U.U.D.M. Project Report 2018:40
Examensarbete i matematikdidaktik, ämneslärarprogrammet, 15 hp Handledare: Anders Öberg
Examinator: Veronica Crispin Quinonez Augusti 2018
Matematikens historia i gymnasieskolan
En analys av läroböcker för matematik 1b
Maja Eriksson
Sammanfattning
I gymnasieskolans samtliga kursplaner f¨ or matematik ing˚ ar matematikens kulturhistoria som ett centralt inneh˚ all. Avsikten ¨ ar att vara motivationsskapande och g¨ ora matematiken mer levande.
Eftersom l¨ arob¨ ocker har en central roll i matematikundervisningen var syftet med uppsatsen att
studera hur f¨ orlagen tolkar Skolverkets krav, men ¨ aven unders¨ oka om l¨ arare kan anv¨ anda ma-
tematikens historia i undervisningen p˚ a fler s¨ att. F¨ or att besvara fr˚ agest¨ allningarna gjordes en
l¨ aromedelsanalys f¨ or kursen matematik 1b. L¨ arob¨ ockerna unders¨ oktes utifr˚ an f¨ orekomsten av upp-
gifter med koppling till matematikens historia, om det fanns faktarutor med historia och om ma-
tematikens historia anv¨ andes f¨ or att introducera och f¨ orklara nya delar av matematiken. F¨ or att
besvara fr˚ agest¨ allningen ang˚ aende hur l¨ arare kan komplettera l¨ arob¨ ockerna gjordes studier av artik-
lar och b¨ ocker g¨ allande hur matematikens historia kan f¨ orb¨ attra undervisningen. Resultatet visade
att l¨ arob¨ ockerna ofta utnyttjar matematikens historia f¨ or att introducera nya avsnitt. Forskning
visar att det ¨ ar f¨ ordelaktigt att presentera matematik i den kontext som den uppt¨ acktes och detta
kan vara en anledning till att f¨ orfattarna har valt att inkludera historia i de introducerande texter-
na. L¨ arob¨ ockerna hade ¨ aven uppgifter med koppling till matematikens historia. Ut¨ over detta kan
matematikens historia vara anv¨ andbar i l¨ ararens planering av undervisningen. Den kan f¨ oruts¨ aga
elevers sv˚ arigheter och ge id´ eer p˚ a hur dessa kan ¨ overkommas. L¨ arare kan ¨ aven belysa matematikens
historia f¨ or att ge eleverna f¨ orst˚ aelse f¨ or matematikens utveckling.
Inneh˚ all
1 Inledning 6
1.1 Bakgrund . . . . 6
1.2 Syfte och fr˚ agest¨ allning . . . . 7
2 Litteraturgenomg˚ ang 8 2.1 Definition . . . . 8
2.2 Styrdokumenten . . . . 9
2.2.1 Amnesplan matematik . . . . ¨ 9
2.2.2 Kursplaner matematik . . . . 10
2.2.3 Betygskriterier . . . . 10
2.3 F¨ ordelar och nackdelar . . . . 11
2.4 Undervisning . . . . 12
2.4.1 F¨ orst˚ a elevers sv˚ arigheter . . . . 12
2.4.2 Undervisningsstrategier . . . . 13
2.4.3 Historiska problem . . . . 14
2.4.4 Visa att matematiken ¨ ar dynamisk och en m¨ ansklig konstruktion . . . . 15
2.4.5 M˚ angfaldsperspektiv . . . . 15
3 Metod och material 16 4 Resultat 17 4.1 Exponent 1b . . . . 17
4.1.1 Taluppfattning . . . . 17
4.1.2 Algebra . . . . 18
4.1.3 Geometri . . . . 19
4.1.4 Procent . . . . 21
4.1.5 Funktioner . . . . 21
4.1.6 Sannolikhetsl¨ ara och statistik . . . . 21
4.2 Origo 1b . . . . 22
4.2.1 Tabeller och diagram . . . . 22
4.2.2 Tal . . . . 23
4.2.3 Algebra och ekvationer . . . . 24
4.2.4 Procent . . . . 25
4.2.5 Funktioner . . . . 25
4.2.6 Statistik . . . . 26
4.2.7 Sannolikhet . . . . 26
4.2.8 Geometri och bevis . . . . 27
4.3 Matematik 5000 1b . . . . 28
4.3.1 Aritmetik - Om tal . . . . 28
4.3.2 Procent . . . . 29
4.3.3 Algebra . . . . 29
4.3.4 Geometri . . . . 30
4.3.5 Sannolikhetsl¨ ara och statistik . . . . 31
4.3.6 Grafer och funktioner . . . . 31
4.4 Matematik M 1b . . . . 32
4.4.1 Numerisk r¨ akning . . . . 32
4.4.2 Procent . . . . 33
4.4.3 Uttryck och ekvationer . . . . 33
4.4.4 Funktioner . . . . 33
4.4.5 Sannolikhet och statistik . . . . 33
4.4.6 Geometri . . . . 34
4.5 Tabell av resultatet . . . . 34
5 Analys 35 5.1 J¨ amf¨ orelse mellan b¨ ockerna f¨ or de olika avsnitten . . . . 35
5.1.1 Aritmetik . . . . 35
5.1.2 Procent . . . . 36
5.1.3 Algebra . . . . 37
5.1.4 Geometri . . . . 38
5.1.5 Funktioner . . . . 39
5.1.6 Sannolikhetsl¨ ara och statistik . . . . 39
5.2 J¨ amf¨ orelse av l¨ arob¨ ockernas inneh˚ all med kursplan och ¨ amnesplan . . . . 40
5.2.1 Exponent 1b . . . . 41
5.2.2 Origo 1b . . . . 42
5.2.3 Matematik 5000 1b . . . . 42
5.2.4 Matematik M 1b . . . . 42
5.3 Allm¨ anna kommentarer . . . . 43
6 Diskussion 45
7 Referenser 48
1 Inledning
1.1 Bakgrund
Uppslaget till uppsatsen uppkom d˚ a jag vikarierade p˚ a en lektion f¨ or elever p˚ a Samh¨ allsvetenskapliga programmet. N¨ ar jag ber¨ attade att jag var l¨ ararstudent ville de veta i vilka ¨ amnen jag skulle un- dervisa och jag svarade d˚ a matematik och fysik. Kommentarena som sedan f¨ oljde tycker jag var t¨ ankv¨ arda. De kunde f¨ orst˚ a att man ville bli fysikl¨ arare eftersom det g˚ ar att f¨ ora diskussioner med eleverna och att det ing˚ ar praktiska laborationer. Dock var det f¨ or dem helt obegripligt att n˚ agon ville bli matematikl¨ arare eftersom matematik bara var tr˚ akiga regler, som inte kunde diskuteras utan bara f¨ oljas, och att eleverna bara r¨ aknade i b¨ ockerna hela tiden. Tanken som d˚ a slog mig var att dessa elever skulle f˚ a en b¨ attre f¨ orst˚ aelse och st¨ orre gl¨ adje av matematiken om undervisningen lade en st¨ orre vikt vid matematikens historia.
Jag har sj¨ alv sett p˚ a matematiken p˚ a liknande s¨ att som de h¨ ar gymnasieeleverna men under min utbildning till l¨ arare har jag g˚ att tv˚ a kurser i matematikens historia. Det var egentligen f¨ orst d˚ a som jag fick verklig f¨ orst˚ aelse f¨ or att en cirkels area ¨ ar A = r
2· π. Tidigare har jag bara anv¨ ant formeln och t¨ ankt att det ¨ ar rimligt att en kvadrat av radien multiplicerat med tre ¨ ar lika stor som arean av cirkeln. N¨ ar jag fick l¨ ara mig om Arkimedes cirkelsats blev det klart f¨ or mig varf¨ or formeln g¨ aller. P˚ a samma s¨ att f¨ orstod jag hur pq-formeln fungerar genom att se babyloniernas geometriska l¨ osning av andragradsekvationer.
Artiklar som jag har l¨ ast styrker att det ¨ ar f¨ ordelaktigt att anv¨ anda historia i undervisningen.
D¨ arf¨ or har jag valt att unders¨ oka saken vidare och speciellt analysera hur l¨ arob¨ ockerna inkluderar
matematikens historia p˚ a olika s¨ att.
1.2 Syfte och fr˚ agest¨ allning
Matematikundervisningen ¨ ar ett ¨ amne som traditionellt sett anv¨ ander l¨ aroboken i h¨ og utstr¨ ackning.
Det ses som en trygghet f¨ or l¨ arare eftersom den t¨ acker in stora delar av kursplanen, och av elever eftersom om de l¨ ar sig bokens inneh˚ all anser de att de har tillr¨ ackliga kunskaper f¨ or att klara kursen (Johansson, 2006). D¨ arf¨ or ¨ ar det intressant att unders¨ oka hur l¨ arob¨ ockerna inkluderar kravet p˚ a att behandla matematikens kulturhistoria och om olika l¨ arob¨ ocker behandlar matematikens historia p˚ a olika s¨ att. Syftet ¨ ar ¨ aven att f˚ a en inblick i vad forskningen s¨ ager om ¨ amnet och hur l¨ arare kan komplettera l¨ arob¨ ockerna.
• Hur framst¨ alls matematikens historia i l¨ arob¨ ocker?
• Hur kan l¨ arare anv¨ anda matematikens historia f¨ or att komplettera l¨ arob¨ ockerna och st¨ arka
sin undervisning?
