vinklar på samma sida om den skärande linjen är mindre än två räta vinklar, så skär de två linjerna varandra på den sida där de båda vinklarna ligger.

(9)

PRopositioneR

1. Att konstruera en liksidig triangel med en given sträcka som bas (är möjligt).

2. Att konstruera en sträcka lika med en given sträcka och med en given punkt som ändpunkt.

3. Att avskära en sträcka som är lika med en given sträcka från en given längre sträcka.

(10)

Den axiomatisKa metoden

▶ Odefinierade termer.

▶ Axiom: “självklara sanningar” eller motsägelsefria påstånden.

▶ Satser: Påståenden som följer logiskt från axiomen. (jmf ND) I någon mening handlar inte ett axiomatiskt system om något speciellt. Snarare ett “logiskt spel”.

Axiomatisk geometri kan sägas varainspireradav en idealiserad verklighet, men huruvida ett påstående följer från axiomen har inte med verkligheten att göra.

(11)

Ett exempel pÅ ett axiomatisKt system

Odefinierade termer:punktochlinje.

A1: Varje linje är en samling (mängd av) punkter.

A2: Det finns minst två punkter.

A3: Om A och B är olika punkter finns exakt en linje som innehåller A och B.

A4: Om a är en linje finns en punkt som inte tillhör a.

A5: Om a är en linje och A en punkt som inte tillhör a så finns exakt en linje som innehåller A och är parallell med a.

Definition: a och b är parallella linjer om de inte innehåller någon gemensam punkt, dvs a∩ b = ∅.

(12)

ModelleR

Ett första försök:

▶ Tre punkter: A, B, C

▶ Linje = par av punkter: {A, B}, {B, C}, {A, C}

▶ Alla axiom utom A5 är sanna.

Modifierat försök:

▶ Fyra punkter: A, B, C, D

▶ Linje = par av punkter:

{A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C}, {B, D}, {C, D}

▶ Alla axiom är sanna.

Figur

Updating...

Relaterade ämnen :