%JQMPNPWÈ QSÈDF

./0)030;.Ɠ3/² -.0.&/5:

%JQMPNPWÈ QSÈDF

4UVEJKOÓ QSPHSBN / o "QMJLPWBOÈ NBUFNBUJLB

4UVEJKOÓ PCPS 5 o .BUFNBUJDLÏ NPEFMZ B KFKJDI BQMJLBDF

"VUPS QSÈDF #D 5FSF[B ÀJNLPWÈ 7FEPVDÓ QSÈDF QSPG 3/%S +BO 1JDFL $4D

1SPIMÈÝFOÓ

#ZMB KTFN TF[OÈNFOB T UÓN äF OB NPV EJQMPNPWPV QSÈDJ TF QMOǔ W[UB

IVKF [ÈLPO Ǐ  4C P QSÈWV BVUPSTLÏN [FKNÏOB f  o ÝLPMOÓ EÓMP

#FSV OB WǔEPNÓ äF 5FDIOJDLÈ VOJWFS[JUB W -JCFSDJ 56- OF[BTBIVKF EP NâDI BVUPSTLâDI QSÈW VäJUÓN NÏ EJQMPNPWÏ QSÈDF QSP WOJUDzOÓ QPUDzFCV 56-

6äJKJMJ EJQMPNPWPV QSÈDJ OFCP QPTLZUOVMJ MJDFODJ L KFKÓNV WZVäJUÓ KTFN TJ WǔEPNB QPWJOOPTUJ JOGPSNPWBU P UÏUP TLVUFǏOPTUJ 56- W UPN

UP QDzÓQBEǔ NÈ 56- QSÈWP PEF NOF QPäBEPWBU ÞISBEV OÈLMBEǾ LUFSÏ WZOBMPäJMB OB WZUWPDzFOÓ EÓMB Bä EP KFKJDI TLVUFǏOÏ WâÝF

%JQMPNPWPV QSÈDJ KTFN WZQSBDPWBMB TBNPTUBUOǔ T QPVäJUÓN VWFEFOÏ MJUFSBUVSZ B OB [ÈLMBEǔ LPO[VMUBDÓ T WFEPVDÓN NÏ EJQMPNPWÏ QSÈDF B LPO[VMUBOUFN

4PVǏBTOǔ ǏFTUOǔ QSPIMBÝVKJ äF UJÝUǔOÈ WFS[F QSÈDF TF TIPEVKF T FMFL

USPOJDLPV WFS[Ó WMPäFOPV EP *4 45"(

%BUVN

1PEQJT

Poděkování

Ráda bych poděkovala vedoucímu mé diplomové práce panu prof. RNDr. Janu Pickovi, CSc. za odborné vedení, cenné rady a čas, který mi při konzultacích věnoval.

Anotace

Práce stručně shrnuje teorii jednorozměrných a mnohorozměrných L-momentů, doplněnou o výpočty jednorozměrných a dvourozměrných L-momentů vybraných spojitých pravděpodobnostních rozdělení. Aplikace mnohorozměrných L-momentů je ilustrována prostřednictvím dvourozměrného testu homogenity na reálná klimatická data.

Klíčová slova:náhodný vektor, mnohorozměrné spojité pravděpodobnostní rozdě- lení, jednorozměrné L-momenty, L-komomenty, kopule, test homogenity

Summary

The work briefly summarizes the theory of univariate and multivariate L-moments, accompanied by calculations of univariate and bivariate L-moments of selected continuous probability distributions. The application of multivariate L-moments is illustrated by the bivariate test of homogeneity on real climate data.

Key words: random vector, multivariate continuous probability distribution, uni- variate L-moments, L-comoments, copula, test of homogeneity

