SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition. (Kontinuitet i en punkt)
{ f( x) är kontinuerlig i punkten a} ⇔ {lim f(x) f(a)
a
x =
→ }
eller ekvivalent:
{ f( x) är kontinuerlig i punkten a} ⇔ {lim f(x) lim f(x) f(a)
a x a
x = =
+
→
−
→ }
Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.
Definition. (Kontinuitet på ett intervall ) En funktion är kontinuerlig i intervallet (a, b) om den är kontinuerlig i varje punkt x0 i (a, b). En funktion är kontinuerlig i intervallet [a, b] om den är kontinuerlig i varje punkt x0 i (a, b) samt högerkontinuerlig i a , dvs lim f(x) f(a)
a
x =
+
→ ,
och vänsterkontinuerlig i b dvs lim f(x) f(b)
b
x =
−
→ .
Definition (Kontinuerlig funktion) Vi säger att y = f( x) är en kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.
Satsen om mellanliggande värden.
Antag att
1. f( x) är kontinuerlig på ett intervall och
2. f( x) antar värdena y1och y2 i intervallet (dvs f(x1)= y1 och f(x2)= y2för några x1 och x2i intervallet. )
Då antar f( x) varje värde mellan y1och y2.
Med andra ord, om C är ett tal mellan y1och y2 så finns minst en punkt x0 sådan att C
x
f( 0)= .
Följande sats är en direkt följd av satsen om mellanliggande värde.
Följdsats. Antag att
1. f( x) är kontinuerlig på intervallet [ ba, ] och 2. f(a) och f(b) har olika tecken dvs f(a)f(b)<0
Då har f( x) minst ett nollställe i [ ba, ] dvs. det finns minst en punkt x0 sådan att 0
) (x0 =
f .
Sida 1 av 6
Exempel 1. Visa att ekvationen x3 + x−3=0har minst en lösning i intervallet [1,2].
Lösning: Beteckna f(x)= x3 +x−3. Då gäller f(1)=−1och f(2)=7. För funktionen )
( x
f gäller:
1. f( x)är kontinuerlig på intervallet [1,2] och 2. f(1)och f(2)har olika tecken.
Enligt satsen om mellanliggande värden har funktionen minst ett nollställe i intervallet [1,2]
dvs. ekvationen x3+ x−3=0 har minst en lösning.
Satsen om största och minsta värde på [ ba, ] {The max-min Theorem}
Antag att f( x) är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet [ ba, ]. Då har f( x) ett största och ett minsta värde på [ ba, ].
Med andra ord: det finns x1 och x2 så att f(x1)≤ f(x)≤ f(x2) för alla x i intervallet [ ba, ].
VIKTIGT: Följande funktioner är kontinuerliga funktioner i sina definitionsmängder.
n, x
y = n positivt heltal. (Definierad och kontinuerlig för alla reella tal x.) y= x−n, n positivt heltal, (Definierad och kontinuerlig om x≠0)
p, x
y= p>0 ett reellt tal (men ej heltal) , (Definierad och kontinuerlig om x≥0)
p, x
y= p<0 ett reellt tal (men ej heltal) , (Definierad och kontinuerlig om x>0) x
y=sin , y =cosx, ( Definierade och kontinuerliga för alla x∈(−∞,∞)) x
x x
y cos
) sin tan( =
= , (Definierad och kontinuerlig om π π n x≠ +
2 )
x
x x
y sin
) cos cot( =
= , (Definierad och kontinuerlig om x≠nπ) ,
2x
y = y =3x, y=ex, y=ax, a>0, (Def. och kont. för alla x∈(−∞,∞) ,
arcsin x
y= (Definierad och kontinuerlig om −1≤x≤1) y=arccos x, (Definierad och kontinuerlig om −1≤x≤1)
x
y=arctan , ( Definierad och kontinuerlig för alla x∈(−∞,∞)) x
y=arccot ( Definierad och kontinuerlig för alla x∈(−∞,∞))
Sida 2 av 6
Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) och 𝑔𝑔(𝑥𝑥) är kontinuerliga då är ))
( (g x
f , 𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥), och 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 0 också kontinuerliga funktioner.
Elementära funktioner:
De elementära funktionerna är polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, exponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, inversa trigonometriska funktioner – och alla kombinationer av dessa med
hjälp av de fyra räknesätten och sammansättning.
Exempel 2. (tan cos )ln( 1)
9 3
sin cos 5
sin 5 2 3 )
( 2 + + 2 +
− + + +
+ +
+
= x x x
x
x x x
x x
x x
f är en
elementär funktion.
Viktigt: De elementära funktionerna är kontinuerliga inom sina definitionsmängder.
Exempel 3. Låt
9 ) 3
(
3
−
= + x
x x x
f .
a) I vilka punkter är f( x)definierad.
b) I vilka punkter är f( x)kontinuerlig.
Lösning:
a) Funktionen är definierad om följande två villkor är uppfyllda V1: x≥0 och V2: 3x−9≠0 dvs x ≠3.
Alltså Df =[0,3)∪(3,∞)
b) Funktionen är kontinuerlig för alla x∈Df eftersom f( x) är en elementär funktion.
Svar: Funktionen är definierad och kontinuerlig omx∈[0,3)∪(3,∞).
