• No results found

MOŽNOSTI VYUŽITÍ LINEÁRNÍ ALGEBRY VE STŘEDOŠKOLSKÉ FYZICE

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "MOŽNOSTI VYUŽITÍ LINEÁRNÍ ALGEBRY VE STŘEDOŠKOLSKÉ FYZICE "

Copied!
70
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)

Poděkování

Tímto způsobem bych chtěla poděkovat Mgr. Václavu Bittnerovi za jeho ochotu, trpělivost a pomoc s vypracováním této bakalářské práce. V neposlední řadě mé velké poděkování patří hlavně mé rodině, příteli a přátelům za podporu po celou dobu studia.

(6)

MOŽNOSTI VYUŽITÍ LINEÁRNÍ ALGEBRY VE STŘEDOŠKOLSKÉ FYZICE

ANOTACE

Hlavním cílem práce bylo na základě syntézy základních poznatků z lineární algebry ukázat možnosti jejího využití při výuce klasické fyziky na středních školách gymnaziálního typu.

Práce je rozdělena do tří částí. První je věnována výkladu základních pojmů z lineární algebry.

V druhé části je přehled vybraného učiva středoškolské mechaniky. Třetí část je složena z řešených úloh s fyzikální tématikou s reálným kontextem. Práce je koncipována tak, aby na jejím základě mohla být vytvořena příslušná metodická podpora pro učitele fyziky a matematiky

Klíčová slova: lineární algebra, vektory, matice, mechanika, kinematika, dynamika

(7)

LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATION IN THE HIGH-SCHOOL PHYSICS

ANOTATION

The main aim of this thesis is to show possibilities of using linear algebra in basic physics lessons at secondary grammar schools. These possibilities are based on synthesis of basic knowledge of linear algebra. The thesis is divided into 3 parts. The first part is focused on describing basic terms of linear algebra. In the second part curriculum of secondary school physics is summarized. The third part consists of completed physics tasks with real context. The thesis is drafted so on its basis corresponding methodical support for mathematics and physics teachers can be made.

Key words:

linear algebra, vectors, nut, mechanics, kinematics, dynamics

(8)

7

Obsah

Úvod ... 11

1 Cíle práce ... 12

2 Lineární algebra v dnešní středoškolské matematice ... 13

2.1 Souřadnice ... 13

2.2 Lineární vektorový prostor ... 14

2.3 Operace s vektory ... 17

2.4 Matice a operace s nimi ... 24

2.5 Soustavy lineárních rovnic ... 28

3 Vybrané fyzikální pojmy ze středoškolské fyziky ... 35

3.1 Mechanika ... 35

3.1.1 Mezinárodní soustava jednotek (SI) ... 35

3.1.2 Kinematika hmotného bodu ... 36

3.1.3 Kinematika tuhého tělesa ... 38

3.1.4 Dynamika hmotného bodu ... 39

3.1.5 Dynamika tuhého tělesa ... 41

3.2 Gravitační pole ... 44

3.3 Deformace ... 48

4 Aplikace lineární algebry ve vybraných problémech středoškolské fyziky ... 50

Úloha 1: Moment síly (2D) ... 50

Úloha 2: Moment síly (3D) ... 52

Úloha 3: Rovnováha sil ... 53

Úloha 4: Impulz síly ... 55

Úloha 5: Okamžitá rychlost ... 57

Úloha 6: Rychlost a hybnost ... 59

Úloha 7: Deformace ... 61

Úloha 8: Tíhová síla ... 63

Úloha 9: Statika ... 64

Závěr ... 66

Literatura ... 67

(9)

