• No results found

CUJUSDAM LOCI

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "CUJUSDAM LOCI"

Copied!
26
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

EXPLICATIO

LOCI CUJUSDAM

GEOMETRICI

TERTII ORDINIS,

QJJ AM,

EX CONS. AMPL. ORDIN. PH1L0S. UPS.

PüBUCiE SUBMITTUNT CENSUR/E

ANDREAS FRIGELIUS,

Philos. Magister,

calmariensis,

ετ

ALBERTUS

JULIUS SEGERSTEDT»

alumnus regius SUDERMANNUS. ,

In Auel GuiL Min. D. 10 Jun. An. MDCCLXXX.

Horis, Ante Meridiem, Solkis»

UPSALIÄ,

ai\ud Joh. Ejdman, direct, et reg acad. tyfogr,

4

(2)

S:ze R:ffi

Maj:ts

ΜAGNJE FIDEl

VIRO,

GENEROSISSIMO

AC

NOBILISSIMO

DOMINO

,

om.

JOHANNI PETRO

GR1PENBJELKE,

LEGIFERO UPLANDLE iEQUISSIMO,

M^CENATI SUMMO

SACRUM

VOLUIT, DEBUIT

cultor iiumillimus ALBERTUS JUL· SEGERSTEDT,

(3)

ui ante CARTESIUM fuere Geometra, panca9 exilia & hac carptim

tanrummodo de lineis

^ter- tii, quarti

fuperiorumque ordinum fcripferunt;

quum

contra de lineis ordinis fecundi, Eye de

Sefifiovibus Coni-

eis, uberrime tra£laverint cum veteres tum

recentiores.

Fa£ta'vero adplicadone

Algebra ad exprimendas adfe-

£liones linearum Geometricarum, quod quidem

celebre

inventum viro huic, ingenio

fagaeiffimo pollenti, jure

ac merito adferibendum eft, novo prorfus

induta eil

habitu Do£lrina Curvarum Sc maxime egregiis

locuple-

tata veritatibus. Verumtamen forrnam ejus elegantiorem

multo & convenientiorem reddidit Illuftriilimus NEW-

TONUS , quam poil illum

deinde adeo infigniter ador-

narunt nonnulli Geometrite Antiflites atque adauxerunt,

ut ad id perfe£lionis

faftigium, de

quo

hac gloriari pos¬

fit atate, eve£ta ilt

vailiifima fane

neque

.minus jueunda

hacce pura

Mathefeos

pars.

Quamvis

vero

ita fit,

haud tarnen diffiteri audemus, multa, prafertim qua

ad

fpeciales curvarum

proprietates refpiciant, inlucem pro-

trahi poife , feientia

Mathematica haud

parum

profutu-

ra. Hoc igitur in

ipeeimine fymptomata

ac

proprieta¬

tes nonnullas loci cujusdam

geometrici tertii ordinis

no-

bis fumfimus explicandas; qua

inoilra tentamina

an

ali-

quem habuerint

fucceflum, Aequo Sc Candido Le£tori

jam

dijudicandum deferimus,

certo

fperantes fore, ut

niitior nobis adfit cenfura. g^.

A §. II.

(4)

I? )

4

C ί§5

§. II.

Ut perfpicuitati

fimul

Sc brevitati, quoadejus fieri pot- eft confulamus,a primis ordiamur oportet principiis; qua-

re defcribendus eft fuper AB9 tamquam diametrum, cir- culus AEBe (Fig. I. η. i, 2, 3.), Sc e pun£to quovis

D erigendus eft normalis FDf9 circulum utrinque fecans

in Ε, e; jun£tis deinde Br Ε Sc B, ey ex dato quodam pun&o C agatur CF

parallela re&se

BE> ScCf itidem pa- rallela re<ftse Be, eruntque pun&a F9f in linea terti or-

dinis, cujus axis eft AB. Aftumantur enim AB = ay

AC-zzby AD nr χ Sc DF ftve Dfzny, erit BD 1 DE

=CD : ΖλΡ, ftve a χ : Fax x*■=: χb :ysy* =

—— & y=.x b

F

(Fig. I. n. 1.), ii Z) in-

λ—χ a—x

A*

ter B Sc C capiatur, ftve 3/ =

b-rx F~—;—, ii

inter

A Sc C ponatur, quae eft aequatio ad lineam tertii ordi- nis, habens ordinatas DF, Df inter fe asquales Sc ad normales, adeoque AB axem. Si merit vero b ne¬

gativa, hoc eft, C (Fig. 2») ad partem A extra A> B

x

iitum, erit y^ih-^x

F

ilL 1 Λ Sc poiito C (Fig. 3) ex-

X

tra Ay B ad partemi? fit

£

> λ

Sc

yz=z

b—

χ

F—-—·

, (l11 1 ■11 <x

Ex hifce aequationum varietatibus öritur figurarum

delineatarum diverfitas, pofitioni diverfas pun£ti C unice

tribuenda. Licet enim in omnibus tribus ordinata y fiat impoftibilis, pofita λ· negativa vel χ> a, adeoque cur-

vae in fingulis cafibus inträ

normales

edu£tas AX Sc

BK

continenntur· licet etjam unaquapque earum

fecet AB in

Λ, ob yz=co quando x=o>

habeatque BK afymptotum

(5)

&% C ( &&

w. ) 5 \ w '

ilve y infinitum, ubi xzxa: prima tamen, poiito C inter

A & B, föla nodum habebit in C, efficientem, ut idem pun£lum duplex vocari poifit < curvaque ipfa folium, ut dici fölet, inter A Si B exhibeat. Idem folium, rece-

dente C verfus B, tendit ad coinciden-tiam cum circulo ARBe, quae etjam perficitur concuriu pun&orum C Se B>

adeo ut locus noiler eodem cafu in circulum degeneret.