2 Litteraturgenomg˚ ang
Detta avsnitt tar upp texter som har betydelse f¨ or hur matematikens historia behandlas i under- visning och l¨ arob¨ ocker. Det som kommer tas upp ¨ ar de dels olika styrdokumenten som ¨ amnesplan och kursplan och dels teorier om betydelsen av matematikens historia i undervisningen. F¨ orst en kort definition av det inneb¨ ar.
2.1 Definition
Att undervisa matematikens historia brukar ofta syfta p˚ a tv˚ a olika syns¨ att. Det f¨ orsta ¨ ar att anv¨ anda matematikens historia som ett verktyg f¨ or att l¨ ara ut det matematiska inneh˚ allet och det andra ¨ ar att sj¨ alva historien ¨ ar ett m˚ al i sig (Janqvist, 2009). B¨ ut¨ uner (2016) beskriver att matematikens historia anv¨ ands som ett verktyg f¨ or l¨ arande d˚ a l¨ arare anv¨ ander den f¨ or att undervisa ett visst moment. Detta kan exempelvis vara Pythagoras sats. Ist¨ allet f¨ or att endast presentera satsen som f¨ orh˚ allandet mellan sidorna i en r¨ atvinklig triangel s˚ a kan l¨ araren inkludera historien bakom satsen, var den uppkom, hur den har anv¨ ants i olika kulturer eller att det var Pythagoras som f¨ orst bevisade satsen. Det ¨ ar i slut¨ andan sj¨ alva f¨ orh˚ allandet som l¨ araren vill att eleverna ska l¨ ara sig men historien
¨ ar ett verktyg f¨ or att ge dem en djupare f¨ orst˚ aelse. Det kan ocks˚ a fungera som ett verktyg f¨ or att hj¨ alpa eleverna att komma bort fr˚ an att inte v˚ aga g¨ ora misstag. Det hj¨ alper s¨ allan att uppmuntra misstag genom att endast p˚ apeka det sj¨ alv. Med hj¨ alp av historien kan l¨ arare faktiskt visa att
¨ aven de stora matematikerna g¨ or fel och att det ibland kan leda till nya uppt¨ akter. Ett annat verktyg kan vara att hj¨ alpa eleverna inse att problem ofta kan l¨ osas p˚ a fler ¨ an ett s¨ att. Ett s¨ att f¨ or att visa detta kan vara att j¨ amf¨ ora olika l¨ osningsmetoder genom historien med varandra f¨ or att se att det finns b˚ ade f¨ or- och nackdelar med olika l¨ osningsmetoder. F¨ orhoppningsvis kan detta inspirera eleverna att hitta alternativa l¨ osningar d˚ a de jobbar med andra problem. Matematikens historia kan ocks˚ a ses som ett m˚ al i sig. Exempel p˚ a det kan vara f¨ or att visa att matematiken
¨ ar en m¨ ansklig konstruktion. Genom att ber¨ atta om varf¨ or och hur ett visst matematiskt fenomen
uppkom f˚ ar eleverna f¨ orst˚ aelse f¨ or att det ¨ ar m¨ anniskor som utvecklar matematik f¨ or att l¨ osa
m¨ anskliga problem eller fr˚ agest¨ allningar. Exempel p˚ a detta ¨ ar tal, alla tal har inte alltid funnits, de
har uppkommit d˚ a det funnits ett behov av dem. Detta visar ocks˚ a att matematiken inte ¨ ar n˚ agot
statiskt utan utvecklas st¨ andigt. Ett annat m˚ al med att anv¨ anda historia ¨ ar f¨ or att visa samband
mellan matematik och andra ¨ amnen, som exempelvis musik och fysik.
2.2 Styrdokumenten
L¨ ararens uppdrag ¨ ar att undervisa eleverna utifr˚ an de olika styrdokumenten som ¨ ar utf¨ ardade av Skolverket. I b˚ ade ¨ amnesplanen f¨ or matematik och i de olika kursplanerna behandlas matematikens historia.
2.2.1 Amnesplan matematik ¨
Citatet nedan ¨ ar h¨ amtat ur ¨ amnesplanens beskrivning av ¨ amnet:
Matematiken har en flertusen˚ arig historia med bidrag fr˚ an m˚ anga kulturer. Den utvecklas s˚ av¨ al ur praktiska behov som ur m¨ anniskans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som s˚ adan. Kommunikation med hj¨ alp av matematikens spr˚ ak ¨ ar likartad
¨ over hela v¨ arlden. I takt med att informationstekniken utvecklas anv¨ ands matematiken i alltmer komplexa situationer. Matematik ¨ ar ¨ aven ett verktyg inom vetenskap och f¨ or olika yrken. Ytterst handlar matematiken om att uppt¨ acka m¨ onster och formulera generella samband.
I beskrivning av ¨ amnets syfte st˚ ar det att undervisningen ska bidra till att hj¨ alpa eleverna att utveckla sin f¨ orm˚ aga till att s¨ atta in matematiken i olika sammanhang, och att se vilken betydelse den har f¨ or b˚ ade individ och samh¨ alle. Det st˚ ar ¨ aven att eleverna ska arbeta matematiskt vilket de i kommentarerna beskriver som:
Matematik kan ofta uppfattas som ett ¨ amne d¨ ar det endast finns r¨ att eller fel och
att g¨ ora fel ¨ ar detsamma som att inte ha ett matematiskt kunnande. Men matematiskt
kunnande utvecklas ¨ aven om man st¨ aller ”fel” hypoteser, tvingas g¨ ora om och t¨ anka
nytt. Det kr¨ avs ofta h˚ art och l˚ angvarigt arbete innan professionella matematiker f˚ ar
fram resultat som de ¨ ar n¨ ojda med. Kanske finns det ocks˚ a mer ¨ an en l¨ osning p˚ a ett
problem.
Lite l¨ angre ner f¨ orklaras det vad som menas med olika uttrycksformer :
Den verbala uttrycksformen, till exempel retorisk algebra, ger eleven m¨ ojlighet att visa sitt matematiska t¨ ankande p˚ a ett annat s¨ att ¨ an symboliskt. Den retoriska algebran, dvs. att eleven ger verbala beskrivningar av vilka procedurer som ska genomf¨ oras f¨ or att n˚ a en l¨ osning p˚ a ett problem, kan kopplas till algebrans ursprung. Den symboliska algebran b¨ orjade utvecklas f¨ orst i b¨ orjan av 1600-talet.
2.2.2 Kursplaner matematik
Dessutom ¨ ar ”matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria” ett centralt inneh˚ all f¨ or samtliga matematikkurser, d¨ ar beskrivningen f¨ or matematikens kulturhistoria ¨ ar:
Ett exempel p˚ a anknytning till matematikens kulturhistoria ¨ ar m¨ anniskans uppt¨ ackt av ett samband mellan en cirkels omkrets och dess diameter som representeras av talet π.
Tanken med det kulturhistoriska inneh˚ allet ¨ ar att g¨ ora matematikundervisningen mera levande och motivationsskapande, och att eleverna via matematiska problem f˚ ar ta del av m¨ anniskorna, den tidsepok och den kultur som uppt¨ ackte de matematiska samband och begrepp som behandlas i kursen.
Ett matematiskt problem ¨ ar enligt Hagland, Hedr´ en & Taflin (2011) en speciell typ av uppgift som uppfyller tre kriterier. Det f¨ orsta ¨ ar att en person beh¨ over eller vill l¨ osa uppgiften, det andra ¨ ar att personen inte har en p˚ a f¨ orhand given procedur och det tredje ¨ ar att det kr¨ avs en viss anstr¨ angning f¨ or att l¨ osa uppgiften.
2.2.3 Betygskriterier
Betygskriterierna kring matematikens historia inneb¨ ar att eleverna ska kunna relatera kursens in- neh˚ all till matematikens kulturhistoria. F¨ or betyget E r¨ acker det att n˚ agot i kursens inneh˚ all relate- ras och att det f¨ ors enkla resonemang om dess relevans. Kriterierna f¨ or betyget C inneb¨ ar att de ska kunna relatera n˚ agra fler omr˚ aden och att resonemangen om dess relevans ska vara v¨ algrundade.
F¨ or betyg A ska resonemangen dessutom vara v¨ algrundade och nyanserade (Skolverket, 2011).
