tioner, komplexa tal och transformteori

tioner, komplexa tal och transformteori

Tentamensdatum 2011-08-18 Totala antalet uppgifter: 6, max 30 p Skrivtid 09.00-14.00 Betygsgr¨ anser: U:0–13, 3:14–19, 4:20–25, 5:26–30

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨aknare. Bifogad tabellsamling.

Till alla uppgifter ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Uppgift 1

(a) ˚ Ask˚ adligg¨or i det komplexa talplanet de punkter z = x + iy f¨or vilka

1 ≤ Im z ≤ 3. (1 p)

(b) Skriv p˚ a formen a + bi, a, b ∈ R (1 + i √

3) ⁹ .

Svaret f˚ ar inte inneh˚ alla trigonometriska uttryck. (3 p)

Uppgift 2

(a) Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen d ² y

dx ² − 6 dy

dx + 13y = 0.

Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨andas. (2 p)

(b) Best¨am ett n¨armev¨arde till y(π/4) ur begynnelsev¨ardeproblemet dy

dx + y · tan x = sin 2x, y(0) = 1.

Laplacetransformer f˚ ar ej anv¨andas. Svaret avrundas till 2 decimaler. (4 p)

Uppgift 3

(a) Ber¨akna

Z ∞ 0

2x 1 + x ⁴ dx.

(3 p) (b) Best¨am

x→0 lim

1 − cos x ln(1 + x) − x

L’Hospitals regel f˚ ar inte anv¨andas. (2 p)

(a) Best¨am Laplacetransformen till funktionen

f (t) = 2t + 6 + 5e ^−2t − sin(πt).

(2 p) (b) Best¨am en funktion f (t), t ≥ 0, med Laplacetransformen

−s − 10 s ² − s − 2

(3 p)

Uppgift 5

L¨os f¨or t ≥ 0 begynnelsev¨ardesproblemet d ² y

dt ² + 3 dy

dt + 2y = g(t), y(0) = 0, dy dt     t =0

= 0,

d¨ar

g(t) =



 

 

0, 0 ≤ t < 1, 1, 1 ≤ t < 2, 0, 2 ≤ t.

(5 p)

Uppgift 6

L¨ os en och endast en av f¨ oljande alternativa uppgifter.

Uppgift 6.1

L¨os integralekvationen

y(t) = t +

t

Z

0

y(x) sin(t − x)y(x) dx.

Uppgift 6.2

Ett k¨arl i form av en halvsf¨ar med radien R = 0.1 m skall t¨ommas genom ett avloppsh˚ al i k¨arlets botten (se nedanst˚ aende figur). Avloppsh˚ alets radie r u

(meter) ¨ar betydligt mindre ¨an k¨arlets radie. Enligt Torricellis lag str¨ommar vattnet ut med hastigheten v = √

2gy, d¨ar y ¨ar niv˚ an ¨over avloppsh˚ alet och g tyngdaccelerationen g = 9.82 ms ⁻² .

Antag att R

r ^u = 20. Ber¨akna hur l˚ ang tid det tar att t¨omma k¨arlet om

det fr˚ an b¨orjan ¨ar helt fyllt med vatten. Avrunda till en decimal. (5 p)

F ¨orbeh˚all f ¨or ev. fel.

Uppgift 1 (a)

Re Ränderna ingår Im

3i

i

(b)

(1 + i √

3) ⁹ = (2 · e ^{i π/ 3} ) ⁹ = −2 ⁹ = −512.

Svar: −512.

Uppgift 2 (a)

Kar.ekv r ² − 6r + 13 = 0,

r = 3 ± 2i, y(x) = e ^3x (A cos 2x + B sin 2x)

Svar: y(x) = e ^3x (A cos 2x + B sin 2x).

