P-adiska tal

Fakulteten för teknik och naturvetenskap

Per Eklund

P-adiska tal

P-adic numbers

Matematik C-uppsats

Datum/Termin: 2007-05-06 Handledare: Håkan Granath Examinator: Thomas Martinsson

Sammanfattning

De p-adiska talen vars främsta användningsområde ligger inom talteorin beskrevs först av den tyske matematikern Kurt Hensel 1897.

För varje primtal p, så utvidgas talsystemet Q av rationella tal till ett större talsystem som betecknas Qp, de så kallade p-adiska talen.

En annorlunda valuation av rationella tal ger ett så kallat icke-arkimediskt absolutbelopp samt en annan metrik än den vi är vana vid, en ultrametrik. Vilket gör att kroppen av p-adiska tal Qp får en annorlunda topologi.

Ett icke-arkimediskt absolutbelopp har samma egenskaper som ett vanligt arkimediskt absolutbelopp, samt en extra egenskap nämligen x+ y ≤max

{

x, y

}

.

Avslutningsvis använder vi oss av Hensels lemma, vilken bygger på Newton-Raphsons metoden för att lösa ekvationer, för att bestämma om ett polynom har rötter i Zp och i så fall vilka de är. Då den p-adiska analysen på många sätt är lättare än den reella analysen så visar Hensels lemma ganska lätt om ett polynomen har rötter i Zp.

Innehållsförteckning

Sammanfattning ...1

Innehållsförteckning...2

1. Inledning ...3

1.1 Bakgrund ...3

1.2 Introduktion ...3

1.3 Kongruenser modulo pⁿ...8

2. Förberedelser för att kunna räkna p-adiska tal...17

2.1 Absolutbelopp på en kropp...17

2.2 Icke-arkimediskt absolutbelopp...24

2.3 Topologi ...26

2.3.1 Ultrametriskt rum...26

2.3.2 Öppna och slutna bollar...30

3. P-adiska tal...35

3.1 Absolutbelopp på Q ...35

3.2 Komplettering...36

3.3 Hensels lemma...38

4. Referenser ...41

1. Inledning

1.1 Bakgrund

Den här uppsatsen är en introduktion till p-adiska tal. Jag har följt de tre första kapitlen i boken p-adic numbers, av Fernando Q. Gouvea. Alla definitioner och satser är tagna ifrån denna bok, samt vissa bevis.

Mitt upplägg har varit att följa boken och svara på utvalda problem. En del är presenterade som exempel, andra som bevis för satser och lemman och en del exempel är

egenkomponerade.

1.2 Introduktion

De p-adiska talen beskrevs först av den tyske matematikern Kurt Hensel 1897.

Det p-adiska talsystemet främsta användningsområde ligger inom talteorin där det ger ett alternativt sätt att räkna.

I den vanliga matematiken med reella tal så har vi tal med ett oändligt antal decimaler t.ex.

1/3, som med ett oändligt antal decimaler skrivs som 0,33333….

Två tal som skiljer sig åt på den 10:e decimalen är ungefär lika, två tal som skiljer sig åt på den 20:e decimalen är än mer lika än de föregående två.

Desto större negativ 10 potens desto mindre är differensen.

Ett 10-adiskt tal har en liknande utveckling men med den skillnaden att differensen mellan två tal är mindre om de skiljer sig åt med en stor positiv 10 potens, alltså 2222 är nära 3222, men 222222 är än närmre 322222.

Men de 10-adiska talen har en nackdel, det finns nämligen par av tal skilda från noll vars produkt blir noll. Men de 10-adiska talen är en ring med nolldelare. Detta problem undviks dock genom att använda primtal som bas istället för 10.

Om p är ett primtal, så kan alla positiva heltal skrivas i en utveckling i basen p på formen

. 100011 som

skrivs vilket 2

1 2 1 2 0 2 0 2 0 2 1 är binärt 35 T.ex.