2.3 F¨ ordelar och nackdelar
N¨ ar det kommer till att behandla matematikens historia i undervisningen p˚ a gymnasieskolan finns
det b˚ ade de som anser att det ¨ ar en tillg˚ ang f¨ or inl¨ arningen och de som anser att det ¨ ar ett
moment vid sidan om. Tzanakis & Arcavi (2002) listar n˚ agra vanliga argument f¨ or och emot att
anv¨ anda matematikens historia i matematikundervisningen som l¨ arare kan ha. N˚ agra argument f¨ or
att anv¨ anda historia i undervisningen ¨ ar att det underl¨ attar elevers l¨ arande eftersom koncept blir
l¨ attare f¨ or elever att ta till sig d˚ a de f¨ orst˚ ar hur och varf¨ or de uppkom. Det kan utveckla elevers syn
p˚ a matematikens natur. Exempelvis att misstag ¨ ar en del av matematiken och att f˚ a elever att sj¨ alva
formulera fr˚ agest¨ allningar och unders¨ oka dessa. En annan f¨ ordel ¨ ar att matematikens historia visar
att matematiken som en m¨ ansklig konstruktion. Det finns ¨ aven l¨ arare som argumenterar mot att
anv¨ anda historia i matematikundervisningen av b˚ ade filosofiska och praktiska sk¨ al. S˚ adana argument
kan vara att historia inte ¨ ar matematik och d¨ arf¨ or ska matematikundervisningen inte inneh˚ alla
historia. Att elever inte ¨ ar intresserade av historia som ¨ amne och d¨ arf¨ or skulle de inte heller vara
intresserade av matematikens historia. Att en extra dimension som historia skulle f¨ orvirra elever
mer ¨ an hj¨ alpa. Ett annat argument av mer praktiskt natur ¨ ar att det inte finns tid att behandla
matematikens historia i matematikundervisningen. Antalet undervisningstimmar ¨ ar begr¨ ansade och
det ¨ ar mycket som ska hinnas med. Jag tror att l¨ arare som ¨ ar negativt inst¨ allda till att undervisa
matematikens historia enbart ser det som ett m˚ al i sig och d¨ arav ett extra moment som det inte finns
tid att behandla. Exempelvis gjorde en student p˚ a Uppsala universitet en intervju med en l¨ arare
om just historia i matematikundervisningen. L¨ ararens inst¨ allning var att tidsbrist i kombination
med att de n˚ agot abstrakta centrala inneh˚ allet och kunskapskravet g¨ or att matematikens historia
f˚ ar mindre utrymme i undervisningen (Johansson, 2013). Om l¨ arare ist¨ allet anv¨ ande matematikens
historia som verktyg skulle det inneb¨ ara en viss f¨ or¨ andring i arbetet men inte mer tidskr¨ avande ¨ an
n˚ agot annat. Personligen tror jag att det finns mycket att h¨ amta fr˚ an matematikens historia f¨ or att
g¨ ora undervisningen b˚ ade mer levande och pedagogisk. N˚ agra aspekter ¨ ar att; f¨ orst˚ a sv˚ arigheter
som eleverna kan ha, f˚ a hj¨ alp med strukturen av sin undervisning, visa att matematiken konstrueras
av m¨ anniskor, samt att den ¨ ar en uppgifts-bank fylld med intressanta problem.
2.4 Undervisning
Detta avsnitt handlar om hur matematikens historia p˚ a olika s¨ att kan vara en tillg˚ ang f¨ or l¨ arande och undervisning.
2.4.1 F¨ orst˚ a elevers sv˚ arigheter
Att som l¨ arare ha kunskap om matematikens historia kan medf¨ ora en b¨ attre k¨ ansla f¨ or vilka begrepp och koncept som eleverna kommer ha sv˚ art med. Om n˚ agot har varit sv˚ art att f¨ orst˚ a f¨ or d˚ atidens matematiker s˚ a ¨ ar sannolikheten stor att det ¨ aven kommer vara sv˚ art att f¨ orst˚ a f¨ or nutidens gym- nasieelever. Med facit i hand kan man ocks˚ a inse varf¨ or det ¨ ar ett knepigt koncept och d¨ armed vara b¨ attre rustad f¨ or att hj¨ alpa eleverna att ¨ overkomma sv˚ arigheterna (B¨ ut¨ uner, 2016).
Ett koncept som kan vara sv˚ art f¨ or elever ¨ ar att acceptera negativa tal och att utf¨ ora operationer med dessa, som exempelvis att a − b ¨ ar ekvivalent med a + (−b) eller att (−a)(−b) = ab. Historiskt sett har matematiker haft ett komplicerat f¨ orh˚ allande till de negativa talen. Redan under 500-talet utvecklade matematiker i Indien och Kina r¨ akneregler f¨ or de negativa talen. Men flera ˚ arhundraden senare finns det inte med i arabernas matematik ¨ aven om de var medvetna om hinduernas bidrag till matematiken och detta visar p˚ a att f¨ orst˚ aelsen f¨ or negativa tal inte ¨ ar given. L˚ angt senare, under 1600-talet ans˚ ag ¨ aven den franska matematikern Blaise Pascal att det inte fanns n˚ agot behov av negativa tal och s˚ a sent som p˚ a 1800-talet var negativa tal helt obegripliga f¨ or den engelska matematikern Augustus de Morgan. En studie fr˚ an Israel ger st¨ od ˚ at att om l¨ arare ¨ ar medvetna om de negativa talens historia s˚ a kan de ocks˚ a l¨ attare f¨ orst˚ a vilka sv˚ arigheter som eleverna st¨ alls inf¨ or. Anv¨ andning av symbolisk notation ¨ ar n˚ agot som inte heller varit en sj¨ alvklarhet historiskt sett och n˚ agot som m˚ anga g˚ anger st¨ aller till det f¨ or eleverna, som att de f¨ orenklar nedanst˚ aende uttryck s˚ ah¨ ar:
cos x
cos 2
x = 1 2 (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s4-5).
Ett annat fenomen som elever brukar ha problem med ¨ ar komplexa tal. De blir f¨ orvirrade n¨ ar
de f¨ orst har f˚ att l¨ ara sig att negativa tal inte har kvadratr¨ otter f¨ or att sedan f¨ ors¨ oka ¨ overtygas
att de faktiskt har r¨ otter. De undrar naturligtvis varf¨ or reglerna pl¨ otsligt har ¨ andrats. Om man
ser till historien tog det ungef¨ ar 400 ˚ ar fr˚ an det att de komplexa talen uppt¨ acktes till att de blev generellt accepterade. Matematikb¨ ocker brukar hoppa ¨ over den historiska analysen och g˚ a direkt p˚ a definitionen att √
−1 = i utan n˚ agon n¨ armare f¨ orklaring. Detta ¨ ar n˚ agra av alla de begrepp som har en l˚ ang historia men d¨ ar man hoppar direkt till slutet vilket skapar problem f¨ or elevernas f¨ orst˚ aelse av matematiken. Om l¨ arare ¨ ar medvetna om historien kan de ocks˚ a f¨ oruts¨ aga och f¨ orst˚ a vad eleverna tycker ¨ ar sv˚ art. Med den informationen ocks˚ a kan de skapa strategier f¨ or att ta itu med sv˚ arigheterna. Dessa strategierna kan mycket v¨ al vara h¨ amtade fr˚ an hur problemet l¨ ostes historiskt (Katz, Dorier, Bekken, Sierpinska, 2002).
2.4.2 Undervisningsstrategier
En strategi f¨ or att hj¨ alpa eleverna med sv˚ arigheter i matematiken kan vara att presentera mate- matiken med utg˚ angspunkt i hur den uppt¨ acktes. Matematiska id´ eer presenteras s¨ allan p˚ a samma s¨ att som de uppt¨ acktes utan resultatet har genomg˚ att en l˚ ang process d¨ ar det har kokats ner till allm¨ anna principer som kan vara sv˚ ara att koppla till den vardagliga f¨ orst˚ aelsen. Om eleverna f¨ orst f˚ ar k¨ annedom om bakgrunden till ett visst matematiskt koncept kan det bli det enklare f¨ or dem att ta till sig de allm¨ anna id´ eerna och l¨ ara sig matematiken (Tzanakis & Aravi, 2002, s204). Ofta har matematiken utvecklats genom att man har haft ett specifikt problem som sedan har generaliserats, exempelvis utgick den egyptiska och babylonska matematiken n¨ astan enbart fr˚ an specifika problem.
Det var grekerna som f¨ orst b¨ orjade anv¨ anda generella teorem och det ¨ ar ocks˚ a s˚ a man ska t¨ anka d˚ a
man l¨ agger upp sin undervisning. Allts˚ a att f¨ orst g˚ a igenom ett specifikt problem eller en intuitiv
tanke f¨ or att sedan g¨ ora generaliseringar, det eftersom n¨ ar elever ska l¨ ara sig n˚ agot nytt beh¨ over
de en referensram som de kan relatera det nya materialet till. Det vanliga ¨ ar dessv¨ arre att l¨ arare
g¨ or tv¨ art om allts˚ a; definition, teorem, bevis och till sist exempel. Detta skapar st¨ orre f¨ orvirring
hos eleverna och de undrar hur n˚ agon kunde komma p˚ a definitionen bara s˚ ad¨ ar (Swetz, Fauvel,
Bekken, Johansson, Katz, 1995, s6). Genom historien har nya problem uppkommit som resultat
av redan l¨ osta problem, exempelvis fr˚ agade grekerna sig ”Vi vet hur man f¨ ordubblar arean av en
kvadrat, men hur blir det om man f¨ ordubblar volymen av en kub?”. Denna nyfikenhet leder till mer
kunskap och det ¨ ar s˚ a l¨ arare ofta vill att elever ska t¨ anka. Tyv¨ arr ¨ ar eleverna inte vana att jobba
p˚ a det s¨ attet. N¨ ar de har l¨ ost en uppgift och f˚ att r¨ att svar g˚ ar de vidare till n¨ asta uppgift utan att
nyfiket st¨ alla f¨ oljdfr˚ agor (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s9). Genom att ber¨ atta
om fr˚ agornas stora betydelse f¨ or den matematiska utvecklingen kan l¨ arare uppmuntra elever till att
unders¨ oka matematiken runt det som st˚ ar i bokens uppgifter och d¨ armed f¨ ordjupa sina kunskaper och ¨ oka motivationen.
2.4.3 Historiska problem
Ett utm¨ arkt s¨ att att inkludera matematikens historia i undervisningen, och dessutom anv¨ anda bra uppgifter f¨ or undervisningen, ¨ ar att leta bland problem fr˚ an historien. Matematikens historia bidrar med en reservoar av genuina matematiska problem som uppkommit genom tusentals ˚ ar av m¨ anniskors matematiska nyfikenhet (Tzanakis & Aravi, 2002, s204-205). F¨ orutom att sj¨ alva uppgifterna kan anv¨ andas som de ¨ ar, kan det ¨ aven vara intressant att j¨ amf¨ ora olika l¨ osningsmetoder.