8

Seznam obrázků

Obrázek 1 Určení souřadnic bodu v prostoru... 13

Obrázek 2 Součin matic ... 27

Obrázek 3 Sarussovo pravidlo pro výpočet determinantu ... 33

Obrázek 4 Změna polohového vektoru ... 37

Obrázek 5 Tečné a normálové zrychlení ... 37

Obrázek 6 Vektorové skládání sil ... 40

Obrázek 7 Směr momentu určíme podle pravidla pravé ruky ... 42

Obrázek 8 Gravitační síly působící mezi dvěma tělesy ... 44

Obrázek 9 Závislost intenzity gravitačního pole na vzdálenosti ... 45

Obrázek 10 Tíhová síla jako výslednice gravitační a setrvačné síly ... 46

Obrázek 11 Deformace v tahu... 48

Obrázek 12 Deformace tlakem... 48

Obrázek 13 Tenzor napětí ... 49

Obrázek 14 Deformace smykem ... 49

Obrázek 15 Příklad č. 1 ... 50

Obrázek 16 Příklad č. 2 ... 52

Obrázek 17 Příklad č. 3 ... 53

Obrázek 18 Příklad č. 4 ... 55

Obrázek 19 Příklad č. 5 ... 57

Obrázek 20 Příklad č. 6 ... 59

Obrázek 21 Příklad č. 7 ... 61

Obrázek 22 Příklad č. 8 ... 63

Obrázek 23 Příklad č. 9a ... 64

Obrázek 24 Příklad č. 9b ... 64

(10)

9

Seznam použitých tabulek

Tabulka 1 - Mezinárodní soustava jednotek ... 36 Tabulka 2 - Translační a rotační pohyb ... 38 Tabulka 3 - Hodnoty tíhového zrychlení ... 46

(11)

10

Seznam použitých zkratek

ω úhlová rychlost

konstanta úměrnosti

A,B,C matice

c b,

a,

c b a

  

,

,

vektory

T T T,b ,c

a transponovaný vektor

a vektor zrychlení

an vektor normálové zrychlené

at vektor tečného zrychlení

d velikost polohového vektoru r

F vektor síly

J moment setrvačnosti

K intenzita gravitačního pole

L vektor momentu hybnosti

m hmotnost

M vektor momentu síly

p vektor hybnosti

r polohový vektor

s dráha

t čas

v vektor rychlosti

(12)

11

Úvod

V současné době jsou u nás i ve světě stále více v popularitě humanitní předměty, cizí jazyky, filosofie a sociologie. Naopak matematika a fyzika, byť se jedná o pilíře klasického školství, se takovému zájmu studentů netěší. Hlavním motivem, proč jsme si toto téma vybrali je snaha ukázat vzájemnou provázanost základních poznatků z lineární algebry a středoškolské fyziky. Věříme, že tím alespoň částečně přispějeme k odvrácení výše zmíněného trendu.

Jedním z problémů, se kterými se dle našeho názoru musí studenti i učitelé na středních školách gymnaziálního typu vypořádat, je vzájemný časový nesoulad výuky fyziky a jejího potřebného matematického aparátu. Zejména se jedná o vybrané poznatky z analytické geometrie, které student ve fyzice potkává již v prvním ročníku. V matematice však na ně přijde čas až v ročníku třetím nebo čtvrtém. Tomu jsou přizpůsobeny i učebnice fyziky viz zdroj [4], kdy teoretický rozbor fyzikálních jevů probíhá ve vektorové symbolice, ale praktická cvičení se velmi často omezují na jednodimenzionální maximálně dvoudimenzionální problémy. Ty lze řešit trigonometrickými přístupem. V následujícím textu se snažíme tento trend narušit a ukázat komplexnější přístup, založený na jednoduchém maticovém počtu.

Na dalších řádkách si pojďme stručně představit obsah předkládané práce. Bakalářská práce je členěna do tří důležitých kapitol. První kapitola se věnuje lineární algebře. Tedy základním pojmům, se kterými se dnešní středoškoláci běžně setkávají. Podrobně jsou tam vysvětlovány operace s vektory a s maticemi. Na konci kapitol je vždy uveden příklad s popisem kroků, které jsme prováděli. Další podkapitolou, které jsme se věnovali, je řešení lineárních rovnic. V kapitole jsme využili právě znalost matic a řešili jsme rovnice pomocí Gaussovy eliminace.

Toto se určitě v běžném středoškolském učivu nevyskytuje. Na některých typech škol se lineární rovnice pomocí matic vyučují v rámci matematických seminářů a jiných podobných předmětů. Tato část práce bude koncipována tak, aby sloužila vhodně pro výklad klasické mechaniky.

V druhé části práce se věnujeme hlavně fyzikálním pojmům, se kterými se studenti běžně při výuce fyziky setkávají. Konkrétně kapitolám kinematika hmotného bodu a tuhého tělesa a dynamika hmotného bodu a tuhého tělesa. Dále pak okrajově gravitačnímu poli a deformaci.

