Till frågan om g y m n a s i e t s m a t e m a t i k k u r s e r .

Full text

(1)

Till frågan om g y m n a s i e t s m a t e m a t i k k u r s e r .

A f Olof Josephson.

H u r l i f l i g t erinrar j a g m i g icke den öfverraskning, m e d h v i l k e n j a g som sjundeklassist började på egen h a n d s t u - dera t r i g o n o m e t r i , som den t i d e n ej i n g i c k i halfrealister- nas m a t e m a t i k k u r s . E t t r i k t och användbart fält öppnade sig, och m a t e m a t i k e n , som d i t t i l l s ej synnerligen lockat m i g och som j a g n u b l o t t för fysikens s k u l l ansett m i g nöd- sakad a t t mera odla, drog a l l t mer m i t t intresse t i l l sig, och n u icke för fysikens, u t a n för sin egen s k u l l . Må vara,, att de täta o m b y t e n af matematiklärare, som d r a b b a t m i g och m i n a klasskamrater, delvis l a g t hinder i vägen för ett större intresse, och a t t d e t t a h i n d e r undanröjdes i och m e d det a t t läroboken blef m i n lärare. M e n var det icke äfven dels bristen på enhet i lärostoffet, dels de många tillkrång- lade, u r innehållssynpunkt värdelösa u p p g i f t e r n a , som stötte t i l l b a k a ? Sedan k o m universitetsstudierna, där en stor d e l af d e t t a lärostoff lämnades å sido, e t t och a n n a t däremot visade sig vara e t t l e d i en förut ej anad helhet. Och så b a r vägen åter t i l l skolan, där nödtvånget har medfört ett åter- vändande t i l l åtskilliga af de g a m l a besynnerligheterna, s o m , det är fara värdt, kanske snart genom v a n a n te sig helt n a t u r l i g a .

Är j a g ensam o m dessa erfarenheter? Rör sig i c k e s k o l m a t e m a t i k e n , särskildt h v a d algebran v i d k o m m e r , del- vis i n o m ofruktbara, för den allmänna likaväl som för den speciellt m a t e m a t i s k a b i l d n i n g e n skäligen värdelösa o m r å d e n ? Och ha icke v i matematiklärare b l i f v i t så vana a t t u p p t a g a dessa partier, a t t v i finDa dem utgöra v i k t i g a delar af d e t hela och h a svårt a t t tänka.oss dem borta?

Men åtskilliga tecken t y d a på en l j u s n i n g . M a n h a r

åtminstone börjat mera öppet k r i t i s e r a det, som mer än

något a n n a t bestämmer m a t e r i a l e t för m a t e m a t i k u n d e r -

visningen, s t u d e n t p r o b l e m e n , l i k s o m ock den dåliga vanan

att af enstaka sådana skapa n y a områden för a t t där i n y a

former i d i s l a det g a m l a innehållet. I denna t i d s k r i f t ha

(2)

n y l i g e n docenten W a h l g r e n och l e k t o r P e t r i n i g i f v i t k r a f t i g a i m p u l s e r t i l l förbättring, t i l l utgallrande af besynnerlig- heterna, t i l l närmare fixerande af mål och medel. D e t är j u b e k l a g l i g t , a t t denna k r i t i k ej föregått läroverkskommit- téns kursförslag. Här gäller detsamma o m m a t e m a t i k e n som o m naturvetenskaperna öfver h u f v u d , a t t m a n k o m m i t något på efterkälken. M e n för sent är det ej, t y kurserna äro ej fastställda, och öfverstyrelsen för de allmänna läro- verken kan här åstadkomma m y c k e t , om. den stödes af lä- rarnes v i l l i g h e t t i l l reformer.