. 1 0

,

2 0

1 2 3

4 5

0

× +

×

×

× +

× +

× +

×

−

≤

∑

≤

=

p

p _i

n

i i

i α

α

Utvecklingen i basen p visar om m är delbart med p och i så fall i vilken grad, t.ex. utveckla 75 i basen 3 ger:

. potenser högre

med ej men 3, med delbart är

75 att sar vilket vi ,

3 2 3 2 3 1 0

75= + × + × ² + × ³

summor.

ändliga

för stället i serier

formella vi

betraktar så

tal rationella till

gå vidare ska

nu När vi

0

∑

^∞

i= i ip α

. 0 1

heltal,

som uttrycka vi

kan då

| fallet betraktar vi

Om . 0

talet rationella det

först betraktar Vi

′<

<

−

′ = +

=

=/ /

=

α α

α α

n n

b α p b b

a

Lemma 1.2.1

. 1 0

och 0 med

att så och heltal finns Då

. heltal är , och 0 ,

| där Tag

−

≤

≤

′<

<

′ − +

=

′

<

<

/ −

=

p x a

b b pa b x

a

a x

b a a

b b p b a α

).

(mod ) (mod 0

som utryckas kan

vilket

| så , är

då ha vill Vi Bevis.

p bx

a

p bx

a

bx a p a p bx a

a p bx a

≡

≡

−

−

′

=

− + ′

=

{ }

1 VSB.

0 är

då Sätt

.

| ty ) (mod att

så 1 ..., , 1 , 0 unikt ett existerar Det

b p b

b p p x p

bx b p

bx a a

p bx a a

p bx a a

b p p bx

a p

x

−

− =

− ≥

= −

−

> −

= −

′

− <

′=

= −

′

≡ /

−

∈

Upprepad tillämpning av lemmat ger oss det rationella talet utvecklat i basen p, vilket ser ut på följande sätt.

...

att ger Vilket

sätt.

samma på

osv.

. 1 0

och 0 med

. 1 0

och 0 med

. 1 0

och 0 med

är så

| och 0 -1

Om

2 2 2 1 0 1 1 0

0 0

2 2

2 2 1

1 1

1 1 0

0 0

0 0

=



 



 +

+ +

=



 



 +

+

= +

=

−

≤

≤

<

<

− +

=

−

≤

≤

<

<

− +

=

−

≤

≤

<

<

− +

=

< /

<

b pa x p px b x

pa x p b x

pa b x

a

p x a

b b pa b x

a

p x a

b b pa b x

a

p x a

b b pa b x

a

b b p

a

Exempel

[ ]

[ ]

* ill tillbaka t

; 7 .

3 2 7 1

1

7 3 1 7 0

3

7 ;*

3 3 7 1

2

ger som 1.2.1 Lemma av

oss använda nu

kan Vi

. 0 , 7 1

; 2 7 3 2 7 1

1

0 , 7 1 att 1 för steg, de förberedan ett

göra att a här tvungn blir

Vi

3.

basen i utvecklat 7

1 talet rationella Det

+ −

− =

+ −

− = + −

− =

−

− ∈ + −

=

−

∉

...

3 3 3 3 1 ...

3 3 0 3 3 3 0 3 7 3

Alltså 1 = ⁰+ + × ²+ ³+ ⁴+ × ⁵ + ⁶+ = + + ³+ ⁴+ ⁶ +

möjligt).

som långt så förkortat är

att (antag

| och

| omm 0 och

| omm 0 att gäller Det .

formen på det utrycka formellt

rent primtal alla för alltså man kan så , tal rationella För

0

0 0

b a

a p b p n

b p n

p b a

x a

b p x a

n n

n

∑

n

≥

> /

≥ /

=

=

=

Vi kallar detta den p-adiska utvecklingen av x

dvs. 0 1.

