AMD. ADR. GRAF STRÖM

(1)

/

IN

FUNCTIONES SYMMETRICAS PARTIALES QÜATTUOR QUANTITATÜM

DISQUISITIO

CUJUS PARTEM SECUNDAM

PRO SPECIMINE ACADEMICO

EX SPECIALI REGIS GRATIA

ET CONSESVSÜ AMPLISS. FACÜLT. PHILOS. UPSAL.

p. P.

JACOBUS MICÖIjAUS GHAMLM1I

PHIL. CAND.

Ε Τ

ABB. ΚΟIi. IIA SS »IjII 11 II Λ NORULANDI.

IN AUDITORIO GUSTAVIANO DIE IX JUNII MDCCCXLVII.

Η. Α. M. S.

U Ρ S A L IΛΕ

M'AULSTRÖΜ ET C.

Γ \

1

.·«&■

Αύ

et-t-H *-<&< c

(2)

(3)

KONUNGENS TRÖTJENARE THEOLOGE® DOCTORN,PROFESSOREN

PROSTEN ^ocn KYRKOHERREN

EN AF DE ADERTON I SVENSKA ACADEMIEN LEDAMOTEN af NORDSTJERNE-ORDEN

högtordige och höglärde

herr magister

AMD. ADR. GRAF STRÖM

ocii

DOCTORINNAN

högädla ^fru

HEL.

SOPII. GRAFSTRÖM

född

FRANZÉN

egnas dessa blad

med djup vördnad och innerlig tacksamhet

af

AHR. ROL. HASSELHUHN.

(4)

(5)

9

ubi parenthesi inclusimus terminum primum funetionis cujus-

que et cum exponentc litteram, qme, si in termino funetio¬

nis secuntlo quantitas fe in eämdem dignitatem est eleyata,

quam habet a in termino primo, in termino funetionis tertio reperitur, sin minus, in termino funetionis secundo. Ceterum,

si littera illa in termino tertio inest, exponens est idem,

quem habet b in termino primo5 alias littera est fe, exponens autem idem, quem habet ^c in termino funetionis primo.

Sunt igitur forniae functionum symmetricarum partialium simplicium, in quas distribui potest funetio symmetrica to¬

talis T.ambncr:

P(ambncr, d"), P(ambTc% dT), P(anbmcr, dm),

P(anbTcm, dr), P(aTbmcn, dm), P(arbnc'% da), ^. ^. ^. (F) P(a'nbncT) cn), P(ambrcn, bn), P(a"bmc%cm),

P(a"brcm, bm), P(aTbmc% am), P(a*b"cm, an), ^... (G) P(ambnc% br), P(ambTcn, cr), P(anbmcT, um),

P(anbrcm, aT), P(aTbmcn, cm), P(arbncm, fem), ^. ^. ^. (H) P(ambncr, an), P(ambTcn, ar), P(anbmcr, br),

P(anbrcm, cr), P(aTbmcn, bn), P(aTbncm, c"). ^.... (1)

Praeterea formas generales functionum symmetriearum par¬

tialium simplicium^, in quas distribui possunt functiones sym¬

metrica totales simplices quattuor quantitatum, ita in classes (A), (B), (C), (D), (E), (F), (G), (H) et (I) descripsimus,

ut, permutatis inter se quantitatibus a, b, c et d, formaj

unius cujuslibet classis in formas alterius eujuslibet classis

mutari non possint. Ε quibus classibus tauiquam exempla proferre possumus:

P.anbn7 P(ambn, fe), P(amhn, c), P(ambncn, d), F,(amfencn, fe), P(ambncT, dn), P(ambncT, cn), P(ambncr, fer), P(ambncT, a"), unde, permutatis inter se quantitatibus a, fe, c et i/, ceterae formte, quarum mentionem fecimus, reperiri possunt.

2

(6)

10

Formse autem speciales ita e formis generalibus oriun-

lur, ut exponéntibus m, η et r valöres speciales tribuantur.

