Matematikundervisning i problemlösning med avseende på elevers förutsättningar att använda kreativa matematiska resonemang
Problemlösning ur ett lärarperspektiv för elever i årskurs 1-3.
Julia Stonegård
Självständigt arbete för Grundlärare F-3.
Huvudområde: Matematik.
Högskolepoäng: 15 Termin/år: VT 2020 Handledare: Jonas Jäder Examinator: Helena Johansson Kurskod: MA028A
Utbildningsprogram: Grundlärare med inriktning mot arbete i förskoleklass och grundskolans årskurs 1-3.
ii
Sammanfattning
Studiens syfte är att öka kunskapen om lärares didaktiska val gällande matematiska problem i syfte att utveckla elevers resonemangs- och problemlösningsförmåga i årskurserna 1–3. Syftet är vidare att få ökad kunskap om vilka förutsättningar lärare skapar för elever att arbeta med kreativa matematiska resonemang. Forskning visar att arbetet med problemlösning är en viktig faktor för att utveckla elevers förmåga att resonera och lösa problem. En problemlösande matematikundervisning har visat sig ge goda effekter på elevers matematiska förståelse. Trots detta visar forskning att ett vanligt arbetssätt i matematikundervisningen är att låta elever arbeta med rutinuppgifter. Ett effektivt sätt för att elever ska utveckla sin förmåga att resonera och lösa problem är att ge elever förutsättningar att använda kreativa matematiska resonemang (CMR) istället för imitativa resonemang (IR). För att kunna undersöka elevers förutsättningar att använda CMR i arbetet med problemlösning har kategorierna CMR och IR använts som studiens teoretiska ramverk. För att besvara studiens frågeställning har fyra grundlärare verksamma i åk 1–3 observerats och intervjuats. Resultatet av studien visar att endast en av fyra lärare ger elever förutsättningar att i full utsträckning använda CMR. De tre resterande lärarna gör detta i en begränsad utsträckning. Studien visar, i enighet med forskning, att läraren har en avgörande roll i arbetet med problemlösning där lärarens didaktiska val har stor betydelse för elevers förutsättningar att använda CMR.
Nyckelord: Imitativa resonemang, kreativa matematiska resonemang, matematiskt problem, problemlösning.
iii
Innehållsförteckning
Sammanfattning ... ii
1 Inledning ... 1
2 Bakgrund ... 2
2.1 Matematiskt problem och problemlösning ... 2
2.2 Matematisk problemlösning, som förmåga och centralt innehåll... 3
2.3 Matematiskt resonemang ... 4
3 Tidigare forskning ... 5
3.1 Fördelar med att arbeta med problembaserad undervisning ... 5
3.2 Lärarens roll i arbetet med problemlösning ... 7
3.3 Sambandet mellan lärarens feedback och elevers resonemang ... 9
3.4 Sammanfattning av tidigare forskning ... 10
4 Teoretiskt ramverk ... 10
4.1 Teoretiskt ramverk för matematiskt resonemang ... 10
4.2 Kreativa matematiska resonemang (CMR) och imitativa resonemang (IR) ... 10
5 Syfte och frågeställning ... 13
6 Metod ... 14
6.1 Kvalitativ metodansats ... 14
6.2 Urval ... 14
6.3 Forskningsetiska överväganden ... 15
6.4 Genomförande observation ... 16
6.5 Genomförande intervju ... 16
6.6 Tillförlitlighet ... 16
6.7 Metod för dataanalys ... 17
7 Resultat ... 19
7.1 Vilka uppgifter lärarna använder vid problemlösning ... 20
7.2 Hur uppgifterna introduceras för eleverna ... 22
7.3 Elevers möjlighet till matematisk argumentation ... 23
7.4 Lärarens stöttning till eleverna... 25
7.5 Resultatsammanfattning ... 28
8 Diskussion ... 29
8.1 Resultatdiskussion ... 29
iv
8.2 Det räcker inte med ett matematiskt problem för att elever ska använda CMR. 29
8.3 Lärarnas definition av matematisk problemlösning ... 30
8.4 Elevers möjligheter till CMR trots att uppgiften är av rutinkaraktär ... 31
8.5 Avslutande reflektion ... 32
8.6 Metoddiskussion ... 32
8.7 Vidare forskning ... 33
Referenser ... 34 Bilaga 1. Missivbrev ... I Bilaga 2. Samtyckesblankett ... II Bilaga 3. Intervjuguide ... III Bilaga 4. Observationsmall ... IV Bilaga 5. Information till elevers vårdnadshavare ... V
1
1 Inledning
För att elever ska ges möjlighet att utveckla en matematisk förståelse vid arbetet med matematiska problem är elevers förmåga att föra resonemang central (Sidenvall, 2015).
Det finns olika sätt att resonera på, vilka är centrala vid lösningen av matematiska problem. Lithner (2008) har beskrivit dessa i två kategorier: imitative reasoning (IR) som kan översättas till imiterat resonemang och creative mathematical reasoning (CMR) som kan översättas till ett mer kreativt sätt att resonera på. Imitativa resonemang kan kopplas samman till det som kallas rutinuppgifter där eleven använder en för hen redan känd lösningsmetod medan det kreativa resonemanget kopplas samman med problemlösning där eleven använder sin kreativitet för att komma fram till en passande lösning. För att en elev ska ges förutsättningar att utveckla sin resonemangsförmåga är lärarens roll viktig. Detta menar Olsson och Teledahl (2018) som skriver att läraren i arbetet med problemlösning bör ställa rätt typ av frågor till eleven istället för att visa hur uppgiften kan lösas, vilket leder till att eleverna får resonera och argumentera sig fram till en lösning. I Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Lgr 11) står det att eleven ska kunna föra och följa matematiska resonemang som berör metodval, räknesätt och resultatets rimlighet genom att ställa och besvara frågor som i huvudsak hör till ämnet (Skolverket, 2019). Detta medför att lärare bör vara medvetna om hur man kan arbeta med problemlösning i syfte att utveckla elevers förmåga att resonera. Vid arbetet med problemlösning anses resonemangsförmågan vara en central del, detta då förmågan att föra matematiska resonemang är en förutsättning för framgångsrik problemlösning. I läroplanen Lgr11 benämns problemlösning och resonemang som centrala mål med undervisningen.
Av erfarenhet är min uppfattning att lärare sällan arbetar med problemlösning i sin undervisning och många gånger då en lärare presenterar en uppgift som problemlösning har jag ställt mig kritisk till i vilken utsträckning eleverna får utveckla sin resonemangs- och problemlösningsförmåga. Uppgifterna har i många fall, baserat på elevernas och lärarens arbete, uppfattats som rutinuppgifter. Lithner har i ett flertal studier (2000, 2003, 2004) visat att en huvudsaklig faktor bakom elevers inlärning- och prestationssvårigheter i matematik är för att matematikundervisningen till stor del endast fokuserar på uppgifter av rutinmässig karaktär. Många studier som berör matematiska resonemang och problemlösning behandlar i stor utsträckning elever på högstadiet och uppåt (Bergqvist & Lithner, 2012; Sidenvall 2015; Olsson & Granberg, 2018). Av den anledningen vill jag komplettera dagens forskning med en studie som berör elever i de yngre åldrarna och undersöka i vilken utsträckning elever ges möjlighet att utveckla resonemangs- och problemlösningsförmågan i åk 1-3.
Det ovan nämnda utgör den avgränsning som detta forskningsarbete baseras på, vilket är att undersöka vilka förutsättningar lärare skapar för elever att arbeta med kreativa matematiska resonemang i arbetet med problemlösning. För att få ökade kunskaper om hur lärare arbetar bygger studien på kvalitativa intervjuer och observationer, vilket möjliggör djupare insikter och analyser över det studien belyser.
2
2 Bakgrund
I det här kapitlet redogörs för hur forskning, litteratur och styrdokument förhåller sig till matematisk problemlösning med fokus på hur undervisningen kan ge förutsättningar för eleven att utveckla förmågan att lösa matematiska problem.