0

−

≤

≤

=

∑

≥

p a p

a

x _n

n n

n n

Nu vill vi kunna räkna med sådana serier. Vi kommer att räkna formellt med addition och multiplikation. Det är naturligtvis inte självklart att detta kommer att fungera, senare i uppsatsen kommer det dock att visa sig vara möjligt.

När vi räknar med dessa serier så visar det sig att vi får en kropp, denna kropp får beteckningen Qp och kallas kroppen av p-adiska tal.

.

inbäddning en

ger

Funktionen xa p−adiskutvecklingavx Q→Q_p

Lemma 1.2.2

Alla rationella tal har en periodisk p-adisk utveckling och omvänt gäller det att en periodisk p- adisk utveckling ger ett rationellt tal.

Bevis

tal.

rationellt ett

är Alltså

1 . ger ...

vilket

...

...

får vi p med rar multiplice vi

om

...

...

: n perioden med

utveckling adisk

- p en vara Låt

tal.

rationellt ett

ger utveckling adisk

- p periodisk en

att först visar Vi

1 1 1

0

1 1 1

0

1 1 0

n

1 1 0 1 1 1

0

x

p p a p

a x a

p a p

a a x p x

p a p a x p

p a p a p a p

a a x

x

n n n n n n

n n n

n n n

n

− + +

= + + + +

=

−

+ +

=

+ + +

+ +

=

−

−

−

− +

+

−

−

[ ]

VSB.

. utveckling adisk

- p periodisk en

talet rationella det

har Alltså

gånger.

1 högst efter

re ett tidiga som

samma det

att vara ett

kommer så

0 är

så 0 1

Eftersom

...

osv.

1 0

1 0

är Då

. 1 0

och 0 1

steg de förberedan ett

av oss använda att

tvungna är vi

0 , 1 talet

rationella det

Om

. utveckling adisk

- p periodisk en

har tal rationella att

visa nu ska Vi

2 2 2 1 0 1 1 0

0 0

2 2

2 1

1 1

1 0

0 0

0 0

b a b

a a

a b b

a

b pa x p px b x

pa x p b x

pa b x

a

p b x

pa b x

a

p b x

pa b x

a

p b x

a b

pa b x

a

b a

i i

i i

−

<

<

−

<

<

−

=



 



 +

+ +

=



 



 +

+

= +

=

−

≤

≤ +

=

−

≤

≤ +

=

−

≤

≤

<

<

− +

=

−

∉

Exempel

3.

på period adisk - 3 en har 5 1 talet rationella det

Alltså

...

3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 5 2

1

...

2 2

...

2 0

1 5 1 1

* till tillbaka 5 ;

3 4 5 2

2

5 3 2 5 1

1

5 3 1 5 0

3

5 ;*

3 3 5 1

4 5 1 4 5 1

att har vi då , 3 låt och 5 1 talet rationella det

Tag

12 11 10

8 7 6

4 3 2

4 3 2

4 3 2

+ +

× + + +

× + + +

× + +

=

+ + + +

=

= + + + + + +

= + −

− = + −

− =

+ −

− = + −

− = +−

=

=

period period

period

p p p

p p p p

p

. ...

är et adiska tal -

p det Om

0 0

0 0

0 3

3 2 2 1 1

0

∑

≥ +

+

+ + + + =

+

=

n n

n n n

n n

n a p a p a p a p

p a x

Vad är då –x ?

( )

( )

( )

∑

∑

∑

∑

∑

≥

≥

≥ +

≥

≥

−

− +

=

−

+

=

−

= + +

−

=

−

=

−

= +

−

−

= + + +

=

≥

−

−

=

0 0

0 0

0

0 0

0

0

. 1

dvs.

är alltså

0 att

ger vilket

1 att

får vi Då

. 1

...

sätt och

n n alla för 1

Låt

1 2

2 1 0

0

n n

n n n

n n

n n

n n

n n

n

n n

n n n

n n n

n

p a p p

x

y p x

p y x

p p p

p p y

x

p a p p

b p b b y

a p b

Exempel

) 0 ( ...