Som ofvan är a n t y d t , synes m i g e t t h u f v u d f e l i de n u v a r a n d e m a t e m a t i k k u r s e r n a vara, a t t de innehålla en mängd saker, h v i l k a s inbördes samband åtminstone lärjungar- na ej k u n n a se. I d e t t a hänseende t r o r j a g , a t t realskolans kurser äfven e n l i g t läroverkskommittéens förslag ha e t t stort företräde framför gymnasiets. T y i realskolans kurser åter- finner m a n en ledande s y n p u n k t , från h v i l k e n det hela be- handlas, det aritmetiska problemet, och i geometrien konstruk- tionsuppgiften. Jag t r o r också, i motsats m o t l e k t o r P e t r i n i , att den af kommittén förordnade a n o r d n i n g e n m e d ekvations- läran såsom den väg, på h v i l k e n lärjungarna införas i algebran, är synnerligen l y c k l i g . Lärjungarna på ifrågavarande sta- d i u m torde t i l l en början ej ha s y n n e r l i g t intresse för räkne- l a g a r n a och deras allmängiltighet ( j m f . P e t r i n i : »Matema- t i k e n i skolan», 5:e häftet af denna t i d s k r i f t , innevarande årgång, sid. 198), m e n så m y c k e t mer för det hjälpmedel för problemlösning, som algebran i ekvationerna erbjuder.

Och så småningom %

r

aknar under arbetet m e d a r i t m e t i s k a u p p g i f t e r behofvet af systematisering och därmed också intresset för algebraiska formler såsom k o r t f a t t a d e u t t r y c k för allmängiltiga räknelagar.

Men hvar ha v i i gymnasiets nuvarande, af läroverkskom-

mittén i hufvudsak bibehållna m a t e m a t i k k u r s e r , speciellt de

algebraiska, någon motsvarande e n h e t l i g s y n p u n k t ? D e t arit-

metiska problemet duger ej längre. Faktiskt har det al-

gebraiska innehållet i gymnasialkurserna grupperat sig k r i n g

dessa två c e n t r a : andragradsekvationer och logaritmer. Såle-

des k r i n g två hjälpmedel för den m a t e m a t i s k a analysen! H u r

har m a n icke vändt och v r i d i t på dessa hjälpmedel för a t t

få d e m inpräglade på alla möjliga och omöjliga sätt! A n -

(3)

dragradsproblem, b l a n d h v i l k a det öfvervägande flertalet t i l l s i t t innehåll äro löjliga och intresselösa, ekvationer af högre g r a d och ekvationssystem, som endast på g r u n d af speciella värden på. koefficienterna eller genom särskilda knep k u n n a lösas medelst andragradsekvationer, rnaximi- och m i n i m i - u p p g i f t e r , behandlade efter en i och för sig lärorik, m e n af den u t b i l d a d e m a t e m a t i k e r n a l d r i g använd m e t o d , abstrakta u p p g i f t e r angående rötters och koefficienters i n - bördes samband. A andra sidan en mängd tråkiga och tillkrånglade exempel angående rötter och potenser, genom tillfälligheter lösbara exponentialekvationer, för a t t icke t a l a om u p p g i f t e r n a rörande l o g a r i t m e r i olika system, där redan f o r m u l e r i n g e n gör lärjungarna y r a i h u f v u d e t . S l u t l i g e n repetitioner af de båda grupperna i en mängd konst- lade u p p g i f t e r , där ingående storheter b i l d a någon slags

»progression». Endast i förbigående stannar m a n för den ojämförligt v i k t i g a frågan o m de oändliga seriernas kon- vergens eller divergens. N a t u r l i g t v i s förekomma äfven n y t - t i g a saker, t . ex. frågor rörande sammansatt ränta, m e n också dessa ofta onödigt tillkrånglade a n t i n g e n i f o r m u l e r i n - gen eller t i l l innehållet.

Skulle m a n v i l j a i h u f v n d s a k bibehålla de nuvarande kurserna, så finns nog där ett område, som har t i l l - räckligt värde för a t t lämpligen k u n n a i n t a g x en central ställning, och där de ofvannämnda hjälpmedlen, andragrads- ekvationerna och l o g a r i t m e r n a , få den rikaste användning.

