• No results found

aa  000   abba  b  b   ba   ba  b  ba  

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "aa  000   abba  b  b   ba   ba  b  ba  "

Copied!
11
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Sida 1 av 11 SKALÄRPRODUKT.

EGENSKAPER. GEOMETRISK TOLKNING.

PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE

Skalärprodukt i Rn, R2 och R3:

Definition 1. Låt a(a1,a2,...,an) och b(b1,b2,...,bn)

vara n-dimensionella vektorer.

Skalärprodukten av a och b

betecknas a b

  och definieras enligt följande abab ab anbn

2 2 1

1 ( F1) Notera att skalärprodukt av två vektorer är ett tal (=skalär).

Exempel 1. a(1,2,0,1) och b(1,5,1,1)

vara två vektorer i R4. Bestäm a  . bLösning: a  =b112501111100110

Som speciella fall har vi skalärprodukt i R2 och R3: Låt a(a1,a2) och b(b1,b2)

vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a

och b är

aba1b1a2b2

Låt a(a1,a2,a3) och b(b1,b2,b3)

vara tredimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b

är

aba1b1a2b2a3b3

Nedanstående egenskaper kommer direkt från definitionen av skalärprodukten.

a b b

a  kommutativa lagen c

a b a c b

a      

( ) distributiva lagen 0

0 0  

a a

) ( )

(kabk ab

) ( )

(kb k a b a   

|2

| a a a  

=================================================

(2)

Sida 2 av 11 Geometrisk tolkning av skalärprodukten

Vinkel mellan två vektorer i R2 och R3 Vinkeln  mellan u

och v

definieras som den vinkel mellan u

och v ( 0

 ) som satisfierar 180

0  när vektorerna förflyttas till samma startpunkt.

Låt  vara vinkeln mellan två vektorer u och v

. Då gäller

 cos

v u v

u    

(F2) Härav får vi för icke-nollvektorer u

och v

gäller v

u v u

 

cos ( om u 0

och v 0

) (F3) Formeln F3 använder vi för att beräkna vinkeln mellan två givna vektorer.

Anmärkning. Formel (F2) kan man bevisa med hjälp av cosinussatsen:

Enligt cosinussatsen för ovanstående figur har vi

cos 2

|

|AB 2 u 2 v 2 u v eller |vu|2 u 2 v 22u v cos.

Om vi använder |vu|2(vu)(vu)|v|2 2uv|u|2 i vänsterledet får vi

 cos 2

|

| 2

|

|v2uv u2u2v2u  v  . Härav uv u  v cos

V.S.B.

Exempel 2. Låt u(1,0,1) och v(2,3,4).

a) Beräkna u v b) bestäm vinkeln mellan vektorerna u och v

. Lösning: a) u v1203(1)42

b) Från uv u v cos har vi

v u

v u 

 

 

cos .

Vi använder också formeln u x12y12z12 och får

58 2 29 2

2 4

3 2 ) 1 ( 0 1 cos 2

2 2 2 2 2

2

 

 

 

  v u

v u 

  .

Härav ) 105

58 arccos(2 

  ( med miniräknare)

B

O A

v

u

(3)

Sida 3 av 11 Svar: a) u v2

b) ) 105 58

arccos( 2 

 

Exempel 3. Låt u och v

är två vektorer sådana att u 10

, v 4

och u v =20 2. Beräkna vinkeln mellan u

och v . Lösning:

2 2 4

10 2

cos 20  

 

  v u

v u

 . Härav

4 3

  (135).

---

Skalärproduktens tecken och vinkeln 

Enligt definitionen är skalärprodukt ett tal (= skalär).

Med hjälp av skalärproduktens tecken kan vi avgöra om vinkeln  , mellan två givna vektorer är en spetsig, rät eller trubbig vinkel.

Eftersom cos 0, =0 eller <0 om  90,  90 eller 90  180 har vi (från formeln uv u  v cos

) följande samband:

v0 90 u

0

 v

u  ⇔ { antingen  90 eller någon av u , v

är nollvektorn}

180 90

0  

v u

Definition 2. Låt a(a1,a2,...,an) och b(b1,b2,...,bn)

vara Vi säger att två n-dimensionella vektorer a(a1,a2,...,an) och b(b1,b2,...,bn)

är ortogonala om skalerproduktena b0.