0 0 0 1

1 ^{0 1 2} ₀

0

= +

+ + +

=

=

∑

≥

n p

p p p

a

n n n

( ) ( ) ( ) ( )

(

1

)

...

) 1 ( ) 1 (

...

1 1

2 1

1 1

1 så

2

2 1

0

0

+

− +

− +

−

=

= +

− +

− +

− +

=

−

− +

=

−

∑

≥

p p p p p

p p p p p p p

a p

n

n n

1.3 Kongruenser modulo pⁿ

Om vi nu tittar på kongruensekvationer modulo pⁿ så kommer vi att se att de påminner om de p-adiska tal vi redan gjort.

De lättaste kongruensekvationerna är givetvis de som har lösning i Q (rationella lösningar), som de 3 följande exemplen visar.

Exempel:

( )

[ ]

( )

( )

( )

osv.

27 mod 3 1 4

9 mod 3 1 4

3 mod 1

får vi Då

. 4 fallet på först tittar Vi

a.

lösningarn med

lite arbeta får att vi gör vilket ,

0 att vill vi men

, 4 lösningen har

16 Ekvationen

).

3 (mod lösning

att varje sätt

så på

3 0

med 3

mod 16 lösa

vill Vi

3 2 1

1 2

1 2 1

+

=

≡ +

=

≡

≡

=

∈

±

=

=

≡

≤

≤

≡

−

+

−

x x x

x p x

x x

x x

x x

n n

n n

n

n n n

n

( )

( )

( )

( )

osv.

81 mod 27 2 9 2 3 2 77

27 mod 9

2 3 2 23

9 mod 3

2 5

3 mod 2

får vi Då

. 4 fallet på Sedan

4 3 2 1

× +

× + +

=

≡

× + +

=

≡

+

=

≡

≡

−

=

x x x x x

...

3 2 3 2 3 1 2 4

3 1 1 4

: av en utveckling adiska

- 3 den Alltså

3

2 + × +

× +

× +

=

−

=

× +

=

= x x

Definition 1.3.1

(

ⁿ

)

n n

n

p x

x

n

p x , ...

, x , x x

mod

: att gäller 1 alla för det om koherent är

n alla för

1 0

att sådan heltal

av följd en att säger vi Då

primtal.

ett vara p Låt

1

n 3

2 1

≡

≥

−

≤

≤

+

Eftersom p är ett primtal kan vi säga att följden är p-adiskt koherent.

Sambandet mellan formella serier och koherenta följder inses genom att trunkera den formella serien för att få den koherenta följden. För att gå ifrån en koherent följd till en formell serie behöver man endast utveckla xn, vilket sedan ger x.

Eftersom det är enklare att hantera koherenta följder än serier kommer vi i fortsättningen att göra detta.

. 7 lösningen har

49 Ekvationen

).

(mod

lösning att varje

sätt så På

. 1 0

då )

5 (mod 49

lösa vill Vi Exempel

2

1 n 2

±

=

=

≡

−

≤

≤

≡

+

x x

p x

x

p x x

n n

n n n

n

( )

( )

( )

( )

( )

...

5 4 5 3 3 7

5 1 2 7

: av en utveckling adiska

- 5 den Alltså

. 125 mod 25 4 5 3 3 118

25 mod 5 3 3 18

5 mod 3 får vi

Då

. 7 fallet på Sedan

. 25 mod 5 1 2 7

5 mod 2 får vi

Då

. 7 fallet på först tittar Vi

2 3

2 1 2 1

+

× +

× +

=

−

=

× +

=

=

× +

× +

=

≡

× +

=

≡

≡

−

=

× +

=

≡

≡

=

x x

x x x x x x

x

Om vi tar p=2 så blir det hela lite svårare, för ”trädet” av lösningar i modulo 2 är mycket mera komplext, det kommer nämligen att finnas lösningar i modulo 2ⁿ som ej går att ”lyfta”

till modulo 2ⁿ⁺¹. Exempel

( )

( )

( )

( )

( )

).