V poslední části práce je sborník úloh s fyzikální problematikou a reálným kontextem. Cílem práce je ukázat řešení fyzikálních úloh pomocí osvojeného matematického aparátu z první části práce.

(13)

12

1 Cíle práce

Na základě syntézy základních poznatků z lineární algebry ukázat možnosti jejího využití při výuce klasické fyziky na středních školách gymnaziálního typu. Text bude koncipován tak, aby mohl sloužit jako metodická podpora pro učitele matematiky a fyziky. Součástí bude vypracovaný soubor řešených úloh s fyzikální tématikou a reálným kontextem.

(14)

13

2 Lineární algebra v dnešní středoškolské matematice

Cílem této kapitoly je shromáždit vybrané pojmy z lineární algebry. S některými pojmy se studenti setkají spíše v hodinách fyziky, některé se dozvědí spíše v rámci volitelných předmětů své školy, například matematických seminářů apod.

2.1 Souřadnice

V běžném životě se často setkáváme s popisem tělesa vůči jinému tělesu. Mluvíme o tzv.

vzájemném pohybu těles. Ve fyzice potřebujeme polohu tělesa proto, abychom mohli popisovat pohyb tělesa. Místo toho, abychom určili pohyb tělesa uvedením jeho polohy vůči nějakému jinému tělesu, postupujeme tak, že toto vztažné těleso reprezentujeme vztažnou soustavou.

Nejčastěji pak kartézskou soustavou souřadnic.

Kartézská soustava souřadnic je soustava, kdy jsou na sebe všechny osy kolmé a jejich společním průsečíkem je bod O, který odpovídá na osách nule. Je to počátek soustavy souřadnic. Všechny osy musí mít stejné jednotky měření.

V rovině mám kartézská soustava souřadnic dvě na sebe kolmé osy x,y, které se označují Ox,y. V prostoru jsou to tři vzájemně kolmé osy x,y,z. označující se Ox,y,z.

Pokud budeme uvažovat pohyb v rovině máme právě soustavu Ox,y, pokud budeme uvažovat pohyb v prostoru budeme mít soustavu Ox,y,z. Abychom získali souřadnice bodu v prostoru, vedeme bodem A rovinu rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou vz. Ta protne osu x v bodě, který odpovídá číslu a1. Poté bodem A vedeme rovinu rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou xz, která na ose y určí bod odpovídající číslu a2. A nakonec vedeme rovinu rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou xy. Ta osu z protne v bodě, který odpovídá číslu a3.

Obrázek 1 Určení souřadnic bodu v prostoru

http://www1.karlin.mff.cuni.cz/~portal/analyticka_geometrie/souradnice.php?kapitola=soustavaSouradnicP

(15)

14 Značení

Vektor je nejčastěji popsán svými třemi průměty do souřadných os. V klasické literatuře se zpravidla setkáváme s řádkovým vektorem. Za transponovaný vektor je považován vektor sloupcový. Označuje se horním indexem T. Vektor není nic jiného, než matice o jednom řádku nebo sloupci. O maticích si toho řekneme více dále viz. kapitola 2.4 na straně 26. Pomocí souřadnic vektor zapíšeme v jednom z tvarů:

a

 

ax

,

ay

,

az

 

 31

 

 

A

aT

z y x

a a a

V mojí bakalářské práci budu převážně užívat notaci vektoru sloupcového.

2.2 Lineární vektorový prostor

Hlavním pojmem v lineární algebře, díky němuž jsou definovány ostatní pojmy, je lineární vektorový prostor. S lineárním vektorovým prostorem se můžeme setkat v nejrůznějších odvětví matematiky a fyziky.

Definice: Buď T libovolné těleso. Vektorovým prostorem nad tělesem T rozumíme neprázdnou množinu V, na niž je definováno sčítání dvojic prvků (to znamená, že každé dvojici a,b

V je jednoznačně přiřazen prvek a+b

V jinými slovy dva vektory lze sečíst a jejich součet je opět prvkem vektorového prostoru) a násobení prvků z V prvky z tělesa T (to znamená, že každému a

V a každému r T je jednoznačně přiřazen prvek ra

V) Přitom pro všechna a,b,c

Va všechna r,s T musí být splněny tyto podmínky:

[5 s. 18]

Prvek vektorového prostoru se nazývá vektor a reálná čísla z vektorového prostou jsou skaláry.