Accedente rurfus C verfusA, ita ut fat ACztl\AB, curva Folium CARTESII adpellatur, cujus hare inprimis eil proprietas , ut abfolute quadrari poflit, id, quod in fe«

quentibus demonftrabitur»

Negari quidem non poteft, inter hane & illam 1-

pfam, quam in epiftolis fuis a) memoriae prodidit acutis- fimus ille Geometra CARTESIUS,, aliquid intercedere difcriminis j nihil tarnen impedit, quo minus ambte, fub

eodem genere comprehenfe, hoc partiantur nomen, quip-

pe cum aeque abfolutam admittant quadraturam, com-

munem habeant axem atque afymptotum, quin·immo eo¬

dem gaudeant nodo eademque fnbtangente, eamque ob

cauifam non aliter differant, ac dute ellipfes iiiper ea- dera re£la inftar axis communis defcriptae. Etenim al-

x

lata fuppofitione provenitj=|« χ ,fecun-

a χ

dum eafvero quae habet CARTESIUS erit^y = —χ

χ

fr7""" ~~, ita ut conftans fit ratio inter ordinatas ea- 3 .a χ

rum, quam infinitis infuper modis variari poife, manen-

te nihilominus eadem harum curvarum natura, quivis fa-

eile cernin Fa£la deinde ACvnCE^ curva a MOIVREO

nomen fortltur, quod percelebris hic Matbemaricus eam-

A 3 dem

a) Epißola LF11L partis tertia*

(6)

β

) 6 ( £

dem primus

explicaverit,

ac

inter a-lia egregiam ejus dem

dederit quadraturam

b)\

quam

fuo expölituri fumus loco.

Occurrat namque linea

re£la AgFv (Fig. I, n, 2.)

curvae in g> F

& aiymptoto in

r;

■& inde, du£tis ordi-

natis ZTZfe, kål&

junclis C, Ε & C, £3 erit Cd vdg — Bd: dk

dk : dA 8c alrernando

Cd: dk

dg

:

dA, CD : DF zn

BD \ DE {De) =

DE {De)

;

DA & alrernando CZ2 : Z)Z?

(Ζ)έ>)zz:Z)F-:

Z)^Z. At

vero

ΖλΡ; DA~ dg\dA ·.= Cd:

adeoque CZ) :

Z)Zf (De)z=i Cd: unde, ob ACz= CB,

erit

&

=2.

CZj, dk

=

Ζ2ΖΓ (Ite) & ^ =: Z)Z? nec non

jig z= Z^r, cujus

proprietatis mentionem loco citato in-

jecit Dom.

MOIVREUS, Aft, coincidentibus Λ & C

(Fig. I. n.

4.), evanefcit folium, cuipidem in A relin-

quens curvamque mutans

in Cifjoidem, a DIOCLE, infi-

gni Graccorum

Geometra, ad problema de cubo dupli-

cando folvendum 3 primo

inventam. DuZla enim re£ta

AFPG, circulum in

Ρ

atque

afymptotum in G offenden-

te, demirtatur PR

normalis ad

axem,

quibus peraZlis

ilatim adparet,

eiTe

arcus

PB, A Ε five PB, Ae ånter fe

äquales, propter

reefcas AP

,

BE parallelas, ac proinde

AD= RB δί AF=. PG, quöe

notiiiima eil CiiToidis ad-

feZlio.

In transcurfu tribus

verbis adponere liceat omnium

harum curvarum cum

circulo convenientiam, in eo con-

fiilentem , quod fit

CD

z=z

DF quando BD = DE, 'hoc

eil ubi D in centrum

circuli ceciderit.

§. III

I /

Locum jam

defcriptum

cum

nobis examinandum pro·

poneremus,

ilatim occurrebat, circulum Sc hyperbolam

sequilateram

multum inter fe convenire, & ex hyperbo-

N

Iis

k) Pbilojopbical

Transaciions Fol. XXEf.

(7)

&VS Ν η ( fl

«Μ» J 7 ν

Tis oppofitis &

sequilateris pofte fimill conftruftione- loca

inveniri prioribus

admodum analoga. Qiiod

ut

oftenda-

mus, fir Aß (Fig. 4, |, 6)

axis1 transverfus hujusmodi

hyperbolarum

EAe Sc EB

e,

quibus in E\

e

ab utraque

axis parte occurrant

normales EDey~EDe

per

pun&a

quaelibet Z>,

D du£tae; ulterius, uti

nuper

fa£tum eft,

a-

ganrur a

purifto qtiodam C in

axe

dato

,

ut

quoque a

Bs

reftae ΒΕ7 CF inter fe parallele

Sc Be, Cf

inter

fe

pa¬

rallele r Sc erunt itidem

pun&a Fy f

in

linea tertii

or- dinis, cujus axis·

AB communis eft

cum

byperbolis, Re-

tenta igitur

denominatione

antea

facta, conftat efle BD

t DE CD ; DF&vq χ-f :

Axa

4 ax '=· x+

b

tyf f- =

' * &

j = x

b

——, ρ

oft t α C (Fig.