2.1 Matematiskt problem och problemlösning
Matematiska uppgifter kan beskrivas som en rutinuppgift eller ett matematiskt problem. Det som skiljer dessa uppgifter är huruvida lösningsmetoden används på rutin eller om lösningsmetoden konstrueras av eleven själv. En rutinuppgift karaktäriseras av att en elev kan lösa den genom att använda redan kända lösningsmetoder. Detta kan innebära att eleven är van vid denna typ av uppgift och vet vilken metod som ska användas eller att metoden är angiven i uppgiftsbeskrivningen (Lithner, 2008). Ett exempel är att en elev får i uppgift att lösa 3+3=_. I detta exempel är metoden angiven, vilket är att talen ska adderas med varandra. Eleven behöver således inte själv komma fram till en metod för att lösa uppgiften. För elever som inte har en given metod för addition kan även denna typ av uppgift ses som ett matematiskt problem. Ett matematiskt problem presenteras i kontrast med en rutinuppgift inte tillsammans med en given lösningsmetod. Eleven behöver själv konstruera en metod som passar för att kunna lösa uppgiften. Ett exempel på ett matematiskt problem är följande: ”Liam ska köpa lördagsgodis. En godis kostar 3 kr. Hur många godisbitar får han för 9kr?” I detta exempel får eleven själv komma fram till en metod som passar för att lösa uppgiften. Har eleven stött på en liknande uppgift tidigare och lösningsmetoden är given för eleven, blir däremot detta till en rutinuppgift. Hur en matematisk uppgift kan kategoriseras är därmed beroende av förhållandet mellan vilka erfarenheter eleven har av de uppgifter som presenteras, och vad som krävs för att lösa uppgiften (Lithner, 2008). Även Pólya (1996) definierar problemlösning och skiljer mellan problem som är av rutin- eller icke rutinkaraktär. Ett problem som är av karaktären “icke rutin” kräver en viss kreativitet hos eleven vilket en rutinuppgift inte gör. I detta arbete definieras ett matematiskt problem i enighet med Lithner (2008) och Pólyas (1996) definition. Ett matematiskt problem är en uppgift där lösningsmetoden inte är känd för eleven och där utmaningen för eleven är att resonera sig fram till en lämplig lösningsmetod. Är lösningsmetoden given för eleven kategoriseras uppgiften som en rutinuppgift.
Enligt Ahl och Helenius (2018) är det en utmaning för lärare att utforma problemlösningsuppgifter som passar alla vilket också då leder till att det blir svårt att göra en likvärdig bedömning av elevernas förmåga att lösa matematiska problem. Ahl och Helenius menar fortsättningsvis att det är svårt att utföra en rättvis bedömning om eleven ger rätt svar men visar en ofullständig uträkning på hur den har gått tillväga, vilket är en viktig del vid problemlösning. En uppgift som innehåller ett problem ska vara nytt och utmanande för eleven och om eleven har för lätt att lösa uppgiften och där uträkningen sker på automatik är det inte längre problemlösning vi bedömer. Enligt skolverkets kommentarmaterial (2017) kan ett matematiskt problem betraktas som en relation mellan eleven och problemsituationen där relationen ser olika ut för alla elever beroende på hur långt eleven kommit i sin kunskapsutveckling. Kommentarmaterialet
3
beskriver, likt Ahl och Helenius, att den elev som kommit långt i sin kunskapsutveckling ser ett matematiskt problem som en rutinuppgift och tränar därmed inte sin förmåga att lösa problem medan den elev som inte kommit lika långt i utvecklingen behöver undersöka och pröva sig fram med olika strategier för att komma fram till en lösning på det formulerade problemet (Skolverket, 2017).
2.2 Matematisk problemlösning, som förmåga och centralt innehåll.
Läroplanen Lgr 11 (Skolverket, 2019) är det som styr det innehåll som ska behandlas och vilka kunskaper och förmågor som undervisningen ska utveckla. Begreppet problemlösning förekommer upprepande i kursplanen för matematik. I den inledande delen där syftet med matematik framställs står det att undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat, vilket även är en av fem förmågor som undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla (Skolverket, 2019). Kommentarmaterialet till kursplanen i matematik förtydligar och kommenterar att matematikämnet ska fokusera på kommunikation och hur man kan använda matematiken i olika sammanhang och situationer. Kommentarmaterialet menar vidare att kursplanen lyfter fram matematikämnet som en kreativ och problemlösande verksamhet som ska verka för att skapa en glädje och tillfredställelse hos eleverna när de utvecklar en förståelse och förmåga att lösa olika problemställningar (Skolverket, 2017).
Till skillnad från de förmågor som undervisningen ska ge eleverna förutsättningar att utveckla beskriver läroplanen även det centrala innehållet som undervisningen ska behandla. För årskurs 1-3 är det centrala innehållet ”strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer samt matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga situationer” (Skolverket, 2019 s.56). Kommentarmaterialet beskriver strategier som ett samlingsbegrepp för olika tillvägagångsätt eleverna kan använda sig av för att lösa och formulera problem. Dessa strategier kan vara olika effektiva beroende det sammanhang de förekommer i. Vid bedömningsprocessen kan hänsyn tas till i vilken utsträckning eleven anpassar och väljer rätt strategi för rätt sammanhang (Skolverket 2017). Skillnaden mellan den förmåga som behandlar problemlösning och det centrala innehållet är således att förmågan handlar om att eleven ska kunna analysera och tolka problem genom att genomföra ett resonemang som argumenterar för varför lösningen och resultatet är korrekt. Det centrala innehållet fokuserar på att eleverna ska ges tillfällen att öva på olika strategier som kan ses som ett viktigt verktyg i arbetet med problemlösning. Problemlösning är således både ett mål och ett medel i matematikundervisningen (Skolverket, 2018).
Strategier har visat sig vara centrala verktyg vid arbetet med problemlösning och genom att låta elever träna på att hitta olika strategier ökar elevers problemlösnings- förmåga. Detta visar en avhandling av Fülöp (2019). Syftet med denna avhandling var att öka kunskapen om lärandet gällande inte enbart problemlösning utan också på övrigt matematiskt innehåll. Resultaten visar att om läraren ökar elevernas medveten- het om olika problemlösningsstrategier (lösningsmetoder) ökar deras matematiska förståelse och förmåga att lösa problem.
4
De kunskapskrav för årskurs 1-3 som presenteras i kursplanen för matematik och berör området problemlösning är ”eleven kan lösa enkla problem i elevnära situationer genom att välja och använda någon strategi med viss anpassning till problemets karaktär. Eleven beskriver tillvägagångssätt och ger enkla omdömen om resultatens rimlighet” (Skolverket, 2019 s.59–60). Det kommentarmaterial som följer kunskapskraven i matematik beskriver att både undervisningen och bedömningen inom området problemlösning handlar om att eleven i kommunikation med andra ska kunna föra rimliga resonemang och tillämpa lämpliga metoder i utförandet av problemlösning vilket gör att fokus flyttas från vilket resultat man får till vilken strategi eller metod man använder sig av.
2.3 Matematiskt resonemang
Undervisningen i matematik ska utöver att utveckla kunskaper för att kunna lösa problem, även utveckla elevers förmåga att argumentera och föra matematiska resonemang. Vid arbetet med problemlösning anses resonemangsförmågan vara en central del, detta då förmågan att föra matematiska resonemang är en förutsättning för framgångsrik problemlösning. Skolverket (2019) benämner problemlösning och resonemang som centrala mål med undervisningen. Enligt de kunskapskrav för godtagbara kunskaper för årskurs 3 står det att eleven ska kunna beskriva tillvägagångssätt och ge enkla omdömen om resultatets rimlighet i arbetet med problemlösning (Skolverket, 2019). För att få en ökad förståelse över Skolverkets definition av begreppet resonemang beskriver kommentarmaterialet till kursplanen i matematik begreppet mer utförligt:
En del av att kunna föra ett resonemang innebär att utveckla en förståelse för att matematiska samband är konstruerade, och att de därför också kan ”återupptäckas”
genom att man resonerar sig fram. När eleven får möjlighet att föra matematiska resonemang kan de resonera sig fram till olika lösningar med hjälp av både informella och formella matematiska argument. Då kan de lättare motivera olika val och slutsatser i nya situationer, till exempel av räknesätt, med hjälp av resonemang som sker på matematiska grunder (Skolverket, 2017, s.10).
