EXPLICATIO
LOCI CUJUSDAM
GEOMETRICI
TERTII ORDINIS,
QJJ AM,
EX CONS. AMPL. ORDIN. PH1L0S. UPS.
PüBUCiE SUBMITTUNT CENSUR/E
ANDREAS FRIGELIUS,
Philos. Magister,
calmariensis,
ετ
ALBERTUS
JULIUS SEGERSTEDT»
alumnus regius SUDERMANNUS. ,
In Auel GuiL Min. D. 10 Jun. An. MDCCLXXX.
Horis, Ante Meridiem, Solkis»
•
UPSALIÄ,
ai\ud Joh. Ejdman, direct, et reg acad. tyfogr,
4
S:ze R:ffi
Maj:ts
ΜAGNJE FIDElVIRO,
GENEROSISSIMO
ACNOBILISSIMO
DOMINO
,om.
JOHANNI PETRO
GR1PENBJELKE,
LEGIFERO UPLANDLE iEQUISSIMO,
M^CENATI SUMMO
SACRUM
VOLUIT, DEBUIT
cultor iiumillimus ALBERTUS JUL· SEGERSTEDT,
ui ante CARTESIUM fuere Geometra, panca9 exilia & hac carptim
tanrummodo de lineis
^ter- tii, quartifuperiorumque ordinum fcripferunt;
quumcontra de lineis ordinis fecundi, Eye de
Sefifiovibus Coni-
eis, uberrime tra£laverint cum veteres tum
recentiores.
Fa£ta'vero adplicadone
Algebra ad exprimendas adfe-
£liones linearum Geometricarum, quod quidem
celebre
inventum viro huic, ingenio
fagaeiffimo pollenti, jure
ac merito adferibendum eft, novo prorfus
induta eil
habitu Do£lrina Curvarum Sc maxime egregiis
locuple-
tata veritatibus. Verumtamen forrnam ejus elegantiorem
multo & convenientiorem reddidit Illuftriilimus NEW-
TONUS , quam poil illum
deinde adeo infigniter ador-
narunt nonnulli Geometrite Antiflites atque adauxerunt,
ut ad id perfe£lionis
faftigium, de
quohac gloriari pos¬
fit atate, eve£ta ilt
vailiifima fane
neque.minus jueunda
hacce pura
Mathefeos
pars.Quamvis
veroita fit,
haud tarnen diffiteri audemus, multa, prafertim qua
ad
fpeciales curvarum
proprietates refpiciant, inlucem pro-
trahi poife , feientia
Mathematica haud
parumprofutu-
ra. Hoc igitur in
ipeeimine fymptomata
acproprieta¬
tes nonnullas loci cujusdam
geometrici tertii ordinis
no-bis fumfimus explicandas; qua
inoilra tentamina
anali-
quem habuerint
fucceflum, Aequo Sc Candido Le£tori
jam
dijudicandum deferimus,
certofperantes fore, ut
niitior nobis adfit cenfura. g^.
A §. II.
I? )
4C ί§5
§. II.
Ut perfpicuitati
fimul
Sc brevitati, quoadejus fieri pot- eft confulamus,a primis ordiamur oportet principiis; qua-re defcribendus eft fuper AB9 tamquam diametrum, cir- culus AEBe (Fig. I. η. i, 2, 3.), Sc e pun£to quovis
D erigendus eft normalis FDf9 circulum utrinque fecans
in Ε, e; jun£tis deinde Br Ε Sc B, ey ex dato quodam pun&o C agatur CF
parallela re&se
BE> ScCf itidem pa- rallela re<ftse Be, eruntque pun&a F9f in linea terti or-dinis, cujus axis eft AB. Aftumantur enim AB = ay
AC-zzby AD nr χ Sc DF ftve Dfzny, erit BD 1 DE
=CD : ΖλΡ, ftve a χ : Fax — x*■=: χ—b :ysy* =
• —— & y=.x — b
F
(Fig. I. n. 1.), ii Z) in-λ—χ a—x
— A*
ter B Sc C capiatur, ftve 3/ =
b-rx F~—;—, ii
interA Sc C ponatur, quae eft aequatio ad lineam tertii ordi- nis, habens ordinatas DF, Df inter fe asquales Sc ad normales, adeoque AB axem. Si merit vero b ne¬
gativa, hoc eft, C (Fig. 2») ad partem A extra A> B
x
iitum, erit y^ih-^x
F
ilL 1■ Λ Sc poiito C (Fig. 3) ex-— X
tra Ay B ad partemi? fit
£
> λSc
yz=zb—
χF—-—·
, (l11 1 ■11 <x
Ex hifce aequationum varietatibus öritur figurarum
delineatarum diverfitas, pofitioni diverfas pun£ti C unice
tribuenda. Licet enim in omnibus tribus ordinata y fiat impoftibilis, pofita λ· negativa vel χ> a, adeoque cur-
vae in fingulis cafibus inträ
normales
edu£tas AX ScBK
continenntur· licet etjam unaquapque earum
fecet AB in
Λ, ob yz=co quando x=o>
habeatque BK afymptotum
&% C ( &&
w. ) 5 \ w '
ilve y infinitum, ubi xzxa: prima tamen, poiito C inter
A & B, föla nodum habebit in C, efficientem, ut idem pun£lum duplex vocari poifit < curvaque ipfa folium, ut dici fölet, inter A Si B exhibeat. Idem folium, rece-
dente C verfus B, tendit ad coinciden-tiam cum circulo ARBe, quae etjam perficitur concuriu pun&orum C Se B>
adeo ut locus noiler eodem cafu in circulum degeneret.