Sed si qua; sunt alia; forma; functionum »symmetricarum partialium simplicium quattuor quantitatum, e diversis fuuctio-

nibus symmetrieis totalibus simplicibus collectse, eas lioc tem¬

pore, ne longiores simus, quam ratio opusculi nostri patitur, pratermittere in animo est.

ΪΙ. De invenicndis Valoribm Functionum

Symmetri-

carum Partialium Quattuor Quantitatum.

§· 2.

Quaera mus primum valöres functionum symmetricarum partialium simplicium P.anbn, P.a"ca et P.aniln*)v qua-

riirn summa est functio symmetrica totalis simples T. anbn,

vel potius valöres functionum symmetricarum partialium sim¬

plicium P.ab, P.ac et JP.nd, qnarum summa est functio symmetrica totalis sirnplex T.abj faeile enim, bis cognitis,

valöres eliain functionum P.ä"b'\ P.ancn et P.andn inveniri poterunt. Brevitatis autem caussa ponamus:

h=.P.ab⁼ab+cd: k—P.ac^—ac+bd, l*=Ρ. qd—ad+bc . . (1)

Sint praderea 1, β et /3* radices aequationis rf-1=05 sit

nempe β⁼^{-^}+|v/-5, quo posito erit Qui-

bus rebus eflicitur, ut boc modo scribere possimus:

h=4(h+k+l)+y(h+ßk+βΊ)+y(h+βΊί+βΙ),\

k= *s(h+k+l)+

(ßih+k+ßl)+s(ßh+k+ßH),l

^.... (2)

l —^(Λ+Α+/)+y(ßh+ß^k+ty⁺y(ß^h+ßk+l). /

*) Valöres functionum symiuetricarum partialium simplicium trium quantita-

tum rt'"Än+«ncm-t bmcn et ani>,n-|-aincn+6ncm sernper inveniri possunt. Est enim

summa harum functionum T.ambn,productumautem earuniest T,an "bvlJrn-)- +.W'x +«WV» X Sgm_Ä. .

(7)

n

iEquatio denique? cujus radices sint fl, c et rf, ita seri-

batur:

x*+px3+qx2+rx+s—o*) (5)

Coefiicientes igitnr liujus mquationis sunt functiones sym- metricm totaies quantitatum a, b, c et scilicet:

ρ=-St^—-a-b-c-d, ^g^—T.ab—

ab+ac+ad+bc+bd+cd^

_^

r—-T.abc=-abc-abd-acd-bcd, s—abcd. J

Unde continuo sequitur:

^(h+k+ί) =47 (5)

Eadem vero est dignitas cubica quantitatum h+ßk+ß^l, ßh+ß2k+l et ß^h+k+ßl, videlicet:

(h+ßk+ßH)3 ⁼ (ßh+ß2M)3 ⁼ (βΊι+k+ßl)3 =h3+k3+l3+ßhkl+

+5ß(h2k+hl2+k2l)+5ß2(hk2+h2l+kl2) (6)

In quam dignitatem pro quantitatibus hy k et l valöres ipsa-

riim substituentes invenimus:

h3+k3+l3+ (ihkl=T. a3b3+5sX T.ab+ßT. a2b2c2+ßsX S,⁼

=i)p2s-5pqr+q3-^Ags-'rdr2:) (7)

5(h2k+hl2+k2l)=5[P(a3b2c, d2)

+

P(a2bc3, d)

+

P(ab3c% d3)]

+

+ßs X T.ab^—5g+ßqs, (8)

5(hk2+hn+kr) =5[P(ab2c3, d*) + P(a2b3c, d3)+P(a3bc\ d)]+

+6sXT.ab =5i+ßqs, (9)

ubi brevitatis caussa litteris _g et i designavimus duas functio¬

nes symmetricas partiales complexas, quarum summa est fun-

ctio symmetrica totalis simplex T.a3b2c. Valöres autem fun-

clionum symmetricarum partialium complexarum g et i faeile

invenire possumus. Est enim summa earum:

g+i^—T.a3b2c⁼-5p2s+ pqr+Aqs-5r2 (10)

*) Omnino nihil impedit, quominiis in liac icquatione nna pluresve coüffici-

eutium p, r et -v, quibus diversse dignitates ipsius χ afficiuntur, imaginariye

esse possint.

