Poděkování
Tímto způsobem bych chtěla poděkovat Mgr. Václavu Bittnerovi za jeho ochotu, trpělivost a pomoc s vypracováním této bakalářské práce. V neposlední řadě mé velké poděkování patří hlavně mé rodině, příteli a přátelům za podporu po celou dobu studia.
MOŽNOSTI VYUŽITÍ LINEÁRNÍ ALGEBRY VE STŘEDOŠKOLSKÉ FYZICE
ANOTACE
Hlavním cílem práce bylo na základě syntézy základních poznatků z lineární algebry ukázat možnosti jejího využití při výuce klasické fyziky na středních školách gymnaziálního typu.
Práce je rozdělena do tří částí. První je věnována výkladu základních pojmů z lineární algebry.
V druhé části je přehled vybraného učiva středoškolské mechaniky. Třetí část je složena z řešených úloh s fyzikální tématikou s reálným kontextem. Práce je koncipována tak, aby na jejím základě mohla být vytvořena příslušná metodická podpora pro učitele fyziky a matematiky
Klíčová slova: lineární algebra, vektory, matice, mechanika, kinematika, dynamika
LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATION IN THE HIGH-SCHOOL PHYSICS
ANOTATION
The main aim of this thesis is to show possibilities of using linear algebra in basic physics lessons at secondary grammar schools. These possibilities are based on synthesis of basic knowledge of linear algebra. The thesis is divided into 3 parts. The first part is focused on describing basic terms of linear algebra. In the second part curriculum of secondary school physics is summarized. The third part consists of completed physics tasks with real context. The thesis is drafted so on its basis corresponding methodical support for mathematics and physics teachers can be made.
Key words:
linear algebra, vectors, nut, mechanics, kinematics, dynamics7
Obsah
Úvod ... 11
1 Cíle práce ... 12
2 Lineární algebra v dnešní středoškolské matematice ... 13
2.1 Souřadnice ... 13
2.2 Lineární vektorový prostor ... 14
2.3 Operace s vektory ... 17
2.4 Matice a operace s nimi ... 24
2.5 Soustavy lineárních rovnic ... 28
3 Vybrané fyzikální pojmy ze středoškolské fyziky ... 35
3.1 Mechanika ... 35
3.1.1 Mezinárodní soustava jednotek (SI) ... 35
3.1.2 Kinematika hmotného bodu ... 36
3.1.3 Kinematika tuhého tělesa ... 38
3.1.4 Dynamika hmotného bodu ... 39
3.1.5 Dynamika tuhého tělesa ... 41
3.2 Gravitační pole ... 44
3.3 Deformace ... 48
4 Aplikace lineární algebry ve vybraných problémech středoškolské fyziky ... 50
Úloha 1: Moment síly (2D) ... 50
Úloha 2: Moment síly (3D) ... 52
Úloha 3: Rovnováha sil ... 53
Úloha 4: Impulz síly ... 55
Úloha 5: Okamžitá rychlost ... 57
Úloha 6: Rychlost a hybnost ... 59
Úloha 7: Deformace ... 61
Úloha 8: Tíhová síla ... 63
Úloha 9: Statika ... 64
Závěr ... 66
Literatura ... 67
8
Seznam obrázků
Obrázek 1 Určení souřadnic bodu v prostoru... 13
Obrázek 2 Součin matic ... 27
Obrázek 3 Sarussovo pravidlo pro výpočet determinantu ... 33
Obrázek 4 Změna polohového vektoru ... 37
Obrázek 5 Tečné a normálové zrychlení ... 37
Obrázek 6 Vektorové skládání sil ... 40
Obrázek 7 Směr momentu určíme podle pravidla pravé ruky ... 42
Obrázek 8 Gravitační síly působící mezi dvěma tělesy ... 44
Obrázek 9 Závislost intenzity gravitačního pole na vzdálenosti ... 45