A\-h (t X a

4.) inter A Sc B atque

fuppofita abfciiTa χ a parte ipfius

A ftniftra jacere,. fumta vero x

ad contrariam partem,

| χ-

γ = χ b

A-

X——-/7

evadere» Qiiod fi b negativa obve-

nerit, hoe eft» C(Fig. j.) extra

A & B ad partem A fi-

X

tum repertum

fuerit

,

conficitur

y= χ —

b A^

^^

quan-

do * >

£

> five^ =

A—

χ

llbi *< % fltis ad

easdem partes χSe

b, ii

vero earum

fitus diverfus fuerit,

χ

y = χ b

A

0 Exiftente demum

C (Fig. 6.)

extra

χ(t

A Se B ζ parte dextra

ipftus. B

>

dabit

χ

ad iiniftram

———.. χ *■

fumtay=z χ-frb A- » ad dextram vero y =

b

χ ffχ

(8)

$ )

8

( «

Λ , Λ

// , Γι χ livej/ =x—b1S—-, fi b^ χ. Ita-

x—α x—a

que nihil obftat, quo minus ftatim intelligi poifit, cur-

vas modo allato conihuctas habere ordmatas DF, Df

nen folum ad axem perpendiculares, verum etjam inter-

fe asqualeSj quée ramen impoiiibiles evadunt iimul ac de- prehenfum fuerit D inter A Sc B, quod ex ipfis aequa-

tionibuSj faéia in illis χ negativa & a, ii fumta fue¬

rit ad partera finiftram, vel poiito,' eile tantum χ

fi contraria ejus eilet pofitio, perfpe&u facile erit, ita ut

qu«svis curva in divérfis his figuris inträ normales ere«

Äas AX Sc ÉF obtinere nequeac.

Idem qnoque de harum sequatiömim figurarumque

vario habitu, quod de priorura locorum diveriitate in paragrapho antecedente demonitravimus, diiferi poteft, quin etjam notari , quod curva in fingulis cafibus träns-

eat per A, propter y = o, qtiando χ = o , atque habeat

normalem BF afymptotum , ob y infinitam, poiita x=za Sc ad,

jpartem dextram fumta.

Ceterurn, figuram quar¬

tana unice Sc nodo Sc folio carere, quintam autem utro- que gaudere acfextam denique nodum tantummodo pos- fidere, ad quem in formam crucis fefe decuiiat curva, erit propalam. Iccirco curvae cum hyperbolis congruant, coeuntibus pun&is C Sc B, concurrentibus vero C Sc A$

cuipidem in A obtineant, neceife erit;

Adfe£lio praeterea una vel altera harum curvarum, quce illis cum fupra defcriptis communis eft, forte com- memoranda erit, ut omniunf illarum harmonia eo ma¬

gis elucefcat. Nempe, ex ipfa conftru£tione, ultro qua- ii fluir, quod iit DEzrz DF, quando CD = DB, earn-

<|ue ©b

cauifam

curvse in

figuris

prima, fecunda Sc ter*

. tia

(9)

. ) y k w

tia fecent circulum, dummodo b in figuris ver©

quarta, quinta &fexta

néutiquam

hyperbolas interfecent,

nili b > a. Porro, ii per pun&um 6' ducatur re&a, cir¬

culum (Fig. I. n. 2, 2, 3.) atque hyperbolam feu hyper¬

boias oppoiitas (Fig. 4, s, 6.) in pun&is F, k (Fig. I.

n. 2, 3, 4, 5) five έ?> k (Fig. 2, 6.) offendens, & ab illis

deinde demitrantur ordinatoe normalem ED (eD), k d, i-

pfis

occurrentes curvis

ingåcF

(/), erunt tria illa pun-

£ta A) g & F (f) in eadeni refta conftituta. Siquidem

enim CD : DF (Df) = BD : DF (De) = DE (De): DA

& alternando CD: DF(De) =DF (Df) DA-, iimiliter

étiam dg : Cd z=.dk\ dB = dA : dk ideoque alternandb dg :== Cdι dk = CD : DE (De)j unde dg : dAzzz DF

(Df)

: DA* erunt puncta A, g & F (/) in eadem re&a

lita. Hinc, quod ad curvas circulo genitas adtinet, fa-

eile difeernitur, cuinam curvae iniit flexus contrarius, cujus quidem determinationem, fuo exponendam loco, jam mitrimus.

v §. iv.

Haec, quae allata funt, etß evidentiilimam omnium horum locorum analogiam arguant, illos tamen inter fe

eo differre invenirnus, quod ii, qui hyperbolis compo-

nuntur, praeter afymptotum BF ad axem normalem, cujus dudum

fecimus,

mentionem, duabüs aliis praedit!

fint afymptotis, axi in communi puncto occurrentibus ,

cum eoque angulos femire&os formantibus. Nam redi·

gendo

expreifiones ordinatarum ad feries defcendentes,

3a2—4ab 6a2b $a3 reperiemus y =χ Arb é^-F -i

8 ·** \6x2,

, 3<22 4ab C a2b

4-&c.velyv £~p -b

8* i6x2

-F &c♦ prout

abfciifa

χ aut

ad iiniitram

autad

dextram

B par-

(10)

)

ΙΟ

(

partem

fumta fuerit, five C inter A Sa B five

extra ea-

dem a dextra verfetur (Fig. 4, 6). At vero, ubi Cex¬

tra A Si B a leva (Fig. 5.) locacum fuerit,

habebitur

3a2-b4ab

yz=LX~~b

la -b

5a3 ·+■ 6a2b

4- &c. Yél

%x 16 x2

§a2-4-/\ab

5/2*4-

y = x+

i+ia

+

—+

—+

&c.pro

ut x aut ad fimftram aut ,ad dextram partem capiatur.