Obsah

Seznam obrázků 9

Seznam tabulek 9

Seznam zkratek a symbolů 10

Úvod 11

1 Základní pojmy 13

2 Jednorozměrné L-momenty 16

2.1 Teoretické L-momenty . . . 16

2.2 Výběrové L-momenty . . . 18

2.3 Jednorozměrné L-momenty vybraných spojitých rozdělení . . . 20

2.3.1 Jednorozměrné L-momenty normálního rozdělení . . . 20

2.3.2 Jednorozměrné L-momenty Paretova rozdělení typu I . . . 21

2.3.3 Jednorozměrné L-momenty Paretova rozdělení typu II . . . 22

3 L-komomenty 25 3.1 Centrální komomenty . . . 25

3.2 Definice a základní vlastnosti L-komomentů . . . 26

3.3 Odhady L-komomentů . . . 31

4 Mnohorozměrné L-momenty 32 4.1 L-momenty vybraných spojitých dvourozměrných rozdělení . . . 32

4.1.1 L-momenty dvourozměrného normálního rozdělení . . . 33

4.1.2 L-momenty dvourozměrného Paretova rozdělení typu I . . . . 38

4.1.3 L-momenty dvourozměrného Paretova rozdělení typu II . . . . 40

4.2 Malá simulační studie jednorozměrných L-momentů a L-komomentů dvourozměrného normálního rozdělení . . . 43

5 Aplikace L-momentů 48 5.1 Testy homogenity . . . 48

5.1.1 Kopule . . . 49

5.1.2 Jednorozměrný test homogenity . . . 53

5.1.3 Mnohorozměrný test homogenity . . . 55 5.2 Aplikace dvourozměrného testu homogenity na regiony zformované v

České republice . . . 57

Závěr 64

Reference 65

Seznam příloh 67

Seznam obrázků

1 Hustota normálního rozdělení s parametry µ = 0, σ ∈ {0.5, 1, 2} . . . 21 2 Hustota Paretova rozdělení typu I s parametry σ = 1, α ∈ {0.5, 1.5, 2.5} 22 3 Hustota Paretova rozdělení typu II s parametry µ = 0, σ = 0.5,

α ∈ {0.5, 1, 1.5} . . . 23 4 Hustota dvourozměrného normálního rozdělení s parametry µ1 = 0,

µ2 = 0.5, σ₁ = 1, σ₂ = 2, ρ = 0.5 . . . 33 5 Hustota dvourozměrného Paretova rozdělení typu I s parametry σ1 =

0.5, σ₂ = 0.5, α = 1.5 . . . 38 6 Hustota dvourozměrného Paretova rozdělení typu II s parametry µ1 =

0, µ₂ = 0.5, σ₁ = 1, σ₂ = 2, α = 1.5 . . . 41 7 Homogenní regiony [8] . . . 58 8 Maximální jednodenní a pětidenní úhrn srážek v mm v jednotlivých

letech . . . 59 9 Hustota g(z) pro vybrané hodnoty korelačního koeficientu ρ . . . 61 10 Omezující funkce ve tvaru 1.25 · f(z) hustoty g(z) pro korelační ko-

eficient ρ = 0.8252, kde f(z) je hustota normálního rozdělení s parametry µ = 0.5 a σ² = 0.2 . . . 61

Seznam tabulek

1 L-momenty a L-momentové poměry některých dalších pravděpodob- nostních rozdělení . . . 24 2 Faktory simulace . . . 44 3 Výsledky simulace pro dvourozměrné normální rozdělení . . . 45 4 Výsledky simulace pro dvourozměrné normální rozdělení (pokračování) 46 5 Odhady parametrů dvourozměrného normálního rozdělení . . . 47 6 Dvourozměrný test homogenity vzhledem k jednodenním a pětiden-

ním maximálním ročním úhrnům srážek . . . 63

Seznam zkratek a symbolů

A σ-algebra podmnožin prostoru Ω e^x exponenciální funkce

E X střední hodnota náhodné veličiny X Γ(t) gamma funkce

ln x přirozený logaritmus Ω prostor elementárních jevů P pravděpodobnostní míra

π Ludolfovo číslo

R množina reálných čísel

ρ12 korelační koeficient náhodných veličin X₁, X2

σ12 kovariance náhodných veličin X1, X2

var X rozptyl náhodné veličiny X

Φ(x) distribuční funkce normálního rozdělení ϕ(x) hustota normálního rozdělení

Úvod

Jako alternativní postup k popisu jednorozměrného pravděpodobnostního rozdělení pomocí konvenčních momentů se od roku 1990 používají L-momenty, které defino- val Hosking [5] jako jistou lineární kombinaci pořádkových statistik. Jejich výhodou oproti konvenčním momentům je existence pouze za předpokladu konečné střední hodnoty. V případě mnohorozměrného rozdělení je situace analogická: mnohoroz- měrné rozdělení lze popsat pomocí centrálních komomentů, ty však kladou předpo- klady na konečnost odpovídajících centrálních momentů. Toto omezení odstranili Serfling a Xiao [14] zavedením mnohorozměrných L-momentů, resp. L-komomentů.