Accedente rurfus C verfusA, ita ut fat ACztl\AB, curva Folium CARTESII adpellatur, cujus hare inprimis eil proprietas , ut abfolute quadrari poflit, id, quod in fe«
quentibus demonftrabitur»
Negari quidem non poteft, inter hane & illam 1-
pfam, quam in epiftolis fuis a) memoriae prodidit acutis- fimus ille Geometra CARTESIUS,, aliquid intercedere difcriminis j nihil tarnen impedit, quo minus ambte, fub
eodem genere comprehenfe, hoc partiantur nomen, quip-
pe cum aeque abfolutam admittant quadraturam, com-
munem habeant axem atque afymptotum, quin·immo eo¬
dem gaudeant nodo eademque fnbtangente, eamque ob
cauifam non aliter differant, ac dute ellipfes iiiper ea- dera re£la inftar axis communis defcriptae. Etenim al-
— x
lata fuppofitione provenitj=|« — χ ,fecun-
a —χ
dum eafvero quae habet CARTESIUS erit^y = —χ
χ
fr7""" ~~, ita ut conftans fit ratio inter ordinatas ea- 3 .a —χ
rum, quam infinitis infuper modis variari poife, manen-
te nihilominus eadem harum curvarum natura, quivis fa-
eile cernin Fa£la deinde ACvnCE^ curva a MOIVREO
nomen fortltur, quod percelebris hic Matbemaricus eam-
A 3 dem
a) Epißola LF11L partis tertia*
β
) 6 ( £
dem primus
explicaverit,
acinter a-lia egregiam ejus dem
dederit quadraturam
b)\
quamfuo expölituri fumus loco.
Occurrat namque linea
re£la AgFv (Fig. I, n, 2.)
curvae in g> F
& aiymptoto in
r;■& inde, du£tis ordi-
natis ZTZfe, kål&
junclis C, Ε & C, £3 erit Cd vdg — Bd: dk
— dk : dA 8c alrernando
Cd: dk
—dg
:dA, CD : DF zn
BD \ DE {De) =
DE {De)
;DA & alrernando CZ2 : Z)Z?
(Ζ)έ>)zz:Z)F-:
Z)^Z. At
veroΖλΡ; DA~ dg\dA ·.= Cd:
adeoque CZ) :
Z)Zf (De)z=i Cd: unde, ob ACz= CB,
erit
&
=2.CZj, dk
=Ζ2ΖΓ (Ite) & ^ =: Z)Z? nec non
jig z= Z^r, cujus
proprietatis mentionem loco citato in-
jecit Dom.
MOIVREUS, Aft, coincidentibus Λ & C
(Fig. I. n.
4.), evanefcit folium, cuipidem in A relin-
quens curvamque mutans
in Cifjoidem, a DIOCLE, infi-
gni Graccorum
Geometra, ad problema de cubo dupli-
cando folvendum 3 primo
inventam. DuZla enim re£ta
AFPG, circulum in
Ρ
atqueafymptotum in G offenden-
te, demirtatur PR
normalis ad
axem,quibus peraZlis
ilatim adparet,
eiTe
arcusPB, A Ε five PB, Ae ånter fe
äquales, propter
reefcas AP
,BE parallelas, ac proinde
AD= RB δί AF=. PG, quöe
notiiiima eil CiiToidis ad-
feZlio.
In transcurfu tribus
verbis adponere liceat omnium
harum curvarum cum
circulo convenientiam, in eo con-
fiilentem , quod fit
CD
z=zDF quando BD = DE, 'hoc
eil ubi D in centrum
circuli ceciderit.
§. III
I /
Locum jam
defcriptum
cumnobis examinandum pro·
poneremus,
ilatim occurrebat, circulum Sc hyperbolam
sequilateram
multum inter fe convenire, & ex hyperbo-
N
Iis
k) Pbilojopbical
Transaciions Fol. XXEf.
■ &VS Ν η ( fl
«Μ» J 7 ν
Tis oppofitis &
sequilateris pofte fimill conftruftione- loca
inveniri prioribus
admodum analoga. Qiiod
utoftenda-
mus, fir Aß (Fig. 4, |, 6)
axis1 transverfus hujusmodi
hyperbolarum
EAe Sc EB
e,quibus in E\
eab utraque
axis parte occurrant
normales EDey~EDe
perpun&a
quaelibet Z>,
D du£tae; ulterius, uti
nuperfa£tum eft,
a-ganrur a
purifto qtiodam C in
axedato
,ut
quoque aBs
reftae ΒΕ7 CF inter fe parallele
Sc Be, Cf
interfe
pa¬rallele r Sc erunt itidem
pun&a Fy f
inlinea tertii
or- dinis, cujus axis·AB communis eft
cumbyperbolis, Re-
tenta igitur
denominatione
anteafacta, conftat efle BD
t DE —CD ; DF&vq χ-f :
Axa
4 ax '=· x+b
tyf f- =' * &
j = xb
——, ρoft t α C (Fig.