Vektor 0 se nazývá nulový vektor.

 

a a

a a

a a a

b a b a

0 a a

0

c b a c b a

a b b a

1

) ( ) (

) (

) (

0 , ,

) (

rs s

r

s r s r

r r r

že takový V

V

(16)

15 Příklady vektorových prostorů

Vektorový prostor npro n>0

Pro n=2 platí, že dostaneme množinu dvojic [ a,b ], kde a,b jsou reálná čísla. Pro n=3 platí, že dostaneme množinu trojic [ a,b,c], kde a,b,c jsou opět reálná čísla. Tím se z klasické roviny

2 dostáváme do třídimenzionálního prostoru 3. Jestliže jsme si řekli, že 3 je vektorový prostor musí splňovat podmínky uvedeny výše. Jako první si musíme ověřit, zda máme správně definované operace sčítání a násobení. Aby nám bylo jasnější ověřování vlastností vektorového prostoru, doporučovala bych prostudovat kapitolu 2.3.

Jestliže máme dva vektory:





z y x

a a a

a





z y x

b b b b

potom jejich součet bude





z y x

z y x

b b b

a a a b a

Jak vidíme, oba vektory pochází z 3. Násobení není nic jiného než, že násobíme reálné číslo vektorem. Máme:











z y x

z y x

a a a

a a a

Opět je to splněno. Nyní si ověříme všech 7 axiomů, které jsou uvedeny v definici lineárního vektorového prostoru.

1. Musíme ověřit, zda je sčítání vektorů komutativní. Mějme součet vektorů:





z z

y y

x x

b a

b a

b a b a Pokud prohodíme levou stranu, získáme:





z z

y y

x x

a b

a b

a b a

b ,

protože čísla a,b jsou reálná a součet dvou reálných čísel je komutativní operace. Tak první axiom platí.

(17)

16 2. Nejprve si vypočítáme levou stranu rovnice:

 

 

 

















z z z

y y y

x x x

z y x

z z

y y

x x

c b a

c b a

c b a

c c c

b a

b a

b a c b a )

( ,

protože a,b,c jsou reálná čísla a sčítání na reálných číslech je asociativní tak platí, že:

c b) (a c b

a     . Pokud bychom si součet tři vektorů uzávorkovali jakkoliv, tak vždy dostaneme stejný vektor.

3. Prvek 0 není nic jiného než nulový vektor

 

 

 0 0 0

0 .

Pro který platí, že

0

















0 0 0

0 0 0 0

z y x

z y x

a a a

a a a

4. Nejprve si rozepíšeme pravou stranu rovnice

 

 

 









z z

y y

x x

z z

y y

x x

b a r

b a r

b a r

b a

b a

b a r

r (a b) .

Protože čísla jsou reálná, platí distributivní zákon. Potom můžeme psát, že

 

 

 







z z

y y

x x

z z

y y

x x

rb ra

rb ra

rb ra

b a r

b a r

b a r

.

Pravá a levá strana rovnice je si rovna.

5. Při axiomu 5. a 6. budeme postupovat podobně jako v předchozím kroku, proto je zbytečné to tu ukazovat.

6. Máme dokázat poslední bod a to, že:











z y x

z y x

a a a

a a a 1

toto platí protože:

(18)

17

















z y x

z y x

z y x

a a a

a a a

a a a

1 1 1

1 .

Mezi vektorové prostory můžeme zařadit i vektorový prostor matic mn. Tady pozor, protože potřebujeme mít matici stejného typu. Nemůžeme mít matici 22a vzít k ní matici

. 1

3 

Tyto dvě matici bychom neuměli sečíst. Dále mezi vektorové prostory řadíme prostor polynomů P a Pn, množina polynomů nejvýše se stupněm n-1. Samozřejmě bychom si mohli dokázat, že platí všechny vlastnosti, ale to pro naši práci není důležité. Pokud by to někoho zajímalo, najde to ve zdroji [16].

2.3 Operace s vektory

S vektory můžeme provádět více početních operací. Můžeme je například sčítat, odčítat nebo násobit reálným číslem. Všechny tyto operace si rozepíšeme v následující kapitole. Na konci kapitoly si ukážeme, konkrétní příklad s těmito operacemi. Zároveň si řekneme, jak se tyto operace dají využít ve fyzice.