Jak jednorozměrné, tak mnohorozměrné L-momenty se používají zejména v oborech, kde dochází k extrémním událostem, tedy například v přírodních vědách, finančnic- tví nebo pojišťovnictví. Jednou z oblastí, kde jsou L-momenty aplikovány a kterou se práce zabývá, jsou testy homogenity. Existuje mnoho testů homogenity, v práci je však uveden jednorozměrný test homogenity zavedený Hoskingem a Serflingem [6] a jeho zobecnění do mnohorozměrného případu, které v nedávné době provedli Che- bana a Ouarda [7]. Území České republiky bylo pomocí shlukové analýzy rozděleno na regiony, které lze na základě provedených jednorozměrných testů považovat za homogenní vzhledem k n-denním maximálním ročním úhrnům srážek [8], [9], [10].

Tyto testy však zohledňují pouze jednu náhodnou veličinu, proto je vhodné určit, zda lze takto zformované regiony považovat za homogenní i vzhledem k náhodnému vektoru. Cílem práce je seznámit se s myšlenkou mnohorozměrných L-momentů, pro vybraná rozdělení provést výpočty mnohorozměrných L-momentů, získané poznatky využít pro statistickou inferenci a aplikovat je na reálná data.

Práce je rozdělena do pěti částí. První část připomíná základní charakteristiky náhodného vektoru a jeho složek. V druhé části je shrnuta teorie jednorozměrných L-momentů, což je potřebné pro udržení souvislosti mezi jednorozměrnými a mno- horozměrnými L-momenty, neboť mnohorozměrné L-momenty jsou zobecněním jed- norozměrných. Obsah této části kapitoly je převzat z [15, str. 16–23]. Součástí kapi- toly je i výpočet teoretických L-momentů tří vybraných jednorozměrných rozdělení (s těmito výsledky budeme dále pracovat ve čtvrté kapitole). V druhé části práce jsou zavedeny L-komomenty a popsány některé jejich vlastnosti. Ve čtvrté kapitole jsou definovány monohorozměrné L-momenty pomocí L-komomentů a za použití vý-

sledků z druhé kapitoly jsou určeny dvourozměrné L-momenty vybraných rozdělení.

Také je zde provedena malá simulační studie, která srovnává teoretické a výběrové jednorozměrné L-momenty a L-komomenty dvourozměrného normálního rozdělení.

Závěrečná část práce je věnována aplikaci mnohorozměrných L-momentů. Je zde po- psán jednorozměrný test homogenity a jeho zobecnění do vícerozměrného případu – mnohorozměrný test homogenity. Následně jsou získané poznatky aplikovány na reálná klimatická data prostřednictvím dvourozměrného testu homogenity.

1 Základní pojmy

Na úvod připomeneme nezbytné pojmy, které budou potřebné k zavedení mnoho- rozměrných L-momentů, zejména pak základní charakteristiky náhodného vektoru a jeho složek. Kapitola je zpracována podle literatury [1] a [16].

Nechť X₁, . . . , Xn jsou náhodné veličiny, které jsou definovány na pravděpodob- nostním prostoru (Ω, A, P). Pak se X = (X1, . . . , Xn) nazývá náhodný vektor.

Sdružená distribuční funkcenáhodného vektoru X = (X₁, . . . , Xn) je

FX1,...,Xn(x1, . . . , xn) = P[X1 < x1, . . . , Xn < xn].

Je-li f_X1,...,Xn nezáporná funkce vyhovující vztahu

FX1,...,Xn(x1, . . . , xn) =

x1

Z

−∞

. . .

xn

Z

−∞

fX1,...,Xn(u1, . . . , un) du1. . .dun,

pak se nazývá sdružená hustota náhodného vektoru X. Marginální distribuční funkcenáhodné veličiny X_i je dána

FXi(xi) = P[X1 < ∞, . . . , Xi−1< ∞, Xⁱ < xi, Xi+1 < ∞, . . . , Xⁿ < ∞]

a marginální hustota náhodné veličiny X_i je dána

fXi(xi) = Z∞

−∞

. . . Z∞

−∞

fX1,...,Xn(u1, . . . , u_i−1, xi, ui+1, . . . , un)du1. . .du_i−1dui+1. . .dun.