(b)

Linj¨ar, I.F : 1 cos x

 y · 1

cos x

 _′

= 2 sin x

y(x) = −2 cos ² x + C cos x. BV → C = 3

Uppgift 3 (a)

X

Z

0

2x dx

1 + (x ² ) ² = (x ² = t, dt = 2x dx) =

=

X

Z

0

dt

1 + t ² = [arctan t] ^X ₀

→

→ π

2 d˚a X → ∞ Svar: π

2 . (b)

1 − (1 − x ² /2 + O(x ⁴ )) x − x ² /2 + x ³ /3 + O(x ⁴ ) − x =

= x ² /2 + O(x ⁴ )

−x ² /2 + x ³ /3 + O(x ⁴ ) =

= 1/2 + O(x ² )

−1/2 + x/3 + O(x ² ) → −1 d˚a x → 0.

Svar: −1.

Uppgift 4 (a)

2L{t} + L{6} + 5L{e ^−2t } − L{sin(πt)} = (Tabell) =

= 2 s ² + 6

s + 5

s + 2 − π s ² + π ² Svar: 2

s ² + 6 s + 5

s + 2 − π s ² + π ² . (b)

−s − 10

(s + 1)(s − 2) = (Handp˚al.) = 3

s + 1 − 4 s − 2 =

= (Tabell) = 3e ^−t − 4e ^2t

Y = L{y}, g(t) = Θ(t − 1) − Θ(t − 2) Transformera b¨agge led. s ² Y + 3sY + 2Y = 1

s e ^−s − e ^−2s
, Y (s + 1)(s + 2) = 1

s e ^−s − e ^−2s
. Partialbr˚ak mm Y = e ^−s

2

 1 s − 2

s + 1 + 1 s + 2



− e ^−2s 2

 1 s − 2

s + 1 + 1 s + 2

 Tabell mm

y(t) = Θ(t − 1) 

1/2 − e ^−(t−1) + 1/2 e ^−2(t−1) 

− Θ(t − 2) 

1/2 − e ^−(t−2) + e ^−2(t−2)  Svar: y = Θ(t −1) 1/2 − e ^−(t−1) + 1/2 e ^−2(t−1)
−Θ(t−2) 1/2 − e ^−(t−2) + e ^−2(t−2)
Uppgift 6.1

Y = L{y}. Transformera!

Y = 1

s ² + L{y ⋆ sin t} = (Faltningssatsen) = 1

s ² + Y · 1 s ² + 1 Y



1 − 1 s ² + 1



= 1 s ² Y = s ² + 1

s ⁴ = 1 s ² + 1

s ⁴ y(t) = t ³

6 + t Svar: t ³

6 + t.

Uppgift 6.2 L˚at R = 0.1 och d¨armed r ^u = 0.005. Ur figur (A(y) ¨ar tv¨arsnittsarean vid h ¨ojden y): A(y) = π(0.2y − y ² ).

Torricelli: dV = −πr ^{u 2} p2gy dt,

A andra sidan: ˚ dV = A(y) dy = π(0.2y − y ² ) dy π(0.2y − y ² ) dy = −πr ^{2 u} p2gy dt

0.2y − y √ ² 2gy · dy

dt = −0.005 ² L˚at 0.2

√ 2g = K, 1

√ 2g = K ₁ Separabel ekv.

Z (K √

y − K 1 y ^3/2 ) dy = Z

−0.005 ² dt, BV : y(0) = 0.1 K y ^3/2

3/2 − K 1

y ^5/2

5/2 = −0.005 ² t + C BV : C = K 2

3 0.1 ^3/2 − K 1

2 5 0.1 ^5/2 S ¨okt: Tiden T f ¨or vilken y(T ) = 0.

T = C

0.005 ² . Numeriskt: K ≈ 0.045, K ¹ ≈ 0.226 T = 0.045 ² ₃ 0.1 ^3/2 − 0.226 ² ₅ 0.1 ^5/2

0.005 ² ≈ 26.5

Svar: Beh˚allaren ¨ar tom efter ungef¨ar 26.5 s.