Exempelvis kan l¨ araren presentera ett historiskt problem och l˚ ata eleverna l¨ osa problemet som de
¨ ar vana vid, f¨ or att sedan unders¨ oka hur det l¨ ostes ursprungligen (Katz, 2000, s30). Alternativt l˚ ata grupper av elever f¨ ordjupa sig i hur olika kulturer resonerade kring ett specifikt problem och sedan j¨ amf¨ ora dem med varandra. Ytterligare ett tillv¨ agag˚ angss¨ att kan vara att presentera ett historiskt problem som d˚ atidens matematiker hade besv¨ ar med, exempelvis Cauchys teorem, f¨ or att sedan l˚ ata eleverna komma p˚ a vad det ¨ ar som saknas i beviset. Om de inte skulle komma p˚ a det kan man ber¨ atta att de inte beh¨ over vara ledsna f¨ or det eftersom inte ens en stor matematiker som Caushy kunde hitta felet utan det skulle g˚ a 26 ˚ ar innan en annan matemaiker Philipp Ludwig von Seidel lyckades att l¨ osa g˚ atan (Katz, 2000, s6). Uppgifter i b¨ ocker ¨ ar ofta tillr¨ attalagda s˚ a att det ska finnas ett r¨ att svar, men faktum ¨ ar att m˚ anga problem saknar l¨ osning. Exempel p˚ a det
¨ ar de tre klassiska antika problemen d¨ ar l¨ osningen var ”l¨ osning saknas”. I vissa fall kan uppgifter
i l¨ arob¨ ocker vara formulerade som ”visa att ... saknar l¨ osning”, men en s˚ adan formulering d¨ odar
k¨ arnan i problemet. Ett s¨ att att implementera denna typ av uppgift kan ist¨ allet vara att integrera
problem utan l¨ osning bland andra problem som har l¨ osning, sedan l˚ ata eleverna sj¨ alva komma fram
till svaret (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s9). L¨ arare kan ocks˚ a utnyttja historiska
misstag, f¨ or¨ andrade uppfattningar och paradoxer i sin undervisning f¨ or att f˚ a eleverna att inse att
jobba matematiskt handlar just om att g¨ ora misstag och det ¨ ar p˚ a den v¨ agen som matematiken
utvecklas.
2.4.4 Visa att matematiken ¨ ar dynamisk och en m¨ ansklig konstruktion
Genom att visa matematiken som en konstruktion ist¨ allet f¨ or reproduktion kan l¨ arare hj¨ alpa elever att komma bort fr˚ an att l¨ ara sig regler utantill och ist¨ allet f˚ ar en b¨ attre och djupare f¨ orst˚ aelse. I skolan ¨ ar exempelvis positionssystemet en f¨ ardig struktur. Eleverna f˚ ar inte l¨ ara sig att det bygger p˚ a kunskaper fr˚ an olika kulturer och har utvecklats under l˚ ang tid. Babylonierna bidrog med posi- tionsid´ en, symbolen f¨ or noll som f¨ ormodligen kommer fr˚ an Grekland och siffrorna som vi har idag har sitt ursprung i Indien (Thompson, 1984). Om elever f˚ ar upp ¨ ogonen f¨ or att misstag, os¨ akerhet, och olika angrepss¨ att inte bara ¨ ar ber¨ attigat utan ocks˚ a en viktig del i skapandet av matematiken kan detta uppmuntra dem till att sj¨ alva st¨ alla fr˚ agor, s¨ atta upp hypoteser, testa dem och v˚ aga g¨ ora fel(Tzanakis & Aravi, 2002, s205). Matematik upplevs av m˚ anga elever som ett tr˚ akigt och inrutat ¨ amne utan n˚ agra m¨ anskliga inslag (Swetz, Fauvel, Bekken, Johansson, Katz, 1995, s10-11).
F¨ or att g¨ ora matematiken mer levande kan l¨ arare d¨ arf¨ or lyfta fram den m¨ anskliga sidan genom att ber¨ atta historier eller anekdoter som behandlar avsnittet i matematiken som eleverna jobbar med f¨ or tillf¨ allet. Det b¨ asta ¨ ar om anekdoten b˚ ade ¨ ar sanningsenlig och underh˚ allande men ibland kan de utsmyckas en del f¨ or att po¨ angen ska g˚ a fram starkare (Katz, 2000, s4).
2.4.5 M˚ angfaldsperspektiv
Matematik ses ofta som en produkt av v¨ asterl¨ andsk kultur men genom att studera historien kan
l¨ arare och elever bli medvetna om andra mindre k¨ anda metoder inom olika kulturer och matemati-
kens betydelse i olika kulturer. Detta kan hj¨ alpa l¨ arare i att g¨ ora undervisningen mer inkluderande
genom att visa olika kulturers bidrag till matematiken (Tzanakis & Aravi, 2002, s207).
3 Metod och material
F¨ or att besvara fr˚ agest¨ allningarna har inledningsvis en litteraturstudie gjorts. Denna litteratur- studie bestod av att s¨ oka fakta om hur matematikens historia kan anv¨ andas i undervisningen.
Utg˚ angspunkten har till stor del varit studien History in mathematics education - the ICMI study fr˚ an 2002 som ¨ ar en omfattande studie d¨ ar olika aspekter av matematikens historia i undervisningen av matematik behandlas. Det ¨ ar egentligen inte en studie utan en sammans¨ attning av flera studier.
Varje kapitel ¨ ar en studie i sig och de olika f¨ orfattarna tar upp olika h¨ anseenden. Andra b¨ ocker och artiklar i ¨ amnet har ¨ aven anv¨ ants f¨ or att kunna synligg¨ ora olika perspektiv d¨ ar matematikens historia kan gynna undervisningen. Dessa har dels handlat om hur och varf¨ or matematikens historia b¨ or anv¨ andas i undervisningen och dels litteratur om sj¨ alva matematikens historia. F¨ or att granska hur dagens l¨ arob¨ ocker inkluderar matematisk historia gjordes en dokumentanalys. En dokumenta- nalys inneb¨ ar att analysera en text exempelvis l¨ aromedel utifr˚ an en viss aspekt (Stukat, 2005, s53), i mitt fall f¨ orekomst och framst¨ allning av matematikens historia i b¨ ockerna. L¨ arob¨ ockerna har ¨ aven j¨ amf¨ orts med varandra f¨ or att se om f¨ orfattarna har tolkat skolverkets krav p˚ a matematikens histo- ria p˚ a olika vis. Att g¨ ora en s˚ adan j¨ amf¨ orelse kallas f¨ or att g¨ ora en komparativ studie (Stukat, 2005, s53). Begr¨ ansningar av materialet har gjorts genom att enbart studera en av matematikkurserna f¨ or gymnasieskolan. Kursen som har valts att behandlas ¨ ar matematik 1b som l¨ ases av elever p˚ a samh¨ allsvetenskapsprogram, ekonomiprogram, estetisk- eller humanistiskt program . Anledningen till valet av just denna kurs ¨ ar f¨ or att b-sp˚ aret l¨ agger st¨ orre vikt vid matematik som en del av samh¨ allet (Skolverket, 2018). L¨ arob¨ ockerna som har studerats ¨ ar fr˚ an fyra olika f¨ orlag och alla ¨ ar vanligt f¨ orekommande i skolor runt om i Sverige. De olika bokserierna ¨ ar Exponent, Origo, Mate- matik 5000 samt Matematik M. Fokus har varit att unders¨ oka f¨ orekomst av problem med koppling till matematikens historia, om det har funnits speciella faktarutor eller om historia har anv¨ ands i teoriavsnitten d¨ ar nya avsnitt eller begrepp f¨ orklaras. I resultatdelen redovisas f¨ orekomst av mo- ment med koppling till historia i de olika b¨ ockerna och tabell 1 p˚ a sida 34 visar en sammanst¨ allning av detta. Resultatet diskuteras och kopplas d¨ arefter till styrdokument och litteratur i analysdelen.
I diskussionen reflekteras, utifr˚ an l¨ arob¨ ocker styrdokument och litteratur, ¨ over hur l¨ arare kan dra nytta av historien f¨ or att f¨ orb¨ attra undervisningen och st¨ odja elevernas l¨ arande och inst¨ allning till
¨ amnet.
4 Resultat
I detta avsnitt redovisas f¨ orekomsten av historia i de olika l¨ arob¨ ockerna.
4.1 Exponent 1b
4.1.1 Taluppfattning
Kapitel 1 handlar om taluppfattning och p˚ a introduktionssidan finns en bild av en lertavla med ba- bylonisk kilskrift p˚ a. P˚ a denna sida st˚ ar det om att tal har funnits under en l˚ ang tid i olika kulturer och med olika uttryckss¨ att. Exempel p˚ a kulturer d¨ ar tal har spelat en viktig roll ¨ ar babylonierna, de indiska, egyptiska och kinesiska kulturerna. Det st˚ ar ¨ aven att ett avsnitt l¨ angre fram i kapitlet kommer behandla babylonska, romerska, och bin¨ ara tal lite mer ing˚ aende.
Senare i samma kapitel kommer ett avsnitt som behandlar heltal. ¨ Aven h¨ ar finns en sida med text som beskriver var v˚ art positionssystem kommer ifr˚ an. Det st˚ ar att det f¨ orsta talsystem som m¨ anniskan anv¨ ande endast inneh¨ oll positiva heltal.