Harum ferierum omnes terminos, präster tres pri-

mos,

evanefcere fimul

ac χ

infinita evaneferit, fatis eft

3a2 4ab

compertum.

Itaque fupponendo

y—·.

6a2b— 5a*

16x2 3a2 -b 4

ab

8χ

&c. =z χ ±: b I a zz v Si y 6a2 b + $a*

—» &c. zzx ~ b +lazz v,

8^ i6^2

erit, ex hypotheii

abfciflae

infinitas, yzzx±.

b

^lazz'v (Fig. 4, 6.) vel

yzzx+b~la

zz v

(Fig. 5.),

quae ae-

quationes primi

gradus indicant re&as

cum

ipfis curvis

ad diftantias infinitas coincidentes Si axem in pun&o quodam

fecantes, cujus diftantia

a

dato illo C, ejusque

a iiniftra, quantitati la eft

aequalis,

nec non

conftituen-

tes

angslos

ad axem

femire£tos. Fiar enim CR

zzI

/4B

zzIa (Fig. 4, 5, 6.) Si "ducantur per

R re£tae SRtyfRT%

facientes angulos SRD, fRD

vel TRD, f/?Zhfemire£tos,

Sa ordinatas DF, Df in .S, f Si T, t

fecantes,

erit RD

= DS (DJ) vel RDzzDT (Dt)y hoc

eft, afumta

DS (Df) vel DT

(Dt)

zz v, RD zz v zz χ

■+b

—la

five

DR zzvzzx 3-b|* (Fig. 5)^ patet ergo,

re&as SRt9

[RT efle

afymptotos,

§. V.

(11)

'c$$b \ «* (

^ö" / 11 V W

§. V.

Quum ad curvam quampiam rite cognofcendam

haud parum

conducat, ad

pun&um

quodlibet

in illa da¬

tum ducere poiTe tangentem, iilius ergo

determinandae

gratia fummi Geometrae varias

ingemoililime adhibuere

methodos, quas tarnen praetereuntes, quoniam non eft propoiiti

noftri de illis

agere,

in

eo

occupati folummo·

do erimus, ut conftru&io tangentis in hifce curvis, no-

ilrae disquiiitioni fubje&is, exhibeatur, quatn fequenti

ratione fat commode inftitui poiTe arbitramur.

Agatur

a pun£lo C ad

aliud quoddam F vel f refta CF

vel Cf (Fig. I. n, i, 2, 3, 4, 5,

6),

quae,

ii

opus

fuerit

produäa fecet normalem AX in G. Fa£ta deinde FH

vel ffi aequali dimidne parti ordinatae

ultra F

vel /pro-

longatae,

conneåantur pun£ta G & Η

per

redarn GHt

interfecantem afymptotum BF in /T, a quo

pun&o

tan¬

dem deducatur per F vel f reda, qua: etiam axi in L

occurrat. Dico hane redarn tangere curvam in Fvel/, adeoque axis fegmentum

LD

fubtangentem, ut

Geome¬

tris loqui mos eft, exponere.

Dudis namque redis t,nHn atque FN vel

fN

axi parallells,

erit, ob fimilitudinem triangulorum G

vi

Η &

Ηη Κ, ηιΗ : Ηη = m Gz nK^ & porro, propter

ii-

milia triangula

KNF vel KNf, FDL vel fDL, etiam

KN: NF(Νf) = DF (Df) : DL. Fundamento

igitur

hocce fubftrudo, calculum algebraicum

ineundo, ull·

fine negotio

concinnatur expreilio ipfius redae DL,

v.

bχ

g. in

figura prima inferatur

χ.: α—#=

/αχ—χ*

rx b.x , _

Ζ : nK) *nde nK= ~

t fax—χ* 2

fax —χ*

ein

(12)

# )

12 (

Χ l·. χ

eui addatur Νη = :, ut habeatur Ν Κ ζ±

2 Vaxχ2,

2Χ* g^w al· 2χ2 + %ax al· .

3 &, ob . \α—χ

2

Vax—χ21

2 Vax—χ2

, ■■ * ' ι

^ _

* b. κ α—χ y—χ

= : DL, DL = . Ηχο

^αχ χ2 2 Χ" mmmm3αχ I-al·

quidem expreilio, fiquidem ex aiTe congruit illi ipii fub- tangentis valori, quem curvae huicce competrere, luetho·

do fluxionum aliisque quibuslibet modis ufi, nevimus,

hane conftruitionem veram efTe demonftrat. ÉUmdem prorius in modum probatur veritas ejus in quacumque

figura, quod fatis obvium eft elementorum Geometri^

ac Analyfeos gnaris.

Coeat jam C cum A (Fig. I. n. i), fimulque coire G

& A intelle£tu ha,ud erit difficile, quo in cafu curva in

CiiToidem mutabitur, ut fupra (Fig. f. η. 4) demonftra-

tum eft* evanefcente igitur h in expreiiione iubtangentis

dudum inventa, migrabit illa in L -, qua iterum

3 a—- 2X

confirmatur, ex allata hacce hypotheii veterum proveni-

re CiiToidem, cui conflru£fio tangentis seque ac demon-

ilratio muper fa£fa aptari poiiir.

