2 1 sin 4 45

(1)

Formelblad, Matematisk analys, HF1905 (och HF1903, Ten2), Bygg och design Ver. Sep. 2018

FORMELBLAD

Matematisk analys, Bygg och design TRIGONOMETRISKA FORMLER

1.

2 1 sin6 30

sin °= π =

16.

sin²α+cos²α =1

2. 2 1 sin 4 45

sin ° = π = 17.

) cos(

) ) sin(

tan( α

α = α ,

) sin(

) ) cos(

cot( α

α = α

3.

2 3 sin3 60

sin °= π =

18.

^cos(^{α β}⁺ ⁾⁼^{cos cos}^α ^β⁻^{sin sin}^α ^β

4.

2 3 cos6 30

cos °= π =

19.

^cos(^{α β}⁻ ⁾⁼^{cos cos}^α ^β⁺^{sin sin}^α ^β

5.

2 1 cos4 45

cos °= π =

20.

^sin(^{α β}⁺ ⁾⁼^{sin cos}^α ^β⁺^{cos sin}^α ^β

6.

2 1 cos3 60

cos °= π =

21.

^sin(^{α β}⁻ ⁾⁼^{sin cos}^α ^β⁻^{cos sin}^α ^β

7.

3 1 tan6 30

tan °= π =

22.

_tan( ₎ ^tan ^tan

tan tan

α β α β

α β

+ = +

− ⋅

1

8.

₁

tan 4 45

tan °= π =

23.

_tan( ₎ ^tan ^tan

tan tan

α β α β

α β

− = −

+ ⋅

1

9.

₃

tan3 60

tan °= π =

24.

sin2θ=2sinθ⋅cosθ

10.

^cos(^{− =}^θ⁾ ^cos^θ

25.

1 cos 2 sin

2 1

sin cos 2

cos

2 2

−

=

−

=

−

=

θ θ

θ θ θ

11.

^sin(^{− = −}^θ⁾ ^sin^θ

26.

tan tan

2 2tan

1 ²

θ θ

= θ

−

12.

^tan(^{− = −}^θ⁾ ^tan^θ

27.

^cos^θ⁼^x ^⇔ ^θ⁼^±^arccos^x⁺ⁿ^⋅²^π

13.

^cot(^{− = −}^θ⁾ ^cot^θ

28.

^sin^θ =x ⇔ ^θ1=^arcsinx+n⋅²^π^; ^θ2 =^π−^arcsinx+n⋅²^π

14.

_cos(^π _θ₎ _sin_θ

2− =

29.

^tan^θ⁼^x ^⇔ ^θ⁼^arctan^x⁺ⁿ^⋅^π

15.

_sin(^π _θ₎ _cos_θ

2− =

30

^cot^θ ⁼^x ^⇔ ^θ⁼^arc^cot^x⁺ⁿ^⋅^π

DERIVERINGSREGLER

konstanter b

a, , )

( af + bg ′ = a f ′ + b g ′ , f = f ( x ), g = g ( x )

( fg ′) = f ′ g + f g ′

₂

g g f g f g

f ′ − ′

=

′

 

 





KEDJEREGELN. Om f och g är deriverbara så är också f g x[ ( )] deriverbar och

[ ( ) ] ( ) )]

(

[ g x f g x g x

dx f

d = ′ ⋅ ′

dvs

dx dz dz dy dx

dy = ⋅

då y= ( )f z ^ochz= ( )g x ^.

NÅGRA REGLER FÖR INTEGRERING PARTIELL INTEGRATION

∫

∫ ^f ⁽ ^x ⁾ ^g ^′ ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ^f ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ⁾ ⁻ ^f ^′ ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ⁾ ^dx

[ ] ∫

∫ ^′ ⁼ ⁻

^b

^′

a b a b

a

dx x g x f x

g x f dx x g x

f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sida 1 av 4

(2)

INTEGRATION GENOM SUBSTITUTION

[ ] ∫

∫ ^f ^g ⁽ ^x ⁾ ^⋅ ^g ^′ ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ^ ^ _ _dt ^t ⁼ ₌ ^g _g ⁽ ^x _′ ₍ ⁾ _x ₎ _dx ^ _ ^ ⁼ ^f ⁽ ^t ⁾ ^dt

[ ] ∫

∫ ^⋅ ^′ ⁼ _ ^ ^ ⁼ ₌ _′ ⁼ ₌ _⇒ ^⇒ ⁼ ₌ ^ ^ _ ⁼

⁽ ⁾

) (

) ) (

( ) ( )