Obrázek 10 Tíhová síla jako výslednice gravitační a setrvačné síly ... 46
Obrázek 11 Deformace v tahu... 48
Obrázek 12 Deformace tlakem... 48
Obrázek 13 Tenzor napětí ... 49
Obrázek 14 Deformace smykem ... 49
Obrázek 15 Příklad č. 1 ... 50
Obrázek 16 Příklad č. 2 ... 52
Obrázek 17 Příklad č. 3 ... 53
Obrázek 18 Příklad č. 4 ... 55
Obrázek 19 Příklad č. 5 ... 57
Obrázek 20 Příklad č. 6 ... 59
Obrázek 21 Příklad č. 7 ... 61
Obrázek 22 Příklad č. 8 ... 63
Obrázek 23 Příklad č. 9a ... 64
Obrázek 24 Příklad č. 9b ... 64
9
Seznam použitých tabulek
Tabulka 1 - Mezinárodní soustava jednotek ... 36 Tabulka 2 - Translační a rotační pohyb ... 38 Tabulka 3 - Hodnoty tíhového zrychlení ... 46
10
Seznam použitých zkratek
ω úhlová rychlost
konstanta úměrnostiA,B,C matice
c b,
a,
c b a
,
,
vektoryT T T,b ,c
a transponovaný vektor
a vektor zrychlení
an vektor normálové zrychlené
at vektor tečného zrychlení
d velikost polohového vektoru r
F vektor síly
J moment setrvačnosti
K intenzita gravitačního pole
L vektor momentu hybnosti
m hmotnost
M vektor momentu síly
p vektor hybnosti
r polohový vektor
s dráha
t čas
v vektor rychlosti
11
Úvod
V současné době jsou u nás i ve světě stále více v popularitě humanitní předměty, cizí jazyky, filosofie a sociologie. Naopak matematika a fyzika, byť se jedná o pilíře klasického školství, se takovému zájmu studentů netěší. Hlavním motivem, proč jsme si toto téma vybrali je snaha ukázat vzájemnou provázanost základních poznatků z lineární algebry a středoškolské fyziky. Věříme, že tím alespoň částečně přispějeme k odvrácení výše zmíněného trendu.
Jedním z problémů, se kterými se dle našeho názoru musí studenti i učitelé na středních školách gymnaziálního typu vypořádat, je vzájemný časový nesoulad výuky fyziky a jejího potřebného matematického aparátu. Zejména se jedná o vybrané poznatky z analytické geometrie, které student ve fyzice potkává již v prvním ročníku. V matematice však na ně přijde čas až v ročníku třetím nebo čtvrtém. Tomu jsou přizpůsobeny i učebnice fyziky viz zdroj [4], kdy teoretický rozbor fyzikálních jevů probíhá ve vektorové symbolice, ale praktická cvičení se velmi často omezují na jednodimenzionální maximálně dvoudimenzionální problémy. Ty lze řešit trigonometrickými přístupem. V následujícím textu se snažíme tento trend narušit a ukázat komplexnější přístup, založený na jednoduchém maticovém počtu.
Na dalších řádkách si pojďme stručně představit obsah předkládané práce. Bakalářská práce je členěna do tří důležitých kapitol. První kapitola se věnuje lineární algebře. Tedy základním pojmům, se kterými se dnešní středoškoláci běžně setkávají. Podrobně jsou tam vysvětlovány operace s vektory a s maticemi. Na konci kapitol je vždy uveden příklad s popisem kroků, které jsme prováděli. Další podkapitolou, které jsme se věnovali, je řešení lineárních rovnic. V kapitole jsme využili právě znalost matic a řešili jsme rovnice pomocí Gaussovy eliminace.
Toto se určitě v běžném středoškolském učivu nevyskytuje. Na některých typech škol se lineární rovnice pomocí matic vyučují v rámci matematických seminářů a jiných podobných předmětů. Tato část práce bude koncipována tak, aby sloužila vhodně pro výklad klasické mechaniky.