Jag menar planimetrien, i n k l u s i v e t r i g o n o m e t r i e n , t i l l h v i l k e n , h i t t i l l s tyvärr b l o t t på r e a l l i n i e n , stereometrien ansluter sig.

Genom sin mer k o n k r e t a n a t u r är detta område särskildt lämpadt a t t väcka och underhålla lärjungarnas intresse och är f r i t t från den »skolmatematikens» prägel, som k o m - mer m a t e m a t i k e r n af facket a t t bortkasta det såsom värde- löst k r a m . K r i n g detta område k u n d e därför m a t e m a t i k - stoffet på gymnasiet m y c k e t väl grupperas. Och här finnas så många tillfällen a t t tillämpa teorien på p r a k t i s k a , spe- ciellt mekaniska och andra f y s i k a l i s k a p r o b l e m , a t t m a n visst ej behöfde t i l l g r i p a m a t e m a t i s k a »besynnerligheter»

u t a n värde för a t t u t f y l l a t i d e n . För fysiken k u n d e det ej

vara annat än t i l l fördel, o m u n d e r v i s n i n g e n blefve m i n d r e

t y n g d af problemlösningens barlast.

(4)

Men det är ej tillräckligt a t t ha v u n n i t en e n h e t l i g s y n p u n k t för stoffets g r u p p e r i n g , om också d e t t a skulle i hög grad befordra både intresset och resultatet af under- visningen. D e t gäller a t t ställa kurserna i närmaste sam- band m e d gymnasiets allmänna u p p g i f t a t t förbereda t i l l vidare studier på olika områden. Jag tänker härvid m i n d r e på dem, som k o m m a a t t egna sig åt m a t e m a t i s k a eller tekniska vetenskaper, de k o m m a n o g a t t själfva u t f y l l a de brister, som vidlåda skolundervisningen. M e n de andra, som på o l i k a områden k o m m a att behöfva m a t e m a t i k e n som hjälpvetenskap, de k u n n a ha rätt a t t fordra, a t t skolan så v i d t möjligt ger dem den erforderliga m a t e m a t i s k a appara- t e n , och a t t skolkurserna ej hålla sig i n o m helt a n d r a områden än dem, i h v i l k a de sedan måste känna sig något så när h e m m a s t a d d a . D e t t a synes m a n a l l t m e r börja beakta på andra håll, i det m a n redan infört eller förordar införande i skolkursen af en elementär funktionslära, g r u n d a d på och ständigt belyst af geometrisk representation af ifrågakommande funktioner, och där h v a r k e n begreppen derivata och i n t e g r a l

dy

eller symbolerna •—- och J~yåx äro bannlysta. A t t måls- männen för denna strömning visst ej ämna »draga universite- t e t n e d i skolan» eller uppställa o r i m l i g a kraf, framgår med a l l önskvärd t y d l i g h e t af följande y t t r a n d e af F e l i x K l e i n

1

) :

»Ich b i n t i e f d u r c h d r u n g e n v o n der Aufgabe der Schule, eine grosse Z a h l n i c h t sonderlich begabter u n d dabei dem mathema- tischen Denkén zunächst abgeneigter Schiiler za einem be- s t i m m t e n N i v e a u wissenschaftlichen Verstandnisses hinaufzu- f i i h r e n . N i c h t s l i e g t m i r ferner, als diesses N i v e a u u n v e r n i i n f t i g zu erhöhen; es handelt sich vielmehr u m eine Verschiebung des"

Zielpunktes und der z u i h m ftihrenden Wege i m horizontalen Sinne». M e d afseende på själfva g r u n d t a n k a r n a behöfver jag ej vara mångordig. De äro k l a r t angifna i T . Bonne- sens uppsats: »Matematikken i Gymnasiet», i l : a häftet, inne- varande årgång af N y t T i d s s k r i f t for M a t e m a t i k . Meningen är ej a t t införa funktiousläran såsom ett n y t t område t i l l alla de a n d r a i gymnasiets m a t e m a t i k k u r s . Funktionsbegreppet

') U b e r eine zeitgemässe U m g e s t a l t u n g des mathematischen U n t e r r i c h t s an den hölieren Schulen. ( L e i p z i g 1904.)