Ungef¨ ar 1900 f.kr. b¨ orjade babylonierna anv¨ anda siffran noll men d˚ a betecknades den med en tom plats i positionssystemet. Sj¨ alva symbolen f¨ or noll s¨ ags komma fr˚ an Indien 500 e.kr. och detta beskrivs i ett verk av Al-Khwarizmi 825 e.kr. Det indiska namnet f¨ or noll var sunuya som betyder tomrum. Det ¨ oversattes senare till latin och blev zephirium detta har i sin tur givit namnet till det svenska ordet siffra och engelskans zero.
Det st˚ ar ¨ aven om att m¨ anniskor hade sv˚ art f¨ or att acceptera de negativa talen. Babylonierna och egyptierna k¨ ande inte alls till dem utan det var f¨ orst p˚ a 600-talet e.kr. som matematiker i Indien inf¨ orde dessa. I Kina anv¨ ande man sig av stickor f¨ or att representera tal. Dessa fanns i b˚ ade r¨ ott och svart d˚ a r¨ oda var positiva tal och svarta var negativa tal. ¨ Aven om de negativa talen hade anv¨ ands i Indien och Kina s˚ a var det m˚ anga som fortfarande var tveksamma om det kunde finnas eftersom
”ingenting kunde ju vara mindre ¨ an ingenting”.
Det finns ¨ aven en uppgift i boken d¨ ar eleverna ska unders¨ oka Eratosthenes s˚ all:
Eratosthenes s˚ all ¨ ar en metod f¨ or att hitta primtal som g˚ ar till s˚ ah¨ ar: B¨ orja med att skriva ner alla tal i ett intervall t.ex. 1 till 100. Vi vet att det f¨ orsta primtalet ¨ ar 2. Stryk nu alla tal som ¨ ar delbara med 2, f¨ orutom talet 2. Stryk d¨ arefter alla som ¨ ar delbara med 3 f¨ orutom 3. Talet 4 ¨ ar nu struket. Sedan stryker vi de som ¨ ar delbara med 5 f¨ orutom 5. Forts¨ att sedan med n¨ asta tal som inte ¨ ar struket. Vilka primtal hittar du mellan 1 och 100? (Exponent 1b, uppgift 1061, s.35)
Avsnittet om talsystem f¨ orklarar hur de romerska talen ¨ ar uppbyggda. Det finns en bild p˚ a Royal Albert Hall i London d¨ ar fasaden ¨ ar kl¨ add med romerska siffror. Siffrorna representerar ˚ aret d˚ a byggnaden invigdes. Uppgifterna till bilden ¨ ar:
a.) Bilden visar en del av fasaden p˚ a Royal Albert Hall i London. N¨ ar invigdes den, enligt inskrip- tionen?
b.) Skriv talet 436 med romerska siffror.
Efter det kommer 11 ¨ ovningar d¨ ar alla handlar om att ¨ overs¨ atta mellan romerska talsystemet och det decimala talsystemet, tv˚ a av dessa beskriver historiska h¨ andelser.
En beskrivning om talsystem ber¨ attar att det genom historien har funnits m˚ anga olika talsystem.
Ett av de tidigaste var Babylonierna som hade ett positionssystem med basen 60, s˚ a kallat sexage- simala talsystemet. Det babyloniska systemet lever kvar i v˚ art samh¨ alle ¨ an idag eftersom vi har 60 sekunder p˚ a en minut och 60 minuter p˚ a en timme. De anv¨ ande kiltecken ist¨ allet f¨ or tal och tv˚ a exempel visar hur man ska tolka olika tal skrivna med kiltecken. Detta f¨ oljs av 8 st uppgifter d¨ ar eleverna ska tolka kiltecken och skriva om decimala tal till tal med basen 60.
4.1.2 Algebra
Kapitel 2 b¨ orjar p˚ a liknande s¨ att som kap 1 men nu handlar det om algebra. I den introduce- rande texten st˚ ar det om ordet algebras ursprung, det kommer fr˚ an ordet al-jabr som betyder
˚ aterst¨ allande. Al-Khwarizmi skrev en bok p˚ a 800-talet som hette Ett kompendium om r¨ akning med
al-jabr och al-muqabal d¨ ar al-jabr inneb¨ ar att addera lika termer i en ekvations b˚ ada led s˚ a att
negativa termer f¨ orsvinner.
De symboler som idag anv¨ ands inom algebran utformades under 1500- och 1600 talet men det var redan p˚ a 200-talet i Alexandria som den f¨ orsta matematikern b¨ orjade anv¨ anda symboler inom matematiken. Denna grekiska matematiker var Diofantos som kanske mest ¨ ar k¨ and f¨ or sina Diofan- tiska ekvationer. Dessa ekvationer ¨ ar p˚ a formen Ax+By = C d¨ ar A, B och C ¨ ar heltal och A,B 6= 0.
I verket Arithmetica visar han l¨ osningar p˚ a s˚ adana ekvationer och ekvationssystem, l¨ osningarna har alltid heltalsv¨ arden f¨ or x och y. D¨ ar finns ¨ aven en uppgift om Diofantos f¨ or eleverna att l¨ osa:
Diofantos tillbringade en sj¨ attedel av sitt liv som barn. Efter ¨ annu en tolftedel l¨ at han sk¨ agget v¨ axa. En sjundedel av sitt liv senare gifte han sig. Fem ˚ ar d¨ arefter f¨ oddes hans son, som blev h¨ alften s˚ a gammal som fadern. Diofantos dog fyra ˚ ar efter sin son.
Hur gammal blev Diofantos?
P˚ a f¨ orsta sidan av avsnittet om potensekvationer st˚ ar det att den som f¨ orst anv¨ ande sig en sym- bolen f¨ or rottecken var Leonardo av Pisa, ¨ aven kallad Fibonacci, som levde p˚ a 1200-talet. Ist¨ allet f¨ or symbolen som vi har idag s˚ a anv¨ ande han bokstaven R fr˚ an latinets Radix som betyder rot.
Rottecknet h¨ arstammar troligtvis fr˚ an 1600-talet och fr˚ an bokstaven r som sedan blivit √ ...
4.1.3 Geometri
Kapitel 3 handlar om geometri, p˚ a f¨ orsta sidan f˚ ar eleven l¨ ara sig att ordet geometri kommer fr˚ an det grekiska ordet geometria som betyder jordm¨ atning. Redan f¨ or 4000 ˚ ar sedan anv¨ andes geometri i Egypten och Mesopotanien f¨ or lantm¨ ateri och f¨ or byggnaskonsten.
Det st˚ ar ¨ aven att all grundl¨ aggande geometri finns i en bok som heter Elementa. Boken ¨ ar skriven
av Euklides, 300 f.kr i Alexandria. Elementa ¨ ar ett verk i 13 delar och sammanfattar det mesta man
visste om matematik p˚ a den h¨ ar tiden. Det har varit en viktig bok d˚ a den fram till idag har varit
tongivande f¨ or l¨ arob¨ ocker i geometri ¨ over hela v¨ arlden och ¨ ar n¨ ast efter Bibeln den mest spridda
bok i v¨ astv¨ arlden. Elementa ¨ ar uppbyggd med satser som bevisas med hj¨ alp av definitioner och
axiom, det finns ¨ aven en bild p˚ a ett utdrag fr˚ an Elementa.
Avsnittet om Pythagoras sats beskriver f¨ orst att en av de mest k¨ anda satserna inom geome- trin ¨ ar uppkallad efter den grekiska matematikern Pythagoras som levde f¨ or cirka 2500 ˚ ar sedan.
Sedan f¨ orklaras att satsen beskriver sambandandet mellan sidorna i en r¨ atvinklig triangel enligt a
2+ b
2= c
2.
Avsnittet om cirkeln inleds med informationen om att det var p˚ a 1700-talet som beteckningen π inf¨ ordes av Leonard Euler men att man har funnit lertavlor fr˚ an babylonien med n¨ armev¨ arde p˚ a π till 3.125.
N¨ ar symmetrier behandlas f¨ orklaras att ordet symmetri kommer fr˚ an grekiska symmetr´ıa och att det betyder j¨ amf¨ orande m¨ atning och i mosaikavsnittet st˚ ar det att mosaik b¨ orjade anv¨ andas redan f¨ or 5000 ˚ ar sedan i Sumer som ¨ ar nuvarande Irak.
Den inledande texten till avsnittet Argument, definition, axiom, sats och bevis ges ett historiskt exempel p˚ a vetenskaplig argumentation. N¨ amligen hur Copernicus (1473-1543) argumenterade f¨ or sin teori om planeternas banor kring solen genom att peka p˚ a himlakropparnas r¨ orelsem¨ onster. Det tog dock m˚ anga ˚ ar innan han v˚ agade framf¨ ora teorierna p˚ a grund av kyrkans inst¨ allning om att jorden var solsystemets mittpunkt.
Det st˚ ar ¨ aven om att logiken grundades av Aristoteles som levde f¨ or 2300 ˚ ar sedan. Logiken utveck- lades sedan fr˚ an och med 1800-talet med hj¨ alp av algebran. I en faktaruta st˚ ar det att man brukar skriva VSV vid avslutat bevis, och att man redan p˚ a Euklides tid 300 f.kr. skrev Q.E.D (quod erat demonstrandum, det som skulle bevisas).
I en gruppaktivitet ska eleverna bevisa Pythagoras sats genom att klippa geometriska figurer i
papper. Det st˚ ar att sambandet redan var k¨ ant av babylonierna men att det fick namn efter Pyt-
hagoras d˚ a det var han som f¨ orst bevisade den. Det finns en uppgift om Fibonacci d¨ ar ska eleverna
ska hitta ett m¨ onster i talf¨ oljden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 och best¨ amma det elfte talet. Sedan
ska de j¨ amf¨ ora kvoter av dessa tal med det gyllene snittet. Det finns ¨ aven en uppgift om Leonardo
da Vinci. Eleverna f˚ ar i denna uppgift en bild av Mona Lisa och ska g¨ ora m¨ atningar i bilden f¨ or att
hitta tv˚ a st¨ allen som har gyllene snittets proportioner.