V druhé části práce se věnujeme hlavně fyzikálním pojmům, se kterými se studenti běžně při výuce fyziky setkávají. Konkrétně kapitolám kinematika hmotného bodu a tuhého tělesa a dynamika hmotného bodu a tuhého tělesa. Dále pak okrajově gravitačnímu poli a deformaci.
V poslední části práce je sborník úloh s fyzikální problematikou a reálným kontextem. Cílem práce je ukázat řešení fyzikálních úloh pomocí osvojeného matematického aparátu z první části práce.
12
1 Cíle práce
Na základě syntézy základních poznatků z lineární algebry ukázat možnosti jejího využití při výuce klasické fyziky na středních školách gymnaziálního typu. Text bude koncipován tak, aby mohl sloužit jako metodická podpora pro učitele matematiky a fyziky. Součástí bude vypracovaný soubor řešených úloh s fyzikální tématikou a reálným kontextem.
13
2 Lineární algebra v dnešní středoškolské matematice
Cílem této kapitoly je shromáždit vybrané pojmy z lineární algebry. S některými pojmy se studenti setkají spíše v hodinách fyziky, některé se dozvědí spíše v rámci volitelných předmětů své školy, například matematických seminářů apod.
2.1 Souřadnice
V běžném životě se často setkáváme s popisem tělesa vůči jinému tělesu. Mluvíme o tzv.
vzájemném pohybu těles. Ve fyzice potřebujeme polohu tělesa proto, abychom mohli popisovat pohyb tělesa. Místo toho, abychom určili pohyb tělesa uvedením jeho polohy vůči nějakému jinému tělesu, postupujeme tak, že toto vztažné těleso reprezentujeme vztažnou soustavou.
Nejčastěji pak kartézskou soustavou souřadnic.
Kartézská soustava souřadnic je soustava, kdy jsou na sebe všechny osy kolmé a jejich společním průsečíkem je bod O, který odpovídá na osách nule. Je to počátek soustavy souřadnic. Všechny osy musí mít stejné jednotky měření.
V rovině mám kartézská soustava souřadnic dvě na sebe kolmé osy x,y, které se označují Ox,y. V prostoru jsou to tři vzájemně kolmé osy x,y,z. označující se Ox,y,z.
Pokud budeme uvažovat pohyb v rovině máme právě soustavu Ox,y, pokud budeme uvažovat pohyb v prostoru budeme mít soustavu Ox,y,z. Abychom získali souřadnice bodu v prostoru, vedeme bodem A rovinu rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou vz. Ta protne osu x v bodě, který odpovídá číslu a1. Poté bodem A vedeme rovinu rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou xz, která na ose y určí bod odpovídající číslu a2. A nakonec vedeme rovinu rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou xy. Ta osu z protne v bodě, který odpovídá číslu a3.
Obrázek 1 Určení souřadnic bodu v prostoru
http://www1.karlin.mff.cuni.cz/~portal/analyticka_geometrie/souradnice.php?kapitola=soustavaSouradnicP
14 Značení
Vektor je nejčastěji popsán svými třemi průměty do souřadných os. V klasické literatuře se zpravidla setkáváme s řádkovým vektorem. Za transponovaný vektor je považován vektor sloupcový. Označuje se horním indexem T. Vektor není nic jiného, než matice o jednom řádku nebo sloupci. O maticích si toho řekneme více dále viz. kapitola 2.4 na straně 26. Pomocí souřadnic vektor zapíšeme v jednom z tvarů:
a
ax,
ay,
az
31
AaT
z y x
a a a
V mojí bakalářské práci budu převážně užívat notaci vektoru sloupcového.
2.2 Lineární vektorový prostor
Hlavním pojmem v lineární algebře, díky němuž jsou definovány ostatní pojmy, je lineární vektorový prostor. S lineárním vektorovým prostorem se můžeme setkat v nejrůznějších odvětví matematiky a fyziky.