Rovnost vektorů

Dva vektory jsou si rovny, jestliže jsou rovnoběžné, souhlasně orientované a mají stejnou velikost. Potom píšeme, že a=b. Jestliže se jedná o rovnost dvou fyzikálních veličin, musí se shodnost shodovat i v dané fyzikální jednotce.

Součet vektorů

Vektor c nazveme součtem vektorů a,b jestliže platí: je-li AB umístěním vektoru a a BC umístěním vektoru b pak AC je umístěním vektoru c, píšeme c=a+b

Musíme si také uvědomit, že sčítat lze jen fyzikální veličiny stejného druhu. Příklad takové veličiny, kterou můžeme sčítat je síla F. O ní si povíme více dále na straně 44. Můžeme například sčítat dvě síly, dvě rychlosti. Nemůžeme však sčítat sílu a rychlost. Jestliže máme dvě různoběžné síly F1,F2, které působí na těleso v jednom bodě O. Výsledná síla nebo-li výslednice sil F je dána právě vektorovým součtem :

















2 2 2

1 1 1

z y x

z y x

z y x

F F F

F F F

F F F

Násobek vektoru reálným číslem α nebo-li skalárem

Násobení vektoru skalárem můžeme interpretovat jako jeho prodloužení nebo zkrácení, popřípadě změnou orientace, jestliže násobíme záporným číslem.

Vektor c nazveme α-násobkem vektoru a, c=α∙a

(19)

18 Jestliže platí:

a) α=0 nebo a=0 (0 je nulový vektor), pak c=0, b) vektory a a c jsou souhlasně orientované pro a>0

nesouhlasně orientované pro a<0 a pro jejich velikost platí a

  

c

Lineární kombinace vektorů

Lineární kombinace dvou a více vektorů není nic jiného, než to co dostaneme, když vektory vynásobíme nějakými čísly (koeficienty) a výsledky sečteme. Pomocí lineární kombinace pak definujeme další důležité pojmy z lineární algebry a to lineární obal a lineární nezávislost.

Buď jsou vektory b1,b2,…,bn a vektory z vektorového prostoru,

1

, 

2

,..., 

n

 

Lineární kombinací se rozumí každý vektor

n 2

1 b b

b

c

 

1

 

2

 ...  

n

[18 s. 5]

Ukažme si lineární kombinaci transponovaného vektoru cT.

T n T

2 T

1

b b

b

c

T

 

1

 

2

   

n

Jestliže si to rozepíšeme po složkách, dostaneme následující tvar. Pro ukázku si to ukážeme na vektoru ze tří složek a dvěma koeficienty. Mějme vektory a,b,c z vektorového prostoru a čísla

, .





























z y x

z y x

z y x

z y x

z y x

βb βb βb a

a a

α α α b b b β a a a α c c c

Skupina vektorů b1,b2,...bn je lineárně závislá, jestliže existuje alespoň jeden koeficient αk0 a platí

0

2

...

1

   

b1 b2 bn

c

  

n

Skupina vektorů b1,b2,...bn je lineárně nezávislá, jestliže c

 

1b1

 

2b2

 ...  

n bn

0platí pouze, když

1

 

2

   

n

 0

[4 s. 5]

(20)

19

Lineární obal vektorů

Nechť L je lineární prostor. Lineární obal skupiny vektorů b1,b2,...bn je množina všech lineárních kombinací vektorů b1,b2,...bn.

Norma

Norma je funkce, která měří délku vektoru, umožňuje měřit vzdálenost dvou vektorů. Norma není nic jiného než velikost daného vektoru.

Normou vektoru rozumíme reálnou funkci a na vektorovém prostoru V, platí-li pro libovolné dva vektory a,b z V a libovolný skalár α

, 0 a

0 

a

a právě když x=0

b a b

a

  

a a

  

[22 s. 71]

Můžeme poznamenat, že první vlastnost se nazývá pozitivní deficitnost, druhé nerovnosti se říká trojúhelníková nerovnost a třetí vlastnost je (absolutní) homogenita.