A\-h (t X a
4.) inter A Sc B atque
fuppofita abfciiTa χ a parte ipfius
A ftniftra jacere,. fumta vero x
ad contrariam partem,
| χ-
γ = χ — b
A-
X——-/7evadere» Qiiod fi b negativa obve-
nerit, hoe eft» C(Fig. j.) extra
A & B ad partem A fi-
X
tum repertum
fuerit
,conficitur
y= χ —b A^
^^quan-
do * >
£
> five^ =A—
χllbi *< % fltis ad
easdem partes χSe
b, ii
vero earumfitus diverfus fuerit,
χ
y = χ b
A
0 Exiftente demumC (Fig. 6.)
extraχ—(t
A Se B ζ parte dextra
ipftus. B
>dabit
χad iiniftram
———.. χ *■
fumtay=z χ-frb A- » ad dextram vero y =
b
—χ ffχ$ )
8( «
Λ , Λ
// , Γι χ livej/ =x—b1S—-, fi b^ χ. Ita-
x—α x—a
que nihil obftat, quo minus ftatim intelligi poifit, cur-
vas modo allato conihuctas habere ordmatas DF, Df
nen folum ad axem perpendiculares, verum etjam inter-
fe asqualeSj quée ramen impoiiibiles evadunt iimul ac de- prehenfum fuerit D inter A Sc B, quod ex ipfis aequa-
tionibuSj faéia in illis χ negativa & a, ii fumta fue¬
rit ad partera finiftram, vel poiito,' eile tantum χ
fi contraria ejus eilet pofitio, perfpe&u facile erit, ita ut
qu«svis curva in divérfis his figuris inträ normales ere«
Äas AX Sc ÉF obtinere nequeac.
Idem qnoque de harum sequatiömim figurarumque
vario habitu, quod de priorura locorum diveriitate in paragrapho antecedente demonitravimus, diiferi poteft, quin etjam notari , quod curva in fingulis cafibus träns-
eat per A, propter y = o, qtiando χ = o , atque habeat
normalem BF afymptotum , ob y infinitam, poiita x=za Sc ad,
jpartem dextram fumta.
Ceterurn, figuram quar¬tana unice Sc nodo Sc folio carere, quintam autem utro- que gaudere acfextam denique nodum tantummodo pos- fidere, ad quem in formam crucis fefe decuiiat curva, erit propalam. Iccirco curvae cum hyperbolis congruant, coeuntibus pun&is C Sc B, concurrentibus vero C Sc A$
cuipidem in A obtineant, neceife erit;
Adfe£lio praeterea una vel altera harum curvarum, quce illis cum fupra defcriptis communis eft, forte com- memoranda erit, ut omniunf illarum harmonia eo ma¬
gis elucefcat. Nempe, ex ipfa conftru£tione, ultro qua- ii fluir, quod iit DEzrz DF, quando CD = DB, earn-
<|ue ©b
cauifam
curvse infiguris
prima, fecunda Sc ter*. tia
. ) y k w
tia fecent circulum, dummodo b in figuris ver©
quarta, quinta &fexta
néutiquam
hyperbolas interfecent,nili b > a. Porro, ii per pun&um 6' ducatur re&a, cir¬
culum (Fig. I. n. 2, 2, 3.) atque hyperbolam feu hyper¬
boias oppoiitas (Fig. 4, s, 6.) in pun&is F, k (Fig. I.
n. 2, 3, 4, 5) five έ?> k (Fig. 2, 6.) offendens, & ab illis
deinde demitrantur ordinatoe normalem ED (eD), k d, i-
pfis
occurrentes curvisingåcF
(/), erunt tria illa pun-£ta A) g & F (f) in eadeni refta conftituta. Siquidem
enim CD : DF (Df) = BD : DF (De) = DE (De): DA
& alternando CD: DF(De) =DF (Df) ;· DA-, iimiliter
étiam dg : Cd z=.dk\ dB = dA : dk ideoque alternandb dg : dÅ == Cdι dk = CD : DE (De)j unde dg : dAzzz DF
(Df)
: DA* erunt puncta A, g & F (/) in eadem re&alita. Hinc, quod ad curvas circulo genitas adtinet, fa-
eile difeernitur, cuinam curvae iniit flexus contrarius, cujus quidem determinationem, fuo exponendam loco, jam mitrimus.
v §. iv.
Haec, quae allata funt, etß evidentiilimam omnium horum locorum analogiam arguant, illos tamen inter fe
eo differre invenirnus, quod ii, qui hyperbolis compo-
nuntur, praeter afymptotum BF ad axem normalem, cujus dudum
fecimus,
mentionem, duabüs aliis praedit!fint afymptotis, axi in communi puncto occurrentibus ,
cum eoque angulos femire&os formantibus. Nam redi·
gendo
expreifiones ordinatarum ad feries defcendentes,
3a2—4ab 6a2b — $a3 reperiemus y =χ Arb — é^-F -i
8 ·** \6x2,
, 3<22 — 4ab C a2b —
4-&c.velyv —£~p -b — —
8* i6x2
-F &c♦ prout
abfciifa
χ autad iiniitram
autaddextram
B par-
)
ΙΟ(
partem
fumta fuerit, five C inter A Sa B five
extra ea-dem a dextra verfetur (Fig. 4, 6). At vero, ubi Cex¬
tra A Si B a leva (Fig. 5.) locacum fuerit,
habebitur
3a2-b4ab
yz=LX~~b
— la -b5a3 ·+■ 6a2b
4- &c. Yél
%x 16 x2
§a2-4-/\ab
5/2*4-y = x+
i+ia
+—+
—+&c.pro
ut x aut ad fimftram aut ,ad dextram partem capiatur.