(5)

s k a l l från början genomtränga det hela, koordinatsystemet vara det ständigt t i l l hands liggande hjälpmedlet. K a n m a n draga i t v i f v e l , a t t detta skulle förläna m a t e m a t i k s t u d i e r n a ett större intresse än h i t t i l l s och ställa resultaten i klarare belysning? Fråga är väl, o m icke en sådan m e t o d har den v i k t , a t t den icke ens för de från realskolan utgående lär- j u n g a r n a borde v a r a främmande. A t t någon särskild svå- r i g h e t härvidlag skulle förefinnas, är ej gärna möjligt.

U n d e r t e c k n a d har ständigt användt en d y l i k m e t o d för åskådliggörande af l o g a r i t m f u n k t i o n e n s v a r i a t i o n och inter- polationens berättigande v i d användande af l o g a r i t m t a b e l l e r . Har detta u t a n svårighet k u n n a t ske i öfre sjätte klassen, så torde det icke b l i nämnvärdt svårare a t t göra l i k n a n d e användningar af den grafiska framställningen i sjätte real- skoleklassen.

H u r skulle n u ett sådant användande af f u n k t i o n s - begreppet och af differential- och i n t e g r a l k a l k y l e n s mest elementära partier k u n n a genomföras i våra gymnasier?

Det går nog ej u t a n v i d a r e a t t m e d l e k t o r P e t r i n i säga:

h v a d som är möjligt på andra håll, k a n ske äfven hos oss;

det går ej a t t m e d ett slag vända u p p och n e d på a l l t , som den nuvarande läraregenerationen v a n t sig v i d . M a n skulle då stöta på en snart sagdt oöfvervinnelig vis ivertice. Därför t r o r j a g ock, a t t m a n får nöja sig m e d m i n d r e , än h v a d Bonnesen i sin ofvan citerade uppsats före- slår för det danska gymnasiets m a t e m a t i s k - n a t u r v e t e n s k a p l i g a l i n j e . Jag tänker m i g , a t t saken k u n d e ordnas på ungefär följande sätt, h v a r v i d dock t i l l en början den största möjliga frihet borde lämnas lärarne.

Sedan m a n börjat algebraundervisningen på gymnasiet

med en sammanfattande r e p e t i t i o n af de v a n l i g a algebraiska

r e d u k t i o n e r n a , h v a r v i d särskild v i k t lägges v i d m u l t i p l i k a t i o n s -

lagarna — i l i k h e t m e d docenten W a h l g r e n anser j a g , a t t

m a n g j o r t alltför m y c k e t väsen af polynoms d i v i s i o n , ett

k a p i t e l , som. lärjungarna sedermera ha y t t e r l i g t l i t e n an-

vändning af — , införas begreppen konstant och variabel, och

några enkla f u n k t i o n e r representeras geometriskt m e d hjälp

af rätvinkliga koordinater, h v a r v i d m a n t i l l en början na-

t u r l i g t v i s får nöja sig m e d a t t bestämma enstaka p u n k t e r

på l i n j e r n a . D o c k bör m a n ej dröja med a t t låta lärjung-

(6)

aröa b l i förtrogna med k o n t i n u i t e t s b e g r e p p e t . Då m a n s a m t i d i g t torde ha påbörjat likformighetsläran i geometrien

— en särskild »proportionslära» må v i väl i a l l r i m l i g h e t s n a m n b l i förskonade från! — k a n man snart närmare stu- dera lineära f u n k t i o n e r m e d gifna sifferkoefflcienter och konstruera räta linjer m e d gifna ekvationer. Härtill an- k n y t e r sig behandlingen af ekvationssystem af första graden.