( ) ) (

( ) (

b g

a g b

a

dt t b f

g t b x

a g t a x dx x g dt

x g dx t

x g x g f

NÅGRA OBESTÄMDA INTEGRALER

40. , 1

1

+ ≠ −

= +

∫ ^x

ⁿ

^dx _n ^x

ⁿ⁺

^C ⁿ ^49. ∫ _sin ^dx _ax ⁼ _a ¹ ^ln ^| ^tan ^ax ₂ ^| ⁺ ^C

41. ∫ ^e

^ax⁺^b

^dx ⁼ ^e

^ax

_a

⁺^b

⁺ ^C ^50. ^∫ ^  ⁺

 



 +

= ax C

a ax

dx |

4 tan 2

| 1 ln cos

π 42. ∫ ^a

^x

^dx ⁼ _ln ^a

^x

_a ⁺ ^C

⁽ ⁰ ^{< ≠} ^a ¹ ⁾

^51. x ^dx a a

x a C

2 2

1 + = +

∫ ^arctan

43. ∫ ^cos( ^ax ⁺ ^b ⁾ ^dx ⁼ ^sin( ^ax _a ⁺ ^b ⁾ ⁺ ^C ^52. ∫

_x²^dx₋_a² ⁼₂¹_a^ln^|_x^x⁻₊^a_a^|⁺^C

44. ∫ ^sin( ^ax ⁺ ^b ⁾ ^dx ⁼ ⁻ ^cos( _a ^ax ⁺ ^b ⁾ ⁺ ^C ^53. ∫

_a²^dx₋_x² ⁼₂¹_a^ln^|_a^a⁺₋^x_x^|⁺^C

45. ∫ _ax ¹ ₊ _b ^dx ⁼ ^ln ^| ^ax _a ⁺ ^b ^| ⁺ ^C ^54. ∫ ₊ ⁼ ^x ⁺ ^x ⁺ ^a ⁺ ^C

a x

dx ln |

²

|

2

46. ′

= +

∫ ^{f x} _{f x} _{( )} ^{( )} ^dx ^{ln ( )} ^{f x} ^C ^55. ∫ ₋ ⁼ _a ^x ⁺ ^C

x a

dx arcsin

2 2

47. ∫ _sin ^dx

²

_x ⁼ ⁻ ^cot ^x ⁺ ^C ^56. ∫ ^e

^ax

^sin ^bx ^dx ⁼ _a

²

^e ₊

^ax

_b

²

⁽ ^a ^sin ^bx ⁻ ^b ^cos ^bx ⁾ ⁺ ^C

48. ^dx

x x C

cos

₂

= tan +

∫ ^57. ∫ ^e

^ax

^cos ^bx ^dx ⁼ _a

²

^e ₊

^ax

_b

²

⁽ ^a ^cos ^bx ⁺ ^b ^sin ^bx ⁾ ⁺ ^C

---

Taylors formel av ordning n kring punkten a för en envariabelfunktion , y = f (x ) , är

. och a mellan ligger som ett tal är och ) )! (

1 (

) där (

)

! ( ) ... (

)

! ( 3

) ) (

! ( 2

) ) (

)(

( ) ( ) (

1 )

1 (

) ( 3

2

x c

a n x

c R f

R a n x

a a f

a x a f

x a f a f x f

n n

+ +

+ −

=

+

− +

+

′′′ − +

′′ − +

′ − +

=

Taylors formel (eller Taylors utveckling) av första ordningen kring punkten )

,..., ,

( a

₁

a

₂

a

_n

A = för en flervariabel funktion, y = f ( x

₁

, x

₂

,..., x

_n

) , är

R a x x A

a f x x A

A f f

x x x f

n n n

n

+

−

∂ ⋅ + ∂ +

−

∂ ⋅ + ∂

−

∂ ⋅ + ∂

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) ,..., , (

2 2 2

1 1 1

2 1



Felfortplantningsformeln:

|

| ) (

|

| ) (

|

| ) (

|

₂

2 1

~ 1 n

n

x x A

x f x A

f f ⋅ ∆

∂ + ∂ +

∆

∂ ⋅ + ∂

∆

∂ ⋅

< ∂

∆ 

Sida 2 av 4

(3)

Sida 3 av 4

Lokala extremvärden för funktioner av två variabler

Låt 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) vara en funktion från ett område D i 𝑅𝑅² till R. Låt (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) vara en inre punkt av D. Vi säger att punkten (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) är stationär om

𝑓𝑓𝑥𝑥′(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 0 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑓𝑓𝑦𝑦′(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) = 0.