Ante vero, quam finem hujus paragraphi faciamusj proprietatem quamdam earum curvarum, qua* ope circu-

li conficiuntur, proferamus, ut aliam tangentes illarum impetrandi viam moniiremus, priori concinnirate non eedentem. Ducatur, in figura fecunda v. g., re&a Gavy

tranßens per medium orclinatas DF> & erit Cυ, qua

eon-

(13)

β )

13

( ·

, / ",, ;

conneftitur interfe£lio ν9 in afymptoto orta3 cum C, ae-

qualis portioni tangentis FK curvam arque

afymptotum

interjacenti. Eil enim rt AG qp : i 2)# ifo =s

bx bx -j-

ADι DB> hoc eil 2Ev nmz =£ _"TT :

Fαχ-—x2 2 Vax —* x2

=*= bx =£[xz

Βυ^ζχ ι a —χj unde, du£Hs in fe me·

2 Fax—x2 v

diis Sc extremis debitaque finita redu&ione,

erit Bv

zz

ax -b 2bχ —- ab

Porro, ob Cv2z=z CB2-\~ er^r

^ν=Ώ

2 Fax—- x2

^a2b2 -+-2a*. 2 a + 3 A

χ—

a. 3a + 4b. χ2

ye-

4 χ. a χ

2X2 -f- 3ax

ab

ro 5ut ex antecedentibus liquet, NK=2~~~ .

2 Κ/7ΛΓ-—x2 Sc FK7· zzzNK2 -4- FN2 j unde inito calculo iηvenitur.F/t sequalis eidem valori, quem äqualem Cv eife

comperi*·

mus) ergo Cv = BK.

Hinc coroilarii inilar fluit fequens tangentis con«

flru£lio: centro F atqpe intervalls FK zxz

€ϋ defcribatur

arens circuli, cujus cum afymptoto interfe&io iit

2Γ,

ex

qua agatur KF? qure erit tångens.

§. VI.

Artificium illud Mat-hematicorum peregregium, qu©

radium circuli, ut ab. illis dicitur, ofculatbrii inveiliga-

re docent, rami eil in Matheii rnomenti, ut filentio il¬

lud prseterire nequaquam conveniret. Scopo igitur n-0- ilro convenienter in hac paragrapho oilendamus, quopa-

B 3

(14)

)

*4

(

&ό radium huncce in illis faltem curvis, quae circulum

habent genitorem,

conftrudione

lineari ad pundum quod-

vis datum concinnare valeamus. Eum in finem iit F vel

/ (Fig. 7) 85 9.)

pundum

curvas, cujus ifto in pundo quaerenda eft curvatura; fit praeterea DFwo,1 df ordinata,

huic reipondens pundo, & circulum fuper ABy tam- quam diametrum defcriptum, fecans in S vel f. Capi-

atur infuper #(9 vel Bq aequalis quartaeproportional! tri-

um redarum 4DSy AB, DC vel 4dfy AB, dCy qua de- terminata, ducatur a C per F vel / reda, occurrens a-

fymptoto in G vel g, atque, completo redangulo BGKQ

vel Bgkqy alia reda GΡ vel gρ per G vel g, faciens

cum BKangulum femiredum , quam redarn dein pura in Ρ vel ρ offendere BK vel Bk diagonalem didi re«

dangulL Axi tandem fiat parallela reda MPO vel mpo., per pundum Ρ vel ρ duda, quas aliam redarn FO vel fo, ad curvam normaliter dudam, in 0 vel o fecet.

Dico redarn FO vel fo quaeiiro facere fatis.

Eft enim vi conftrudionis BG : GK=BP: PK BΜ : MG vel Bg : gk=z Bρ :Bk= Bm : vig, unde in- vertendo &componendo KG-+■GB : GB= GB: BΜ(Fig.

7), iive invert. & dividendo KG—GB: GB = GB: BΜ (Fig. 8, 9), vel convert. & inverten. BG gb\gB =

gB : Bm (Fig. 7,8, 9.); ergo, ob datas expreiliones re¬

darum GKy GB vz1 gk, gB y dabitur etiam expreflio i«

piius DN= BM vel dn τζ,Βυι, cui aut addenda aut de-

menda eft ordinata DP vel dfy ut habeatur inde FN vel fth Itaque, analyfi algebraica ad hane normam inftitu-

ta, erit, v. g. in figura feptima, BΜ vel Bm ss

4X2. a

Ιλ 2

1

. & FN vel= äb 4- $ax

4bx

ax —- xz

ab2χ -4- 4a2 —6ab. χ2 -4-<\b %a.x%

———-■

Huic

expreftloni

åk 4- 3ax 4&x

V

ax —xz -Sfr

(15)

scquaiis

omnino reperitur FN in figura nona^ fn item,

excepto tantum, quod numeraror mutata habeat figna;

in figura vero o&ava eriint valöres re&arum FN Sc fn

iidem ae in figura nona, fi modo

figna

quantitatis

b

u-

bique fimul immutentur.

Et quoniam hae expreifiones eaedem funt, ad quas methodo fluxionum notaque formula c)r redarn rN vei fn generaliter exhibente, perveniri poflit, tuto conclude-

re liceat, per eonftru&ionem jam fa&am, verumdeter-

minatum efie radium curvaturae, videlicet FO vel fo. Sed

nimis longum föret omnia, quae nobis obvenire pofient,

hifce in pagellis ad liquidum perduceve; quare conftru-

dionem hujusce radii in foliata CARTES1I & Cifloide

DIOCLIS folummodo addere apud animum conftituimus,

quae quidem adeo concinna eft, ut vix ulla concinnior.

In illa enim producatur oidinata

df (Fig.

7») donec

dF

aequalis fiat quartae proportionali tedarum Ci, df &c Ad, cujus parti tertiae aequalis capiatur dny &, dudis inpo Sc fo ut fupra, erit fo radius curvaturae. In hac autem, fi ducatur AFG (Fig. I. n. 4), afymptoto in G occurrens,

& deinde capiatur GM= \BGy d.cterminabunt redae

MO vel FO, modo allato dudae, radium quaefitum FO,

Has coaftrudiones, utpote quae ex anteceaentibus fatis clarentjdemonfirationibus fingularibus non egere

cenfemus»

§. VII.