Efter dessa k o m m a kvadratrötter, h v i l k a s a p p r o x i m a t i v a be- stämning k a n ske genom geometrisk k o n s t r u k t i o n på m i l l i - meterpapper, sedan m a n i geometrien genomgått medel- proportionalsatserna eller Pytagoreiska satsen. D e n a r i t m e t i s k a beräkningsmetoden är t e m l i g e n öfverflödig, då den i h v a r j e f a l l snart uttränges af kvadrat- och k v a d r a t r o t t a b e l l e r . Dessa k u n n a då l i k a gärna från början användas v i d räkning med kvadratrötter. Funktionsbegreppet har s a m t i d i g t för- djupats genom k o n s t r u k t i o n af k u r v o r n a y = x

2

, y = | ' x , h v i l k a s inbördes samband k a n tagas t i l l utgångspunkt för klargörande af begreppet inversa f u n k t i o n e r , h v i l k e t är g o d t a t t ha, då m a n k o m m e r t i l l l o g a r i t m k u r v a n . N u k o m m e r t u r e n t i l l andragradsekvationerna, h v i l k a behandlas i an- s l u t n i n g t i l l k o n s t r u k t i o n af parablerna y - a x

2

+ b i + c.

H u r u v i d a de imaginära talen upptagas eller ej, är skäligen l i k g i l t i g t , så länge m a n ej har a t t göra m e d ekvationer af högre g r a d än den andra och således har m i n d r e behof af satsen o m rötternas a n t a l . P r o b l e m m a t e r i a l e t tages framför a l l t från p l a n i m e t r i e n , hvars grundläggande satser n u torde h a behandlats i geometrien. A t t för öfrigt här fördjupa sig i studiet af ekvationssystem af andra graden torde ej vara a t t tillråda, då dels den geometriska representationen på d e t t a s t a d i u m b l i r svår, dels det är af v i k t a t t snart k o m m a t i l l logaritmläran. Möjligen k a n m a n dock m e d hänsyn t i l l enkla ekvationstyper något uppehålla sig vid. den geometriska betydelsen af ekvationerna x

2

+ y

2

= konstant, x y = konstant, den senare särskildt sammanställd med e k v a t i o n e n x + y = k o n s t a n t .

Frågan o m rötter af högre o r d n i n g bör så t i d i g t som

möjligt sammanföras m e d införandet af bråkexponenter,

och dithörande exempel framför a l l t åsyfta e t t befästande af

(7)

potensläran. T i l l denna a n k n y t e r m a n den geometriska re- presentationen af f u n k t i o n e r , sådana som

3 x

2

, x

: i

, Vx, >'x,

jämförda m e d h v a r a n d r a och m e d x, v i d a r e

h v i l k e t ger en n a t u r l i g öfvergång t i l l l o g a r i t m e r n a . I fråga om dessa torde m a n t i l l en början med m y c k e t lätt h a n d k u n n a beröra andra system än det B r i g g s k a — för konstruk- t i o n af l o g a r i t m k u r v o r lämpar sig dock 2-logaritmerna bäst — , då öfvergången t i l l andra system går af sig själf p å ett mer f r a m s k r i d e t s t a d i u m , l i k s o m det ock först se- nare har någon betydelse. Tillämpningsöfningar erbjuder äfven här p l a n i m e t r i e n i r i k t mått; såsom y t t e r l i g a r e t i l l - lämpningar väljas uppgifter rörande sammansatt ränta, u t a n a t t m a n offrar a l l t för m y c k e n t i d på förberedande öf- n i n g a r beträffande serier. Likaså lämnas exponentialekva- tionerna i öfrigt åt sitt värde. Snarast möjligt u t v i d g a s i- stället p l a n i m e t r i e n m e d t r i g o n o m e t r i . Denna behöf ver natur- l i g t v i s för l a t i n a r n a ej på långt när tagas så f y l l i g t som för realisterna. Däremot bör m a n på båda l i n j e r n a återupptaga frågan om räta l i n j e n i analytiska geometrien, n u särskildt m e d hänsyn t i l l frågor rörande r i k t n i n g e n . V i d a r e synes det m i g , som borde begreppet polarkoordinater införas sam- t i d i g t m e d de t r i g o n o m e t r i s k a f u n k t i o n e r n a , då l i k h e t e r n a

x y y cos v =

J

s m v =

— i

t g v = —

r r x

ställa frågan om funktionernas tecken i den bästa belysning.

