• No results found

(1p) Lösningsförslag: Ej separabel (och inte linjär heller)! Rätt svarsalternativ: e a 2 y 2 y x x C1 b x x 1 y2 y C1 c x x y2 y C1 d x x 2 y2 y C1 e Inget av a till d

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(1p) Lösningsförslag: Ej separabel (och inte linjär heller)! Rätt svarsalternativ: e a 2 y 2 y x x C1 b x x 1 y2 y C1 c x x y2 y C1 d x x 2 y2 y C1 e Inget av a till d"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

MA2018 Tillämpad Matematik III-ODE, 4.0hp, 2021-08-09 Hjälpmedel: Penna, radergummi och linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet!

Tentamen består av 20 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag!

Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell.

Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...".

För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen.

Lycka till! Bertil Del A

10 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica.

1. Separera y2y' x 2 y. (1p)

Lösningsförslag: Ej separabel (och inte linjär heller)!

Rätt svarsalternativ: e a 2 y 2 y x x C1 b x x 1 y2 y C1

c x x y2 y C1 d x x 2 y2 y C1 e Inget av a till d.

2.Lös differentialekvationen x3 xy y' 5. (1p)

Lösningsförslag: Separabel, x3 xy y' 5 5x x2 y y' 5x x2 x y y C1 5ln x 13x3 12y2 C1.

Rätt svarsalternativ: a a 5ln x 13x3 12y2 C1 b 5x x3 12y2 C1

c 5ln x x3 12y2 C1 d 5x 2 13x3 y2 C1 e Inget av a till d.

3.Lös differentialekvationen x2y' 1 1 y'. (1p)

Lösningsförslag: Separabel, x2y' 1 1 y'1 x2y' 2 y 1 x22 x C1 y 2arctan x C1. DSolvex2y ' x 1 1 y ' x , y x , x

y x c1 2 tan 1x

Rätt svarsalternativ: c a y 2lnx2 1 C1 b y 2ln x C1

c y 2arctan x C1 d y 2arctanx2C1 e Inget av a till d.

4. Lös differentialekvationen x y' 4y x2. (1p)

Lösningsförslag: Linjär, x y' 4y x2 y' 4xy x, med 4x x 4ln x lnx4 x 4, så xx 4yx 4x Separabel

x 4yx 3 x C1 x 4y 3 11 x 3 1 C1 y 12x2 C1x4. DSolvex y ' x 4 y x x2, y x , x

y x c1x4 x2 2

Rätt svarsalternativ: d a y C1x 4 16x2 b y C1x4 12x c y C1x3 12x2 d y C1x4 12x2 e Inget av a till d.

5.Lös differentialekvationen y' y 2x. (1p)

Lösningsförslag: Linjär med 1 x x, så x xy x 2x xy x x xy x C1 y 2x C1 x. DSolvey ' x y x 2 x, y x , x

y x c1 x 2 x

Rätt svarsalternativ: a a y 2x C1 x b y 13 2x C1 x c y 13 x C1 x d y 12 2x C1 x e Inget av a till d.

(2)

6. Lös differentialekvationen tan x y' y 1. (1p)

Lösningsförslag: Linjär, y' tan x1 y tan x1 , med tan x1 x cos xsin x x ln sin x sin x , så x sin x y sin xtan x sin x y cos x x C1 sin x y sin x C1 y 1 sin xC1 .

DSolve Tan x y ' x y x 1, y x , x Simplify

y x c1

sin x 1

Rätt svarsalternativ: c a y cos xC1 1 b y C1cos x 1 c y sin xC1 1 d y C1sin x 1 e Inget av a till d.

7. Bestäm homogena lösningen till y'' 6 y' 9 y x. (1p)

Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r2 6r 9 0 har rötterna r1,2 3, så vi har homogena lösningen enligt "Fall 2": yhx 3xC1 C2x .

DSolve yh'' x 6 yh' x 9 yh x 0, yh x , x Simplify

yhx 3 x c2x c1

Rätt svarsalternativ: b a yh x 2xC1cos 2x C2sin 2x b yhx 3x C1 C2x

c yh x C1 2x C2 x d yhx C1 2x C2 4x e Inget av a till d.

8. Ansätt en partikulärlösning till y'' 4y cos 2x . (1p)

Lösningsförslag: Karakteristiska ekvationen r2 4 0 har rötterna r1,2 2 , så vi har homogena lösningen enligt "Fall 3":

yh x 0xC1cos 2x C2sin 2x . Sedan yp x Acos 2x Bsin 2x yhx yp x x Acos 2x Bsin 2x yh x . DSolve y ' ' x 4 y x Cos 2 x , y x , x Simplify

y x c1 1

16 cos 2 x 1

4 x 4 c2 sin 2 x

Rätt svarsalternativ: e a ypx Acos x Bsin x b yp x Acos 4x Bsin 4x

c ypx Acos 2x Bsin 2x d yp x x Acos 4x Bsin 4x e Inget av a till d.

