Sida 1 av 11 SKALÄRPRODUKT.
EGENSKAPER. GEOMETRISK TOLKNING.
PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE
Skalärprodukt i Rn, R2 och R3:
Definition 1. Låt a(a1,a2,...,an) och b(b1,b2,...,bn)
vara n-dimensionella vektorer.
Skalärprodukten av a och b
betecknas a b
och definieras enligt följande abab ab anbn
2 2 1
1 ( F1) Notera att skalärprodukt av två vektorer är ett tal (=skalär).
Exempel 1. a(1,2,0,1) och b(1,5,1,1)
vara två vektorer i R4. Bestäm a . b Lösning: a =b 112501111100110
Som speciella fall har vi skalärprodukt i R2 och R3: Låt a(a1,a2) och b(b1,b2)
vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a
och b är
aba1b1a2b2
Låt a(a1,a2,a3) och b(b1,b2,b3)
vara tredimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b
är
aba1b1a2b2a3b3
Nedanstående egenskaper kommer direkt från definitionen av skalärprodukten.
a b b
a kommutativa lagen c
a b a c b
a
( ) distributiva lagen 0
0 0
a a
) ( )
(ka b k a b
) ( )
(kb k a b a
|2
| a a a
=================================================
Sida 2 av 11 Geometrisk tolkning av skalärprodukten
Vinkel mellan två vektorer i R2 och R3 Vinkeln mellan u
och v
definieras som den vinkel mellan u
och v ( 0
) som satisfierar 180
0 när vektorerna förflyttas till samma startpunkt.
Låt vara vinkeln mellan två vektorer u och v
. Då gäller
cos
v u v
u
(F2) Härav får vi för icke-nollvektorer u
och v
gäller v
u v u
cos ( om u 0
och v 0
) (F3) Formeln F3 använder vi för att beräkna vinkeln mellan två givna vektorer.
Anmärkning. Formel (F2) kan man bevisa med hjälp av cosinussatsen:
Enligt cosinussatsen för ovanstående figur har vi
cos 2
|
|AB 2 u 2 v 2 u v eller |vu|2 u 2 v 22u v cos.
Om vi använder |vu|2(vu)(vu)|v|2 2uv|u|2 i vänsterledet får vi
cos 2
|
| 2
|
|v 2 uv u 2 u 2 v 2 u v . Härav uv u v cos
V.S.B.
Exempel 2. Låt u(1,0,1) och v(2,3,4).
a) Beräkna u v b) bestäm vinkeln mellan vektorerna u och v
. Lösning: a) u v1203(1)42
b) Från uv u v cos har vi
v u
v u
cos .
Vi använder också formeln u x12y12z12 och får
58 2 29 2
2 4
3 2 ) 1 ( 0 1 cos 2
2 2 2 2 2
2
v u
v u
.
Härav ) 105
58 arccos(2
( med miniräknare)
B
O A
vu
Sida 3 av 11 Svar: a) u v2
b) ) 105 58
arccos( 2
Exempel 3. Låt u och v
är två vektorer sådana att u 10
, v 4
och u v =20 2. Beräkna vinkeln mellan u
och v . Lösning:
2 2 4
10 2
cos 20
v u
v u
. Härav
4 3
(135).
---
Skalärproduktens tecken och vinkeln
Enligt definitionen är skalärprodukt ett tal (= skalär).
Med hjälp av skalärproduktens tecken kan vi avgöra om vinkeln , mellan två givna vektorer är en spetsig, rät eller trubbig vinkel.
Eftersom cos 0, =0 eller <0 om 90, 90 eller 90 180 har vi (från formeln uv u v cos
) följande samband:
v0 90 u
0
v
u ⇔ { antingen 90 eller någon av u , v
är nollvektorn}
180 90
0
v u
Definition 2. Låt a(a1,a2,...,an) och b(b1,b2,...,bn)
vara Vi säger att två n-dimensionella vektorer a(a1,a2,...,an) och b(b1,b2,...,bn)
är ortogonala om skalerproduktena b0.