4.1.4 Procent
Aven i kapitel 4, Procent, finns en historisk bakgrund. Procentr¨ ¨ akning anv¨ andes redan under antiken d˚ a det anv¨ andes vid ekonomiska ber¨ akningar som r¨ anta vid l˚ an eller ber¨ akning av skatt. Ordet procent kommer fr˚ an latinska pro centrum som betyder per hundra. Dock f¨ orekommer inga uppgifter med historisk koppling.
4.1.5 Funktioner
I inledningen av kapitel 5, Funktioner, st˚ ar det att babyloniska astronomer anv¨ ande sig av funktioner f¨ or att studera himlakropparnas r¨ orelser. Genom att betrakta himlakropparnas l¨ age som en funktion av tiden. Ordet funktion inf¨ ordes inte f¨ orr¨ an slutet av 1600-talet av den tyska matematikern och filosofen Gottfried Wilhelm von Leibniz och termen definerades av den Schweiziske matematikern Jean Bernoulli i b¨ orjan av 1700-talet som en variabel. Leonaro Euler var elev till Bernoulli och gjorde i sin tur en samlad beskrivning av funktioner som ing˚ ar i skolans matematik idag. Det mo- derna s¨ attet att se p˚ a funktioner definierades p˚ a 1800-talet av Peter Dirichlet, en tysk matematiker.
Det f¨ orsta avsnittet i kapitlet tar upp koordinatsystem. H¨ ar st˚ ar att koordinatsystemet skapa- des p˚ a 1600-talet av Descartes d˚ a han anv¨ ande tv˚ a graderade linjer, en v˚ agr¨ at och en lodr¨ at, f¨ or att dela upp ett plan i fyra delar (kvadranter). En uppgift fr˚ an Rhindpapyrusen finns med p˚ a sidan 235:
I den 3600 ˚ ar gamla Rhindpapyrusen (en handbok i egyptisk matematik) finns f¨ oljande problem:
Om ett tal, tv˚ a tredjedelar av talet, h¨ alften av talet och en sjundedel av talet adderas blir resultatet 97. Vilket ¨ ar talet?
4.1.6 Sannolikhetsl¨ ara och statistik
Kapitel 6, Sannolikhetsl¨ ara och statistik, inneh˚ aller ingen historisk koppling.
(Gennow, Gustavsson & Silborn, 2011)
4.2 Origo 1b
I f¨ orordet till l¨ aroboken st˚ ar det att det i slutet av varje kapitel finns det ett avsnitt med historia som beskriver matematiken ur ett id´ ehistoriskt perspektiv.
4.2.1 Tabeller och diagram
Figur 1: Origo 1b, s.19.
Det f¨ orsta avsnittet med historia tar upp Florence Nightingale, att hon arbetade som sjuksk¨ oterska och f¨ orb¨ attrade milit¨ arsjukv˚ arden i Eng- land. Det ¨ ar mindre k¨ ant att hon ocks˚ a var en duktig statistiker, vil- ket hon hade anv¨ andning f¨ or d˚ a hon samlade in data och presenterade des- sa i olika tabeller och diagram. Till exempel gjorde hon ett diagram ¨ over d¨ odsorsaker av soldater under Krim- kriget (se figur 1) och visade p˚ a att den st¨ orsta d¨ odsorsaken var smitt- samma sjukdomar, inte direkta krigs- skador. Detta gjorde s˚ a att hon fick igenom sina krav p˚ a f¨ orb¨ attrad hygi- en p˚ a sjukhusen vilket ledde till att d¨ odligheten minskade bland soldater- na. F¨ or sina insatser blev hon den f¨ orsta kvinnan att bli invald till Royal
Statistical Society 1858. Det finns ¨ aven en uppgift d¨ ar eleverna ska tolka Florence Nightingales di-
agram av d¨ odsorsaker i kriget.
4.2.2 Tal
Kapitel 2 handlar om tal och b¨ orjar med att ber¨ atta att matematik ¨ ar ett spr˚ ak som har utvecklats under flera ˚ artusenden. Det st˚ ar om mayafolket som var en betydelsefull kultur omkring 15000 f.kr.
Deras tro var starkt kopplat till astronomi och astronomiska f¨ oruts¨ agelser hade en stark st¨ allning inom kulturen. De anv¨ ande sig av tal f¨ or att g¨ ora dessa astronomiska ber¨ akningar. Vi vet lite om deras s¨ att att r¨ akna d˚ a det har funnits efterl¨ amnade texter p˚ a exempelvis byggnader. I detta kapi- tel ska eleverna f˚ a l¨ ara sig om tal som ¨ ar skrivna p˚ a olika s¨ att och om olika talsystem genom historien.
I texten p˚ a n¨ astkommande sida beskrivs tal i olika former och att m¨ anniskor i alla tider har anv¨ ant sig av de naturliga talen f¨ or att r¨ akna antal f¨ orem˚ al som fanns i omgivningen. De negativa ta- len b¨ orjade anv¨ andas i samband med handel och representerade en skuld. Det finns en faktaruta som kallas f¨ or ordboken d¨ ar ordet negativ s¨ ags komma fr˚ an latinets negare som betyder upph¨ ava eller f¨ orneka. Och att d˚ a exempelvis talet -5 upph¨ aver talet 5 (5 − 5 = 0). P˚ a samma sida st˚ ar
¨ aven att de negativa talen och nollan inf¨ ordes i Indien p˚ a 600-talet. De anv¨ ande inte minustec- ken som vi g¨ or idag utan sm˚ a pilar som visar om det ¨ ar en skuld eller en tillg˚ ang, ungef¨ ar som dagens tallinje. I Europa b¨ orjade man inte r¨ akna med negativa tal f¨ orr¨ an p˚ a 1200-talet och minus- tecknet kom f¨ orst p˚ a 1600-talet. Under avsnittet om primtal och delbarhet st˚ ar det i faktadelen att antikens matematiker visade att det finns o¨ andligt m˚ anga primtal. I avsnittet om talsystem st˚ ar det att det v˚ ara 10 fingrar tros ligga till grund f¨ or det decimala talsystemet. En ordboksruta informerar om att ordet prefix kommer fr˚ an latinets preafixum som betyder att f¨ asta n˚ agot framf¨ or.
Det finns ¨ aven en uppgift p˚ a sidan 42 (uppgift 2179) som s¨ ags vara h¨ amtad fr˚ an Rhindpapyru- sen:
F¨ oljande problem ¨ ar h¨ amtat ur Rhindpapyrusen (ca 1700 f.kr.):
”Se, d¨ ar kommer herden med 70 oxar.”
Den som r¨ aknade fr˚ agade herden:
”Hur stor del av din talrika hjord f¨ or du med dig?”
Herden svarade:
”Tv˚ a tredjedelar av tredjedelen. Hur stor ¨ ar min hjord?”
P˚ a historiasidan i slutet p˚ a kapitel 2 (figur 2 och 3) st˚ ar det om olika kulturers talsystem; det egyptiska, babyloniska, mayafolkets, romerska, indiska och bin¨ ara talsystemet. Det finns en uppgift p˚ a sidan d¨ ar man ska skriva 182 med mayafolkets talsystem. En uppgift d¨ ar man ska tyda ett egyptiskt tal och en d¨ ar man ska skriva ˚ artal med romerska siffror finns.
Figur 2: Origo 1b, s.66. Figur 3: Origo 1b, s.67.
4.2.3 Algebra och ekvationer
Kapitel 3 hanterar algebra och ekvationer och p˚ a f¨ orsta sidan st˚ ar det att ordet algebra kommer fr˚ an arabiskans al-jabr och betyder ekvationsl¨ osning. 830 e.kr skrevs det f¨ orsta vetenskapliga arbetet om algebra av den persiske matematikern Al-Khwarizmi. Man b¨ orjade anv¨ anda bokst¨ aver och symboler inom algebran f¨ orst p˚ a 1600-talet. I slutet av kapitel 3 st˚ ar det om Fibonacci (se figur 4) och hur han reste runt Medelhavet och d¨ ar kom i kontakt med b˚ ade arabiska och grekiska matematiker.
Kunskaper d¨ arifr˚ an sammanfattade han i en bok, Liber Abbaci, d¨ ar siffror representeras p˚ a samma
vis som vi g¨ or idag. Det ber¨ attas ¨ aven att den k¨ anda talf¨ oljden 1 1 2 3 5 ... har f˚ att sitt namn efter
honom och eleverna har f˚ att uppgiften att forts¨ atta en skiss av kaniners fortplantning, d¨ ar antalet
kaniner beskrivs med talf¨ oljden.
4.2.4 Procent
I kapitel 4 finns en ordboksruta som f¨ orklarar att ordet procent kommer fr˚ an latinets pro centrum som betyder f¨ or varje hundra. En annan ordboksruta f¨ orklarar att ordet inflation kommer fr˚ an latinets inflatio som betyder uppbl˚ asning. P˚ a den historiska sidan (se figur 5) st˚ ar det om kejsar Augustus skatter, att skatten p˚ a varje s˚ ald slav var 4/100 och 5/100 f¨ or varje frigiven, en arvs- skatt p˚ a 5/100 och 1/100 p˚ a saker s˚ alda p˚ a auktion. Po¨ angen ¨ ar att m¨ anniskor har r¨ aknat med hundradelar l˚ angt tillbaka i historien. Det st˚ ar ¨ aven att procenttecknet h¨ arstammar fr˚ an Italien.