Definice: Buď T libovolné těleso. Vektorovým prostorem nad tělesem T rozumíme neprázdnou množinu V, na niž je definováno sčítání dvojic prvků (to znamená, že každé dvojici a,b
V je jednoznačně přiřazen prvek a+b
V jinými slovy dva vektory lze sečíst a jejich součet je opět prvkem vektorového prostoru) a násobení prvků z V prvky z tělesa T (to znamená, že každému a
V a každému r T je jednoznačně přiřazen prvek ra
V) Přitom pro všechna a,b,c
Va všechna r,s T musí být splněny tyto podmínky:
[5 s. 18]
Prvek vektorového prostoru se nazývá vektor a reálná čísla z vektorového prostou jsou skaláry.
Vektor 0 se nazývá nulový vektor.
a a
a a
a a a
b a b a
0 a a
0
c b a c b a
a b b a
1
) ( ) (
) (
) (
0 , ,
) (
rs s
r
s r s r
r r r
že takový V
V
15 Příklady vektorových prostorů
Vektorový prostor npro n>0
Pro n=2 platí, že dostaneme množinu dvojic [ a,b ], kde a,b jsou reálná čísla. Pro n=3 platí, že dostaneme množinu trojic [ a,b,c], kde a,b,c jsou opět reálná čísla. Tím se z klasické roviny
2 dostáváme do třídimenzionálního prostoru 3. Jestliže jsme si řekli, že 3 je vektorový prostor musí splňovat podmínky uvedeny výše. Jako první si musíme ověřit, zda máme správně definované operace sčítání a násobení. Aby nám bylo jasnější ověřování vlastností vektorového prostoru, doporučovala bych prostudovat kapitolu 2.3.
Jestliže máme dva vektory:
z y x
a a a
a
z y x
b b b b
potom jejich součet bude
z y x
z y x
b b b
a a a b a
Jak vidíme, oba vektory pochází z 3. Násobení není nic jiného než, že násobíme reálné číslo vektorem. Máme:
z y x
z y x
a a a
a a a
Opět je to splněno. Nyní si ověříme všech 7 axiomů, které jsou uvedeny v definici lineárního vektorového prostoru.
1. Musíme ověřit, zda je sčítání vektorů komutativní. Mějme součet vektorů:
z z
y y
x x
b a
b a
b a b a Pokud prohodíme levou stranu, získáme:
z z
y y
x x
a b
a b
a b a
b ,
protože čísla a,b jsou reálná a součet dvou reálných čísel je komutativní operace. Tak první axiom platí.
16 2. Nejprve si vypočítáme levou stranu rovnice:
z z z
y y y
x x x
z y x
z z
y y
x x
c b a
c b a
c b a
c c c
b a
b a
b a c b a )
( ,
protože a,b,c jsou reálná čísla a sčítání na reálných číslech je asociativní tak platí, že:
c b) (a c b
a . Pokud bychom si součet tři vektorů uzávorkovali jakkoliv, tak vždy dostaneme stejný vektor.
3. Prvek 0 není nic jiného než nulový vektor
0 0 0
0 .Pro který platí, že
0
0 0 0
0 0 0 0
z y x
z y x
a a a
a a a
4. Nejprve si rozepíšeme pravou stranu rovnice
z z
y y
x x
z z
y y
x x
b a r
b a r
b a r
b a
b a
b a r
r (a b) .
Protože čísla jsou reálná, platí distributivní zákon. Potom můžeme psát, že
z z
y y
x x
z z
y y
x x
rb ra
rb ra
rb ra
b a r
b a r
b a r
.
Pravá a levá strana rovnice je si rovna.
5. Při axiomu 5. a 6. budeme postupovat podobně jako v předchozím kroku, proto je zbytečné to tu ukazovat.
6. Máme dokázat poslední bod a to, že:
z y x
z y x
a a a
a a a 1
toto platí protože:
17
z y x
z y x
z y x
a a a
a a a
a a a
1 1 1
1 .