Exempel 4. Låt a(1,2,2) och b(1,p,1)
. Bestäm p så att a och b
blir ortogonala.
Lösning: ab012p202p3 p3/2. Svar. p3/2
============================================================
Vektorprojektioner:
Låt u
vara en vektor i rummet och L en riktad rät linje vars riktning bestäms av en vektor v .
Sida 4 av 11 Vi har ofta nytta att uttrycka vektor u
som summan uw1w2av två vinkelräta (=ortogonala) komposanter w1
och w2
, där w1
är parallell med linjen L ( och därmed är w2 vinkelrät mot L) .
Vi kallar w1
den ortogonala projektionen av u
på L ( eller på linjens riktningsvektor v ) och betecknar
)
1
proj ( u
w
v
Följande formler använder vi vid beräkning av projektionen projv(u) och längden av projektionen:
v v v
v u u
proj v
)
(
Alternativ formel: projv(u)(ue)e där
|
| v e v
.
Längden av projektionen av u på v
ges av
|
|
|
| | ) (
| v
v u u
proj v
.
Bevis: Formeln för ortogonala projektionen av u på v
: Först härleder vi formeln för längden av projektionen.
i) Från figuren har vi att längden av sträckan OB ( dvs längden av projv(u)) är lika med
| cos
||
|
|
|OB u
( längden, till skillnad från cos , kan inte vara negativ, därför absolutbeloppet av cos )
= v
v u v u
v
u u
| | | |
|
|
Vi har bevisat att
|
|
|
| | ) (
| v
v u u
proj v
ii) För att få vektorn projv(u) använder vi enhetsvektorn
|
| v e v
och betraktar två fall
1. 90 och 2. 90 180:
1. Om vinkeln 90 ( projektionen dvs vektorn w1
, och e
har samma riktning) har vi
Sida 5 av 11
e u
e OB
OB | | |||cos | { cos ≥0 }
e
u
) cos 1
|
(| ( enligt definitionen av skalärprodukten u e )
= u e e ) (
2. Om 90 ( projektionen , dvs vektorn w1
, och e
har motsatta riktningar)
B O A
e w1
w2
u
v
L
har vi
e u
e OB
OB | | |||cos | { cos <0 ger |cos |cos}
|u| 1 ( cos)e |u| 1 cos e
( ( enligt definitionen av skalärprodukten u e)
= u e e ) (
Alltså i båda fall gäller OB u e e )
( , som vi kan också skriva som
OB
v
v v
v u v
v v u v e e
u
)
|
|
| (|
| )|
| ( | )
( v
v v
v
u
Därmed har vi bevisat formeln
v v v
v u u
proj v
) (
============================================================
Det arbete W som en konstant kraft, som representeras av vektornF
, utträttar då en kropp förflyttas från punkten A till punkten B kan beräknas med skalärprodukten.
W= FL AB F AB FAB
|
| cos
|
|
|
|
Alltså W = F AB
============================================================
Sida 6 av 11
Till slut uppreppar vi att vektorer i ett ON koordinat system kan anges på flera olika sätt: u(x1,y1,z1),
1 1 1
z y x u
, u x i y j z k
1 1
1
, u xex yey zez
1 1
1
eller
1 1 1 1 1
1e ye ze x
u
.
ÖVNINGSUPPGIFTER
I nedanstående uppgifter är vektorskoordinater givna i ett ON-system
Uppgift 1. Beräkna skalärprodukten u v då a) u(4,2,0)
och v(1,1,2)
b)
1 1 2 u
,
1 1 0 v c) u i j k
2 4
3
, v 3ik d) u ex ez 3 2
, v ex ey ez 2
3
Lösning:
a) u v 4(1)21024202 b) u v2011112
c) Vi kan räkna direkt eller skriva först vektorerna på koordinat form )
2 , 4 , 3
(
u , v(3,0,1). I varje fall blir det 7
) 1 ( 2 0 4 3
3
v u
d) u v230(1)3212 Uppgift 2. Låt u(1,2,3)
och v (2,0,1)
vara två vektorer i rummet.