Exempel 4. Låt a(1,2,2) och b(1,p,1)

. Bestäm p så att a och b

blir ortogonala.

Lösning: ab012p202p3 p3/2. Svar. p3/2

============================================================

Vektorprojektioner:

Låt u

vara en vektor i rummet och L en riktad rät linje vars riktning bestäms av en vektor v .

(4)

Sida 4 av 11 Vi har ofta nytta att uttrycka vektor u

som summan uw1w2av två vinkelräta (=ortogonala) komposanter w1

och w2

, där w1

är parallell med linjen L ( och därmed är w2 vinkelrät mot L) .

Vi kallar w1

den ortogonala projektionen av u

på L ( eller på linjens riktningsvektor v ) och betecknar

)

1

proj ( u

w

v

Följande formler använder vi vid beräkning av projektionen projv(u) och längden av projektionen:

v v v

v u u

proj v

 

 

  )

(

Alternativ formel: projv(u)(ue)e där

|

| v e v

  . 

Längden av projektionen av u på v

ges av

|

|

|

| | ) (

| v

v u u

proj v

 

  .

Bevis: Formeln för ortogonala projektionen av u på v

: Först härleder vi formeln för längden av projektionen.

i) Från figuren har vi att längden av sträckan OB ( dvs längden av projv(u)) är lika med

| cos

||

|

|

|OB u

( längden, till skillnad från cos , kan inte vara negativ, därför absolutbeloppet av cos )

= v

v u v u

v

u u

 | | | |

|

|   

Vi har bevisat att

|

|

|

| | ) (

| v

v u u

proj v

 

ii) För att få vektorn projv(u) använder vi enhetsvektorn

|

| v e v

  och betraktar två fall 

1.  90 och 2. 90 180:

1. Om vinkeln  90 ( projektionen dvs vektorn w1

, och e

har samma riktning) har vi

(5)

Sida 5 av 11

e u

e OB

OB | | |||cos | { cos ≥0 }

e

u 

) cos 1

|

(|  ( enligt definitionen av skalärprodukten u e )

= uee ) ( 

2. Om  90 ( projektionen , dvs vektorn w1

, och e

har motsatta riktningar)

B O A

e w1

w2

u

v

L

har vi

e u

e OB

OB | | |||cos | { cos <0 ger |cos |cos}

|u| 1 ( cos)e |u| 1 cos e

( ( enligt definitionen av skalärprodukten u e)

= uee ) ( 

Alltså i båda fall gäller OBuee )

(  , som vi kan också skriva som

OB

 

v

v v

v u v

v v u v e e

u

 

 )

|

|

| (|

| )|

| ( | )

( v

v v

v

u



 

 Därmed har vi bevisat formeln

v v v

v u u

proj v

 

 

  ) (

============================================================

Det arbete W som en konstant kraft, som representeras av vektornF

, utträttar då en kropp förflyttas från punkten A till punkten B kan beräknas med skalärprodukten.

W= FL AB F AB FAB

|

| cos

|

|

|

|

Alltså W = F AB

============================================================

(6)

Sida 6 av 11

Till slut uppreppar vi att vektorer i ett ON koordinat system kan anges på flera olika sätt: u(x1,y1,z1),





1 1 1

z y x u

, u x i y j z k

1 1

1

, u xex yey zez

1 1

1

eller

1 1 1 1 1

1e ye ze x

u

.

ÖVNINGSUPPGIFTER

I nedanstående uppgifter är vektorskoordinater givna i ett ON-system

Uppgift 1. Beräkna skalärprodukten u v då a) u(4,2,0)

och v(1,1,2)

b)





 1 1 2 u

, 



 1 1 0 v c) u i j k

2 4

3

, v 3ik d) u ex ez 3 2

, v ex ey ez 2

3

Lösning:

a) u v 4(1)21024202 b) u v2011112

c) Vi kan räkna direkt eller skriva först vektorerna på koordinat form )

2 , 4 , 3

(

u , v(3,0,1). I varje fall blir det 7

) 1 ( 2 0 4 3

3      

 v u 

d) u v230(1)3212 Uppgift 2. Låt u(1,2,3)

och v (2,0,1)

vara två vektorer i rummet.