[24 s. 9]

Typickým příkladem normy je tzv. Euklidovská norma, definovaná v n jako odmocnina ze součtu druhých mocnin souřadnic vektoru

. ,..., , ,...,

,

2 n 12 22 n2

1 a a a a a

a

Skalární součin

Skalárním součinem vektorů je reálné číslo, jehož velikost je dána součinem absolutních hodnot vektorů a kosinu úhlu mezi nimi sevřeného.

 cos

b a b

a

   , pro γ platí: 0°

180°

Jsou-li vektory určeny kartézskými souřadnicemi





 





z y x

z y x

b b b

a a a

b

a , pak je

x x y y z z

z y x

z y x

b a b a b a b b b

a a a

 

 

 

 

 

 

 b

a

(21)

20 Vlastnosti skalárního součinu:

kolmé jsou

a vektory nenulové

b)

vektor nulový

je nebo a)

: právě 0

) ( ) ( )

(

b a b

a b

a

a a a tj.

, a a a

b a b

a b a

c a b a c) (b a

b a b a

2

když

[18 s. 11]

Vektorový součin

Vektorovým součinem vektorů a a b je vektor c který:

má velikost rovnající se plošného obsahu rovnoběžníku sestrojeného nad vektory a a b je kolmý na rovinu tohoto rovnoběžníku

je orientovaný tak, že platí pravidlo pravé ruky:„prsty pravé ruky dáme ve směru prvního vektoru a a ztotožníme je ve směru druhého vektoru b. Pak vzpřímený palec udává směr výsledného vektoru c.“

Velikost vektorového součinu je určena vztahem c

a

b

sin 

, kde

je úhel, který svírají vektory aa b.

Pokud jsou vektory vyjádřeny v kartézských souřadnicích:a

 

ax

,

ay

,

az

 ,

b

 

bx

,

by

,

bz

x y y x z

z x x z y

y z z y z

y x

b a b a c

b a b a c

b a b a c

c c

a b

( , , ), pak c

x c

a tedy c

 

aybz

azby

  (

azbx

axbz

)(

axby

aybx

)











x y y x

z x x z

y z z y

z y x

b a b a

b a b a

b a b a

c c c

pro vektorový součin pak můžeme použit zápis ve tvaru determinantu

z y x

z y x

b b b

a a a

k j i b a

 

Výpočet determinantu si ukážeme v další části práce na straně 32.

(22)

21 Vlastnosti vektorového součinu:

a) (b b

a  

c b b a c b)

a      (

c a b a c) (b

a      ) )

( )

(

aba

b

(ab když:

právě o b a 

rovnoběovn jsou

vektory nenulové

b)

vektory nulové

jsou nebo

a)

b a, b

a

[18 s. 12]

Smíšený součin

Smíšeným součinem tří vektorů a,b,c nazveme číslo:

 

3 2 1

3 2 1

3 2 1

c c c

b b b

a a a

a (b c) c

b,

a,

[18 s. 13]

Tenzorový součin vektorů

Mějme dva vektory a

axi

+

ayj

+

azk

,

b

=

bxi

+

byj

+

bzk a chceme spočítat tenzorový součin ab. Budeme postupovat tak, že oba vektory a, b nejprve mezi sebou roznásobíme:

i j k



i j k

ab

ax

+

ay

+

az bx

+

by

+

bz

ii j ik ji jj jk ki kj kk

ab

axbx

+

axby

i 

axbz

+

aybx

+

ayby

+

aybz

+

azbx

+

azby

+

azbz

získaný tenzor je ve tvaru mnohočlenu. Jedná se o tenzor 2.řádu, který je možno zapsat ve tvaru matice





z z y z x z

z y y y x y

z x y x x x

b a b a b a

b a b a b a

b a b a b a ab T

V naší práci budeme používat jen tenzory druhého řádu, což je vlastně čtvercová regulární matice.

[14 s. 12]

Teď si uvedeme příklad, kde spočítáme výše uvedené operace.

(23)

22 Příklad č. 1

Mějme vektory a(ax,ay,az), b(bx,by,bz) a,bV;

,



)

9 , 6 , 3 ( ), 2 , 3 , 5

(  

b

a

a

4,

8

a) Určete součet vektorů a a b

b) Určete souřadnice vektoru 2a a vektoru -5b.

c) Vypočítejte lineární kombinaci vektorů.

d) Spočtěte skalární součin a a b a úhel

e) Spočtěte vektorový součin a a b

a) Součet vektorů a a b, provedeme tak, že vektory sečteme po složkách

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 9 8

9 2

6 3

3 5

9 6 3

2 3 5

c b

a c

Výsledný vektor je vektor

c  ( 8 , 9 , 7 )

b) Při násobeni vektoru skalárem vynásobíme každou souřadnici daným číslem.