Ea, quae ad calcem par?f£aphi tertiae paucit tantum indicavimus, jam planius expiicemus oportet, examina*

turi, quibus curvarum propoiitarum tribui debeat fleiüS,

ut vocari folct, contrarius, Sc vifuri, quomodo conftru-

dio-

c) Doftrine and Application of Flnxions ly Tb. Sim»

pfon. Part. /. pag. 72. Treatife of Fluxiom

byt

Colin

Mac

Laurin Artic, 382»

(16)

β ) 16 C $

&ione geometrica

defignari

poifit illud ipfum punktum,

in quo hunc obtineanc flexum, Sumenda igitiir eil flu-

xio fecunda ordinär«, ut ex illa eliciatur valör abfciifie, refpondens ordinär« transeuntis per flexum contrarium d).

Sic, pera£to hoc calculo, pervenimusad «quationemχ ==

al·

—, tam prim« quam tertiae figur« competentem;

fed quoniam l· <; a (Fig, I. n. i.) facit valorem ipfius χ

negativum, ubi l· vel majorem axe a, dum

flexu contrario gaudere nequit h«c curva ACF. Nam-

3 a i\c que fit

4b

= $a 4c, fi eilet

4^

< 3^ 3 unde

==

4 3az 4 ac

atque xz=z , vel ponatur 4^ = 3^4-4^, fi

—4C

3a +'4? & 3Λ2 4- 4<?£·

4^> 3^j unde bzzz atque ideo χ ,

4 4c

qua transformatione evidentior fiat h«c veritas. At ve-

ro curvam AF (Fig. 3.) talem habere flexum ex eoj pa- tet, quod £;> a effieiat, ut χ continue fit pofitiva minor-

que axe a. Idem quoque valet de curva AF (Fig. 2),

"b

ficut «quatio χ = innuit, ob hoc eil AB

4M-3<7 . x

& AC ad contrarias partes pun£H A pofitas. Ratione

haud difiimili in

figura

quarta

examini fubjiciatur

χ ab

, quando χ ad partem finiftram , atque χ = -»•ab

r, fi ad dextram vergeret.

Quod

ad priorem

3a —■ 4b \

d) DoSl. and Applic. of Flux. l>y Tb. Simpjon. Part. /.

pag. 66« Treatife of Flux,

by

Colin Mac Laurin, VoL 1. ar-

tic. s£3.

(17)

) *7 V W

harum acquationem adtinet, ilanm adparet χ,

eiTe

pofiti-

vam j quamdiu b <j, negauvam vero ac majorem#, ubi adeoq'ue »i-ndicare,flexum contrarium earatione huic

ineiTe ioco, ut verfetur ille in cur va/?parte ftniftra re£lae

normalis AX, ubi b ad curvam vcro ex adverfo

ütam migret,

fimul

ac

füerit b

> |<?j

id, quod poilerior

sequatio iimiliter

commonftrat. Reliqua loca figurae

quin-

tae ac fextae^nullum habere

flexum

contrarium, nemo

~=Z-ab

non fibi perfvadere poteft, quiaequationes χ~——-- 3/74- 4^

-t-üb

(vid. Fig. 5).

<3c

χ zu

(vid. Fig. 6.) in fimilem

difquifitionem vocare velit. · '

In hunc modum jam geometrice adfequi

poflumus

hoc pun£lum: capiatur in

afymptoto BK {Fig.

8> 9? 4·) BLzz\AB & fiat deinde

LHzzAC,

eo ramen

paito,

ut LB atque LH ab eadem pun£li L parte jaceant, fl AB

& AC fimiliter fuerint pofltas reipe£lu pundli^ja diver-

iis vero ejusdem pun£li partibus, fl diverfus reperiatur

harum AB atque AC fitus. Jun£lis infuper

pun£lis//&

C, agatur alia re£la LR huic parallela axique oceurrens

in R. Ex hoc demum erjgenda eil re£la normalis RT,

quae cum curva in T coneurrens

determinabit ipfum li-

mitem feu initium flexus contrarii.

Namque per conftrn£lionem erit

LB

\

LH

=

BR

:

'

CR (Fig. 8)j Eoc

eil \AB

:

AC zzBR:CR &

componen-

do CA4- IAB : CA =

CA

4-

AB

:

CR,

quam

ob

rem

CA. CA -h AB AC, AB

CR = -777

'■—^ecARzzCR-CAzz-—-'

CA4- iAB ^AC 4- 3AB

ab

. Similiter, ob LB: LHzz.BR : CR (Fig.4,9),

4^4-3* ^ .

C erir'

(18)

& )

18

(

erit dlvidendo (Fig. 4, 9.) BH : HL BC : BR,

id eft \AB

AC

:

AC

=

AB

AC

·.

CR

at-

que CR

AC- AB ~ AC«nde

AR=CR CV? (Fig.

A Λ5

Λβ.

4.)

five AR=AC-CR (Fig. ,.)

= =

ab βα4

b'

PiObationem folutionisjam jam allatas, ex ipfa conftru-

clione radii curvedinis in figura o£tava atque nona, etiam

derivari pofle, adco non fupervacaneum erit oftendere,

ut potius hoc loco nequaquam iilud fit negligendum, praefertim quum maxima fefe commendet evidentia. li¬

teηira non poteft non decreicere #2_(Fig. 8 >9)1 cre- fcentjé QK, & verfa vice, quapropter alicubi obveniat BQI== QK neceiie erit.