a) Beräkna skalärprodukten u v b) Låt  vara vinkeln mellan u

och v. Avgör om  är en spetsig, rät eller trubbig vinkel.

c) Bestäm cos

Lösning: a) u v 2031

b)  är en trubbig vinkel eftersom u v < 0.

c) 70

1 5 14

1 )

1 ( 0 2 3 2 1 cos 1

2 2

2 2 2 2

 

 

 

  v u

v u 

Uppgift 3. För vilka värden på k är vektorerna a

och kbc

 vinkelräta då a

= (1,2,1), b

=(1,2,3) och c

=(1,0,1) ? Lösning:

4 / 1 2

8 0 1 3 4 1

0 ) 1 3 , 2 1 1

2 1 0 ) (

k k

k k k

k k , (k ) , , ( c

b k a  

(7)

Sida 7 av 11 Svar: k 1/4

Uppgift 4. För vilka värden på s och t är vektorerna )

5 , 3 ,

( 

 t a

och b (2,s,1)

parallella?

Lösning:

5 / 3 ,

10 ,

5

5 , 3 , 2

) 1 , , 2 ( ) 5 , 3 , (

s t

k

k ks

k t

s k t

b k a 

Svar: t10, s3/5 Uppgift 5. Låt u(1,2,p)

och v(3,2,2)

vara två vektorer i rummet.

Bestäm, om möjligt, talet p så att vinkeln  mellan u

och vblir a) en spetsig vinkel b) en rät vinkel c) en trubbig vinkel

d) 0 e) 180 Lösning:

p v

u 72

a)  är en spetsig vinkel om uv0 p7/2 b)  är en rät vinkel om uv0 p7/2 c)  är en trubbig vinkel om uv0 p7/2

d)  är 0 om vektorerna är parallella och har samma riktning dvs om det finns ett tal k>0 så att v ku.

Alltså, vi har villkoret ) , 2 , 1 ( ) 2 , 2 , 3

( k p

som ger systemet med tre ekvationer:

3

k , 2k 2 och 2= kp

Systemet saknar lösning ( motsägelse k=3, k=1) Därför finns inte något k så att  blir 0

e)  är 180 om vektorerna är parallella och har samma riktning dvs om det finns ett tal k<0 så att v ku.

Vi har villkoret ) , 2 , 1 ( ) 2 , 2 , 3

( k p

som ger systemet med tre ekvationer:

3

k , 2k 2 och 2= kp

Systemet saknar lösning ( motsägelse k=3, k=1) Därför finns inte något k så att  blir 180

Uppgift 6. En konstant kraft, som beskrivs med vektorn F (2,4,6)

, förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A(1,1,1) till punkten B (2,3,4). Beräkna arbetet.

Lösning: AB (1,2,3) W=

 AB

F

=28 ( Joule eller Nm om alla storheter är givna i SI-systemet)

Uppgift 7.

(8)

Sida 8 av 11 a) Bestäm vektorprojektionen av vektorn F

=(1,2,3) på vektorn a

= (1,1,1) ( det vill säga på en linje som är parallell med vektorn a

) b) Bestäm två vinkelräta (ortogonala) vektorer u

ochv

så att u

blir parallell med a och

v u F   

( se bilden nedan) .

Lösning:

a) Vektorprojektion av F på a

är

) 2 , 2 , 2 ( ) 1 , 1 , 1 3( ) 6

(   

 

 

a

a a

a F F

proj

u a

 

 

b) vF u (1,0,1)

Kontroll för b delen: uv(1,2,3)F OK 0

2 2 

 v u 

dvs u ochv

är ortogonala (OK) Svar: a) u proja(F)(2,2,2)

b) u (2,2,2)

, v(1,0,1)

Uppgift 8. Bestäm ortogonala projektionen

proj

v

(u  )

av vektorn u

= 



 1 1 1

på en linje som är parallell med vektorn v 





 0

1 3

.

Lösning :

 

 

 

 

 

 

 

0 5 / 1

5 / 3 0

1 3 10 ) 2

( v

v v

v u u

proj

v

 

Uppgift 9. För två vektorer u

och v gäller följande :

2 u

, v 1

, Vinkeln mellan vektorerna u och v

är  3/4. Beräkna a b

  om auv

3

 och buv

 2 .