Harum ferierum omnes terminos, präster tres pri-
mos,
evanefcere fimul
ac χinfinita evaneferit, fatis eft
3a2 4ab
compertum.
Itaque fupponendo
y—·. ■6a2b— 5a*
16x2 3a2 -b 4
ab
8χ
— &c. =z χ ±: b I a zz v Si y — 6a2 b + $a*
—» &c. zzx ~ b +lazz v,
8^ i6^2
erit, ex hypotheii
abfciflae
infinitas, yzzx±.b
^lazz'v (Fig. 4, 6.) velyzzx+b~la
zz v(Fig. 5.),
quae ae-quationes primi
gradus indicant re&as
cumipfis curvis
ad diftantias infinitas coincidentes Si axem in pun&o quodam
fecantes, cujus diftantia
adato illo C, ejusque
a iiniftra, quantitati la eft
aequalis,
nec nonconftituen-
tes
angslos
ad axemfemire£tos. Fiar enim CR
zzI/4B
zzIa (Fig. 4, 5, 6.) Si "ducantur per
R re£tae SRtyfRT%
facientes angulos SRD, fRD
vel TRD, f/?Zhfemire£tos,
Sa ordinatas DF, Df in .S, f Si T, t
fecantes,
erit RD= DS (DJ) vel RDzzDT (Dt)y hoc
eft, afumta
DS (Df) vel DT(Dt)
zz v, RD zz v zz χ■+b
—lafive
DR zzvzzx — 3-b|* (Fig. 5)^ patet ergo,
re&as SRt9
[RT efleafymptotos,
§. V.
'c$$b \ «* (
^ö" / 11 V W
§. V.
Quum ad curvam quampiam rite cognofcendam
haud parum
conducat, ad
pun&umquodlibet
in illa da¬tum ducere poiTe tangentem, iilius ergo
determinandae
gratia fummi Geometrae variasingemoililime adhibuere
methodos, quas tarnen praetereuntes, quoniam non eft propoiiti
noftri de illis
agere,in
eooccupati folummo·
do erimus, ut conftru&io tangentis in hifce curvis, no-
ilrae disquiiitioni fubje&is, exhibeatur, quatn fequenti
ratione fat commode inftitui poiTe arbitramur.
Agatur
a pun£lo C ad
aliud quoddam F vel f refta CF
vel Cf (Fig. I. n, i, 2, 3, 4, 5,6),
quae,ii
opusfuerit
produäa fecet normalem AX in G. Fa£ta deinde FH
vel ffi aequali dimidne parti ordinatae
ultra F
vel /pro-longatae,
conneåantur pun£ta G & Η
perredarn GHt
interfecantem afymptotum BF in /T, a quo
pun&o
tan¬dem deducatur per F vel f reda, qua: etiam axi in L
occurrat. Dico hane redarn tangere curvam in Fvel/, adeoque axis fegmentum
LD
fubtangentem, utGeome¬
tris loqui mos eft, exponere.
Dudis namque redis t,nHn atque FN vel
fN
axi parallells,erit, ob fimilitudinem triangulorum G
viΗ &
Ηη Κ, ηιΗ : Ηη = m Gz nK^ & porro, propter
ii-
milia triangula
KNF vel KNf, FDL vel fDL, etiam
KN: NF(Νf) = DF (Df) : DL. Fundamento
igitur
hocce fubftrudo, calculum algebraicum
ineundo, ull·
fine negotio
concinnatur expreilio ipfius redae DL,
v.bχ
g. in
figura prima inferatur
χ.: α—#=/αχ—χ*
rx — b.x _· , _
Ζ : nK) *nde nK= ~
t fax—χ* 2
fax —χ*
BÄ ein
# )
12 (Χ — l·. χ
eui addatur Νη = :, ut habeatur Ν Κ ζ±
2 Vax—χ2,
— 2Χ* g^w — al· — 2χ2 + %ax — al· .
3 &, ob . \α—χ
2
Vax—χ21
2 Vax—χ2, ■■ * ' ι
^ _
* b. κ 3Χ α—χ y—χ
= : DL, DL = . Ηχο
^αχ χ2 2 Χ" mmmm3αχ I-al·
quidem expreilio, fiquidem ex aiTe congruit illi ipii fub- tangentis valori, quem curvae huicce competrere, luetho·
do fluxionum aliisque quibuslibet modis ufi, nevimus,
hane conftruitionem veram efTe demonftrat. ÉUmdem prorius in modum probatur veritas ejus in quacumque
figura, quod fatis obvium eft elementorum Geometri^
ac Analyfeos gnaris.
Coeat jam C cum A (Fig. I. n. i), fimulque coire G
& A intelle£tu ha,ud erit difficile, quo in cafu curva in
CiiToidem mutabitur, ut fupra (Fig. f. η. 4) demonftra-
tum eft* evanefcente igitur h in expreiiione iubtangentis
dudum inventa, migrabit illa in L -, qua iterum
3 a—- 2X
confirmatur, ex allata hacce hypotheii veterum proveni-
re CiiToidem, cui conflru£fio tangentis seque ac demon-
ilratio muper fa£fa aptari poiiir.