Enligt Skolverkets beskrivning handlar matematiska resonemang om att eleven ska kunna se samband mellan olika matematiska situationer samt att kunna undersöka, argumentera och redogöra för vad som är viktigast i en sådan situation. Skolverkets (2017) förklaring är likvärdig med den förklaring som Lithner (2008) ger av resonemang, vilket är att resonemang är den tankegång som sker hos eleven vid arbetet med problemlösning. Fokus i ett resonemang behöver inte vara att det ska leda till ett korrekt svar däremot behöver det uppfattas som rimligt av den som löser och resonerar kring en uppgift.
Resonemang är en viktig del inom matematiken och är viktig för en elevs möjlighet att skapa nya lösningsmetoder i arbetet med problemlösning (Ball & Bass, 2003). Enligt Ball och Bass (2003) handlar resonemang om att eleven ska motivera val i problemlösningsprocessen genom att relatera till tidigare känd matematisk kunskap och är en avgörande förmåga för att en elev ska kunna återskapa en bortglömd lösningsmetod, bortglömd kunskap eller för att skapa ny kunskap.
5
3 Tidigare forskning
I detta kapitel redogörs för forskning som visar fördelarna med en matematik- undervisning som fokuserar på matematisk problemlösning samt forskning som berör lärarens roll i arbetet med att utveckla elevers problemlösnings- och resonemangs- förmåga.
3.1 Fördelar med att arbeta med problembaserad undervisning
I en avhandling av Sidenvall (2015) som innehåller tre studier där samtliga berör matematiska resonemang kommer han fram till att elevers konceptuella förståelse ökar när eleven får möjlighet att föra matematiska resonemang. Studien visar att elevernas förmåga att repetera, återberätta och argumentera för val av metoder och lösningar ökar när de ges möjlighet att resonera eftersom de måste framföra matematiska argument för sina lösningar. Att kunna resonera är enligt Ball och Bass (2003) en grundläggande och viktig förmåga inom matematik och de menar att alla kan lära sig att resonera. Ball och Bass beskriver i sin studie tre fördelar med resonemangsförmågan. Den första är att resonemang leder till konceptuell förståelse, vilket innebär att en elev har kunskap om olika metoder och kan tillämpa dessa vid olika matematiska situationer och se samband mellan olika matematiska procedurer. Den andra fördelen med att ha förmåga att resonera är att eleven kan använda sina matematiska kunskaper på ett flexibelt sätt i olika sammanhang. Den tredje fördelen med resonemangsförmågan är att en elev som stöter på hinder i en uppgiftslösning, kan resonera och pröva sig fram och på så sätt återskapa en metod som leder till en lösning. Av dessa anledningar menar Ball och Bass (2003) att resonemangsförmågan är central för att utveckla en matematisk förståelse och för att inhämta ny matematisk kunskap. I en studie av Nunes, Bryant, Barros och Sylvia (2012) där över 1000 elever deltog, framkom ett starkt samband mellan elevernas förmåga att resonera med elevernas framtida matematiska prestationer. I studien behandlades även elevernas aritmetiska kunskaper och dess samband till framtida prestationer varav resultatet visade att matematiska resonemang var den starkaste faktorn för elevernas framtida prestationer.
Elever som fått arbeta med uppgifter som går att lösa på rutin, eller elever som arbetar med ett matematiskt problem men där lösningsmetoden eller de matematiska argumenten blir presenterade för eleverna, lyckas inte lika väl på efterföljande tester i jämförelse med de elever som fått arbeta problemlösande. Detta visar en studie av Norqvist (2018) som har undersökt elever i åldrarna 16-17 år. De 121 elever som deltog i studien utförde ett förtest och blev därefter indelade i tre grupper där vardera grupp arbetade med olika uppgifter. Grupp ett fick arbeta med matematiska problem där de själva fick resonera och argumentera sig fram till en lösningsmetod. Den andra gruppen fick arbeta med ett problem men där lösningsprocessen följde en känd algoritm. Den tredje gruppen av elever fick arbeta likt grupp två men de fick också en förklaring till varför den algoritm som presenterades funkade. Resultaten av förtesten visar att grupp två och tre fick betydligt högre poäng än grupp ett. Det efterföljande testet visade dock att alla tre grupper hade ungefär samma poäng. Detta visar att den grupp av elever som arbetade problemlösande och själva fick resonera och argumentera för sina lösningsmetoder fick bättre kunskapsutveckling än de elever som löste uppgifter
6
genom att använda kända algoritmer och lösningsmetoder. I sin avhandling bekräftar Norqvist (2016) att uppgifter som leder eleverna till att resonera och argumentera för sina lösningar är mer effektivare än uppgifter som eleverna kan lösa på rutin där lösningsmetoden är känd för eleven. Avhandlingen visar trots detta att rutinuppgifter inte nödvändigtvis förhindrar elever till att resonera och argumentera för sina lösningar men sannolikheten att eleverna skulle implementera ett resonemang som är grundat på algoritmer är större. De gånger som eleverna använde nya resonemang och lösningsmetoder för att lösa uppgiften var när de hade svårt att använda den givna metoden. Detta ledde till att eleverna resonerade kring de matematiska egenskaperna i uppgiften för att kunna komma vidare. För att säkerställa att eleven ska använda nya resonemang och lösningsmetoder hävdar dock Norqvist (2016) att uppgiften måste vara designad därefter. De uppgifter som används i undervisningen bör främja konstruktionen av nya lösningsmetoder genom att betona viktiga begrepp eller matematiska egenskaper utan att lösningsmetoden presenteras.
Jonsson et al. (2014) har i en studie undersökt 131 elevers lärande i åldrarna 16 till 17 år där elever antingen övat på uppgifter som kräver att eleverna använder sin resonemangsförmåga eller uppgifter som är av mer rutinmässig karaktär. Resultatet visar att elever som fått möjlighet att arbeta med uppgifter där eleverna blev tvungna att skapa egna lösningsmetoder under en veckas tid gav mer effekt på elevernas lärande än den grupp av elever som arbetade med uppgifter som eleverna löste med hjälp av en på förhand känd lösningsmetod (algoritm). Enligt Jonson et al. (2014) visar under- sökningen att elever som måste anstränga sig för att lösa en uppgift har större möjlighet att få en djupare matematisk förståelse än de elever som inte behöver anstränga sig.
Studien visar även att en viktig framgångsfaktor vid problemlösning är att eleverna ska klara av att lösa den uppgift som de arbetar med. Att endast skapa lösningsmetoden och inte klara av att lösa uppgiften gav alltså inte eleverna någon ökad matematisk förståelse. Detta gör att lärarens roll vid problemlösning är central och avgörande för elevernas förutsättningar att utveckla sin resonemangs- och problemlösningsförmåga.
7
3.2 Lärarens roll i arbetet med problemlösning
Läraren har en central roll i arbetet med problemlösning (Lester, 2013; Schoenfeld, 1992).
Enligt Schoenfeld (1992) kan en lärare påverka elevers uppfattning om matematik- ämnet och elevers inställning till problemlösning. För att en lärare ska kunna guida elever till att utveckla sin förmåga att resonera och lösa problem bör läraren ha erfarenhet och kunskaper om problemlösning och lärandet som sker när elever arbetar med matematiska problem (Lester, 2013). I ett arbete av Schoenfeld (1992) beskriver han hur lärare bör agera när eleverna befinner sig i en problemlösningsprocess. I tabell 1 som redovisas nedan sammanställer Schoenfelds anvisningar till läraren om lämpliga undervisningsaktiviteter och syftet med dem.