(8)

12

Prodiictum autem earum est:

gi=T. a6b3c3+Γ.«W+3Γ.«4AV+s(T.ahb3+T. a4b3c+ +2Γ.a4b2c2)⁺5s*(S4+T.a2bc), quod coeflicientibus p, q, r et s ita exprimitur:

gi= 12/?V- 7p3qrs+p3r3+p2q3s-51ptqsi+(>p9r2s+25pqVs^-ßpqr3+

+57prs2^-4q4s+ qV+5GqV-4Sgr*s⁺Or4-64s3 (11) Unde, brevitatis caussa posito:

- Iii—-59p4s*+22p3qrs-Ap3r3-&p2q3s+p2q2r2+180p2qs2^-6p*r7s-

-92pq2rs + 18pqr3- 228prs2 + 16q4s ^- 4q3r2- 128qV ⁺ 156qr2s-

-27r4+256s3, ^. ^... (12) sequitur, ut valöres functionum symmetricaruin partialium complexarum g et i hac ralione scribi possint:

g=-lp2s+ipqr⁺2qs-f r2 ±

i^—^~Ip2s+ipqr+2gs-1 r2 ⁺i v/- i B.

j

In quibus expressionibus ante quantitates radicales signa su-

periora aut inferiora eligere licet. Permutatis enim signis

inter se permiitantur quidem quantitates A2A+ hl2+ A2/ et hk2+hH+AZ2, vel, quod in dignitate (6) idem valet, β et β2.

At in aequationibus (2), unde dignitas (6) est orta, permutatis

inter se β et β2 una quantitatum A, k et l non mutatur. Ve¬

rum quidem est, valöres duarum reliquarum quantitatum inter

se permutari: sed id tantum agimus, ut tres valöres diversos

inveniamus quorum unusquisque aut quantitati h aut quan- fitati A, aut quantitati l sit aequalis.

Quibus rebus efficitur, ut aequationes (8) et (9) hoc modo

scribere possimus:

5(Ä2A+AP+A2Q⁼-lpV+1pqr+12qsr2±

HsZ-iß,)

5(ÄA3+A2/+AP)^—^-%p2s+%pqr+I2qs^-% r2+tv/-ili.

|

(9)

13

tJnde facilliine concliiditur:

5ß(h*k+ΙίΓ+k2l)+5ß\hk%+h*l+ hr)-

=Ip2s -1pqr-12qs+1 r2 ± 2 v771. ^. ^. . (13)

Brevitatis denique caiissa posito:

A^—Vp2s -1ρ(jr+<y3^-5ßrjs+2z r\ (10) dignilatem (6) in bane forniam redigere possumus:

(h+ßk+βΊ)3 ⁼

Ißh+β2

k+ιγ±

(ß2h+k+ßif=A±i

VR. ..(17) Perspicuum autem est, rädici nescio cui cubicae ex hae dignitate extractie iequalem fore nnam quantitatnm h+ßk+ß2l7 ßh+ß2k+l et ß2h+k+ßl. Quod si liuic radici cubicie, qme 571 dicatur, aequalis erit ex. gr. quantitas h+ßk⁺ß2l*), inde séquitur:

h+ßk+ß2l=5ll, ßh+ß2k⁺

i=5ßRß2h

+k+ßl=3ß2R...(l$)

Sed ad éxprimendos valöres quantitatnm Λ, k et / non opus erit, aliis radieibus extractis, _quam _quse in 571 insunt

Est enim:

h+ß^k^ ßl

+ ßk + β Η)2 X (h ⁺ ß Vt + β i) (Λ + ßk

+

β2ΐ)

(h+ßk+ßH)3

ir+k2+ V-hk-hl-kt, T.a^h^+Gs-T.a^hc

=

—(W—m ⁼ —w—(37i)i=

-^+IV)·«^·,

_(«»)

*) Si radici cubicae 5/Ϊ äqualem posuisscinus quantifatem ßhß'*k1 aut quantitatem -j-Ä+/Si, non quantitatem hßkß^l, eosdem tarnen _semper valöres, quos in aequationibus (2J äquales quantitatibus Λ, k et l posnimus,

etiaiusi alio ordine, inveniremus.