Sida 3 av 6
Styckvisdefinierade funktioner:
I vår kurs, förutom elementära funktioner, betraktar vi också styckvisdefinierade funktioner.
Exempel 4. Följande styckvisdefinierade är INTE elementära:
a)
>
= ≤
0 om
0 om )
( 2
x x
x x x
f b)
≥ +
<
= −
= x om 0
0 om
|
| )
( x
x x x
x f
När vi undersöker kontinuitet för styckvisdefinierade funktioner måste vi alltid separat undersöka ändpunkterna till funktionens definitionsintervall. Med andra ord kollar vi för varje sådan ändpunkt a om följande krav för kontinuitet är uppfylld
lim f(x) lim f(x) f(a)
a x a
x = =
+
→
−
→ .
Exempel 5. I vilka punkter är funktioneny= f( x) a) definierad b) kontinuerlig om
i)
>
+ +
≤
= +
0 om 1 3x
0 om ) 1
( 2
x x
x x x
f ii)
>
+
= ≤
3 om 2
3 om )
( x x
x x x
f
Lösning:
i) Funktionen är definierad för alla x.
Funktionen är kontinuerlig för x<0 (eftersom x+1är kontinuerlig för alla x därmed för x<0)
Funktionen är också kontinuerlig för x>0 (eftersom x2+3xär kontinuerlig för alla x därmed för x>0)
Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x=0. Vi har lim ( ) 1
0 =
−
→ f x
x , lim ( ) 1
0 =
+
→ f x
x , f(0)=1. Alltså lim ( ) lim ( ) (0) 1
0
0 = = =
+
→
−
→ f x f x f
x
x som medför att f( x) är kontinuerlig i punkten x=0.
Därför är funktionen kontinuerlig för alla x.
ii)
Funktionen är definierad för alla x.
Funktionen är uppenbart kontinuerlig för x<3 och för x>3 . Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x=3.
Vi har lim ( ) 3
3 =
−
→ f x
x , lim ( ) 5
3 =
+
→ f x
x , f(3)=3. Sida 4 av 6
Alltså lim ( ) lim ( )
3
3 f x f x
x
x→ − ≠ →+ som medför att f( x) är INTE kontinuerlig i punkten x=3.
Svar:
i) Funktionen är definierad och kontinuerlig för x∈(−∞,∞).
ii) Funktionen är definierad x∈(−∞,∞), kontinuerlig för x∈(−∞,3)∪(3,∞).
ÖVNINGSUPPGIFTER
Uppgift 1. För vilka x är funktionen x e
x x x
f
y +
= +
= 1
) ln (
3
a) definierad b) kontinuerlig?
Lösning: Funktionen är definierad för x>0 (notera att 1+ex >1 för alla x). Eftersom )
( x
f är en elementär funktion är den kontinuerlig inom sin definitionsmängd. Alltså är funktionen kontinuerlig för x >0
Svar: Kontinuerlig och definierad för x >0. Uppgift 2. För vilka x är funktionen
x x x x
f
y ( ) sin
3+
=
=
a) definierad b) kontinuerlig?
Lösning: Detta är en elementär funktion som är definierad och kontinuerlig för sinx≠0dvs för x≠kπ.
Svar: Kontinuerlig och definierad för x≠kπ
Uppgift 3. För vilka x är funktionen
x x x x
f
y ( ) 3 sin
3
+
= +
=
a) definierad b) kontinuerlig?
Svar: Funktionen är kontinuerlig och definierad för alla reella tal x (notera att 3+sinx≥2)
Uppgift 4. För vilka x är funktionen
>
≤
= +
= sin(45 ) omom 00 )
( x
x
x x
x x
f
y
Sida 5 av 6
a) definierad b) kontinuerlig?
Svar: a) Definierad för alla reella tal x.
b) Kontinuerlig om x≠0 dvs. x∈(−∞,0)∪(0,∞).
(Notera att sin(4 ) 4
lim ) (
lim0 = 0 =
+
→ +
→ x
x x
f x
x medan lim ( ) lim( 5) 5
0
0 = + =
−
→
−
→ f x x
x
x .)
Uppgift 5. Kan man bestämma tal p så att funktionen f( x) blir kontinuerlig i punkten x=3
om
− >
− =
− <
−
=
3 x om 3
9 x
3 x om 6
3 x om ) 3 ( 2
) 3 ( sin ) (
2
x x
x p x
f ?
Lösning: Vi beräknar i)
1 2 2 ) 3 (
) 3 ( sin lim 2 )
3 ( 2
) 3 ( lim sin ) (
lim3 3 3
p p x
p x p p x
x x p
f x x
x = ⋅ =
−
= −
−
= −
−
→
−
→
−
→ .
ii) f(3)=6 och
iii) lim( 3) 6
3 ) 3 )(
3 lim (x 3
9 lim x ) (
lim 3 3
2 3
3 = + =
− +
= −
−
= −
+
→ +
→ +
→ +
→ x
x x x x
f x x x
x .
Funktionen är kontinuerligt i punkten 3 om lim ( ) lim ( ) (3)
3
3 f x f x f
x
x = =
+
→
−
→ dvs om
2 p =6.
Härav p=12.
Svar: p=12
Sida 6 av 6