Ante vero, quam finem hujus paragraphi faciamusj proprietatem quamdam earum curvarum, qua* ope circu-
li conficiuntur, proferamus, ut aliam tangentes illarum impetrandi viam moniiremus, priori concinnirate non eedentem. Ducatur, in figura fecunda v. g., re&a Gavy
tranßens per medium orclinatas DF> & erit Cυ, qua
eon-
β )
13( ·
, / ",, ;
conneftitur interfe£lio ν9 in afymptoto orta3 cum C, ae-
qualis portioni tangentis FK curvam arque
afymptotum
interjacenti. Eil enim rt AG qp : i 2)# ifo =sbx bx -j-
ADι DB> hoc eil 2Ev nmz =£ _"TT :
Fαχ-—x2 2 Vax —* x2
=*= bx =£[xz
Βυ^ζχ ι a —χj unde, du£Hs in fe me·
2 Fax—x2 v
diis Sc extremis debitaque finita redu&ione,
erit Bv
zzax -b 2bχ —- ab
Porro, ob Cv2z=z CB2-\~ er^r
^ν=Ώ
2 Fax—- x2
^a2b2 -+-2a*. 2 a + 3 A
χ—a. 3a + 4b. χ2
„ eß ye-4 χ. a — χ
—2X2 -f- 3ax4°
ab
ro 5ut ex antecedentibus liquet, NK=2~~~ . ■
2 Κ/7ΛΓ-—x2 Sc FK7· zzzNK2 -4- FN2 j unde inito calculo iηvenitur.F/t sequalis eidem valori, quem äqualem Cv eife
comperi*·
mus) ergo Cv = BK.
Hinc coroilarii inilar fluit fequens tangentis con«
flru£lio: centro F atqpe intervalls FK zxz
€ϋ defcribatur
arens circuli, cujus cum afymptoto interfe&io iit
2Γ,
exqua agatur KF? qure erit tångens.
§. VI.
Artificium illud Mat-hematicorum peregregium, qu©
radium circuli, ut ab. illis dicitur, ofculatbrii inveiliga-
re docent, rami eil in Matheii rnomenti, ut filentio il¬
lud prseterire nequaquam conveniret. Scopo igitur n-0- ilro convenienter in hac paragrapho oilendamus, quopa-
B 3
)
*4(
&ό radium huncce in illis faltem curvis, quae circulum
habent genitorem,
conftrudione
lineari ad pundum quod-vis datum concinnare valeamus. Eum in finem iit F vel
/ (Fig. 7) 85 9.)
pundum
curvas, cujus ifto in pundo quaerenda eft curvatura; fit praeterea DFwo,1 df ordinata,huic reipondens pundo, & circulum fuper ABy tam- quam diametrum defcriptum, fecans in S vel f. Capi-
atur infuper #(9 vel Bq aequalis quartaeproportional! tri-
um redarum 4DSy AB, DC vel 4dfy AB, dCy qua de- terminata, ducatur a C per F vel / reda, occurrens a-
fymptoto in G vel g, atque, completo redangulo BGKQ
vel Bgkqy alia reda GΡ vel gρ per G vel g, faciens
cum BKangulum femiredum , quam redarn dein pura in Ρ vel ρ offendere BK vel Bk diagonalem didi re«
dangulL Axi tandem fiat parallela reda MPO vel mpo., per pundum Ρ vel ρ duda, quas aliam redarn FO vel fo, ad curvam normaliter dudam, in 0 vel o fecet.
Dico redarn FO vel fo quaeiiro facere fatis.
Eft enim vi conftrudionis BG : GK=BP: PK BΜ : MG vel Bg : gk=z Bρ :Bk= Bm : vig, unde in- vertendo &componendo KG-+■GB : GB= GB: BΜ(Fig.
7), iive invert. & dividendo KG—GB: GB = GB: BΜ (Fig. 8, 9), vel convert. & inverten. BG —gb\gB =
gB : Bm (Fig. 7,8, 9.); ergo, ob datas expreiliones re¬
darum GKy GB vz1 gk, gB y dabitur etiam expreflio i«
piius DN= BM vel dn τζ,Βυι, cui aut addenda aut de-
menda eft ordinata DP vel dfy ut habeatur inde FN vel fth Itaque, analyfi algebraica ad hane normam inftitu-
ta, erit, v. g. in figura feptima, BΜ vel Bm ss
4X2. a —
Ιλ 2
1 —
. & FN vel /» = äb 4- $ax —
4bx
ax —- xzab2χ -4- 4a2 —6ab. χ2 -4-<\b —%a.x%
———-■
Huic
expreftloni
åk 4- 3ax— 4&x
V
ax —xz -Sfrscquaiis
omnino reperitur FN in figura nona^ fn item,excepto tantum, quod numeraror mutata habeat figna;
in figura vero o&ava eriint valöres re&arum FN Sc fn
iidem ae in figura nona, fi modo
figna
quantitatisb
u-bique fimul immutentur.
Et quoniam hae expreifiones eaedem funt, ad quas methodo fluxionum notaque formula c)r redarn rN vei fn generaliter exhibente, perveniri poflit, tuto conclude-
re liceat, per eonftru&ionem jam fa&am, verumdeter-
minatum efie radium curvaturae, videlicet FO vel fo. Sed
nimis longum föret omnia, quae nobis obvenire pofient,
hifce in pagellis ad liquidum perduceve; quare conftru-
dionem hujusce radii in foliata CARTES1I & Cifloide
DIOCLIS folummodo addere apud animum conftituimus,
quae quidem adeo concinna eft, ut vix ulla concinnior.
In illa enim producatur oidinata
df (Fig.