Tabell 1. En undervisning som stöttar utvecklandet av problemlösning (Schoenfeld, 1992 s.26).
Översatt av Sidenvall (2015 s.43).
Lärarens undervisning Syfte Före
1. Läs uppgiften – diskutera ord eller fraser som eleverna inte förstår
2. Använd helklassdiskussioner för att fokusera på vikten av att förstå uppgiften
3. (Valbart) Helklassdiskussion om möjliga strategier för att lösa en uppgift
Illustrera vikten av att läsa noggrant
Fokus på viktig data, tydliggöra processen.
Få fram idéer till möjliga lösningsalternativ till uppgiften.
Under 4. Observera och fråga eleverna för att
avgöra var de befinner sig 5. Ge ledtrådar om nödvändigt 6. Ge fördjupningar av uppgiften vid
behov
7. Se till att elever får en lösning att
”besvara frågan”
Diagnostisera styrkor och svagheter
Hjälpa elever förbi blockeringar
Utmana elever som är klara tidigt att generalisera
Kräver att elever går igenom sin lösning och säkerställer att den hänger ihop
Efter 8. Visa och diskutera lösningar
9. Relatera till tidigare lösta uppgifter eller låta elever lösa utvecklade uppgifter 10. Diskutera speciella särdrag, till exempel
figurer
Visa och namnge olika strategier
Visa på generella tillämpningar av problemlösningsstrategier
Visa på hur särdrag kan påverka hur man tar sig an uppgiften
Enligt Schoenfeld (1992) kan undervisningsformen som visas i tabellen ovan ge elever möjlighet att träna problemlösning och därmed stöttas elever i att resonera och argumentera för sina lösningar.
Lithners ramverk har använts i flera forskningskontexter men allra främst för att kategorisera elevers resonemang och för att kategorisera matematikuppgifter.
Ramverket har dock även använts för att som i denna studie analysera lärarens arbetssätt. Bergqvist och Lithner (2012) har utfört en studie i syfte att öka kunskapen
8
om vilka möjligheter elever ges till matematiskt resonemang utifrån lärarens genomgångar. Egenskaperna hos de algoritmiska och kreativa resonemangen har analyserats och resultaten visar att genomgångarna och de tillhörande uppgifterna som lärarna presenterade främst bestod av algoritmer, ofta utan argument som motiverar resonemanget. I resultaten kan man dock se att eleverna ges möjlighet att i en begränsad utsträckning använda kreativa matematiska resonemang vid exempelvis reflektioner eller argumentation men att eleverna främst gavs möjlighet att använda imitativa resonemang.
Olsson och Granberg (2018) har genom en interventionsstudie på 129 elever på gymnasiet testat effekten av att lösa uppgifter av problemkaraktär i kontrast till uppgifter som elever löser på rutin, där lösningsschemat redan är känt för eleven.
Undersökningen bestod av ett övningstest och ett eftertest där resultaten visar att den elevgrupp som arbetat med en ny lösningsmetod fick sämre resultat (33% rätt) än den grupp av elever som imiterat en redan känd lösningsmetod (68% rätt) vid övningsuppgiften. Däremot visar resultaten att de elever som fått konstruera nya lösningsmetoder fick bättre resultat (77% rätt) vid eftertestet kontra den grupp som imiterat en för eleven redan känd lösningsmetod (40% rätt). Därmed är den grupp av elever som arbetat med ett matematiskt problem, de elever som i störst utsträckning utvecklat sin matematiska förståelse. Resultaten visar att elever som löst en uppgift genom att använda sin resonemangsförmåga i arbetet med problemlösning fick bättre resultat än elever som arbetat med rutinuppgifter. De elever som fått resonera och arbeta med problemlösning fick djupare förståelse av det matematiska innehållet. Detta visar att läraren har en viktig roll i att stötta eleverna till att resonera vid arbetet med problemlösning. För att möjliggöra detta skriver Olsson och Granberg att läraren behöver använda uppgifter som inte guidar eleven till en lösning. Uppgiften ska vara på rätt kunskapsnivå för eleven och läraren behöver stötta eleven genom att låta eleven argumentera för sin lösningsmetod. Lärarens roll är därmed inte att lotsa eleven med ledande frågor eller ge förslag på lösningsmetoder utan att istället ställa rätt typ av frågor som främjar och utvecklar elevernas förmåga att resonera.
Att problemlösning ställer stora krav på lärarens arbetssätt styrks även av en studie utförd av Sidenvall (2019). Avhandlingen är baserad på fem studier där en studie berör gymnasieelevers uppfattning om matematik i relation till elevers lösningsstrategier vid problemlösning. En vanlig uppfattning hos eleverna var att en uppgift bör ha en färdig lösningsmetod och att lösa uppgifter genom kända algoritmer är ett säkrare sätt än att själv konstruera nya lösningsmetoder. Studien visar även att elever som saknar en känd lösningsmetod vid en problemuppgift söker andra vägar till att lösa uppgiften än att själv resonera och pröva sig fram. Ett vanligt sätt att kringgå att själv resonera sig fram till en lösning var att be om hjälp av antingen en lärare eller en annan elev. Detta resulterade i att eleverna vanligtvis fick hjälp med lösningsmetoden vilket kan ses som att läraren eller den andra eleven lotsar eleven fram till en lösning på problemet. För att eleven ska ges förutsättningar att utveckla sin resonemangs- och problemlösnings- förmåga behöver läraren bibehålla en uppgift som en problemuppgift och därigenom inte lotsa eleven genom att skapa en lösningsmetod till uppgiften. Lyckas läraren med detta ökar elevens förutsättningar att skapa en matematisk förståelse och ger en större självständighet i problemlösandet.
9
3.3 Sambandet mellan lärarens feedback och elevers resonemang
Ett sätt att begreppsliggöra stöttning är att titta på lärares feedback till eleverna. Olsson och Teledahl (2018) har genom en pilotstudie i årskurs 8 arbetat fram principer för hur lärare kan ge feedback som främjar elevers förmåga att resonera och lösa problem. För att åstadkomma detta ska läraren uppmuntra eleverna till att sätta ord på deras lösningsmetod och argumentera för varför den valda metoden fungerar. Läraren ska även uppmuntra eleverna till att använda sig av tidigare delar av uppgiften i syfte att kontrollera deras svar.
Enligt Hansson, Trygg och Lindahl (2015) är ett effektivt sätt att låta elever träna sin resonemangsförmåga genom att ställa frågor till eleverna istället för att ge dem en förklaring eller att gå igenom ett visst matematiskt innehåll. Om eleverna ges möjlighet att undersöka, pröva, resonera och samtala om det matematiska innehållet istället för att läraren ska berätta hur det är, ökar elevernas förutsättningar att utveckla sin resonemangsförmåga. Detta ställer dock krav på lärarens förmåga att ställa rätt typ av frågor, vilka är anpassade efter varje elev, samt att läraren ger eleverna tid att tänka. I en undersökning av ett tvåårigt projekt med 36 lärare i USA visar resultaten att eleverna gavs mindre än en sekund till att svara på frågor de fick av sina lärare innan läraren gick vidare med en följdfråga eller gav frågan till en annan elev. Detta sätt att ställa frågor hindrar eleverna till att utveckla förmågan att resonera, finna sammanhang och förstå matematiska begrepp (Black et al., 2003)
Ett sätt att definiera lärarens stöttning för eleverna är att använda begreppen feedback på uppgiftsnivå och processnivå. Feedback på uppgiftsnivå innebär att läraren ger eleven specifika kommentarer som vägleder eleven fram till en lösning. Ett exempel som visar på feedback på uppgiftsnivå är att läraren kan påpeka vad som är rätt eller fel i en lösning, samt vägleder eleven och berättar vad som krävs för att komma fram till en lösning på problemet (Hattie & Timperley, 2007). Detta är en vanligt förekommande typ av feedback och kan kopplas till begreppet lotsning och IR (Lithner, 2008). När feedback ges på processnivå läggs fokus på elevens tankeprocess istället för på elevens svar. Detta kan innebära att läraren exempelvis ber eleven kontrollera lösningen och undersöka vad som gått snett eller uppmuntra eleven att använda andra strategier utan att ge eleven en given strategi. Eleven får på så vis möjlighet att bearbeta och utveckla sin förståelse samt att chansen ökar för eleven att själv upptäcka sina egna misstag för att rätta till dem (Hattie & Timperley, 2007).