9.Bestäm a så att differentialekvationen ax 2x x 2t2 har partikulärlösningen 2t2 4t. (1p)

Lösningsförslag: Om vi litar på författaren är det bara att sätta in xpt i (ODE) och identifiera a, axpt 2xpt xpt 2t2 a 4 2 2 2t 4 2t2 4t2t22t2 2t2, 8t 8t 0, 4a 16 0a 4. Till slut kollar vi vad hela resan blir med detta a ser ut att vara ok!

DSolve 4 x '' t 2 x ' t x t 2 t2, x t , t

x t 2t2 4 t t 4c2cos 3 t 4

t 4c1sin 3 t 4 

Rätt svarsalternativ: d a 1 b 2 c 3 d 4 e Inget av a till d.

10.Lös BVP t y' y 4t 3 ODE

y 1 0 BV . (1p)

Lösningsförslag: Efter division med t får vi en linjär (ODE), y' t 1y 4 3t 1, och därmed är vi i välkänd terräng. Först en

t1 t ln t t, så t t y t4 3t 1t y 4t 3 t C1 t y 2t2 3t C1 y 2t 3 C1t 1. Till slut fixeras C1 med (BV) y 1 0 : 0 2 1 3 C1 1 1 C1 1. Så äntligen lösningen till (BVP) y t 2t 3 t 1.

DSolve t y ' t y t 4 t 3, y 1 0 , y t , t Simplify

y t 2 t 1 t 3

Rätt svarsalternativ: b a y t 2t 4 2t 1 b y t 2t 3 t 1 c y t t 3 2t 1 d y t t 2 t 1 e Inget av a till d.

(3)

Del B

10 poäng med fokus på modellering och Mathematica.

11̅16.En lantbrukare odlar bönor på en åker. Tillväxthastigheten av mängden bönor b x kg m2med avseende på mängden gödning x kg m2som sprids ut, är proportionell med k mot skillnaden mellan maximala mängden bönor 15 kg m2 och den aktuella mängden.

11. Formulera och lös (BVP) som bestämmer b x om b 0 1. (1p) Lösningsförslag: Vi får direkt från problemtexten.

bAvx DSolve b ' x k 15 b x , b 0 1 , b x , x Simplify First

b x 15 14 k x

Rätt svarsalternativ: d

a bAvx DSolve b ' x 15 k b x , b 0 1, b x , x First

b bAvx DSolve b ' x k 15 b x , b 0 1, b x , x First

c bAvx DSolve 15 b ' x k b x , b 0 1 , b x , x First

d bAvx DSolve b ' x k 15 b x , b 0 1 , b x , x First

e Inget av a till d.

12. Ange enheten på k. (1p)

Lösningsförslag: Vi får direkt från (ODE), kg m2

kg m2 k kg m2 kg m2 k 1

kg m2 m2 kg.

Rätt svarsalternativ: c a 1 b kg m2 c m2 kg d m2 e Inget av a till d.

13. Bestäm k om b 1 10. (1p)

Lösningsförslag: Ekvationen b 1 10 löses med exempelvis NSolve.

kVärde NSolve b x 10 . bAvx . x 1, k 0 , k

k 1.02962

Rätt svarsalternativ: d

a kVärde NSolve b 1 10 . bAvx, k 0 , k

b kVärde NSolve b x 10 . x 1 . bAvx, k 0 , k

c kVärde NSolve b x 10 . bAvx . x 1, k 0 , k

d kVärde NSolve b x 10 . bAvx . x 1, k 0 , k

e Inget av a till d.

14. Bestäm b 3 . (1p)

Lösningsförslag: Direkt med ReplaceAll.

bAvx . kVärde . x 3

b 3 14.3622

Rätt svarsalternativ: c a b 3 . bAvx . kVärde b b x . kVärde . bAvx . x 3

c bAvx . kVärde . x 3 d b x . bAvx . kVärde . x 3 e Inget av a till d.

15. Hur mycket gödning används då mängden bönor blir 12 kg m2? (1p) Lösningsförslag: Ekvationen b x 12 löses med NSolve.

NSolve b x 12 . bAvx . kVärde, x

x 1.49613

Rätt svarsalternativ: b

(4)

a NSolve b x . bAvx . kVärde 12, x b NSolve b x 12 . bAvx . kVärde, x

c Minimize b x 12 . bAvx . kVärde, x d NSolve b x 12 . kVärde . bAvx, x e Inget av a till d.