At in hoc ca u ii b i invicem parallelae erunt re£lae

BK de GP, facientes ideo radium curvaturae infinite ma-

gnum, quemadmodum natur« rei convenienrer fieri de¬

bet, ubi F in pun£tum contrarii flexus inciderit. Er ia-

a. b -4- χ χ% b -4-a

de, pofitis = (Fig. 8·) &

4

^

ax —'xz ax x2

a. b -— χ x,ba

= (Fig. 9.) ? impetrantur va- 4 fax x2 Fax x2

ab ab

lores ipfius χ, nempe χ —: & χ = —- %

3* -l· 4^ 3* 4*

cum fupra inventis atque probatis confentientes.

Ceter um ex conftru&ione pun£li flexus contrarii haud

ob-

(19)

)

19

C

obfcure

perfpicitur,

qua ratone

hoc pun£um loci figurae

quartae jam in

iilo jam in alrcro illius crure, pro diver-

fa lineae datae AC magnitudine, reperiatur.

Quando

nim AC <; \AB, erit

iimul LH

<

LB, adeoque

concur-

rec re£ta LH cum axe laevam verfusj ubi vero

AC

= IAB)

evadjt LHzzzLBy

quapropter

Zi? fit axi paralle-

la, & exiftcnte demum

AC

>

\AB, axis & re£ta LR

9

ob LH > Li B, ad

oppofitam

partem convergent.

Sed

de hac re iatis fuperque

difleruimus; ad alias lgitur

pro-

cedere convenit.

§. VIII.

Expofitis

fic eis,

quie ex

curvis jam examinatis nu-

do calculo algebraico

vel differential!

expromere

potui-

mus, quaeque

cöniideratione quadam digna nobis vifa

fuérunt, fas eft, ur earumdem

quadraturam,

ope

calculi

intearalis

perveftigandam, aliquatenus adtingamus. Ad

forrnam igitur

ufu frequentiilimam regulasque e) in cal¬

culo integrali

fequendas,

quas a

fummis Mathematicis

dudum traditas invenimus, exprimetur area

Ad

g

(Fig. I.

ybxdx

1t

t

Faxx*dχx:

Fax λγ3 hoc eft membrum prius per

/adx

-

inj

2 f/axx

a dχ

[Tax **

& pofterius per

r Fax xå *+* ix

^"X

*2 >

2 f/ax x1 un-

e) Do&rine

and Applic, of Flux. hy Tb. Simpfon. Part

o IL pag. 307.

(20)

) 20

( c§§l

unde ipfa area A dg Γιve ADF erit aequalis

4b— 3 a i adχ

'

7~

J

Ϋax

χζ+ί*^ax

^ 2 fax χ2

4b 3/7. 4

adχ

4. ' 2

ΐax

λγ:

K* Λ* ;r

4^ 3/z / aidx

I xSax—x2=—-— .

/

——-. ——I

8 Saxx2

, 4^C—3/15

■^r^xVtax—■*·*=

Segm. Ak.+

Triang. Akdxz

AB 4C# ΛΖ? + 4Ctf

~AB

-SeSm' ^ TrianS· *~lve

%—*

Segm. AE -f Triang. ADE. Hane aream in adnotatio-

nibus fuis folidiilimis ad Tra£latum Illuilriifimi NEW·

ΤΟΝΪ de Quadratura Curvarunv, egregio exemplo in illuilrationem propofitionis feptimae exhibuit Nobiliiiimus

8c Celeberrimus Dom. Prof. MELANDERHiELM. Qua data, ilatim dabitur area CDf-=z CDFmutando figna ex-

preifionis nuperrime prolatse, & deinde rite corrigendo.

Ad aream vero ADF (Fig. 2.) compaiandam non niii

commutatione iignorum poiterioris membri opus eil, 8c 4AC -h 3AB

proinde erit haec area aequalis Segm. Aek

Triang. ADe.

Quamvis autem quadratura horum locorum a qua- dratura circuli dependeat, tarnen fpeciali illo in cafu, quando fcilicet C inter A 8c B ita eil fitum, ut faciat

AC= \AB, abfo'ura evacut proprerevanefcentem illum terminum, qui circuli quadraturam requirit, Itaque pa- tet.

r

(21)

OWd

)

21

( O

1

tet, aream folii CARTESII efTe tequalem dupl© trian¬

gulo Adk (Fig. L n. 2.)

&

totam aream

AgChA aequalem

triangulo asquilatero, hoc

eft

maximo, qui in circulo^

AEBe defcribi poifif. Demto ab hoc triangulo

altero

kAl) erit illorum differentia aequalis areas Cgb, ablato ve»

ro triangulo AEe ab aequilatero

illo,

erit eorum

exceflus

asqualis areas CjF. Conftat enim integrale areas CfF efle

χ ax x2, id eft— triang. AEe,

quod

corrigendo,

pofito —■triang. AFe~\-Q_zzzo, ut

inveniatur

valör quan-

titatis conftantis in hyqothefi

evanefcentis

CD, aequa- le fit triangulo aequilatero triang,

AEe, undfe

porro

integra area CFFZfC=

AgCh.

Ordinem , quem in paragrapho fecunda adhibuimus, fequentes, ad curvam MOIVREI jam properemus, da¬

to ut Heraus promiflb. Sit igitur AFCN (Fig. I. n. 3.)

iftiusmodi curva; fit quoque AILB redangulum, cujus

latus IL tangar femicirculum

AEMcB

in

M.