Mezi vektorové prostory můžeme zařadit i vektorový prostor matic mn. Tady pozor, protože potřebujeme mít matici stejného typu. Nemůžeme mít matici 22a vzít k ní matici
. 1
3
Tyto dvě matici bychom neuměli sečíst. Dále mezi vektorové prostory řadíme prostor polynomů P a Pn, množina polynomů nejvýše se stupněm n-1. Samozřejmě bychom si mohli dokázat, že platí všechny vlastnosti, ale to pro naši práci není důležité. Pokud by to někoho zajímalo, najde to ve zdroji [16].2.3 Operace s vektory
S vektory můžeme provádět více početních operací. Můžeme je například sčítat, odčítat nebo násobit reálným číslem. Všechny tyto operace si rozepíšeme v následující kapitole. Na konci kapitoly si ukážeme, konkrétní příklad s těmito operacemi. Zároveň si řekneme, jak se tyto operace dají využít ve fyzice.
Rovnost vektorů
Dva vektory jsou si rovny, jestliže jsou rovnoběžné, souhlasně orientované a mají stejnou velikost. Potom píšeme, že a=b. Jestliže se jedná o rovnost dvou fyzikálních veličin, musí se shodnost shodovat i v dané fyzikální jednotce.
Součet vektorů
Vektor c nazveme součtem vektorů a,b jestliže platí: je-li AB umístěním vektoru a a BC umístěním vektoru b pak AC je umístěním vektoru c, píšeme c=a+b
Musíme si také uvědomit, že sčítat lze jen fyzikální veličiny stejného druhu. Příklad takové veličiny, kterou můžeme sčítat je síla F. O ní si povíme více dále na straně 44. Můžeme například sčítat dvě síly, dvě rychlosti. Nemůžeme však sčítat sílu a rychlost. Jestliže máme dvě různoběžné síly F1,F2, které působí na těleso v jednom bodě O. Výsledná síla nebo-li výslednice sil F je dána právě vektorovým součtem :
2 2 2
1 1 1
z y x
z y x
z y x
F F F
F F F
F F F
Násobek vektoru reálným číslem α nebo-li skalárem
Násobení vektoru skalárem můžeme interpretovat jako jeho prodloužení nebo zkrácení, popřípadě změnou orientace, jestliže násobíme záporným číslem.
Vektor c nazveme α-násobkem vektoru a, c=α∙a
18 Jestliže platí:
a) α=0 nebo a=0 (0 je nulový vektor), pak c=0, b) vektory a a c jsou souhlasně orientované pro a>0
nesouhlasně orientované pro a<0 a pro jejich velikost platí a
cLineární kombinace vektorů
Lineární kombinace dvou a více vektorů není nic jiného, než to co dostaneme, když vektory vynásobíme nějakými čísly (koeficienty) a výsledky sečteme. Pomocí lineární kombinace pak definujeme další důležité pojmy z lineární algebry a to lineární obal a lineární nezávislost.
Buď jsou vektory b1,b2,…,bn a vektory z vektorového prostoru,
1,
2,...,
n
Lineární kombinací se rozumí každý vektorn 2
1 b b
b
c
1
2 ...
n[18 s. 5]
Ukažme si lineární kombinaci transponovaného vektoru cT.
T n T
2 T
1
b b
b
c
T
1
2
nJestliže si to rozepíšeme po složkách, dostaneme následující tvar. Pro ukázku si to ukážeme na vektoru ze tří složek a dvěma koeficienty. Mějme vektory a,b,c z vektorového prostoru a čísla
, .
z y x
z y x
z y x
z y x
z y x
βb βb βb a
a a
α α α b b b β a a a α c c c
Skupina vektorů b1,b2,...bn je lineárně závislá, jestliže existuje alespoň jeden koeficient αk0 a platí
0
2
...
1
b1 b2 bnc
nSkupina vektorů b1,b2,...bn je lineárně nezávislá, jestliže c
1b1
2b2 ...
n bn
0platí pouze, když
1
2
n 0
[4 s. 5]
19
Lineární obal vektorů
Nechť L je lineární prostor. Lineární obal skupiny vektorů b1,b2,...bn je množina všech lineárních kombinací vektorů b1,b2,...bn.
