f( x) är kontinuerlig i punkten a

SAMMANFATTNING OM KONTINUERLIGA FUNKTIONER Definition. (Kontinuitet i en punkt)

{ f( x) är kontinuerlig i punkten a} ⇔ {lim f(x) f(a)

a

x =

→ }

eller ekvivalent:

{ f( x) är kontinuerlig i punkten a} ⇔ {lim f(x) lim f(x) f(a)

a x a

x = =

+

→

−

→ }

Notera att ovanstående definition kräver att funktionen är definierad i punkten x=a.

Definition. (Kontinuitet på ett intervall ) En funktion är kontinuerlig i intervallet (a, b) om den är kontinuerlig i varje punkt x0 i (a, b). En funktion är kontinuerlig i intervallet [a, b] om den är kontinuerlig i varje punkt x₀ i (a, b) samt högerkontinuerlig i a , dvs lim f(x) f(a)

a

x =

+

→ ,

och vänsterkontinuerlig i b dvs lim f(x) f(b)

b

x =

−

→ .

Definition (Kontinuerlig funktion) Vi säger att y = f( x) är en kontinuerlig funktion om den är kontinuerlig i varje punkt i sin definitionsmängd.

Satsen om mellanliggande värden.

Antag att

1. f( x) är kontinuerlig på ett intervall och

2. f( x) antar värdena y₁och y₂ i intervallet (dvs f(x₁)= y₁ och f(x₂)= y₂för några x₁ och x₂i intervallet. )

Då antar f( x) varje värde mellan y₁och y₂.

Med andra ord, om C är ett tal mellan y₁och y₂ så finns minst en punkt x₀ sådan att C

x

f( ₀)= .

Följande sats är en direkt följd av satsen om mellanliggande värde.

Följdsats. Antag att

1. f( x) är kontinuerlig på intervallet [ ba, ] och 2. f(a) och f(b) har olika tecken dvs f(a)f(b)<0

Då har f( x) minst ett nollställe i [ ba, ] dvs. det finns minst en punkt x0 sådan att 0

) (x₀ =

f .

Sida 1 av 6

Exempel 1. Visa att ekvationen x³ + x−3=0har minst en lösning i intervallet [1,2].

Lösning: Beteckna f(x)= x³ +x−3. Då gäller f(1)=−1och f(2)=7. För funktionen )

( x

f gäller:

1. f( x)är kontinuerlig på intervallet [1,2] och 2. f(1)och f(2)har olika tecken.

Enligt satsen om mellanliggande värden har funktionen minst ett nollställe i intervallet [1,2]

dvs. ekvationen x³+ x−3=0 har minst en lösning.

Satsen om största och minsta värde på [ ba, ] {The max-min Theorem}

Antag att f( x) är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet [ ba, ]. Då har f( x) ett största och ett minsta värde på [ ba, ].

Med andra ord: det finns x₁ och x₂ så att f(x₁)≤ f(x)≤ f(x₂) för alla x i intervallet [ ba, ].

VIKTIGT: Följande funktioner är kontinuerliga funktioner i sina definitionsmängder.

n, x

y = n positivt heltal. (Definierad och kontinuerlig för alla reella tal x.) y= x⁻ⁿ, n positivt heltal, (Definierad och kontinuerlig om x≠0)

p, x

y= p>0 ett reellt tal (men ej heltal) , (Definierad och kontinuerlig om x≥0)

p, x

y= p<0 ett reellt tal (men ej heltal) , (Definierad och kontinuerlig om x>0) x

y=sin , y =cosx, ( Definierade och kontinuerliga för alla x∈(−∞,∞)) x

x x

y cos

) sin tan( =

= , (Definierad och kontinuerlig om π π n x≠ +

2 )

x

x x

y sin

) cos cot( =

= , (Definierad och kontinuerlig om x≠nπ) ,

2^x

y = y =3^x, y=e^x, y=a^x, a>0, (Def. och kont. för alla x∈(−∞,∞) ,

arcsin x

y= (Definierad och kontinuerlig om −1≤x≤1) y=arccos x, (Definierad och kontinuerlig om −1≤x≤1)

x

y=arctan , ( Definierad och kontinuerlig för alla x∈(−∞,∞)) x

y=arccot ( Definierad och kontinuerlig för alla x∈(−∞,∞))

Sida 2 av 6

Om 𝑓𝑓(𝑥𝑥) och 𝑔𝑔(𝑥𝑥) är kontinuerliga då är ))

( (g x

f , 𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑔𝑔(𝑥𝑥), 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ∙ 𝑔𝑔(𝑥𝑥), och ^{𝑓𝑓(𝑥𝑥)}_{𝑔𝑔(𝑥𝑥)} 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑔𝑔(𝑥𝑥) ≠ 0 också kontinuerliga funktioner.

Elementära funktioner:

De elementära funktionerna är polynom, rationella funktioner, potensfunktioner, exponentialfunktioner, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner, inversa trigonometriska funktioner – och alla kombinationer av dessa med

hjälp av de fyra räknesätten och sammansättning.

Exempel 2. (tan cos )ln( 1)

9 3

sin cos 5

sin 5 2 3 )

( ² + + ² +

− + + +

+ +

+

= x x x

x

x x x

x x

x x

f är en

elementär funktion.

Viktigt: De elementära funktionerna är kontinuerliga inom sina definitionsmängder.

Exempel 3. Låt

9 ) 3

(

3

−

= + x

x x x

f .

a) I vilka punkter är f( x)definierad.

b) I vilka punkter är f( x)kontinuerlig.