Låt (𝑎𝑎, 𝑏𝑏) vara en stationär punkt och

𝐴𝐴 = 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥′′(𝑎𝑎, 𝑏𝑏), 𝐵𝐵 = 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦𝑦′′(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝐶𝐶 = 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦′′(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) Punktens karaktär bestäms då med hjälp av följande tabell:

𝐴𝐴𝐶𝐶 − 𝐵𝐵² 𝐴𝐴 Punktens karaktär

> 0 > 0 minimum

> 0 < 0 maximum

< 0 sadelpunkt

0 annan metod måste tillämpas

****************************************************************

Dubbelintegral

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

≝_max lim

𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑(𝐷𝐷_𝑖𝑖)→0� 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑑𝑑, 𝑦𝑦𝑑𝑑)𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎𝐴𝐴(𝐷𝐷𝑑𝑑)

𝑑𝑑

Beräkning av dubbelintegraler genom itererad (upprepad) integration ---

𝐷𝐷

= � 𝑑𝑑𝑥𝑥 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦

𝑢𝑢2(𝑥𝑥)

𝑢𝑢1(𝑥𝑥) 𝑏𝑏

𝑑𝑑

---

𝐷𝐷

= � 𝑑𝑑𝑦𝑦 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥

𝑣𝑣2(𝑦𝑦)

𝑣𝑣1(𝑦𝑦) 𝑑𝑑

𝑐𝑐

--- Samband mellan rektangulära och polära koordinater Substitution:

𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑟𝑟𝐴𝐴𝑟𝑟 , 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝑑𝑑𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥²+ 𝑦𝑦²= 𝐴𝐴²)

𝐷𝐷

= � 𝑑𝑑𝑟𝑟 � 𝑓𝑓(𝐴𝐴𝑜𝑜𝑜𝑜𝑟𝑟𝑟𝑟, 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑟𝑟𝐴𝐴𝑟𝑟) ∙ 𝐴𝐴 ∙ 𝑑𝑑𝐴𝐴

𝑟𝑟2(𝜃𝜃)

𝑟𝑟1(𝜃𝜃) 𝜃𝜃2

𝜃𝜃1

(4)

D Z=f(x,y) z

x

y D

x y

Några tillämpningar av dubbelintegraler Geometri

Arean A av ett plant område, xy koordinater 𝐴𝐴 = � 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

Arean A av ett plant område, polära koordinater 𝐴𝐴 = ∬ 𝐴𝐴𝑑𝑑𝐴𝐴𝑑𝑑𝑟𝑟 = ∫ 𝑑𝑑𝑟𝑟 ∫_𝐷𝐷 _𝜃𝜃1^𝜃𝜃2 _{𝑟𝑟1(𝜃𝜃)}^{𝑟𝑟2(𝜃𝜃)}𝐴𝐴 ∙ 𝑑𝑑𝐴𝐴

Volymberäkning:

Volymen V av området 0 ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷 𝑉𝑉 = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

Volymen V av området 𝑓𝑓₁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ≤ 𝑧𝑧 ≤ 𝑓𝑓2(𝑥𝑥, 𝑦𝑦), (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ 𝐷𝐷

𝑉𝑉 = �[𝑓𝑓2(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) − 𝑓𝑓1(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)]𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

Mekanik

Koordinaterna för

tyngdpunkten för ett plant område

𝑥𝑥𝑐𝑐= 1

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎𝐴𝐴(𝐷𝐷)� 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

𝑦𝑦_𝑐𝑐 = 1

𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝑎𝑎𝐴𝐴(𝐷𝐷)� 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

Yttröghetsmoment för ett plant område 𝐼𝐼𝑥𝑥 = � 𝑦𝑦²𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

[Yttröghetsmoment med avseende på x − axeln]

𝐼𝐼𝑦𝑦= � 𝑥𝑥²𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

[Yttröghetsmoment med avseende på y − axeln]

𝐼𝐼₀= 𝐼𝐼_𝑥𝑥+ 𝐼𝐼_𝑦𝑦= � 𝐴𝐴²𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦

𝐷𝐷

= � 𝐴𝐴³𝑑𝑑𝐴𝐴𝑑𝑑𝑟𝑟

𝐷𝐷

[Yttröghetsmoment kring origo (polär tröghetsmoment)]

D

f2(x,y)

f1(x,y)

x z

y

Sida 4 av 4

2 1 sin 4 45

FORMELBLAD

1.