16. Rita b x , x 0, 3 i orange. Pynta axlarna. (1p) Lösningsförslag: Så här löser den sig.

Plot b x . bAvx . kVärde, x, 0, 3 , PlotStyle Orange, AxesLabel x , PlotLabels b x b x

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 x 2

46 8 10 1214

Rätt svarsalternativ: e

a Plot bAvx, x, 0, 3 , PlotStyle Orange, AxesLabel x, b x

b Plot b x . b x bAvx, x, 0, 3 , PlotStyle Orange, AxesLabel x, b x c Plot bAvx . b x , x, 0, 3 , PlotStyle Orange, AxesLabel x, b x

d Plot bAvx x , x, 0, 3 , PlotStyle Orange, AxesLabel x, b x e Inget av a till d.

17̅20.Utanför ett fönster 5 m ovan mark kastas en boll med massan m kg rakt upp med farten 2 m s. Bollens resa beskrivs av Newton m t . Låt tyngdkraften, med g 10 m s2, vara den enda kraft som påverkar bollen under färden.

17. Placera en y-axel, med origo vid marken, som pekar rakt upp. Formulera och lös (BVP) som beskriver bollens färd. Antag att vår studie tar högst 3 s. (1p)

Lösningsförslag: Newton m y t mg, tillsammans med (BV) definierar (BVP) som sedan löses.

NDSolve m y '' t m 10, y 0 5, y ' 0 2 , y t , t, 0, 3 First

y t InterpolatingFunction Domain:0. 3. Output:scalar t

Rätt svarsalternativ: c

a NDSolve m y '' t m 10, y 0 5, y ' 0 2, y t , t, 0, 3 First b NDSolve m y '' t m 10, y 0 5, y ' 0 2, y t , t, 0, 3 First c NDSolve m y '' t m 10, y 0 5, y ' 0 2 , y t , t, 0, 3 First d NDSolve m y '' t m 10, y 0 5, y ' 0 2 , y t , t, 0, 3 First e Inget av a till d.

18. Var är bollen då den vänder och hur mycket är klockan då? (1p)

Lösningsförslag: Bollen vänder då y t 0, så svaret på båda frågorna.

. Solve y ' t 0 . D , t , t

y 0.2 5.2

Rätt svarsalternativ: b

a . Solve y ' t 0 . , t b . Solve y ' t 0 . D , t , t c . Solve y ' t . D , t 0, t d Solve y ' t 0 . D , t , t e Inget av a till d.

(5)

19. Med vilken hastighet tar bollen mark och hur mycket är klockan då? (1p)

Lösningsförslag: Bollen träffar marken då y t 0, så svaret på båda frågorna.

D , t . FindRoot y t 0 . , t, 1

y 1.2198 10.198

Rätt svarsalternativ: a

a D , t . FindRoot y t 0 . , t, 1 b D , t . FindRoot y t . D , t 0, t c D , t . Solve y t 0 . D , t , t d D , FindRoot y t . 0, t, 1 e Inget av a till d.

20. Rita y y , t 0, 1 . (1p)

Lösningsförslag: Äntligen en liten reseberättelse...

ParametricPlotEvaluate y ' t , y t . . D , t , t, 0, 1 , PlotStyle Red, AxesLabel y t , y t 

8 6 4 2 2.53.03.54.04.55.0 2 y t y t

Rätt svarsalternativ: a

a ParametricPlot Evaluate y ' t , y t . . D , t , t, 0, 1

b ParametricPlot Evaluate y t , y ' t . , D , t , t, 0, 1

c ParametricPlot Evaluate y ' t , y t . D , t . , t, 0, 1

d ParametricPlot Evaluate D , t , , t, 0, 1 e Inget av a till d.

References

Related documents

Show that the intersection of arbitrary many compacts sets in a metric space X is

Ange n˚ agon l¨ osning till

[r]

(Ledning: G¨ or ett l¨ ampligt variabelbyte, utnyttja sedan symmetri hos integranden med avseende p˚ a integrationsomr˚ adet och bilda en l¨ amplig utt¨ ommande f¨

2845.. Ett av nedanstående alternativ är det rätta värdet. a) Ange en följd av 10 konsekutiva positiva heltal som inte inne- håller något primtal... b) Visa att för varje

NY TRUMMA / DAGVATTENLEDNING, FLÖDESRITKNING VÄGANSLUTNING SOM STÄNGS GENOM SÄRSKILT

[r]

Vår första strategi för att bevisa denna olikhet är att försöka skriva om vänsterledet här som en kvadrat, eller en summa av kvadrater, eller en summa av på annat sätt