Agarur

de-

inde per Ε reda KEeL parallela

alteri'

AB) circulo ite-

rum in e lateribusque redanguli in K Se occurrens, Dudis praeterea redis edN, ΑΕ,,ΕΒ,

FF,

AfIM

di AF-,

nec non produda CF,

redarn

AE in R,

circulum

in

G

& latus redanguli in Η iecante, jungantur

punda Η &

Ε arque erigatur CO axi

perpendiculariter iniiftens

re- damque Af\' in O offendens.

integrale

areae

ADF

ut impetremus, fubftirui

qoteft -AB in locum ipiius CB in-

tegralis primo determiuati.

Quo fado, reperiatur ADF

=Triang. ADE— Segm.AGEA=

Triang AKE

Segm.

AGEA = areaae mixtilineae AGEK, <Sc proinde AtCA

== AGMl & CDF z=z ! MlK. At quum integrale arese CdΝ exponatur per Segm.

AGEeA—

Triang.

Ade five,

quod idem eft, per Segm BFe B Triang.

BDEczz Segm.

BFeB Triang BQE= Segm. Ε

Me

area

mix. B.Qe-,

ergo corrigendo,

fuppoiito

a concurrente cum

C, unde

C 3 pro-

(22)

@ )

12

( H

provenit

area

mixr. BML, erit

area

CåN■=.

area?

mixt.

BML ar. mixt. BeQ^ + Segm. EMe = 4- eMLQ_

zzieMIK. Hinc prono, ut ajunt, alveo

fluit,

quod iit integra area mixtilinea

CAPBC

=

AGMLB

r=

Be

MlA ,

CZJF-t-G/;V = KlLO, CdN CDF-zzEMe^ AFCNPBeMEGA= circulo ,vcujus di-

meter eft 4#.

cetero, quoniam per

conftru&ionem CH eft

pa- rallela re&ae AE5 erit AR z=.RE, arcus GEzz: are. AG,

yi//= ΗΕ, ar. mixt. = EGΗ, ang, ARN. = ang.

= ang. re&o & ang. /^G =ang.

EFG, unde

=/'Δ' & //# parallela atque aequalis

re&ae AF\

ergo e-

rit triangulus KEHzz

triangulo CDF. Sed

per ante

de-

rnonftrata eft area ADFzzzAGEK, ergo Segm. AF = AGEH = iAGH.

Uiteriu^:, per ea, quae ad fkiem

paragraphi tertise

demonftravimiis, eft DE: DC ~ AC: CG & : ACzzz AC ι AO. Verum enim , iiquidem area fCN z±fDdN

1 2 DC. DC. AC

KlLd =

2DC. CO

2AC. AC

DE

= -

2AC. AC = & prseterea,

ob

£/<

yiO : ACzzz AC: Z)£ & dividendo 40

4C

t ss

/i'C

—.DE:DE;

An—AC—AC' /iC ζ DE & proinde

DE

AB. AO yiC= · : erit area

fCNznAB.

DE

DCZ.AC%

AOAC. Et

quomamCö2—(40—i4C)Ä=

—njj—

(23)

31 )

η

C @

AC2)— >

Fl erit etiam

Fl

area

\DE DE

fCN= COä

(AO

ACy.

Quod Γιvero denique

'evanefcat AC, quod fit coale-

fcemibus punddis C

Se

A

(Fig. I.

n.

4.), remanebit in in-

tegrali primum

explorato

3

Segm. Ae— Triang. ADet^i

area? Ciiibidis ADF, Sc fic erit tota area ABFFA = 3.

Semicirculo AeFB, Integrale areae

ADF nullam requirere

corre£tionem, ex hocquidemluculentiifime adparet,

quod

Segm. Ae

Sc Triang. ADe iimul evanefcant, evanefcente

abfjifla AD.

Praeter haec, quae de CiiToide

breviilime jam exhi-

buijnus,

mul.a alia adferre poiTemus^

et

nominafle for¬

fan fufficiat, Celeberrimum WALL! SiUM,

Oxoniae

o-

lim Geometri« Profefforém , primum

demonilraife, in¬

tegram

CiiToidis

aream

aequalem eife integrae Cycloidis

aree, habentis eumdem

circuium ÅeBEA genitorem f)>

Illuft. quoque

NEWTON UM g) & Celeber. COTESl-

UM b) tam egregias htijusce

linese redlificationes concin*

naffe, ut plane dubitem, an

pulcrius quidquam praeftari

umquam

poilit,

quae

otnnia ii operi noflrö inlererentur, ni-

mium quantum

iiiud

augerent.

§■ ix.

Reftat autem, ut quadraturam locorum

figurils

qüar-

ta , quinta Sc fexta delineatorum

aliquantulum tra&emus,

Sc perfpiciamus,an

aliquid illis iniit obferyandum, Propte-

rea iecundum regulas notas fumatur

integrale expreffionis

b#

f) TFALLlSll Opera MatJyematica.

g) NFIFTOMI

Opufculum 11.

b) COTES11 Harmonin Menjuvarum.

References

Related documents

Berberis aggregata v. Graciös buske med orangeröda bär... Vintergrön buske med läderartade, på undersidan vita blad ... Vintergrön buske med ljusgula blommor och svartblå bär...

[r]

[r]

[r]

[r]

These will be affected by the proposed development, but as there are many stone walls in the area these smaller piles are of little value as they are not directly connected and

tion effe quin Chrißus von animo modo y [ed etjam corporis dotibus &amp;

HIne les conclavi quoque eft, tamdiu quod Cardina* mancipen*. tur, hinc eft quod