Ex.
Lös ekvationen 0 2
2 z2 z
Lösning:
Metod 1
z
z
j z j z jz
z22 20 121220 121* 2 1 1
Metod 2 (Ej korrekt men acceepterad)
z z j
z z
z22 20 1 122 1 1 1
Ex.
Lös ekvationen
0
2 jz1 j z
Metod 1 (kvadratkomplettring)
0 4 1
1 1 2
2 2
4 3
2 2
j j z j j
z j
Sätt: z j x jy
2
d.v.s.
0 42 3 4 0
3 2 2
2 j x xyj y j
jy x
2 1
04 3
0 0 Im
Re 2
2
xy j y
x
Vi får då följande ekvationssystem att lösa
y x xy
y x
2 1 01
2 4 0
2 3
2
Vi får då:
4 0 1 3 4
4 0 3 4
1 4
0 4 4 3 4 0 1
4 3 2
1
2 2 4
2 2 2 2 4 2
2 2
2
x x x
x x x x x x x
x x
Lös: täljaren0 0 1 3
4x4 x2 Sätt x2 t:
! 1
4 ! 1
8 5 8 3 64
16 64
9 8 0 3
4 1 4 0 3
1 3 4
2 1
2 2
Ok t
Falsk t
t t
t t t
x
Vi får då:
j j z
z y
x
z j j
z y
x x
2 1 1 1 2 2
1 1
2 1 1 1 2 2
1 1 1
2 2
2 2
1 1
1 1
1
Metod 2 (ej bra, bara ibland):
Sätt: zx jy
2 1 0
1
0 1 2
0 1
2 2
2 2
2
x xy j y y x
j y jx xyj y
x
j jy x j jy x
Vi får då följande ekvationssystem att lösa
)1(
2 inf 1 01
2
2 01
2
örningi Ejbravid
x y x x
xy y y
x
1 0
2 1 4
0 1 2 1
1 2 1
2 2 2
2
x x x
x x x
x x
x x
Förläng med MGN
0 1 3 4
0 4 2 2 2
1 4
0 4 2 2 2
1 4
0 4 1
2 1
4
4 0
4 1
2 1
4
2 4
2 2 2
4
2 2 2
4
2 2 4
2 2 2 4
x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x
x x x x x
PSS (Samma som tidigare)
Komplex-konjugerande rötter
Om en algebraisk ekvation med reella koefficienter har en linje-reell lösning z0 har den också lösningen z0
Ex.
Ekvationen 2z4z3z2z10 har roten z j. Bestäm ekvationens övriga lösnoingar.
Lösning:
Enligt sats: z0 z0 vi får då enligt sats:
z j
z j
k zz z z
z 1 * *
2 4 3 2
Där k
z är en polynom av grad 2 Polynomdivision ger:
0
1 1
1 2 2
1 2
|
1 2
1
2 2
3 2 3
2 4
2 3 4
2 2
z z
z z
z z z
z z
z z z z
z z z
Lös k
z 0 d.v.s.2 1 1
4 3 4 1
16 8 16
1 4 1
2 1 4 1 4 1
2 0 1 2 0 1
1 2
4 3
2 2 2
z z z z z
z z z
z
beyder konjugat
Ex.
a) Ekvationen z32z24z80 har en lösning z2. Bestäm ekvationens övriga lösningar
b) Ekvationen z310 har en heltalsrot. Lös ekvationen.
c) Ekvationen 2z3z2z10 har roten z j. Lös ekvationen.
d) Visa att ekvationen z3 z11 200 har lösningen z 2 j ange ekvationens övriga lösningar.