Vid arbete med matematisk problemlösning har det visat sig att det ger en större effekt på elevernas inlärning om de har fått processinriktad feedback istället för feedback på uppgiftsnivå. Detta visar Green (2014) i sin licentiatavhandling som undersöker elevers upplevelser av feedback från läraren vid matematisk problemlösning. Den feedback på processnivå som eleverna fick, gav dem möjlighet att få en djupare förståelse för sina tankeprocesser och verktyg som de kunde ta med sig till nästa problemlösningstillfälle.
Eleverna fick hjälp med att hitta alternativa lösningsmetoder och verktyg för att använda olika typer av strategier som eleverna upplevde betydelsefulla. Eleverna i studien upplevde att de genom feedback på processnivå gav dem ökade kunskaper om det matematiska innehållet.
10
3.4 Sammanfattning av tidigare forskning
Matematisk problemlösning är en central del i kursplanen för matematik (Skolverket, 2019). Forskning som har redovisats ovan visar att problemlösning har goda effekter på elevers matematiska förståelse och att läraren har en avgörande roll i arbetet med att utveckla elevers förmåga att resonera och lösa problem. Trots detta visar forskning att matematikundervisningen främst består av rutininlärning.
4 Teoretiskt ramverk
Detta kapitel innehåller den teori som ligger till grund för analysen av denna studie.
Kapitlet inleds med en presentation av ett teoretiskt ramverk som fokuserar på att definiera matematiska resonemang som imitativa eller kreativa. Detta följs av en tabell som sammanställer olika typer av resonemang.
4.1 Teoretiskt ramverk för matematiskt resonemang
Lithner (2008) har formulerat ett ramverk vars syfte är att tillhandahålla en struktur vid diskussionen gällande problemet med rutininlärning. Ramverket fokuserar på användningen av resonemang vid lösningen av problemuppgifter och Lithner har kategoriserat resonemang som kreativa och imitativa. För att kunna definiera begreppen imitativa- och kreativa matematiska resonemang behöver vi först definiera begreppet matematiska resonemang. Enligt Lithner (2008) är resonera den tankerörelse som bidrar till att förklara eller bevisa ny kunskap. Detta innebär att den som resonerar inte nödvändigtvis behöver komma fram till rätt svar på det matematiska problemet men det resonemang som har använts bör vara rimligt för den som försöker lösa uppgiften.
Att resonera kan således definieras som den tankeprocess som leder till att uppgiften blir löst. Lithner föreslår följande struktur på resonemanget vid en uppgiftslösning:
- (Steg 1) En uppgift erhålls. Den identifieras som en problematisk situation om det inte är uppenbart hur man ska gå tillväga.
- (Steg 2) Ett strategival görs. Där strategier kan variera från lokala procedurer till generella ansatser och där val kan bestå i att (välja, minnas, konstruera, upptäcka, gissa etc.) Strategivalet kan stödjas av förutsägande argumentation:
Varför kommer denna strategi att lösa uppgiften?
- (Steg 3) Strategin genomförs. Genomförandet kan stödjas av bekräftande argumentation: Varför löste strategin uppgiften?
- (Steg 4) En lösning erhålls.
(Lithner, 2008, s.257, egen översättning.)
4.2 Kreativa matematiska resonemang (CMR) och imitativa resonemang (IR)
Lithner (2008) skriver om två olika sätt att resonera vilka är centrala vid lösningen av matematiska problem: imitative reasoning (IR) som kan översättas till imiterat resonemang och creative mathematical reasoning (CMR) som kan översättas till ett kreativt sätt att resonera på. Imitativa resonemang kan kopplas samman till det som kallas rutinuppgifter där eleven använder ett för henne redan känt lösningsschema.
11
Kreativa matematiska resonemang kan kopplas samman med problemlösning där eleven använder sin kreativitet för att komma fram till en passande lösning för uppgiften. Med hjälp av resonemangsstrukturen som ovan presenters i form av fyra steg kan vi klassificera resonemangen som kreativa eller imitativa. För att ett matematiskt problem ska utveckla elevers CMR bör uppgiften uppfylla tre kriterier enligt Lithner (2008):
- Nyhet- ge eleven möjlighet att uttrycka nya resonemang eller använda resonemang som använts tidigare men blivit bortglömda.
- Rimlighet- eleven ska ges möjlighet att argumentera för sitt strategival som motiverar varför den slutsats de har kommit fram till är korrekt.
- Matematiskt grundat- Argumenten till de strategival som eleven gör ska vara verifierat i matematiska egenskaper.
(Lithner, 2008s. 266, egen översättning.) Motsatsen till kreativa matematiska resonemang är resonemang som kan kategoriseras som imitativa. Lithner (2008) har definierat imitativa resonemang i två olika undergrupper, memorerat resonemang och algoritmiskt resonemang. Gemensamt för dem är att den som löst uppgiften antingen minns ett svar, imiterar eller minns en hel lösningsstrategi.
Memorerat resonemang (MR) innebär att uppgiften ger eleven möjlighet att använda tidigare erfarenheter av något eleven har arbetat med för att komma fram till en lösning.
Vid ett memorerat resonemang ges fokus på det svar som uppgiften begär och mindre på den strategi som eleven använder sig av. I detta fall består strategin av att eleven endast skriver ner information om genomförandet (Lithner, 2008). Vid ett memorerat resonemang används steg 2 i resonemangsstrukturen ovan genom att eleven mins ett svar, och genomförandet av strategin (Steg 3) består av att endast skriva ner svaret. MR är effektivt vid besvarandet av exempelvis faktafrågor som oftast leder till endast ett korrekt svar.
Algoritmiskt resonemang (AR) innebär att eleven ges en uppgift där lösningsschemat (algoritmen) är känt för eleven och eleven behöver inte komma fram till att hitta nya sätt att lösa problemet. I tabell 2 som presenteras nedan ges en överblick av olika typer av resonemang.
Tabell 2. Typer av resonemang (Lithner, 2008). Översatt av Jäder (2019, s.28).
IR CMR
MR AR Lokalt Globalt
Bekant Begränsat Lotsat
Lärare Elev Text
Ett imitativt resonemang vid problemlösning kan kategoriseras som antingen memorerat (MR) eller algoritmiskt (AR). Det algoritmiska resonemanget kan sedan kategoriseras som bekant, begränsat eller lotsat. Om uppgiftsbeskrivningen ger indikation på att uppgiften kan lösas genom en specifik och för eleven en välkänd algoritm ges eleven möjlighet att föra ett bekant algoritmiskt resonemang. Ger uppgiften eleven möjlighet att använda ett fåtal tänkbara algoritmer klassas resonemanget som begränsat. Får eleven istället stöd från en yttre källa, vilket kan vara från en lärare, elev eller en text
12
kategoriseras tillvägagångssättet som lotsat. En lärare eller en annan elev kan lotsa den elev som löser uppgiften genom att ge vägledande och konkreta kommentarer som leder eleven till en lösning och ett svar på uppgiften. Textlotsning innebär att eleven tar hjälp av en liknande uppgift i exempelvis läroboken eller en uppgift som nyligen har lösts. Textlotsning kan även innebära att begrepp som används i uppgiftsbeskrivningen guidar eleven till en viss lösningsmetod. Om det resonemang som eleven för, till stor del innehåller CMR och mindre delar av IR ses resonemanget som globalt. Det motsatta gäller för lokalt resonemang då resonemanget i huvudsak innehåller IR och endast en liten del av CMR (Lithner, 2008).