 

 

 

 

 

 

 

 

4 6 10

) 2 ( 2

3 2

5 2

2 3 5 2 2a

 

 

 

 

 

 

 

 

10 15 25

2 5

3 5

5 5

2 3 5 5 5a

c) Vektor c bude lineární kombinací vektoru a a b a čísel

,

,která bude vypadat takto:

b a

c

 

 , není to nic jiného než kombinace součtu vektorů a násobení vektoru skalárem. Tedy příkladu a) a b).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

64 60 44

72 48 24

8 12 20

9 8

6 8

3 8

) 2 ( 4

3 4

5 4

9 6 3 8 2 3 5 4

c

d) Spočítáme skalární součin c

a

o

b

) (

axbx

ayby

azbz

a b

c

(24)

23

15

) 9 ) 2 ( 6 3 3 5

(       

c

Úhel vypočítáme podle vzorečku: a

o

b

a

b

cos 

, když vyjádříme

dostaneme:

2 2 2 2 2

cos

2

z y x z y x

z z y y x x

b b b a a a

b a b a b a

 

 

b a

b

a 

Teď už si dosadíme číselné hodnoty a vypočítáme úhel:

39 , 0 39 38

15 9

6 3 ) 2 ( 3 5

9 ) 2 ( 6 3 3 cos 5

2 2 2 2 2

2

 

 

Skalární součin vektorů a a b je 15 a mezi sebou svírají úhel 67°.

e) Spočítáme vektorový součin c

a

b

x y y x

z x x z

y z z y z

y x

b a b a

b a b a

b a b a c

c c

z y x

c c c b

a

c

( , , ), pak

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21 51 39

3 3 6 5

9 5 3 ) 2 (

6 ) 2 ( 9 3

x y y x

z x x z

y z z y

z y x

b a b a

b a b a

l a b a

c c c

Výsledný vektor pak bude vektor c(39,15,21)

Všechny operace, které si v této kapitole uvádíme lze využít i ve fyzice. U některých vzorečků jsme se setkali doposud jen se skalární podobou. My si ukážeme, že se tyto vzorečky dají zapsat i vektorově. Konkrétně se nám pak součet vektorů bude hodit při sčítání zrychlení.

Násobení vektoru reálným číslem využijeme pří zákonu síly. Vektorový součin se nám bude velmi hodit při výpočtu momentů. Vše si podrobněji vysvětlíme a ukážeme ve fyzikální části práce.

67

(25)

24

2.4 Matice a operace s nimi

Matice je v matematice obdélníkové nebo čtvercové schéma čísel, která mají m řádků a n sloupců. Společně s operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem tvoří vektorový prostor.

Matice se často využívají pro vyjádření rotace vektorů, transformace vektorů a k výpočtu soustavy lineárních rovnic.

Soubor:









mn m

m

n n

ij

a a

a

a a

a

a a

a a

, , ,

, , ,

, , , ) (

2 1

2 22

21

1 12

11

A

prvků tělesa T nazýváme maticí typu (m,n)(nad tělesem T). Aritmetický vektor (ai1,ai2,…,ain) z Tn nazýváme i-tým řádkem matice A a aritmetický vektor(a1j,a2j,…,amj) z Tm nazýváme j-tým sloupcem matice A. Matice A typu (m;n) nad T je zobrazení množiny {1, … , 𝑚}{1, … , 𝑛} do množiny T.

Součtem dvou matic

A=









mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

, , ,

, , ,

, , ,

2 1

2 22

21

1 12

11

a B=









mn m

m

n n

b b

b

b b

b

b b

b

, , ,

, , ,

, , ,

2 1

2 22

21

1 12

11

téhož typu(m,n)

rozumíme matici A+B=









mn mn m

m m m

n n

n n

b a b

a b a

b a b

a b a

b a b

a b a

, , ,

, , ,

, , ,

2 2 1 1

2 2 22

22 21 21

1 1 12

12 11 11

.