7») donecdF
aequalis fiat quartae proportionali tedarum Ci, df &c Ad, cujus parti tertiae aequalis capiatur dny &, dudis inpo Sc fo ut fupra, erit fo radius curvaturae. In hac autem, fi ducatur AFG (Fig. I. n. 4), afymptoto in G occurrens,& deinde capiatur GM= \BGy d.cterminabunt redae
MO vel FO, modo allato dudae, radium quaefitum FO,
Has coaftrudiones, utpote quae ex anteceaentibus fatis clarentjdemonfirationibus fingularibus non egere
cenfemus»
§. VII.
Ea, quae ad calcem par?f£aphi tertiae paucit tantum indicavimus, jam planius expiicemus oportet, examina*
turi, quibus curvarum propoiitarum tribui debeat fleiüS,
ut vocari folct, contrarius, Sc vifuri, quomodo conftru-
dio-
c) Doftrine and Application of Flnxions ly Tb. Sim»
pfon. Part. /. pag. 72. Treatife of Fluxiom
byt
ColinMac
Laurin Artic, 382»
β ) 16 C $
&ione geometrica
defignari
poifit illud ipfum punktum,in quo hunc obtineanc flexum, Sumenda igitiir eil flu-
xio fecunda ordinär«, ut ex illa eliciatur valör abfciifie, refpondens ordinär« transeuntis per flexum contrarium d).
Sic, pera£to hoc calculo, pervenimusad «quationemχ ==
al·
— —, tam prim« quam tertiae figur« competentem;
fed quoniam l· <; a (Fig, I. n. i.) facit valorem ipfius χ
negativum, ubi l· vel majorem axe a, dum
flexu contrario gaudere nequit h«c curva ACF. Nam-
3 a— i\c que fit
4b
= $a— 4c, fi eilet4^
< 3^ 3 undel·
== —4 3az — 4 ac
atque xz=z , vel ponatur 4^ = 3^4-4^, fi
—4C
3a +'4? & 3Λ2 4- 4<?£·
4^> 3^j unde bzzz atque ideo χ ,
4 4c
qua transformatione evidentior fiat h«c veritas. At ve-
ro curvam AF (Fig. 3.) talem habere flexum ex eoj pa- tet, quod £;> a effieiat, ut χ continue fit pofitiva minor-
que axe a. Idem quoque valet de curva AF (Fig. 2),
"b
ficut «quatio χ = — innuit, ob hoc eil AB
4M-3<7 . x
& AC ad contrarias partes pun£H A pofitas. Ratione
haud difiimili in
figura
quartaexamini fubjiciatur
χ ab—
, quando χ ad partem finiftram , atque χ = -»•ab
— r, fi ad dextram vergeret.
Quod
ad priorem3a —■ 4b \
d) DoSl. and Applic. of Flux. l>y Tb. Simpjon. Part. /.
pag. 66« Treatife of Flux,
by
Colin Mac Laurin, VoL 1. ar-tic. s£3.
) *7 V W
harum acquationem adtinet, ilanm adparet χ,
eiTe
pofiti-vam j quamdiu b <j, negauvam vero ac majorem#, ubi adeoq'ue »i-ndicare,flexum contrarium earatione huic
ineiTe ioco, ut verfetur ille in cur va/?parte ftniftra re£lae
normalis AX, ubi b ad curvam vcro ex adverfo
ütam migret,
fimul
acfüerit b
> |<?jid, quod poilerior
sequatio iimiliter
commonftrat. Reliqua loca figurae
quin-tae ac fextae^nullum habere
flexum
contrarium, nemo~=Z-ab
non fibi perfvadere poteft, quiaequationes χ~——-- 3/74- 4^
-t-üb
(vid. Fig. 5).
<3c
χ zu — —(vid. Fig. 6.) in fimilem
difquifitionem vocare velit. · '
In hunc modum jam geometrice adfequi
poflumus
hoc pun£lum: capiatur in
afymptoto BK {Fig.
8> 9? 4·) BLzz\AB & fiat deindeLHzzAC,
eo ramenpaito,
ut LB atque LH ab eadem pun£li L parte jaceant, fl AB
& AC fimiliter fuerint pofltas reipe£lu pundli^ja diver-
iis vero ejusdem pun£li partibus, fl diverfus reperiatur
harum AB atque AC fitus. Jun£lis infuper
pun£lis//&
C, agatur alia re£la LR huic parallela axique oceurrens
in R. Ex hoc demum erjgenda eil re£la normalis RT,
quae cum curva in T coneurrens
determinabit ipfum li-
mitem feu initium flexus contrarii.
Namque per conftrn£lionem erit
LB
\LH
=BR
:'
CR (Fig. 8)j Eoc
eil \AB
:AC zzBR:CR &
componen-do CA4- IAB : CA =
CA
4-AB
:CR,
quamob
remCA. CA -h AB AC, AB
CR = -777
'■—^ecARzzCR-CAzz-—-'
—CA4- iAB ^AC 4- 3AB
ab
. Similiter, ob LB: LHzz.BR : CR (Fig.4,9),
4^4-3* ^ .
C erir'
& )
18(
erit dlvidendo (Fig. 4, 9.) BH : HL — BC : BR,
id eft \AB —
AC
:AC
=AB
—AC
·.CR
at-que CR —
AC- AB ~ AC«nde
AR=CR —CV? (Fig.A Λ5—
Λβ.
4.)
five AR=AC-CR (Fig. ,.)