(10)

14

-5pr+q'i+12s

tibi brevitatis caussa Γ»()^=. posuimus. Unde fa-

cillime efficitur, aiquationes (2) hac ratione scribi posse:

h⁼icj⁺R+Q(*R)2, h^—:sq+

ß'iR

+

ßQ(5R)2,

l⁼hfi+ßR+ß"Q(5Ry (20)

Inventis valoribus functionum symmetricarum partialium simplicium P.ab, P.ac et P.ad, quae sunt quasi elementa

omnium functionum symmetricarum partialium simplicium quat-

üior quantitatum, inveniendos valöres ceterarum functionum

syinnietricarum partialium simplicium quattuor quantitatum suscipiamus. Facillime autcm valöres functionum P.anbn7

P.ancn ^et P.ä"dn inveniri possunt. Si enim η est numerus integer positivus, nuilo negotio invenimus:

Ρ.aß b'1—{P.aby -2s*) (1)

Ceterum est etiam in genere:

P.am+ *bm + 1=P. ab XP.ambm -sXP.am-lbm~l (2)

Novimus autem P.ab et P.a^b1·^ itaque ordine invenire pos-

sumus valöres functionum JP.a3&3, P.a^b1, P.a^b*,....P.a?bn.

Scd vias intcrdum breviores monstrabunt tequationes:

P.a*mb2m =(P.ambmy-<2sm, ι

Ρ α»+ rßn, +r_ ρ arhrχρ am χρ

j * * * \°)

tibi m > r posuimus. Si autem exponens η

signo

— est

affectusj facile palet:

P. a~nb-n⁼s~n XP.anbn (4)

*) IIoc loco et in sequentibus sempcr est s=ahcd. Cfr §. 2 aeqn. (4),

**) Facile distinguitur ^{exponens r} a coefficiente r, de cujus valore cfr §. 2

eeqn. (4).

(11)

J Μlo

Quod si valöres functionum P.«ncn et jP.a_nc_n, P.a"dn

et P.a~nd~n quierimus, eodem modo concludere possumus:

P.«V⁼(P.«c)2-2s? \

ρ am+ 1C» +1 P.acXP.amcm-sX P.aT^c"1-1,

j

Ρ. Λ?Β ^- (Ρ.amcm)2-2sm,

i

^{· ■ · ·}

(S)

P.am+V"+r=P.arcr X P.amcm-sT XP.

rtm~rcw_rA

Ρ.a-nc~n^—s~nXP.anc\

I

P.«2d2⁼(P.ad)2-2s, \

P.am+ hlm + i=P.adX P.amdm-sXP.αη,-,«Γη~-1,

/

P.a2mdim=(P.rtmdM) 2-2sm, >····

(e)

P.rtm +Tdm+ r=P. ardrXP. amdm- sTXP.

am-Tdm-rÅ

P.a~nd~n=s~n XP. and\

)

§· 4*

Sequitur, ut de invcniendis valoribus functionuni symnie-

tricarum partialium simplicium, quae functiones symmctrieas

totales simplices T.ambn et T.ambncn efficiunt, disseramus:

atque initio nonnulla de iis, ^quae in T.ambn insunt, dicenda

videntur. Itaque valöres functionuni symmetricarum partia¬

lium P(ambn, b), P(amcn? c) et P(«mdn, d)7 ^ac primum quidem functionuni P(«m&, b), P(amc7 c) et P{amd^ d), qua:ranms.