Norma
Norma je funkce, která měří délku vektoru, umožňuje měřit vzdálenost dvou vektorů. Norma není nic jiného než velikost daného vektoru.
Normou vektoru rozumíme reálnou funkci a na vektorovém prostoru V, platí-li pro libovolné dva vektory a,b z V a libovolný skalár α
, 0 a
0
aa právě když x=0
b a b
a
a a
[22 s. 71]
Můžeme poznamenat, že první vlastnost se nazývá pozitivní deficitnost, druhé nerovnosti se říká trojúhelníková nerovnost a třetí vlastnost je (absolutní) homogenita.
[24 s. 9]
Typickým příkladem normy je tzv. Euklidovská norma, definovaná v n jako odmocnina ze součtu druhých mocnin souřadnic vektoru
. ,..., , ,...,
,
2 n 12 22 n21 a a a a a
a
Skalární součin
Skalárním součinem vektorů je reálné číslo, jehož velikost je dána součinem absolutních hodnot vektorů a kosinu úhlu mezi nimi sevřeného.
cos
b a ba
, pro γ platí: 0°
180°
Jsou-li vektory určeny kartézskými souřadnicemi
z y x
z y x
b b b
a a a
b
a , pak je
x x y y z z
z y x
z y x
b a b a b a b b b
a a a
b
a
20 Vlastnosti skalárního součinu:
kolmé jsou
a vektory nenulové
b)
vektor nulový
je nebo a)
: právě 0
) ( ) ( )
(
b a b
a b
a
a a a tj.
, a a a
b a b
a b a
c a b a c) (b a
b a b a
2
když
[18 s. 11]
Vektorový součin
Vektorovým součinem vektorů a a b je vektor c který:
má velikost rovnající se plošného obsahu rovnoběžníku sestrojeného nad vektory a a b je kolmý na rovinu tohoto rovnoběžníku
je orientovaný tak, že platí pravidlo pravé ruky:„prsty pravé ruky dáme ve směru prvního vektoru a a ztotožníme je ve směru druhého vektoru b. Pak vzpřímený palec udává směr výsledného vektoru c.“
Velikost vektorového součinu je určena vztahem c
a
bsin
, kde
je úhel, který svírají vektory aa b.Pokud jsou vektory vyjádřeny v kartézských souřadnicích:a
ax,
ay,
az ,
b bx,
by,
bz
x y y x z
z x x z y
y z z y z
y x
b a b a c
b a b a c
b a b a c
c c
a b( , , ), pak c
x ca tedy c
aybz
azby (
azbx
axbz) (
axby
aybx)
x y y x
z x x z
y z z y
z y x
b a b a
b a b a
b a b a
c c c
pro vektorový součin pak můžeme použit zápis ve tvaru determinantu
z y x
z y x
b b b
a a a
k j i b a
Výpočet determinantu si ukážeme v další části práce na straně 32.
21 Vlastnosti vektorového součinu:
a) (b b
a
c b b a c b)
a (
c a b a c) (b
a ) )
( )
(
a ba
b
(ab když:právě o b a
rovnoběovn jsou
vektory nenulové
b)
vektory nulové
jsou nebo
a)
b a, b
a
[18 s. 12]
Smíšený součin
Smíšeným součinem tří vektorů a,b,c nazveme číslo:
3 2 1
3 2 1
3 2 1
c c c
b b b
a a a
a (b c) c
b,
a,
[18 s. 13]
Tenzorový součin vektorů
Mějme dva vektory a
axi+
ayj+
azk,
b=
bxi+
byj+
bzk a chceme spočítat tenzorový součin ab. Budeme postupovat tak, že oba vektory a, b nejprve mezi sebou roznásobíme:
i j k
i j k
ab
ax+
ay+
az bx+
by+
bz
ii j ik ji jj jk ki kj kk
ab
axbx+
axbyi
axbz+
aybx+
ayby+
aybz+
azbx+
azby+
azbzzískaný tenzor je ve tvaru mnohočlenu. Jedná se o tenzor 2.řádu, který je možno zapsat ve tvaru matice
z z y z x z
z y y y x y
z x y x x x
b a b a b a
b a b a b a
b a b a b a ab T
V naší práci budeme používat jen tenzory druhého řádu, což je vlastně čtvercová regulární matice.