2 (mod lyfta till att

går ej som ) 2 (mod i lösningar finnas

att kommer det

att är

uppstår som

problemet lösningar,

till fram oss prova att för formeln av

oss använda kan

Vi

. 2 0

2 mod 2

av oss använda vi

kan så hittat har nu När vi

. 2 mod 1

är så 2 mod 1

om

2 mod 1

81

).

(mod 1

0 då 2

mod 81 lösa

ska Vi

1 n n

1 1

1 1

2 1

1 2 n

+ +

+

+

<

≤ +

=

=

≡

≡

≡

−

≤

≤

≡

k k

x x

x x

x

p x

x p

x x

n n

n n

n n

n n

n n

( )

( )

( )

(

mod4

)

och dettauppfyllsför båda 1,3. 1

måste så

4 mod 1 81 Då

. 4 mod 3

, 1 :

lösningar möjliga

två oss ger vilket

, 2 0

1 2

mod 2 är

Alltså

2 2

2

2 1

1 2

=

≡

≡

≡

<

≤

= +

= ⁺

x x

x

k n

k x

x ⁿ

… 7

7

2

3

18

118

…

( )

( )

( )

(

mod8

)

så måste 1

(

mod8

)

ochdetta uppfyllsdå 1,5,3,7. 1

81 Då

. 8 mod 7

, 3 fås

: 3 för

och

8 mod 5

, 1 fås

: 1 då

lösningar möjliga

två oss ger vilket

, 2 0

2 2

mod 2

är steg Nästa

3 2

3

3 2

3 2

1 2

3

=

≡

≡

≡

=

≡

=

<

≤

= +

= ⁺

x x

x x

x x

k n

k x

x ^{n n}

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

16).

(mod 1 11 , 3 , 13 , 5 att för till 3 , 5 lyfta inte vi kunde Alltså

. 15 , 7 , 9 , 1 då uppfylls detta

och 16 mod 1

måste så 16 mod 1

81 Då

. 16 mod 15

, 7 7

. 16 mod 11

, 3 3

. 16 mod 13

, 5 för

lösningar möjliga

två oss det ger 5 När

. 16 mod 9

, 1 för

lösningar möjliga

två oss det ger 1 När

. 2 0

2 2

mod 2

är Då

4 3

4 2

4

4 3

4 3

4 3

4 3

1 3

4

≡/

=

=

≡

≡

≡

=

≡

=

≡

=

≡

=

<

≤

= +

= ⁺

x x

x x

x x

x x

x x

x x

k n

k x

x ^{n n}

Om vi fortsätter på samma sätt så får vi.

)) 2 (mod 81

att innebär et

(Överstruk x_n² ≡/ ⁿ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

mod128

)

81 9,73,41,105,23,87,55,119 81

81

55 , 23 , 9 3 , 7 , 7 5 , 5 2 , 41 , 9 17

64 mod 17 81

1 3 , 5 1 , 23 , 7 , 25 , 9 , 6 1 , 1 17

32 mod 17 81

15 , 7 , 1 1 , 3 , 3 1 , 5 , 9 , 1 1

16 mod 1 81

7 , 3 , 5 , 1 1

8 mod 1 81

3 , 1 1

4 mod 1 81

1 1

2 mod 1 81

7 2

7

6 2

6

5 2

5

4 2

4

3 2

3

2 2

2

1 2

1

=

≡

≡

=

≡

≡

=

≡

≡

=

≡

≡

=

≡

≡

=

≡

≡

=

≡

≡

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

Vilket kan sammanfattas som ett träd.

… 9

…

1 9

1 9 73

1 9 41

5 25

1

3 7

3 7 23

7 23 55

15 55

… 119

…