Lösning:

a) Funktionen är definierad om följande två villkor är uppfyllda V1: x≥0 och V2: 3x−9≠0 dvs x ≠3.

Alltså D_f =[0,3)∪(3,∞)

b) Funktionen är kontinuerlig för alla x∈D_f eftersom f( x) är en elementär funktion.

Svar: Funktionen är definierad och kontinuerlig omx∈[0,3)∪(3,∞).

Sida 3 av 6

Styckvisdefinierade funktioner:

I vår kurs, förutom elementära funktioner, betraktar vi också styckvisdefinierade funktioner.

Exempel 4. Följande styckvisdefinierade är INTE elementära:

a) 

>

= ≤

0 om

0 om )

( ₂

x x

x x x

f b)





≥ +

<

= −

= x om 0

0 om

|

| )

( x

x x x

x f

När vi undersöker kontinuitet för styckvisdefinierade funktioner måste vi alltid separat undersöka ändpunkterna till funktionens definitionsintervall. Med andra ord kollar vi för varje sådan ändpunkt a om följande krav för kontinuitet är uppfylld

lim f(x) lim f(x) f(a)

a x a

x = =

+

→

−

→ .

Exempel 5. I vilka punkter är funktioneny= f( x) a) definierad b) kontinuerlig om

i) 

>

+ +

≤

= +

0 om 1 3x

0 om ) 1

( ₂

x x

x x x

f ii)





>

+

= ≤

3 om 2

3 om )

( x x

x x x

f

Lösning:

i) Funktionen är definierad för alla x.

Funktionen är kontinuerlig för x<0 (eftersom x+1är kontinuerlig för alla x därmed för x<0)

Funktionen är också kontinuerlig för x>0 (eftersom x²+3xär kontinuerlig för alla x därmed för x>0)

Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x=0. Vi har lim ( ) 1

0 =

−

→ f x

x , lim ( ) 1

0 =

+

→ f x

x , f(0)=1. Alltså lim ( ) lim ( ) (0) 1

0

0 = = =

+

→

−

→ f x f x f

x

x som medför att f( x) är kontinuerlig i punkten x=0.

Därför är funktionen kontinuerlig för alla x.

ii)

Funktionen är definierad för alla x.

Funktionen är uppenbart kontinuerlig för x<3 och för x>3 . Kvarstår att undersöka kontinuitet i punkten x=3.

Vi har lim ( ) 3

3 =

−

→ f x

x , lim ( ) 5

3 =

+

→ f x

x , f(3)=3. Sida 4 av 6

Alltså lim ( ) lim ( )

3

3 f x f x

x

x→ − ≠ →+ som medför att f( x) är INTE kontinuerlig i punkten x=3.

Svar:

i) Funktionen är definierad och kontinuerlig för x∈(−∞,∞).

ii) Funktionen är definierad x∈(−∞,∞), kontinuerlig för x∈(−∞,3)∪(3,∞).

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1. För vilka x är funktionen _x e

x x x

f

y +

= +

= 1

) ln (

3

a) definierad b) kontinuerlig?

Lösning: Funktionen är definierad för x>0 (notera att 1+e^x >1 för alla x). Eftersom )

( x

f är en elementär funktion är den kontinuerlig inom sin definitionsmängd. Alltså är funktionen kontinuerlig för x >0

Svar: Kontinuerlig och definierad för x >0. Uppgift 2. För vilka x är funktionen

x x x x

f

y ( ) sin

3+

=

=

a) definierad b) kontinuerlig?

Lösning: Detta är en elementär funktion som är definierad och kontinuerlig för sinx≠0dvs för x≠kπ.

Svar: Kontinuerlig och definierad för x≠kπ

Uppgift 3. För vilka x är funktionen

x x x x

f

y ( ) 3 sin

3

+

= +

=

a) definierad b) kontinuerlig?

Svar: Funktionen är kontinuerlig och definierad för alla reella tal x (notera att 3+sinx≥2)

Uppgift 4. För vilka x är funktionen







>

≤

= +

= sin(45 ) omom 00 )

( x

x

x x

x x

f

y

Sida 5 av 6

a) definierad b) kontinuerlig?

Svar: a) Definierad för alla reella tal x.

b) Kontinuerlig om x≠0 dvs. x∈(−∞,0)∪(0,∞).

(Notera att sin(4 ) 4

lim ) (

lim0 = 0 =

+

→ +

→ x

x x

f x

x medan lim ( ) lim( 5) 5

0

0 = + =

−

→

−

→ f x x

x

x .)

Uppgift 5. Kan man bestämma tal p så att funktionen f( x) blir kontinuerlig i punkten x=3

om











− >

− =

− <

−

=

3 x om 3

9 x

3 x om 6

3 x om ) 3 ( 2

) 3 ( sin ) (

2

x x

x p x

f ?

Lösning: Vi beräknar i)

1 2 2 ) 3 (

) 3 ( sin lim 2 )

3 ( 2

) 3 ( lim sin ) (

lim3 3 3

p p x

p x p p x

x x p

f x x

x = ⋅ =

−

= −

−

= −

−

→

−

→

−

→ .

ii) f(3)=6 och

iii) lim( 3) 6

3 ) 3 )(

3 lim (x 3

9 lim x ) (

lim 3 3

2 3

3 = + =

− +

= −

−

= −

+

→ +

→ +

→ +

→ x

x x x x

f x x x

x .

Funktionen är kontinuerligt i punkten 3 om lim ( ) lim ( ) (3)

3

3 f x f x f

x

x = =

+

→

−

→ dvs om

2 p =6.

Härav p=12.

Svar: p=12

Sida 6 av 6