16.

2.

2 1 sin 4 45

sin ° = π = 17.

) cos(

) ) sin(

tan( α

α = α ,

) sin(

) ) cos(

cot( α

α = α

3.

18.

4.

19.

5.

20.

6.

21.

7.

22.

8.

23.

9.

24.

10.

25.

11.

26.

12.

27.

13.

28.

14.

29.

15.

30

konstanter b

a, , )

( af + bg ′ = a f ′ + b g ′ , f = f ( x ), g = g ( x )

( fg ′) = f ′ g + f g ′

g g f g f g

f ′ − ′

=

′

 

 





[ ( ) ] ( ) )]

(

[ g x f g x g x

dx f

d = ′ ⋅ ′

dx dz dz dy dx

dy = ⋅

∫

∫ f ( x ) g ′ ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) − f ′ ( x ) g ( x ) dx

[ ] ∫

∫ ′ = −

′

dx x g x f x

g x f dx x g x

f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sida 1 av 4

[ ] ∫

∫ f g ( x ) ⋅ g ′ ( x ) dx =    dt t = = g g ( x ′ ( ) x ) dx    = f ( t ) dt

[ ] ∫

∫ ⋅ ′ =    = = ′ = = ⇒ ⇒ = =    =

) ) (

( ) ( )

( ) ) (

( ) (

dt t b f

g t b x

a g t a x dx x g dt

∫ ^f ⁽ ^x ⁾ ^g ^′ ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ^f ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ⁾ ⁻ ^f ^′ ⁽ ^x ⁾ ^g ⁽ ^x ⁾ ^dx

∫ ^′ ⁼ ⁻

^′

∫ ^f ^g ⁽ ^x ⁾ ^⋅ ^g ^′ ⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ^ ^ _ _dt ^t ⁼ ₌ ^g _g ⁽ ^x _′ ₍ ⁾ _x ₎ _dx ^ _ ^ ⁼ ^f ⁽ ^t ⁾ ^dt

∫ ^⋅ ^′ ⁼ _ ^ ^ ⁼ ₌ _′ ⁼ ₌ _⇒ ^⇒ ⁼ ₌ ^ ^ _ ⁼

∫ ^x

^dx _n ^x

^C ⁿ ^49. ∫ _sin ^dx _ax ⁼ _a ¹ ^ln ^| ^tan ^ax ₂ ^| ⁺ ^C

41. ∫ ^e

^dx ⁼ ^e

_a

⁺ ^C ^50. ^∫ ^  ⁺

π 42. ∫ ^a

^dx ⁼ _ln ^a

_a ⁺ ^C

⁽ ⁰ ^{< ≠} ^a ¹ ⁾

^51. x ^dx a a

∫ ^arctan

43. ∫ ^cos( ^ax ⁺ ^b ⁾ ^dx ⁼ ^sin( ^ax _a ⁺ ^b ⁾ ⁺ ^C ^52. ∫

44. ∫ ^sin( ^ax ⁺ ^b ⁾ ^dx ⁼ ⁻ ^cos( _a ^ax ⁺ ^b ⁾ ⁺ ^C ^53. ∫

45. ∫ _ax ¹ ₊ _b ^dx ⁼ ^ln ^| ^ax _a ⁺ ^b ^| ⁺ ^C ^54. ∫ ₊ ⁼ ^x ⁺ ^x ⁺ ^a ⁺ ^C

∫ ^{f x} _{f x} _{( )} ^{( )} ^dx ^{ln ( )} ^{f x} ^C ^55. ∫ ₋ ⁼ _a ^x ⁺ ^C

47. ∫ _sin ^dx

_x ⁼ ⁻ ^cot ^x ⁺ ^C ^56. ∫ ^e

^sin ^bx ^dx ⁼ _a

^e ₊

_b

⁽ ^a ^sin ^bx ⁻ ^b ^cos ^bx ⁾ ⁺ ^C

48. ^dx

∫ ^57. ∫ ^e

^cos ^bx ^dx ⁼ _a

^e ₊

_b

⁽ ^a ^cos ^bx ⁺ ^b ^sin ^bx ⁾ ⁺ ^C