Je-li r T libovolný prvek, pak r-násobkem matice A rozumíme matici









mn m

m

n n

ra ra

ra

ra ra

ra

ra ra

ra r

, , ,

, , ,

, , ,

2 1

2 22

21

1 12

11

A .

[5 s. 40, 41]

Matice A která má stejný počet řádků i sloupců, se nazývá čtvercová matice. Čtvercová matice s jedničkami na hlavní diagonále (to jsou prvky aii) a nulami všude jinde (to jsou prvky aij, kde i

j) se nazývá jednotková matice řádu n a označuje se I a je tvaru

(26)

25









1 0

0

0 1

0

0 0

1

I

Nulová matice je matice se samými nulami všude značíme ji O a je ve tvaru









0 0

0

0 0

0

0 0

0

O

Hodnost matice

Velmi důležitou vlastností matice je hodnost matice.

Hodností matice h(A) matice A rozumíme maximální počet jejích lineárně závislých řádků.

[24 s. 32]

Pokud má matice méně řádků než sloupců, tak hodnost matice se bude rovnat nejvýše počtu řádků.

Hodnost matice se nemění, jestliže provádíme elementární úpravy:

zaměníme pořadí řádků

vynásobíme libovolný řádek nenulovým číslem

přičteme k danému řádku (odečteme od daného řádku) libovolný násobek jiného řádku

Násobení matice skalárem

Nechť A je matice typu mn ,

  

skalár. Potom

∙A je matice typu mn s koeficienty (

∙A)ij=

∙Aij

[22 s. 18]

Podobně jako u násobení reálných čísel většinou tečku vynecháváme a píšeme

A místo

∙A

(27)

26

Násobení matic

Je-li A matice typu mp a B matice typu pn, potom A∙B je matice typu mn definována předpisem

 

p kj

k ik

ij A B

B

A

1

Pro i=1,…,m, j=1,…,n

Je potřeba, aby počet sloupců matice A se rovnal počtu řádků matice B. Pokud tomu tak není, příklad není definován.

Příklad č. 2

Mějme matice

 

 

9 8 2

4 7 6

5 3 1

A a

 

 

7 2 9

8 4 2

1 3 5

B a

,

3.

Vypočítejte:

a) hodnost matice A b)

 

A

c) AB,BA

a) Hodnost matice nejlehčeji zjistíme převodem na horní trojúhelníkovou matici pomocí Gaussovy eliminační metody

 

 

9 8 2

4 7 6

5 3 1

první řádek vynásobíme (-2) a přičteme ke třetímu

 

 

 1 2 0

4 7 6

5 3 1

první řádek vynásobíme (-6) a přičteme ke druhému





1 2 0

22 11 0

5 2 1

v dalším kroku opíšeme první dva řádky a od jedenáctinásobku třetího

řádku odečteme dvojnásobek druhého

 

 

55 0

0

22 11 0

5 2 1

Počet nenulových řádků je tři, a proto i hodnost dané matice je tři.

References

Related documents

Zadání diplomové práce směřovalo k ověření možnosti řízení polohy lineární pneumatické jednotky jednočipovým mikropočítačem s jádrem 8051. Vzhledem

Vada 442 – Vnitřní uzavřené staženiny tvoří dutiny uvnitř odlitku. Tyto dutiny se nacházejí v místech tepelných uzlů. Mají nepravidelný tvar

If we acknowledge that the creators of the exercises often try to distract listeners by use of words which the listeners would expect to be the solution for a different question,

Bei der Arbeit mit dem Film Almanya Willkommen in Deutschland wäre auch interessant sich auf das Training der restlichen Fertigkeiten zu konzentrieren und im Anschluss zu bewerten,

(Vágnerová 2000, s. Napodobování jednotlivých činností od vrstevníků se zdá být užitečnější než rady od dospělých. Protože kdyby se kamarád nenaučil lézt na

Lidská činnost postupem věků se zdokonaluje takovým způsobem, aby člověku co nejvíce ulehčovala život. V dobách starověku a středověku se přemisťovalo mnohem méně materiálu

Další částí byla validace nasimulovaného proudění kolem válce v uzavřeném kanálu oproti testovací (benchmarkové) úloze, pomocí které bylo stanoveno, nakolik

V této diplomové práci byl vyvinut zcela nový numerický model pro interakci prou- dění a tuhého tělesa se dvěma stupni volnosti pružně uloženého ve stěně