Eleverna uppmanas att hitta procenttecken i en gammaldags italiensk text fr˚ an 1684. En bild visar procenttecknets utveckling: fr˚ an per cento → per c → p
◦ ◦◦→ %
Figur 4: Origo 1b, s.117. Figur 5: Origo 1b, s.152.
4.2.5 Funktioner
Kapitel 5 handlar om funktioner och p˚ a historiasidan st˚ ar det om kryptering. Ordet kryptering
kommer fr˚ an grekiskans krypto som betyder d¨ olja. Det har alltid varit av intresse att skapa hemlig
skrift och kn¨ acka hemliga koder, s¨ arskillt i tider av krig och oro. Det finns n˚ agra exempel p˚ a
krypteringar samt tv˚ a problem att l¨ osa (se figur 6).
4.2.6 Statistik
Kapitel 6 handlar om statistik. I b¨ orjan st˚ ar det om statistikens betydelse i Sverige och att det
¨ ar viktigt f¨ or att fatta viktiga samh¨ alliga och politiska beslut samt f¨ or beslut som fattas inom f¨ oretag (en f¨ oruts¨ attning f¨ or utveckling). Sverige var det f¨ orsta landet i v¨ arlden som b¨ orjade samla in statistik redan i slutet av 1600-talet. P˚ a historiasidan st˚ ar det om George Gallup som 1932 gjorde den f¨ orsta opinionsunders¨ okningen f¨ or att ta reda p˚ a om hans sv¨ armor hade chans att vinna ett val. Unders¨ okningen gav st¨ od ˚ at att hon faktiskt hade en chans och efter valet stod det klart att hon var vinnaren. Han b¨ orjade sedan g¨ ora opinionsunders¨ okningar f¨ or presidentvalet och lyckades f¨ oruts¨ aga Franklin D Roosevelts seger. Det finns ¨ aven med ett problem som best˚ ar av att tolka resultat fr˚ an en opinionsunders¨ okning p˚ a olika s¨ att (se figur 7).
Figur 6: Origo 1b, s.194. Figur 7: Origo 1b, s.222.
4.2.7 Sannolikhet
Kapitel 7 handlar om sannolikhet. P˚ a f¨ orsta sidan m¨ ots vi av historian om Pierre och Blaises som
spelar ett spel. Spelet g˚ ar ut p˚ a att singla slant fem g˚ anger, men de blir avbrutna efter endast tre
omg˚ angar. Fr˚ agan ¨ ar d˚ a hur de ska r¨ attvist f¨ ordela potten mellan varandra. P˚ a sidan med historia
st˚ ar det mer om spel, sannolikhet f¨ or t¨ arningskast och komplementh¨ andelser. Det st˚ ar att spel har
varit en drivande kraft i utvecklandet av sannolikhetsl¨ aran. Det finns ¨ aven en fr˚ aga om sannolikhet
som best˚ ar av att bed¨ oma vad som ¨ ar mest sannolikt; att f˚ a minst en sexa vid kast med sex t¨ arningar
eller f˚ a minst ett kl¨ att kort vid drag av sex kort fr˚ an en kortlek (se figur 8).
4.2.8 Geometri och bevis
Kapitel 8 har titeln Geometri och bevis. I avsnittet om vinklar och trianglar st˚ ar det att det var babylonska astronomer som var f¨ orst med att m¨ ata vinklar. De anv¨ ande en cirkel och vinkelspetsen i mitten och sedan j¨ amf¨ orde de cirkelb˚ agen f¨ or vinkeln med hela cirkelns omkrets. De valde att dela upp cirkeln i 360 delar. 360 kommer fr˚ an deras tidr¨ akning, ett ˚ ar var 12 m˚ anader med 30 dagar allts˚ a 360 dagar p˚ a ett ˚ ar. N¨ ar vi r¨ aknar vinklar idag g¨ or vi fortfarande p˚ a samma s¨ att, ett varv ¨ ar 360
◦, och v˚ ar gradskiva fungerar p˚ a ungef¨ ar samma s¨ att. Det finns ett avsnitt om enheter d¨ ar det beskrivs att SI enheterna inf¨ ordes 1960 och anv¨ ands nu i st¨ orre delen av v¨ arlden. Tidigare fanns stora skillnader i de enheter som m¨ anniskor i olika delar av v¨ arlden anv¨ ande (vilket till viss del ¨ aven finns kvar i dag). Det finns flera ordboksrutor i avsnittet exempelvis att ordet volym kommer fr˚ an latinets volumen som betyder rulle, att symmetri kommer fr˚ an grekiskans symmetria och betyder j¨ amf¨ orande m¨ atning, implikation kommer fr˚ an latinets implicstionem vilket betyder sammanfl¨ atning och att ekvivalens kommer fr˚ an latinska aequivalentem vilket betyder lika v¨ ard. I avsnittet om satser och bevis st˚ ar det om modellen med att anv¨ anda bevis kommer fr˚ an Euklides Elementa 300 f.kr.och att elementa ¨ ar uppbyggd av enkla definitioner, axiom, satser och bevis. Det st˚ ar ¨ aven att efter avslutat bevis i elementa st˚ ar det q.e.d vilket motsvarar v˚ art vsb. P˚ a historiasidan f˚ ar vi l¨ asa mer om Euklides Elementa och en fr˚ aga om vad som ¨ ar skillnaden p˚ a en definition och en sats samt skillnaden p˚ a p˚ ast˚ aende och sats.
Figur 8: Origo 1b, s.231. Figur 9: Origo 1b, s.299.
4.3 Matematik 5000 1b
I bokens beskrivning st˚ ar det att det finns avsnitt med historik som har tillh¨ orande uppgifter och att matematiken s¨ atts in i ett historiskt sammanhang.
4.3.1 Aritmetik - Om tal
Figur 10: Matematik 5000, s.57.
Kapitel 1 heter Aritmetik om tal. I avsnittet om primtal och delbarhet st˚ ar det att redan Euklides som var en matematiker p˚ a 300-talet f.kr. visste att det finns o¨ andligt m˚ anga prim- tal. Det finns en uppgift p˚ a avsnittet om br˚ ak som handlar om egypternas stambr˚ ak, uppgift 1345 p˚ a sidan 39:
F¨ or flera tusen ˚ ar sedan r¨ aknade man i Egypten n¨ astan bara med br˚ ak d¨ ar t¨ aljaren ¨ ar 1. S˚ adana br˚ ak kallas f¨ or stambr˚ ak.
a.) 2
7 kan skrivas som summan av tv˚ a olika stambr˚ ak. Det ena ¨ ar 1
4 , vilket
¨ ar det andra?
b.) Sju tolftedelar kan skrivas som
summan av tv˚ a olika stambr˚ ak. Det ena ¨ ar 1
3 , vilket ¨ ar det andra?
I avsnittet om talsystem med olika baser st˚ ar det att v˚ art talsystem ursprungligen kommer fr˚ an Indien och att det har anv¨ ants i v¨ astv¨ arlden i ungef¨ ar 1000 ˚ ar. Detta talsystemet har basen 10 men det finns ¨ aven andra baser, som t.ex. babyloniska talsystemet med basen 60 eller mayafolkets med basen 20. Det finns ¨ aven uppgifter d¨ ar eleverna ska skriva om tal i olika talsystem. Det finns ocks˚ a en historisk ruta som g˚ ar lite djupare in p˚ a egyptiska talsystemet och mayafolkets talsystem d¨ ar b˚ ade basen och deras talsymboler behandlas. Till detta finns 6 stycken uppgifter d¨ ar man ska
¨ overs¨ atta fr˚ an och till v˚ art talsystem.
4.3.2 Procent
Figur 11: Matematik 5000, s.89.
Kapitel 2, Procent. P˚ a historiksidan st˚ ar det om varifr˚ an procenttecknet kommer. Att det var den romers- ka kejsar Augustus skatter som var b¨ orjan till att skriva delar i hund- radelar och eftersom 100 heter cen- to p˚ a italienska s˚ a blev en del av hundra ”per cento” och f¨ orkortades s˚ a sm˚ aningom till procenttecknet vi har idag, per cento→ p
00→ %. Det finns ¨ aven 6 stycken uppgifter p˚ a si- dan om historiska procentproblem (se figur 11).
4.3.3 Algebra
Kapitiel 3, Algebra. I probleml¨ osningsavsnittet finns p˚ a sidan 167 en uppgift och en
bild p˚ a en del av Rhindpapyrusen.
Uppgift 3430:
P˚ a Rhindpapyrusen, en n¨ astan 4000 ˚ ar gammal egyptisk skrift, kan vi hitta f¨ oljande problem:
”Ett tal adderat med sin fj¨ ardedal blir 15. vilket ¨ ar talet?”
4.3.4 Geometri
Figur 12: Matematik 5000, s.198.
Kapitel 4 behandlar geometri. I den historiska rutan finns information om var talet π kommer ifr˚ an, n¨ amligen att π = omkretsen
diametern av en cir- kel. Det st˚ ar ¨ aven att m¨ anniskorna i gamla Egypten 1900 f.kr. hade en metod f¨ or att ber¨ akna cirkelns area: arean = ( 8
9 · diametern)
2och att m˚ anga olika kulturer tog fram ett v¨ arde p˚ a π i br˚ akform, dessutom finns tv˚ a stycken uppgif- ter.