Som a f s l u t n i n g af t r i g o n o m e t r i e n och y t t e r l i g a r e belysning af den geometriska representationen k o m m e r k o n s t r u k t i o n af k u r v o r n a y = sin x, y = eos x, y = t g x, h v a r v i d också frågan om de inversa funktionernas mångtydighet k a n be- röras.

Lärjungarna torde n u vara tillräckligt förberedda a t t k u n n a m e d behållning t a i t u m e d frågor rörande kurvors r i k t n i n g i olika p u n k t e r , deras m a x i m i - och m i n i m i p u n k t e r , deras i n f l e x i o n s p u n k t e r och krökningsförhållanden i öfrigt.

Här k o m m e r då begreppet derivata i n på det n a t u r l i g a s t e

(8)

sätt. T i l l en början begränsar m a n sig t i l l de nyssnämnda t r i g o n o m e t r i s k a f u n k t i o n e r n a och hela rationella funktioner, h v a r t i l l anknytes e t t närmare s t u d i u m af parabeln,

. x

2

y = ^ .

Den allmänna t y p e n y = ax

2

+ bx + c återupptages m e d de nya hjälpmedlen, hvarefter en eller annan parabel af 3:e graden k a n studeras, och några enkla m a x i m i - och m i n i m i - uppgifter behandlas m e d användande af l : a och 2:a d e r i - v a t a n . För ytberäkning införes integralbegreppet, hvarefter i n t e g r a t i o n af hela r a t i o n e l l a f u n k t i o n e r också k a n användas för härledning af v a n l i g a stereometriska formler. Y t t e r l i g a r e kan de n y a metodernas användbarhet klargöras genom i n - förande af begreppen hastighet och acceleration, tillämpade särskildt på kastade kroppars rörelse.

Härmed synes m i g en viss a f s l u t n i n g vara v u n n e n , och

det torde ej vara af nöden a t t y t t e r l i g a r e u t v i d g a l a t i n -

gymnasiets kurs. Med hänsyn t i l l de r e d u k t i o n e r af n u -

varande kurser, som ofvan a n t y d t s , torde t i d e n f u l l t räcka

för meddelande af detta kuuskapsmått. För realisterna t i l l -

k o m m e r d e r i v a t i o n af algebraiska f u n k t i o n e r med tillämp-

n i n g på andragradskurvor, speciellt s t u d i u m af ellipsen och

hyperbeln, r y m d g e o m e t r i . K u n d e m a n h i n n a m e d något om

funktioners u t v e c k l i n g i potensserie och i samband därmed

de n a t u r l i g a l o g a r i t m e r n a , vore m y c k e t v u n n e t , m e n det är

ej lätt a t t på förhand sätta upp någon gräns, då j u åt-

s k i l l i g t af l a t i n g y m n a s i e t s kurs bör behandlas v i d l y f t i g a r e

med realisterna. Här måste nog flera års erfarenhet föregå

ett fixerande af kurserna. O c h framför a l l t kräfves här

samarbete m e l l a n de allmänna läroverkens och högskolornas

lärare, då reallinjens m a t e m a t i k k u r s e r böra uppställas m e d

särskild hänsyn t i l l k o m m a n d e studier i m a t e m a t i s k a och

t e k n i s k a vetenskaper.

Figur

Updating...

Referenser

Updating...

Relaterade ämnen :