a) Beräkna skalärprodukten u v b) Låt vara vinkeln mellan u
och v. Avgör om är en spetsig, rät eller trubbig vinkel.
c) Bestäm cos
Lösning: a) u v 2031
b) är en trubbig vinkel eftersom u v < 0.
c) 70
1 5 14
1 )
1 ( 0 2 3 2 1 cos 1
2 2
2 2 2 2
v u
v u
Uppgift 3. För vilka värden på k är vektorerna a
och kb c
vinkelräta då a
= (1,2,1), b
=(1,2,3) och c
=(1,0,1) ? Lösning:
4 / 1 2
8 0 1 3 4 1
0 ) 1 3 , 2 1 1
2 1 0 ) (
k k
k k k
k k , (k ) , , ( c
b k a
Sida 7 av 11 Svar: k 1/4
Uppgift 4. För vilka värden på s och t är vektorerna )
5 , 3 ,
(
t a
och b (2,s,1)
parallella?
Lösning:
5 / 3 ,
10 ,
5
5 , 3 , 2
) 1 , , 2 ( ) 5 , 3 , (
s t
k
k ks
k t
s k t
b k a
Svar: t10, s3/5 Uppgift 5. Låt u(1,2,p)
och v(3,2,2)
vara två vektorer i rummet.
Bestäm, om möjligt, talet p så att vinkeln mellan u
och vblir a) en spetsig vinkel b) en rät vinkel c) en trubbig vinkel
d) 0 e) 180 Lösning:
p v
u 72
a) är en spetsig vinkel om uv0 p7/2 b) är en rät vinkel om uv0 p7/2 c) är en trubbig vinkel om uv0 p7/2
d) är 0 om vektorerna är parallella och har samma riktning dvs om det finns ett tal k>0 så att v ku.
Alltså, vi har villkoret ) , 2 , 1 ( ) 2 , 2 , 3
( k p
som ger systemet med tre ekvationer:
3
k , 2k 2 och 2= kp
Systemet saknar lösning ( motsägelse k=3, k=1) Därför finns inte något k så att blir 0
e) är 180 om vektorerna är parallella och har samma riktning dvs om det finns ett tal k<0 så att v ku.
Vi har villkoret ) , 2 , 1 ( ) 2 , 2 , 3
( k p
som ger systemet med tre ekvationer:
3
k , 2k 2 och 2= kp
Systemet saknar lösning ( motsägelse k=3, k=1) Därför finns inte något k så att blir 180
Uppgift 6. En konstant kraft, som beskrivs med vektorn F (2,4,6)
, förflyttar ett objekt längs en rät linje från punkten A(1,1,1) till punkten B (2,3,4). Beräkna arbetet.
Lösning: AB (1,2,3) W=
AB
F
=28 ( Joule eller Nm om alla storheter är givna i SI-systemet)
Uppgift 7.
Sida 8 av 11 a) Bestäm vektorprojektionen av vektorn F
=(1,2,3) på vektorn a
= (1,1,1) ( det vill säga på en linje som är parallell med vektorn a
) b) Bestäm två vinkelräta (ortogonala) vektorer u
ochv
så att u
blir parallell med a och
v u F
( se bilden nedan) .Lösning:
a) Vektorprojektion av F på a
är
) 2 , 2 , 2 ( ) 1 , 1 , 1 3( ) 6
(
a
a a
a F F
proj
u a
b) vF u (1,0,1)
Kontroll för b delen: uv(1,2,3)F OK 0
2 2
v u
dvs u ochv
är ortogonala (OK) Svar: a) u proja(F)(2,2,2)
b) u (2,2,2)
, v(1,0,1)
Uppgift 8. Bestäm ortogonala projektionen
proj
v(u )
av vektorn u
=
1 1 1
på en linje som är parallell med vektorn v
0
1 3
.