I avsnittet om gyllene snittet finns en uppgift om Fibonacci. Det beskrivs att han var en italiensk matematiker
som levde p˚ a 1200-talet och att han givit namn ˚ at talf¨ oljden: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 ... .d¨ ar varje tal ¨ ar summan av de tv˚ a tal f¨ oreg˚ aende. Det st˚ ar ¨ aven att Fibonaccitalen f¨ orekommer i spiralstrukturer i naturen. Ett exempel ¨ ar solrosen som det ¨ aven finns en bild av. Antalet spiraler moturs respektive medurs i solrosen ¨ ar 21 respektive 13, alternativt 34 och 21 (tal i Fibonaccis talf¨ oljd). Uppgifterna
¨ ar f¨ oljande:
a.) Vilka ¨ ar n¨ asta tre tal i talf¨ oljden?
b.) Ber¨ akna kvoterna 21/13 och 34/21.
c.) Ber¨ akna ytterligare tv˚ a kvoter, vad uppt¨ acker du?
4.3.5 Sannolikhetsl¨ ara och statistik
Kapitel 5, Sannolikhetsl¨ ara och statistik. Ingen historia om sannolikhet och statistik finns med i kapitlet. D¨ arimot finns ett avsnitt med blandade ¨ ovningar fr˚ an samtliga moment i boken d¨ ar en uppgift med olika kulturers v¨ arde p˚ a π inkluderas. Uppgiften ¨ ar att avg¨ ora vilket v¨ arde som ¨ ar mest korrekt och vilket som ¨ ar l¨ angst ifr˚ an det korrekta v¨ ardet samt att ber¨ akna en cirkels omkrets med egypternas v¨ arde p˚ a π, uppgiften finns p˚ a sidan 296 och ¨ ar h¨ amtad fr˚ an ett gammalt nationellt prov.
Genom historien har matematikerna f¨ ors¨ okt komma fram till ett bra n¨ armev¨ arde till π. H¨ ar ¨ ar n˚ agra av de v¨ arden som anv¨ ants:
Indierna: √ 10
Egyptierna: 256 81
Romarna: 3 1 8
Grekerna: 22 7
a.) Vilket v¨ arde ¨ ar n¨ armast π och vilket ¨ ar l¨ angs ifr˚ an?
b.) Anv¨ and egyptiernas v¨ arde f¨ or π och ber¨ akna omkretsen f¨ or en cirkel med diametern 125 m.
4.3.6 Grafer och funktioner
Kapitel 6, Grafer och funktioner. Inga historiska kopplingar.
(Alfredsson, Br˚ ating, Erixon, Heikne, 2011)
4.4 Matematik M 1b
4.4.1 Numerisk r¨ akning
P˚ a f¨ orsta sidan i f¨ orsta kapitlet finns en sida med rubriken ”Talens historia”. Underrubriker till denna ¨ ar: naturliga tal, hela tal, rationella tal, irrationella tal, reella tal och decimalsystemet.
Naturliga tal har uppkommit eftersom m¨ anniskor alltid har haft behov av att r¨ akna och veta antal som exempelvis hur m˚ anga h¨ astar som man ¨ ager.
Hela tal beskrivs som de naturliga talen tillsammans med de negativa talen. Det beskrivs att det var f¨ orst p˚ a 1600-talet som dessa accepterades i Europa men att de har r¨ aknats med i Kina och Indien i mer ¨ an 1000 ˚ ar.
Rationella tal beskrivs f¨ orst med exemplet att 1
3 kallas f¨ or ett br˚ ak. Sedan st˚ ar det att f¨ or 2500
˚ ar sedan trodde m¨ anniskorna att alla tal kunde skrivas p˚ a br˚ akform. N¨ ar de uppt¨ ackte att det inte fungerade med alla tal fick de problem.
Exempelvis kunde inte talen √
2 eller π skrivas som ett br˚ ak, dessa tal kallas Irrationella tal.
Reella tal ¨ ar b˚ ade rationella och irrationella tal.
V˚ art talsystem kallas f¨ or Decimalsystemet och ¨ ar uppbyggt av siffrorna 0–9 med talet 10 som bas. Siffrornas position har betydelse f¨ or talets v¨ arde, exempelvis ¨ ar talen 203 och 230 inte lika stora. Det finns ¨ aven andra talsystem som exempelvis ett talsystem med basen 60 som anv¨ andes f¨ or 4000 ˚ ar sedan i Mesopotamien. Det ¨ ar fr˚ an den h¨ ar tiden vi har f˚ att 60 minuter p˚ a en timme och 60 sekunder p˚ a en minut.
Det finns en ruta som heter ”Uppt¨ ack och visa” d¨ ar eleverna r¨ akna med stambr˚ ak men det finns ingen historisk f¨ orklaring, eller att stambr˚ ak anv¨ andes i gamla Egypten (se figur 28).
Figur 13: Matematik M, s.68.
4.4.2 Procent
I kapitel 2, Procent, finns historian till varf¨ or procenttecknet ser ut som det g¨ or. Det st˚ ar att tecknet
% ursprungligen kommer fr˚ an pro centrum vilket ¨ ar latin och betyder ”f¨ or hundra”. Ist¨ allet f¨ or att skriva ut hela uttrycket f¨ orkortades det till
◦c, sedan blev det 0
0 och nu skrivs det som % ¨ over hela v¨ arlden.
4.4.3 Uttryck och ekvationer
Det finns en textruta med f¨ orklaring till ordet algebras ursprung. Det s¨ ags komma fr˚ an det arabiska ordet al-jabr. I en arabisk matematikbok fr˚ an 800-talet finns detta ord med och betydelsen ¨ ar att addera lika termer.
4.4.4 Funktioner
I avsnittet om ekvationssystem finns en textruta och bild om Ren´ e Descartes 1596-1650 som s¨ ags vara den f¨ orsta matematikern som anv¨ ande koordinatsystem. Det ¨ ar d¨ arf¨ or vanliga koordinatsystem brukar kallas kartesianskt. Han skulle ha f˚ att id´ en d˚ a han l˚ ag i s¨ angen och studerade en fluga i taket.
Med hj¨ alp av ett t¨ ankt koordinatsystem kunde han best¨ amma flugans fortsatta v¨ ag. Det st˚ ar ¨ aven att drottning Kristina bj¨ od in honom till Stockholm d¨ ar han dog.
4.4.5 Sannolikhet och statistik
Det finns en textruta om matematikern, fysikern och filosofen Blaise Pascal (1623-1662). Han be- skrivs som den som uppfann rouletten och att han har gett namn ˚ at enheten som vi m¨ ater tryck i Pa (pascal) samt att vi anv¨ ander oss av hans uppt¨ ackter inom sannolikhetsl¨ aran. Det st˚ ar att han en g˚ ang fick ett brev av en greve. I brevet fanns ett problem f¨ or Pascal all l¨ osa, och samma problem finns ¨ aven i l¨ aroboken n˚ agra sidor fram˚ at. Det st˚ ar att Pascal kunde l¨ osa problemet och eleven fr˚ agas: kan du? Detta ¨ ar uppgift 5117 som finns p˚ a sidan 271 i boken.
Vilket av A eller B ¨ ar enklast att f˚ a?
A: minst en 6:a d˚ a jag kastar en t¨ arning 4 g˚ anger
B: minst en dubbelsexa d˚ a jag kastar tv˚ a t¨ arningar 24 g˚ anger
4.4.6 Geometri
I avsnittet om Pythagoras sats beskrivs f¨ orst satsen, sedan finns en textruta om Pythagoras och en bild av honom. I textrutan st˚ ar det att han ¨ ar k¨ and f¨ or satsen a
2+ b
2= c
2som ¨ ar ett uttryck f¨ or sambandet mellan sidorna i en r¨ atvinklig triangel. Sambandet var k¨ ant l˚ angt tidigare men Pythagoras var f¨ orst med att bevisa satsen och d¨ arf¨ or har den namngivits efter honom. Det st˚ ar att det anv¨ andes i Egypten f¨ or att konstruera r¨ ata vinklar, de egyptiska trinanglarna hade sidorna 3,4 och 5. En ruta som heter ”Kommunicera” uppmanar eleverna att ta reda p˚ a vilka l¨ angdenheter som anv¨ andes ”f¨ orr i tiden”. Det p˚ ast˚ as att m˚ anga h¨ anger samman med m¨ anniskokroppen och att eleverna ska kontrollera om de verkar st¨ amma.
(Holmstr¨ om, Smedhamre & Sjunnesson, 2011)
4.5 Tabell av resultatet
Tabell 1:
Fakraruta/
Historisk sida
Introducerande text
Uppgifter Kommentarer
Exponent 1b 0 16 23
Det historiska perspektivet kommer in i introduktionen av kapitlen och i b¨orjan av olika avsnitt. Det finns inte renodlade rutor med historia.
Origo 1b 8 8 11
Historia f¨orekommer dels i introduktionen av nya avsnitt och dels som faktarutor i slutet av varje kapitel. Faktarutorna har tillh¨orande problem i sm˚a rutor, dessa ¨ar inte numrerade som de vanliga uppgifterna.
”Ordboken” ¨ar sm˚a rutor med historisk f¨orklaring till olika matematiska ord.
Matematik 5000 1b 3 3 18
Historiska sidor med flera tillh¨orande uppgifter kopplade till texten.
Det finns ¨aven en del uppgifter med
historisk koppling i bokens ”vanliga”uppgifter.
Matematik M 1b 5 1 1
Faktarutor med historiska personer som har haft betydelse f¨or matematikens historia. Det finns f˚a
problem med koppling till matematikens historia.