[14 s. 12]
Teď si uvedeme příklad, kde spočítáme výše uvedené operace.
22 Příklad č. 1
Mějme vektory a(ax,ay,az), b(bx,by,bz) a,bV;
,
)
9 , 6 , 3 ( ), 2 , 3 , 5
(
b
a
a
4,
8a) Určete součet vektorů a a b
b) Určete souřadnice vektoru 2a a vektoru -5b.
c) Vypočítejte lineární kombinaci vektorů.
d) Spočtěte skalární součin a a b a úhel
e) Spočtěte vektorový součin a a ba) Součet vektorů a a b, provedeme tak, že vektory sečteme po složkách
7 9 8
9 2
6 3
3 5
9 6 3
2 3 5
c ba c
Výsledný vektor je vektor
c ( 8 , 9 , 7 )
b) Při násobeni vektoru skalárem vynásobíme každou souřadnici daným číslem.
4 6 10
) 2 ( 2
3 2
5 2
2 3 5 2 2a
10 15 25
2 5
3 5
5 5
2 3 5 5 5a
c) Vektor c bude lineární kombinací vektoru a a b a čísel
,
,která bude vypadat takto:b a
c
, není to nic jiného než kombinace součtu vektorů a násobení vektoru skalárem. Tedy příkladu a) a b).
64 60 44
72 48 24
8 12 20
9 8
6 8
3 8
) 2 ( 4
3 4
5 4
9 6 3 8 2 3 5 4
cd) Spočítáme skalární součin c
ao
b) (
axbx
ayby
azbz
a bc
23
15
) 9 ) 2 ( 6 3 3 5
(
cÚhel vypočítáme podle vzorečku: a
o
b
a
bcos
, když vyjádříme
dostaneme:2 2 2 2 2
cos
2z y x z y x
z z y y x x
b b b a a a
b a b a b a
b ab
a Teď už si dosadíme číselné hodnoty a vypočítáme úhel:
39 , 0 39 38
15 9
6 3 ) 2 ( 3 5
9 ) 2 ( 6 3 3 cos 5
2 2 2 2 2
2
Skalární součin vektorů a a b je 15 a mezi sebou svírají úhel 67°.
e) Spočítáme vektorový součin c
a
bx y y x
z x x z
y z z y z
y x
b a b a
b a b a
b a b a c
c c
z y x
c c c b
a
c
( , , ), pak
21 51 39
3 3 6 5
9 5 3 ) 2 (
6 ) 2 ( 9 3
x y y x
z x x z
y z z y
z y x
b a b a
b a b a
l a b a
c c c
Výsledný vektor pak bude vektor c(39,15,21)
Všechny operace, které si v této kapitole uvádíme lze využít i ve fyzice. U některých vzorečků jsme se setkali doposud jen se skalární podobou. My si ukážeme, že se tyto vzorečky dají zapsat i vektorově. Konkrétně se nám pak součet vektorů bude hodit při sčítání zrychlení.
Násobení vektoru reálným číslem využijeme pří zákonu síly. Vektorový součin se nám bude velmi hodit při výpočtu momentů. Vše si podrobněji vysvětlíme a ukážeme ve fyzikální části práce.
67
24
2.4 Matice a operace s nimi
Matice je v matematice obdélníkové nebo čtvercové schéma čísel, která mají m řádků a n sloupců. Společně s operacemi sčítání matic a násobení matic skalárem tvoří vektorový prostor.
Matice se často využívají pro vyjádření rotace vektorů, transformace vektorů a k výpočtu soustavy lineárních rovnic.