13
5 Syfte och frågeställning
Syftet med studien är att öka kunskapen om lärares didaktiska val gällande matematiska problem i syfte att utveckla elevers resonemangs- och problemlösnings- förmåga i årskurserna 1-3. Syftet är vidare att få ökad kunskap om vilka förutsättningar lärare skapar för elever att arbeta med kreativa matematiska resonemang. Utifrån syftet har följande frågeställning tagits fram:
- Vilka möjligheter till kreativa matematiska resonemang ges elever förut- sättning att utveckla vid arbetet med problemlösning?
14
6 Metod
I detta kapitel redogörs för vilka metodologiska utgångspunkter som denna studie vilar på. En förklaring ges till begreppet kvalitativ metodansats, beskrivning av vilka metoder som använts i studien samt en presentation av urvalet. Sedan beskrivs genomförande av observationer och intervjuer samt forskningsetiska överväganden.
Slutligen beskrivs studiens tillförlitlighet samt hur jag bearbetat och analyserat det datainsamlade materialet.
6.1 Kvalitativ metodansats
Syftet med studien var att öka kunskapen om lärares didaktiska val gällande matematiska problem i syfte att utveckla elevers resonemangs- och problemlösnings- förmåga i årskurserna 1-3. Syftet var vidare att få ökad kunskap om vilka förutsättningar lärare skapar för elever att arbeta med kreativa matematiska resonemang. Därför ville jag fördjupa mig i lärares arbetssätt och deras tankar om detta ämne. Av den anledningen har denna studie utförts av kvalitativa metoder i form av intervjuer och observationer vilket har möjliggjort ett resultat som synliggör lärarens perspektiv och arbetssätt. Observationer är enligt Punch och Oancea (2014) en metod som passar när man vill studera ett beteende. Punch och Oancea (2014) menar även att intervjuer är ett bra sätt att undersöka människors uppfattningar, åsikter samt för att få definitioner av situationer och verklighetskonstruktioner förklarade. Eliasson (2018) hävdar att syftet för studien och den teori som studien grundar sig på påverkar valet av metod. En kvantitativ metod lämpar sig bäst för studier som utgår från en teori som har kunskapssynen att kunskap bäst uppnås genom att mäta ”brett”, vilket ger en möjlighet att generalisera resultaten från en liten grupp till en stor. För de teorier med kunskapssynen att kunskap bäst nås genom att gå på djupet och söka sammanhang lämpar sig den kvalitativa metoden bäst. De två vanligaste kvalitativa metoderna är enligt Eliasson (2018) observationer och intervjuer, vilka båda kan formas olika beroende på studiens syfte och ändamål.
6.2 Urval
Min strategi i urvalet av informanter i denna intervju- och observationsstudie har varit att försöka få en variation av lärare som undervisar på olika skolor. Enligt Dalen (2015) är valet av informanter en viktig aspekt där man bör ta hänsyn till vem man ska intervjua och observera, hur många och enligt vilka kriterium informanterna ska väljas ut. Urvalet är ett så kallat bekvämlighetsurval (Eliasson, 2018) och har gjorts med hjälp av två kriterium. Dessa urvalskriterium var: behöriga grundlärare samt grundlärare som undervisar i matematik i årskurserna 1-3. I min urvalsprocess har fyra lärare förfrågats varav två av dem är verksamma på samma skola men undervisar i olika årskurser och klasser. Samtliga lärare arbetar inom samma kommun. Samtliga skolor som har besökts är F-6 skolor och deltagarna är legitimerade grundlärare och undervisar i matematikämnet. I tabell 3 följer en presentation av samtliga informanter som tilldelats fiktiva namn för att deras anonymitet ska behållas.
15 Tabell 3. Presentation av informanter
Lärarnas fiktiva namn År som lärare Årskurs
Alva 36 2:an
Berit 21 3:an
Camilla 4 2:an
Diana 30 1:an
Alva har arbetat som lärare i 36 år och undervisar i en årskurs 2. I nuläget undervisar hon endast i ämnet matematik men har behörighet att undervisa i de samtliga teoretiska ämnena för årskurserna 1-7. Berit har arbetat som lärare i 21 år och undervisar i nuläget i en årskurs 3 i vilken hon även är klasslärare i och undervisar i samtliga teoretiska ämnen. Hon har behörighet att undervisa i matematik och NO. Camilla är klasslärare för en årskurs 2 och undervisar i ämnena matematik, SO, NO och bild. Hon är behörig att undervisa i samtliga teoretiska ämnen för årskurserna F-6. Diana har arbetat som lärare i 30 år och är behörig att undervisa i samtliga teoretiska ämnena för årskurserna 1-7.
6.3 Forskningsetiska överväganden
Som forskare har man ett särskilt ansvar för de människor som medverkar i den undersökning som genomförs och som forskare bör man genom hela arbetsprocessen ta hänsyn till de etiska kraven. De etiska kraven handlar dels om information och samtycke. De medverkande informanterna ska innan medverkan få information om studiens syfte och ändamål samt ge sitt samtycke till medverkan i studien (Vetenskapsrådet, 2017). Detta har gjorts genom att jag i missivbrev till lärare informerat om studiens syfte, vad som förväntats av lärarna, att deras medverkan är frivillig och när som helst kan avbrytas, samt att deras personuppgifter kommer att behandlas konfidentiellt (se bilaga 1). Enligt Vetenskapsrådet (2017) är anonymisering en viktig etisk princip som innebär att ingen ska kunna koppla en viss uppgift med en bestämd individs identitet. Gibbs (2018) framhåller vikten av att man som forskare förhåller sig till det han kallar för ”fully informed consent”. Detta innebär att det är informantens rättighet att veta vad de ger sig in på, vad som kommer att hända under processen, vad som händer med den insamlade datan samt att de ska vara väl medveten om att de när som helst kan dra sig ur undersökningen. När vi bestämt tid för observation och intervju, har lärarna vidarebefordrat information om min studie till elevernas vårdnadshavare (se bilaga 5). Enligt Bell (2006) har man som forskare ett ansvar att informera de deltagande om studien och rekommenderar att man även informerar dem skriftligt för att de ska få möjlighet att avböja. Innan intervju och observationstillfället har därför samtliga lärare fått fylla i en samtyckesblankett (se bilaga 2). Lärarna har muntligt givit sitt medgivande till att intervjuerna ljudinspelades.
16
6.4 Genomförande observation
Den första delen av studien bestod av att observera ett undervisningstillfälle med lärare och elever. Sammanlagt observerades fyra undervisningstillfällen, en observation med vardera lärare. Lärarna hade på förhand informerats om att undervisningstillfället skulle behandla minst ett matematiskt problem. Vilket matematiskt problem och hur många problem som eleverna fick i uppgift att lösa var upp till var och en av lärarna att välja. Vid observationerna observerades endast läraren då det med grund i studiens syfte endast var av intresse att se vilka förutsättningar läraren och uppgiften ger eleverna att använda CMR och inte i vilket utsträckning eleverna använder CMR. Vid observationerna följde jag en observationsmall (se bilaga 4) som stöd för att endast anteckna upplevelser som är av intresse för studiens syfte. Enligt Gibbs (2018) är det viktigt att föra anteckningar under och efter en observation av ett visst fenomen för att inte glömma viktiga iakttagelser.
Med anledning att jag inte ville påverka de elever och lärare som fanns i klassrummet valde jag att förhålla mig relativt passiv vid observationstillfällena. Detta är en observationsstil som Eliasson (2018) benämner som ”den deltagande observatören”, vilket innebär att observatören är närvarande i miljön, men lägger mest fokus på att observera och föra anteckningar. Observatören fyller i detta sammanhang ingen funktion och agerar i den miljö och omgivning som hen befinner sig i främst för att samla in uppgifter som kan förklara iakttagelserna. Enligt Eliasson (2018) är detta det vanligaste förhållningssättet för en observatör. Observationerna pågick i cirka 50 minuter och elevgrupperna varierade mellan 21-25 elever i vardera grupp.