Lösning: Lägg märke till att vi inte har vektorernas koordinate. Vi beräknar a  med hjälp b av räknelagar för skalärprodukten:

) 2 )(

3

(u v u v

b

a    ( distributiva lagen)

v v v u u v u

u       

2 6 3

(9)

Sida 9 av 11 (kommutativa lagen för skalärprodukten vuuv)

v v v u u

u     

2 5 3

( vi använder antagandet: u 2

, v 1

,  3/4)

= 2u ucos05u vcos(3/4)3v vcos0

= ) 3 1 1 1

2 ( 2 1 2 5 1 2 2

2           

=85 23

=55 2

Svar: ab55 2 Uppgift 10. Vektorerna u

och v är lika långa, u  v , och bildar vinkeln 2/3 med varandra. Låt auv

2

 och buv

 3 . Bestäm vinkeln mellan a

och b . Lösning:

Lägg märke till att vi inte har vektorernas koordinater!

Från ab a | b|cos har vi

b a a  b

 

cos .

Först beräknar vi a  = b (u2v)(3uv)3uuuv6vu2vv

Vi utnyttjar att skalärprodukten är kommutativ dvs uv vu och antagande att u  v och får

b

a  = uuuvvvuuuvvv 2 ) 3 / 2 cos(

5 3

2 5

3         

u u u

u u

u      2 2 ) ( 1 5

3   

= 2

2 3 u

 .

För att beräkna | a|

använder vi formeln:

3 3

4 2 ) ( 1 4

4 4

) 2 ( ) 2 (

|

|

2 u

u u

u u

u u u

v v v u u u v u v u a a a

 

På samma sätt:

13 13

2 ) ( 1 6 9

6 9

) 3 ( ) 3 (

|

|

2 u

u u

u u

u u u

v v v u u u v

u v u b

b b

 

 

Slutligen

39 2 / 3 13 3

2 3 cos

2

u u

u b

a b

a

och därför 103.89788

13 2 arccos 3 39

2 /

arccos 3 



  



 

  

(10)

Sida 10 av 11

Uppgift 11. Använd väktorer för att bevisa parallellogramsatsen , dvs bevisa att d12d222a22b2

där d1, d2 är diagonaler och a, b parallellogrammens sidor . Bevis.

Låt ABCD vara ett parallellogram ( AC är en diagonal) . Vi betecknar ABa, ADb, ACd1 och DBd2( se figuren nedan).

Från d1ab och d2ab har vi

lagen) iva (distribut

) ( ) (

|

|d1 2d1d1abab

) lagen

a kommutativ (enligt

a b b a

b b a b b a a

a       

|

| ) ( 2

|

|a2ab  b2

 Alltså

)

* (

|

| ) ( 2

|

|

|

|d1 2a 2abb 2 På samma sätt

(**)

|

| ) ( 2

|

| ...

) ( ) (

|

|d2 2d2d2ab  ab   a2ab  b2

Om vi adderar ( och (**) får vi *)

2 1|

|d + |d2|2= 2|a |2 2|b|2 eller

2 2 2 2 2

1 d 2a 2b

d , vilket skulle bevisas.

Uppgift 12.

i) För en vektor a

gäller v a 0

för varje vektor v

i rummet.

Bevisa att 0

  a . ii) För två vektorer a

och b

gäller vavb

för varje vektor v

i rummet.

Bevisa att a b

  . Lösning:

i) Om v a0

för varje vektor v

i rummet då gäller detta även för v a. Alltså

0

 a a 

eller |a|20.

(11)

Sida 11 av 11 Därmed |a|0

, dvs a

är nollvektorn V.S.B.

ii) Om va vb för varje vektor v

i rummet då har vi b

v a v   

 ⇒vavb0

v(ab)0

för varje vektor v Alltså v(ab)0

för varje v

som enligt i) gör 0

) (a b 

eller, till slut, a b

  , vilket skulle bevisas.

References

Related documents

[r]

[r]

[r]

VYKRES MATERIAL POZNAMKA JED.. OZNACENI

VYKRES MATERIAL POZNAMKA JED.. OZNACENI

Inför årskurs 2 får man som elev välja om man vill gå en högskoleförberedande utbildning eller om man vill själv göra sina individuella val.. Väljer man högskolebehörigheten

VYKRES MATERIAL POZNAMKA JED. OZNACENI

[r]