Soubor:
mn m
m
n n
ij
a a
a
a a
a
a a
a a
, , ,
, , ,
, , , ) (
2 1
2 22
21
1 12
11
A
prvků tělesa T nazýváme maticí typu (m,n)(nad tělesem T). Aritmetický vektor (ai1,ai2,…,ain) z Tn nazýváme i-tým řádkem matice A a aritmetický vektor(a1j,a2j,…,amj) z Tm nazýváme j-tým sloupcem matice A. Matice A typu (m;n) nad T je zobrazení množiny {1, … , 𝑚}{1, … , 𝑛} do množiny T.
Součtem dvou matic
A=
mn m
m
n n
a a
a
a a
a
a a
a
, , ,
, , ,
, , ,
2 1
2 22
21
1 12
11
a B=
mn m
m
n n
b b
b
b b
b
b b
b
, , ,
, , ,
, , ,
2 1
2 22
21
1 12
11
téhož typu(m,n)
rozumíme matici A+B=
mn mn m
m m m
n n
n n
b a b
a b a
b a b
a b a
b a b
a b a
, , ,
, , ,
, , ,
2 2 1 1
2 2 22
22 21 21
1 1 12
12 11 11
.
Je-li r T libovolný prvek, pak r-násobkem matice A rozumíme matici
mn m
m
n n
ra ra
ra
ra ra
ra
ra ra
ra r
, , ,
, , ,
, , ,
2 1
2 22
21
1 12
11
A .
[5 s. 40, 41]
Matice A která má stejný počet řádků i sloupců, se nazývá čtvercová matice. Čtvercová matice s jedničkami na hlavní diagonále (to jsou prvky aii) a nulami všude jinde (to jsou prvky aij, kde i
j) se nazývá jednotková matice řádu n a označuje se I a je tvaru25
1 0
0
0 1
0
0 0
1
I
Nulová matice je matice se samými nulami všude značíme ji O a je ve tvaru
0 0
0
0 0
0
0 0
0
O
Hodnost matice
Velmi důležitou vlastností matice je hodnost matice.
Hodností matice h(A) matice A rozumíme maximální počet jejích lineárně závislých řádků.
[24 s. 32]
Pokud má matice méně řádků než sloupců, tak hodnost matice se bude rovnat nejvýše počtu řádků.
Hodnost matice se nemění, jestliže provádíme elementární úpravy:
zaměníme pořadí řádků
vynásobíme libovolný řádek nenulovým číslem
přičteme k danému řádku (odečteme od daného řádku) libovolný násobek jiného řádku
Násobení matice skalárem
Nechť A je matice typu mn ,
skalár. Potom
∙A je matice typu mn s koeficienty (
∙A)ij=
∙Aij[22 s. 18]
Podobně jako u násobení reálných čísel většinou tečku vynecháváme a píšeme
A místo
∙A26
Násobení matic
Je-li A matice typu mp a B matice typu pn, potom A∙B je matice typu mn definována předpisem
p kjk ik
ij A B
B
A
1
Pro i=1,…,m, j=1,…,n
Je potřeba, aby počet sloupců matice A se rovnal počtu řádků matice B. Pokud tomu tak není, příklad není definován.
Příklad č. 2
Mějme matice
9 8 2
4 7 6
5 3 1
A a
7 2 9
8 4 2
1 3 5
B a
,
3.Vypočítejte:
a) hodnost matice A b)
Ac) AB,BA
a) Hodnost matice nejlehčeji zjistíme převodem na horní trojúhelníkovou matici pomocí Gaussovy eliminační metody
9 8 2
4 7 6
5 3 1
první řádek vynásobíme (-2) a přičteme ke třetímu
1 2 0
4 7 6
5 3 1
první řádek vynásobíme (-6) a přičteme ke druhému
1 2 0
22 11 0
5 2 1
v dalším kroku opíšeme první dva řádky a od jedenáctinásobku třetího
řádku odečteme dvojnásobek druhého
55 0
0
22 11 0
5 2 1
Počet nenulových řádků je tři, a proto i hodnost dané matice je tři.