Est autem:

P(a2b:,b)—SiXP.ab-T.abc:) (I)

Ρ(a3b,b)=±SiXP(a2b,b) +1 StXP. ab-P. a2b2-VT.a2bc..(2)

Deinde vero est etiam in _genere:

P(ar+lb, b) ⁼

=åStX P(aTb, b)+lStX P.ab^-lP(arb\ b)-i T.uTbc...(5)

(12)

16

Cognita autem funqtioiie P(aT"lb, b), valor etiam functio-

nis P[alb-j b) Semper iuveniri potest. Apparet euirn:

P(arb% b)=P.ab XP(ar~ib,h)-sXSP_2 (4)

Onde eilieitiir, ut, cognitis P(ar~ib, b) et P(arb^b), Semper etiam valor functionis P{av+Xb^ h) iuveniri possit. At inve-

nimus valöres functionum P(drb, b) et P(a3b, 6)5 ordine igitur

valöres functionum Ρ(«4&? b)v Ρ(α5/;, b)1 . .. P(amb, b) invenire

possumus, designante in numerum integrum positivum.

Eodem modo valöres functionum P(a"c,c) et P{amd^ it) suppeditabunt aecjuationes:

P(«2c, c)=SiXP.ac-T.abc, \

P(a3c, c) ⁼]St X P(a1Cy c)+iSi XP.ac-P.a2c*-VT.a2bc,

[

P(ar+V, c)—éSlXP(aTc,

e)+i"SrXP.ac-éP(«rcJ,e)-zy.arßc?|

P(arc2, c) —P.acXP(ax~lc, c)-sXSr_2. )

P'(u*d) d) =SvXP.ad-T.abc? _|

P(«3d, d)—i-StX P(rrd,d)+2<S2XP. ad^-P. a~d ^-zT.a^bc,

I

P(a' +

,d,<l)=lSIXP(a'd,,l)+lSrXP.ad-lP(a'd>,d)-iT.a'bc}

P(ard2jd) —P. adXP(ar"xd,«i)-sX $P_2. ^, / Si autem valöres functionum P(a~mb~\ b), P(a~mc~\ c)

et />(«-"Vi d) (juaBi'imus, eadcni prorsus ratione conclu-

dere possumus:

/'(.· '/» fc)=S_, XP.a-'b-^-T.a-'b-'c

',

P(a-*trl, b)⁼ XP(n-'b-', b)⁺

+ ϊ S_2 X

P.a-'b-'-P.a^b-'-iT.a-'b-

/>(„-0+ υ&~ι; = χ

P(tr'b-\b)+

+ ί :S_rXP.ir'b-<-i/'(«-7.-% i)-5-T.

P(a-'b-*,b)=P.a-'b->XP(a-t'-'>b-',b)-s-'XS_c,._tyj

AMD. ADR. GRAF STRÖM

/

1

Αύ

AMD. ADR. GRAF STRÖM

SOPII. GRAFSTRÖM

FRANZÉN

Symmetri-

*(ßih+k+ßl)+*s(ßh+k+ßH),l

ab+ac+ad+bc+bd+cd^

5(h2k+hl2+k2l)=5[P(a3b2c, d2)

P(a2bc3, d)

P(ab3c% d3)]

j

HsZ-iß,)

|

Ißh+β2

(ß2h+k+ßif=A±i

i=5ßRß2h

+ ßk + β Η)2 X (h + ß Vt + β i) (Λ + ßk

β2ΐ)

—(W—m = —w—(37i)i=

-^+IV)·«^·,

ß'iR

ßQ(5R)2,

j * * * \°)

signo

j

i

(S)

rtm~rcw_rA

I

/

(e)

am-Tdm-rÅ

)

[

e)+i"SrXP.ac-éP(«rcJ,e)-zy.arßc?|

I

,d,<l)=lSIXP(a'd,,l)+lSrXP.ad-lP(a'd>,d)-iT.a'bc}

',

P.a-'b-'-P.a^b-'-iT.a-'b-

P(tr'b-\b)+

(ßih+k+ßl)+s(ßh+k+ßH),l

+ ßk + β Η)2 X (h ⁺ ß Vt + β i) (Λ + ßk

—(W—m ⁼ —w—(37i)i=