Lösning :
0 5 / 1
5 / 3 0
1 3 10 ) 2
( v
v v
v u u
proj
v
Uppgift 9. För två vektorer u
och v gäller följande :
2 u
, v 1
, Vinkeln mellan vektorerna u och v
är 3/4. Beräkna a b
om a u v
3
och b u v
2 .
Lösning: Lägg märke till att vi inte har vektorernas koordinate. Vi beräknar a med hjälp b av räknelagar för skalärprodukten:
) 2 )(
3
(u v u v
b
a ( distributiva lagen)
v v v u u v u
u
2 6 3
Sida 9 av 11 (kommutativa lagen för skalärprodukten vuuv)
v v v u u
u
2 5 3
( vi använder antagandet: u 2
, v 1
, 3/4)
= 2u ucos05u vcos(3/4)3v vcos0
= ) 3 1 1 1
2 ( 2 1 2 5 1 2 2
2
=85 23
=55 2
Svar: ab55 2 Uppgift 10. Vektorerna u
och v är lika långa, u v , och bildar vinkeln 2/3 med varandra. Låt a u v
2
och b u v
3 . Bestäm vinkeln mellan a
och b . Lösning:
Lägg märke till att vi inte har vektorernas koordinater!
Från ab a | b|cos har vi
b a a b
cos .
Först beräknar vi a = b (u2v)(3uv)3uuuv6vu2vv
Vi utnyttjar att skalärprodukten är kommutativ dvs uv vu och antagande att u v och får
b
a = u u u v v v u u u v v v 2 ) 3 / 2 cos(
5 3
2 5
3
u u u
u u
u 2 2 ) ( 1 5
3
= 2
2 3 u
.
För att beräkna | a|
använder vi formeln:
3 3
4 2 ) ( 1 4
4 4
) 2 ( ) 2 (
|
|
2 u
u u
u u
u u u
v v v u u u v u v u a a a
På samma sätt:
13 13
2 ) ( 1 6 9
6 9
) 3 ( ) 3 (
|
|
2 u
u u
u u
u u u
v v v u u u v
u v u b
b b
Slutligen
39 2 / 3 13 3
2 3 cos
2
u u
u b
a b
a
och därför 103.89788
13 2 arccos 3 39
2 /
arccos 3
Sida 10 av 11
Uppgift 11. Använd väktorer för att bevisa parallellogramsatsen , dvs bevisa att d12d222a22b2
där d1, d2 är diagonaler och a, b parallellogrammens sidor . Bevis.
Låt ABCD vara ett parallellogram ( AC är en diagonal) . Vi betecknar AB a, AD b, AC d1 och DB d2( se figuren nedan).
Från d1ab och d2 ab har vi
lagen) iva (distribut
) ( ) (
|
|d1 2d1d1 ab ab
) lagen
a kommutativ (enligt
a b b a
b b a b b a a
a
|
| ) ( 2
|
|a 2 ab b 2
Alltså
)
* (
|
| ) ( 2
|
|
|
|d1 2 a 2 ab b 2 På samma sätt
(**)
|
| ) ( 2
|
| ...
) ( ) (
|
|d2 2d2d2 ab ab a 2 ab b 2
Om vi adderar ( och (**) får vi *)
2 1|
|d + |d2|2= 2|a |2 2|b|2 eller
2 2 2 2 2
1 d 2a 2b
d , vilket skulle bevisas.
Uppgift 12.
i) För en vektor a
gäller v a 0
för varje vektor v
i rummet.
Bevisa att 0
a . ii) För två vektorer a
och b
gäller v a v b
för varje vektor v
i rummet.
Bevisa att a b
. Lösning:
i) Om v a0
för varje vektor v
i rummet då gäller detta även för v a. Alltså
0
a a
eller |a|20.
Sida 11 av 11 Därmed |a|0
, dvs a
är nollvektorn V.S.B.
ii) Om va vb för varje vektor v
i rummet då har vi b
v a v
⇒vavb0
⇒ v(ab)0
för varje vektor v Alltså v(ab)0
för varje v
som enligt i) gör 0
) (a b
eller, till slut, a b
, vilket skulle bevisas.