6.5 Genomförande intervju
Direkt efter varje observationstillfälle genomfördes en ljudinspelad intervju.
Intervjuerna pågick under 20-30 minuter. Intervjuerna ägde rum i samma klassrum som observationerna efter att eleverna antingen gått ut på rast eller slutat för dagen. För att få möjlighet att få en vidare insikt i lärarens val av arbetssätt och arbetsmetoder utfördes en semistrukturerad intervju där intervjun följde en på förhand formulerad intervjuguide (se bilaga 3). Vid intervjun ställdes öppna frågor för att lärarens perspektiv skulle synliggöras. Enligt Trost (2010) kan man med enkla och raka frågor få innehållsrika och komplexa svar. Detta är i enlighet med Bell (2006) som även hon menar att fördelen med intervjumetoden är dess flexibilitet och att frågorna och svaren kan fördjupas. Frågorna ställdes främst för att tydliggöra sådant som uppkom under observationen men även för att få en vidare inblick på lärarens synsätt över problem- lösning.
6.6 Tillförlitlighet
Studiens tillförlitlighet stärks om den har en hög validitet och reliabilitet. Enligt Eliasson (2018) handlar validitet om undersökningen mäter det som undersökningen syftar till att mäta. I detta arbete har jag i utformningen av intervjufrågor och observationsmall utgått från studiens syfte och de frågeställningar som jag vill besvara för att försäkra mig om att studien mäter det den är ämnad till att mäta. För att öka studiens reliabilitet, som enligt Eliasson (2018) handlar om studiens pålitlighet, har
17
intervjuerna ljudinspelats och dokumenterats i form av transkriberingar i nära anslutning till intervjutillfällena. Genom att intervjuerna höll samma struktur vid varje tillfälle gavs varje informant samma förutsättningar. Eliasson (2018) menar att studiens reliabilitet ökar om intervjuerna dokumenteras vilket ger en möjlighet att kontrollera materialet i efterhand. Eliasson ger ett exempel på att en studie som har hög reliabilitet har ett resultat som går att upprepa (Eliasson, 2018). I detta avseende kan reliabiliteten ifrågasättas på grund av det låga antalet av informanter.
6.7 Metod för dataanalys
I detta arbete är det vad läraren har sagt och gjort som kommer att analyseras eftersom det är det som eleverna har haft möjlighet att lära sig av. Det är även detta som kommer att besvara studiens frågeställning. För att analysera resultaten har jag utgått ifrån Lithners (2008) ramverk. Observationer och intervjusvar tolkades utifrån de begrepp som är väsentliga för denna studie, vilka är IR CMR. Utifrån dessa har jag kunnat kategorisera de resonemangstyper som framkommit i den insamlade datan. I tabell 4 presenteras de steg som analysen har utgått ifrån. De fyra stegen har sin grund i Lithners ramverk (2008):
Tabell 4. De fyra steg som datainsamlingen har analyserats utifrån.
Steg Hur kan detta visa sig? Hur besvaras
frågan?
Är lösningsmetoden för uppgiften ny för eleverna och får eleven möjlighet att föra för henne nya matematiska resonemang?
Förklarar läraren att eleverna har arbetat med samma typ av matematiska problem och problemlösningsmetoder?
Detta kan bidra till att eleverna får arbeta med en för henne känd lösningsmetod.
Detta kan endast besvaras genom intervjun, i samtal med läraren.
Hur introduceras uppgiften?
På vilket sätt väljer läraren att introducera uppgiften? Ges exempel på lösningsmetoder eller beskrivs viktiga begrepp som är centrala för just den uppgiften som de ska arbeta med?
Detta besvaras genom observationerna. Lärarna ges även möjlighet att reflektera över detta vid intervjun.
Ges eleverna möjlighet att föra matematiskt grundande argumentation?
I vilken utsträckning ger läraren eleverna möjlighet att argumentera för sina lösningar? Via antingen förutsägande- eller bekräftande argumentation som kan visa sig genom lärarens frågor och uppmaningar till eleverna. Exempel på detta är: Hur har du kommit fram till ditt svar? Varför har ni gjort såhär?
Detta besvaras genom observationerna då inter- aktionen mellan läraren och eleven kommer observeras.
På vilket sätt vägleder läraren eleverna i problemlösnings- processen?
Lotsar läraren eleven till det rätta svaret genom exempelvis ledande frågor eller ledtrådar eller erbjuds eleven tid för resonemang.
Detta besvaras genom observationerna då inter- aktionen mellan läraren och eleven kommer observeras.
18
Gällande lärarnas val av matematiskt problem ansåg jag det relevant att veta hur lärarna definierar problemlösning och vilka kriterier de har för att de ska kategorisera en uppgift som ett matematiskt problem då detta kan återspegla sig i hur läraren väljer att arbeta med problemlösning i undervisningen och vilket val av matematiskt problem som de väljer att eleverna ska arbeta med. I detta arbete har ett matematiskt problem definierats som en uppgift som utmanar eleven i att själv skapa en lösningsmetod för att komma fram till svaret. Hur en matematisk uppgift kan kategoriseras är beroende av förhållandet mellan vilka erfarenheter eleven har av de uppgifter som presenteras, och vad som krävs för att lösa uppgiften (Lithner, 2008).
Den andra kategorin handlar om hur uppgiften introduceras för eleverna. Detta är en viktig faktor som påverkar huruvida uppgiften betraktas som för eleven en rutin- eller problemuppgift. En lärare som introducerar ett problem genom att ge exempel på lösningsmetoder, hämmar elevernas möjlighet att föra CMR då detta istället leder till att eleverna använder AR som innebär att eleven ges en uppgift där lösningsschemat (algoritmen) är känt för eleven. Eleven behöver därmed inte hitta nya sätt att lösa problemet på om de sett läraren lösa en liknande uppgift innan.
För att en elev ska ges möjlighet att utveckla CMR ska det matematiska problemet ge förutsättningar för eleven att argumentera för sitt strategival och därigenom motivera för varför den slutsats de har kommit fram till är korrekt. Lärarens interaktion med eleverna analyseras för att se vilka förutsättningar läraren ger eleven till att argumentera för sina strategival. Strategivalet kan stödjas av förutsägande argumentation, vilket kan visa sig genom att eleven får argumentera och motivera för sin lösning, Varför kommer denna strategi att lösa uppgiften? Eller genomförandet av bekräftande argumentation, vilket kan visa sig genom att eleven får argumentera och motivera för sitt svar, Varför löste strategin uppgiften? (Lithner, 2008).
För att tydliggöra det fjärde steget som handlar om hur läraren vägleder eleverna i problemlösningsprocessen kommer lärarens interaktion med eleverna beskrivas som feedback på process- eller uppgiftsnivå (Hattie & Timperley, 2007). Feedback på processnivå ger eleven möjlighet till CMR. I den insamlade datan har detta visat sig genom att läraren exempelvis ställer frågor till eleverna som leder till vidare reflektioner och resonemang eller att läraren uppmanar eleven att pröva sig fram, kontrollera och argumentera för sina lösningar. Feedback på uppgiftsnivå som begränsar eleven till ett imitativt resonemang har visat sig genom att läraren exempelvis ger specifika kommentarer eller ställer ledande frågor till eleverna som hjälper dom vidare mot en lösning. Samt om läraren till exempel ger förslag på lösningsmetod eller bekräftar elevens lösning genom att berätta om det är rätt eller fel.
19
7 Resultat
Syftet med denna studie var att öka kunskapen om lärares didaktiska val gällande matematiska problem i syfte att utveckla elevers resonemangs- och problemlösnings- förmåga i årskurserna 1-3. Syftet var vidare att få ökad kunskap om vilka förut- sättningar lärare skapar för elever att arbeta med kreativa matematiska resonemang.