= — =ab βα—4
b'
PiObationem folutionisjam jam allatas, ex ipfa conftru-
clione radii curvedinis in figura o£tava atque nona, etiam
derivari pofle, adco non fupervacaneum erit oftendere,
ut potius hoc loco nequaquam iilud fit negligendum, praefertim quum maxima fefe commendet evidentia. li¬
teηira non poteft non decreicere #2_(Fig. 8 >9)1 cre- fcentjé QK, & verfa vice, quapropter alicubi obveniat BQI== QK neceiie erit.
At in hoc ca u ii b i invicem parallelae erunt re£lae
BK de GP, facientes ideo radium curvaturae infinite ma-
gnum, quemadmodum natur« rei convenienrer fieri de¬
bet, ubi F in pun£tum contrarii flexus inciderit. Er ia-
a. b -4- χ χ% b -4-a
de, pofitis = (Fig. 8·) &
4
^
ax —'xz ax — x2a. b -— χ x,b—a
= — (Fig. 9.) ? impetrantur va- 4 fax x2 Fax — x2
ab ab
lores ipfius χ, nempe χ — —: & χ = —- %
3* -l· 4^ 3*— 4*
cum fupra inventis atque probatis confentientes.
Ceter um ex conftru&ione pun£li flexus contrarii haud
ob-
)
19C
obfcure
perfpicitur,
qua ratonehoc pun£um loci figurae
quartae jam in
iilo jam in alrcro illius crure, pro diver-
fa lineae datae AC magnitudine, reperiatur.
Quando
e«nim AC <; \AB, erit
iimul LH
<LB, adeoque
concur-rec re£ta LH cum axe laevam verfusj ubi vero
AC
= IAB)evadjt LHzzzLBy
quapropterZi? fit axi paralle-
la, & exiftcnte demum
AC
>\AB, axis & re£ta LR
9ob LH > Li B, ad
oppofitam
partem convergent.Sed
de hac re iatis fuperque
difleruimus; ad alias lgitur
pro-cedere convenit.
§. VIII.
Expofitis
fic eis,
quie excurvis jam examinatis nu-
do calculo algebraico
vel differential!
expromerepotui-
mus, quaeque
cöniideratione quadam digna nobis vifa
fuérunt, fas eft, ur earumdem
quadraturam,
opecalculi
intearalis
perveftigandam, aliquatenus adtingamus. Ad
forrnam igitur
ufu frequentiilimam regulasque e) in cal¬
culo integrali
fequendas,
quas afummis Mathematicis
dudum traditas invenimus, exprimetur area
Ad
g(Fig. I.
ybxdx
1tt
Faxx*—dχx:Fax — λγ3 hoc eft membrum prius per
/adx
-inj
2 f/ax—x
a dχ
— [Tax **
& pofterius per
r — Fax — xå *+* ix
^"X
— *2 >2 f/ax — x1 un-
e) Do&rine
and Applic, of Flux. hy Tb. Simpfon. Part
o IL pag. 307.) 20
( c§§l
unde ipfa area A dg Γιve ADF erit aequalis
4b— 3 a i adχ
'
7~
J
— Ϋax —χζ+ί*^ax
—^ 2 fax — χ2
4b — 3/7. 4
adχ
4. 4« ' 2
ΐax
— λγ:K* Λ* — ;r
4^— 3/z / aidx
I xSax—x2=—-— .
/
——-. ——I8 Sax—x2
, 4^C—3/15
■^r^xVtax—■*·*=
Segm. Ak.+Triang. Akdxz
AB— 4C# ΛΖ? + 4Ctf
~AB
-SeSm' ^ TrianS· *~lve
%—*Segm. AE -f Triang. ADE. Hane aream in adnotatio-
nibus fuis folidiilimis ad Tra£latum Illuilriifimi NEW·
ΤΟΝΪ de Quadratura Curvarunv, egregio exemplo in illuilrationem propofitionis feptimae exhibuit Nobiliiiimus
8c Celeberrimus Dom. Prof. MELANDERHiELM. Qua data, ilatim dabitur area CDf-=z CDFmutando figna ex-
preifionis nuperrime prolatse, & deinde rite corrigendo.
Ad aream vero ADF (Fig. 2.) compaiandam non niii
commutatione iignorum poiterioris membri opus eil, 8c 4AC -h 3AB
proinde erit haec area aequalis — Segm. Aek
— Triang. ADe.
Quamvis autem quadratura horum locorum a qua- dratura circuli dependeat, tarnen fpeciali illo in cafu, quando fcilicet C inter A 8c B ita eil fitum, ut faciat
AC= \AB, abfo'ura evacut proprerevanefcentem illum terminum, qui circuli quadraturam requirit, Itaque pa- tet.
r
OWd
)
21( O
1
tet, aream folii CARTESII efTe tequalem dupl© trian¬
gulo Adk (Fig. L n. 2.)
&
totam areamAgChA aequalem
triangulo asquilatero, hoceft
maximo, qui in circulo^AEBe defcribi poifif. Demto ab hoc triangulo
altero
kAl) erit illorum differentia aequalis areas Cgb, ablato ve»
ro triangulo AEe ab aequilatero
illo,
erit eorumexceflus
asqualis areas CjF. Conftat enim integrale areas CfF efle —χ ax —x2, id eft— triang. AEe,
quod
corrigendo,pofito —■triang. AFe~\-Q_zzzo, ut
inveniatur
valör quan-titatis conftantis in hyqothefi
evanefcentis
CD, aequa- le fit triangulo aequilatero — triang,AEe, undfe
porrointegra area CFFZfC=
AgCh.