Den forskningsfråga som skulle besvaras handlade om de förutsättningar som lärare ger elever att använda kreativa matematiska resonemang. I detta kapitel redovisas de resultat som framgår av intervjuerna och från observationstillfällena. Kapitlet består av fem avsnitt vilka grundar sig på de steg som framkom under analysarbetet samt en resultatsammanfattning. De kategorier som presenteras är: Vilka uppgifter som lärarna använde vid problemlösning, hur uppgifterna introduceras för eleverna, elevers möjlighet till matematisk argumentation samt lärarens stöttning till eleverna. I kapitlet vävs resultaten från observationerna och intervjuerna samman för att resultatet ska bli lätt att läsa. Citat från lärarna är numrerade för att tydliggöra vilka citat som analyseras.
Även elevpar är numrerade för att tydliggöra att läraren rörde sig mellan olika elevpar under observationstillfället.
Resultatet visar varierade arbetssätt vid arbetet med problemlösning där eleverna ges möjlighet att använda imitativa resonemang (IR) men även i viss utsträckning kreativa matematiska resonemang (CMR). I tabell 5 sammanfattas resultatet.
Tabell 5. Resultatsammanfattning av elevernas förutsättningar att använda CMR.
Alva Berit Camilla Diana
Använder läraren ett matematiskt problem?
NEJ JA JA JA
Introduceras uppgiften på ett sätt som främjar CMR?
JA JA NEJ JA
Ges eleverna möjlighet att argumentera för sina lösningar?
JA NEJ NEJ JA
Stöttar läraren eleverna på ett sätt som främjar CMR utan att lotsa eleverna?
JA NEJ NEJ JA
Endast en lärare ger eleverna möjlighet att i full utsträckning använda CMR. Två av lärarna, som även de använder sig av ett matematiskt problem, låter eleverna använda AR eller IR genom att de lotsar eleverna fram till en lösning och låter eleverna i en väldigt liten utsträckning argumentera för sina lösningar. En av dessa lärare introducerar en liknande uppgift med en möjlig lösningsmetod för eleverna vilket leder till att eleverna sedan använder ett algoritmiskt resonemang (AR) vid lösningen av den uppgift som är i fokus under lektionen. En av lärarna använder sig inte av ett matematiskt problem. Trots detta ger läraren eleverna möjlighet att argumentera för sina lösningar och stöttar eleverna på ett sätt som främjar CMR.
20
7.1 Vilka uppgifter lärarna använder vid problemlösning
I detta avsnitt presenteras samtliga uppgifter som var i fokus under observationerna samt lärarnas reflektioner kring de uppgifter de valt att eleverna ska arbeta med.
Uppgifterna fungerar som stöd för den kommande diskussionen och är därav relevant att redovisa. Av de uppgifter som användes av lärarna i denna studie kan tre av fyra kategoriseras som matematiska problem. Detta är grundat på min analys av lärarnas definition av matematiska problem samt på svaren de gav över om hur eleverna arbetat med ett liknande matematiskt problem tidigare, vilket kan ha medfört att eleverna upplever uppgiften som en rutinuppgift och inte som ett matematiskt problem. Den uppgift som kategoriseras som en rutinuppgift är Alvas uppgift då hon förklarar i intervjun att uppgiften var enkel för eleverna samt att de arbetat med liknande uppgifter och lösningsmetoder tidigare. Detta indikerar att uppgiften inte gav eleverna möjlighet att konstruera nya lösningsmetoder utan att lösningsmetoderna redan var känd för eleverna.
Alvas uppgift handlar om pant och i intervjun beskriver hon att syftet med uppgiften var att eleverna skulle träna på att visa sin lösning. Hon förklarar att uppgiften därmed innehåller enklare tal för att hon ville att alla skulle komma vidare och få möjlighet att träna på att visa sina lösningsstrategier. Hon förklarar även i intervjun att eleverna har arbetat med liknande matematiska problem tidigare. Till frågan vad hon anser vara ett matematiskt problem svarar hon ” Ja, när det är ett problem och eleverna inte vet svaret på en gång, utan dom måste klura och tänka, då är det ett matematiskt problem. För om dom vet svaret på en gång så är det inte ett problem utan då är det en rutinuppgift”(Alva). Alva definierar ett matematiskt problem som något som kräver att eleverna anstränger sig i sitt tänkande och att svaret inte är givet på en gång. I figur 1 presenteras den uppgift Alva lät eleverna arbeta med:
Anders och Olle har hittat 4 plastflaskor och 6 burkar som de ska panta.
För varje flaska får de 2 kronor och för varje burk får de 1 krona.
Hur många kronor får de?
Hur många kronor får de var?
Figur 1. Alvas matematiska problem
Berits uppgift handlar om pallar och stolar. I intervjun förklarar hon målet med uppgiften, vilket var att de skulle få tänka tillsammans och beskriver problemet som relativt enkelt då fokus skulle ligga på själva lösningsmetoden. Till frågan vad hon anser vara ett matematiskt problem svarar hon ” Ja men då kan det ju tillexempel vara en uppgift där man behöver läsa sig fram till information, och man ska försöka sortera ut, vad behöver jag veta för att lösa och svara på frågan”(Berit). Berit definierar ett matematiskt problem i likhet med en textuppgift där eleven behöver sortera ut information från en text för att komma vidare i sin lösningsprocess. I figur 2 presenteras den uppgift Berit lät eleverna arbeta med:
21
En snickare har fått ett uppdrag av en möbelaffär att snickra pallar som har tre ben
och stolar som har fyra ben. Hon lyckas producera 34 st. När hon räknar benen är det
sammanlagt 108 ben. Hur många pallar och stolar är det?
Figur 2. Berits matematiska problem
Camillas uppgift handlar om påskägg och i intervjun beskriver hon att hon ville koppla matematiken med den kommande högtiden: ”Ja men jag har ju skrivit några påskuppgifter för att det skulle vara lite påskrelaterat, och sen så, de uppgifter som dom fick i häftet, var ju såna uppgifter som går att lösa på lite olika sätt, både addition, multiplikation, division, och det gjorde jag ju för att jag ville få fram den här variationen och diskussionen. Men ändå så kommer de fram till samma svar”(Camilla). I intervjun förklarar även Camilla vad hon definierar ett matematiskt problem som: ”Det kan vara så otroligt mycket, det kan vara, ja nu fokuserade vi på textuppgifter den här lektionen och det är väl kanske det första man tänker att ett matematiskt problem kan vara, men det är ju bara en liten del av det. Det kan ju vara… åh jag har inget bra exempel, men det kan ju vara kluringar eller att testa olika kombinationer exempelvis”(Camilla). Även Camilla likt Berit, kopplar ett matematiskt problem med en textuppgift men nämner även att det kan vara kluringar eller att testa olika kombinationer. I figur 3 presenteras den uppgift Camilla lät eleverna arbeta med:
Leo har 24 godisar. Han vill göra påskägg till sina 6 kompisar. Hur många godisar blir det i varje
påskägg?
Figur 3. Camillas matematiska problem
Dianas uppgift handlar om begreppet färre. I intervjun förklarar hon syftet med uppgiften. ”Fler är mycket enklare men färre är svårare. Och i och med att jag sätter det i ett matematiskt problem så får dom verkligen tänka och använda ordet, istället för att dom ska sitta i en mattebok och skriva fler eller färre där”(Diana). Diana förklarar att eleverna nu ska få undersöka begreppet färre vilket är ett begrepp som Diana upplever att elever generellt har svårare för än med begreppet fler. I intervjun beskriver Diana hur hon definierar ett matematiskt problem: ”Jamen det är ju där man får fokusera på en lösningsmetod som kanske inte är given från början, man måste klura på en lösning helt enkelt. Och då kan ju det vara nästan vad som helst, svårt att sätta en gräns egentligen”(Diana). Diana beskriver ett matematiskt problem som en uppgift där metoden för lösningen inte är given i förväg. I figur 4 presenteras den uppgift Diana lät eleverna arbeta med:
Två kaniner delar ut påskgodis. Den ena delar alltid ut 3 godisar färre än vad den andra delar ut. Visa hur många godisar de två kaninerna kan
dela ut.
Figur 4. Dianas matematiska problem