Ordinem , quem in paragrapho fecunda adhibuimus, fequentes, ad curvam MOIVREI jam properemus, da¬
to ut Heraus promiflb. Sit igitur AFCN (Fig. I. n. 3.)
iftiusmodi curva; fit quoque AILB redangulum, cujus
latus IL tangar femicirculum
AEMcB
inM.
Agarurde-
inde per Ε reda KEeL parallela
alteri'
AB) circulo ite-rum in e lateribusque redanguli in K Se occurrens, Dudis praeterea redis edN, ΑΕ,,ΕΒ,
FF,
AfIMdi AF-,
nec non produda CF,
redarn
AE in R,circulum
inG
& latus redanguli in Η iecante, jungantur
punda Η &
Ε arque erigatur CO axi
perpendiculariter iniiftens
re- damque Af\' in O offendens.integrale
areaeADF
ut impetremus, fubftiruiqoteft -AB in locum ipiius CB in-
tegralis primo determiuati.Quo fado, reperiatur ADF
=Triang. ADE— Segm.AGEA=
Triang AKE
—Segm.
AGEA = areaae mixtilineae AGEK, <Sc proinde AtCA
== AGMl & CDF z=z ! MlK. At quum integrale arese CdΝ exponatur per Segm.
AGEeA—
Triang.Ade five,
quod idem eft, per Segm BFe B— Triang.
BDEczz Segm.
BFeB — Triang BQE= Segm. Ε
Me
— areamix. B.Qe-,
ergo corrigendo,
fuppoiito
a concurrente cumC, unde
C 3 pro-
@ )
12( H
provenit
areamixr. BML, erit
areaCåN■=.
area?mixt.
BML — ar. mixt. BeQ^ + Segm. EMe = 4- eMLQ_
zzieMIK. Hinc prono, ut ajunt, alveo
fluit,
quod iit integra area mixtilineaCAPBC
=AGMLB
r=Be
MlA ,CZJF-t-G/;V = KlLO, CdN CDF-zzEMe^ AFCNPBeMEGA= circulo ,vcujus di-
meter eft 4#.
cetero, quoniam per
conftru&ionem CH eft
pa- rallela re&ae AE5 erit AR z=.RE, arcus GEzz: are. AG,yi//= ΗΕ, ar. mixt. = EGΗ, ang, ARN. = ang.
= ang. re&o & ang. /^G =ang.
EFG, unde
=/'Δ' & //# parallela atque aequalis
re&ae AF\
ergo e-rit triangulus KEHzz
triangulo CDF. Sed
per antede-
rnonftrata eft area ADFzzzAGEK, ergo Segm. AF = AGEH = iAGH.
Uiteriu^:, per ea, quae ad fkiem
paragraphi tertise
demonftravimiis, eft DE: DC ~ AC: CG & : ACzzz AC ι AO. Verum enim , iiquidem area fCN z±fDdN —
1 2 DC. DC. AC
KlLd =
2DC. CO
—2AC. AC
—DE
= -— 2AC. AC — = & prseterea,
ob
£/<
yiO : ACzzz AC: Z)£ & dividendo 40 —
4C
t ss/i'C
—.DE:DE;
An—AC—AC' /iC ζ DE & proinde
DE
AB. AO — yiC= · : erit area
fCNznAB.
DE
DCZ.AC%
AO—AC. Et
quomamCö2—(40—i4C)Ä=
—njj—31 )
ηC @
— AC2)— >
Fl erit etiam
—Fl
area\DE DE
fCN= COä —
(AO
—ACy.
Quod Γιvero denique
'evanefcat AC, quod fit coale-
fcemibus punddis C
Se
A(Fig. I.
n.4.), remanebit in in-
tegrali primum
explorato
3Segm. Ae— Triang. ADet^i
area? Ciiibidis ADF, Sc fic erit tota area ABFFA = 3.
Semicirculo AeFB, Integrale areae
ADF nullam requirere
corre£tionem, ex hocquidemluculentiifime adparet,
quod
Segm. AeSc Triang. ADe iimul evanefcant, evanefcente
abfjifla AD.
Praeter haec, quae de CiiToide
breviilime jam exhi-
buijnus,
mul.a alia adferre poiTemus^
etnominafle for¬
fan fufficiat, Celeberrimum WALL! SiUM,
Oxoniae
o-lim Geometri« Profefforém , primum
demonilraife, in¬
tegram
CiiToidis
areamaequalem eife integrae Cycloidis
aree, habentis eumdem
circuium ÅeBEA genitorem f)>
Illuft. quoque
NEWTON UM g) & Celeber. COTESl-
UM b) tam egregias htijusce
linese redlificationes concin*
naffe, ut plane dubitem, an
pulcrius quidquam praeftari
umquam
poilit,
quaeotnnia ii operi noflrö inlererentur, ni-
mium quantum
iiiud
augerent.§■ ix.
Reftat autem, ut quadraturam locorum
figurils
qüar-ta , quinta Sc fexta delineatorum
aliquantulum tra&emus,
Sc perfpiciamus,an
aliquid illis iniit obferyandum, Propte-
rea iecundum regulas notas fumatur
integrale expreffionis
b#
f) TFALLlSll Opera MatJyematica.
g) NFIFTOMI
Opufculum 11.
b) COTES11 Harmonin Menjuvarum.