Střední hodnotounáhodného vektoru X nazýváme vektor středních hodnot jeho složek

EX = (EX1, . . . ,EXn). (1.1)

Kovariancídvou náhodných veličin X_i, Xj, které mají konečné rozptyly, nazýváme

cov(Xi, Xj) = E[(Xi − EXⁱ)(Xj − EX^j)],

přičemž

cov(X_i, X_i) = varX_i.

Kovarianční maticenáhodného vektoru X = (X₁, . . . , Xn) je matice typu n × n

VarX =

















varX₁ cov(X₁, X₂) . . . cov(X₁, X_n) cov(X2, X1) varX2 . . . cov(X2, Xn)

... ... ... ...

cov(Xn, X1) cov(Xn, X2) . . . varXn

















. (1.2)

Kovarianci dvou normovaných náhodných veličin X_i, X_j s nenulovými rozptyly na- zýváme korelační koeficient

ρ_Xi,Xj = cov(Xi, Xj) pvarXivarXj

. (1.3)

Korelační maticenáhodného vektoru X = (X₁, . . . , X_n) je matice typu n × n

CorX =

















1 ρX1,X2 . . . ρX1,Xn

ρX2,X1 1 . . . ρX2,Xn

... ... ... ...

ρXn,X1 ρXn,X2 . . . 1

















. (1.4)

Označme µi střední hodnotu náhodné veličiny Xi, která je konečná. Existuje-li

µ⁽ⁱ⁾_k = E(X_i − µⁱ)^k, k ≥ 2,

pak se µ⁽ⁱ⁾_k nazývá k-tý centrální moment náhodné veličiny Xi. K-tý centrální momentový poměrzískáme jako podíl k-tého centrálního momentu a směrodatné odchylky (za předpokladu, že je kladná) umocněné na k

αk= µ⁽ⁱ⁾_k q

(µ⁽ⁱ⁾₂ )^k, k ≥ 3.

Podmíněná hustota a podmíněná střední hodnota náhodné veličiny Xi za předpokladu, že náhodná veličina X_j nabyla hodnoty x_j, je definována vztahem

f_Xi(x_i|Xj = x_j) = fXi,Xj(xi, xj)

fXj(x_j) , (1.5)

a

E(Xi|X^j = xj) = Z

Di

xifXi(xi|X^j = xj) dxi, (1.6)

kde D_i je obor hodnot náhodné veličiny X_i.

2 Jednorozměrné L-momenty

Za splnění jistých předpokladů lze mnohorozměrné L-momenty vyjádřit pomocí jednorozměrných L-momentů, proto je v následující kapitole stručně shrnuta teo- rie jednorozměrných L-momentů a je zde uveden přehled prvních čtyř teoretických L-momentů tří vybraných spojitých rozdělení.

K popisu pravděpodobnostních rozdělení se obvykle používají konvenční mo- menty, které charakterizují různé vlastnosti rozdělení. Alternativní způsob popisu pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny X zavedl J. R. M. Hosking [5]

pomocí L-momentů, které definoval jako lineární kombinaci pořádkových statis- tik. Analogicky jako u konvenčních momentů rozlišujeme teoretické a výběrové L-momenty.

2.1 Teoretické L-momenty

Definice 1. Nechť X je náhodná veličina s distribuční funkcí F (x) a kvantilovou funkcí x(F ), X_1:n≤ X^2:n≤ · · · ≤ X^n:n jsou pořádkové statistiky náhodného výběru o velikosti n vybraného z pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny X. K-tý teoretický L-momentnáhodné veličiny X je definován

λk = k⁻¹

k−1

X

j=0

(−1)^jk − 1 j



E X_k−j:k, k = 1, 2, . . . (2.1)

Písmenem L v pojmu L-moment chtěl Hosking [5] zdůraznit, že se jedná o lineární kombinaci pořádkových statistik, jak je dále vidět ze vztahů (2.3) až (2.6). Výraz (2.1) lze ekvivalentně zapsat ve tvaru

λk = Z1

0

x(F )P_k−1^∗ (F (x)) dF , k = 1, 2, . . . (2.2)

kde P_k^∗(F ) = P^k

i=0(−1)^{k−i k}_i
k+i

i
Fⁱje k-tý posunutý Legendrův polynom¹. Vyjádření (2.2) k-tého L-momentu je užitečné pro praktické výpočty; první čtyři teoretické L-momenty mají tvar

1Definice Legendrova polynomu je uvedena např. v TAYLOR, A. E. Úvod do funkcionální analýzy. Praha: Academia, 1973. 412 s.

λ1 = E (X1:1) = E X =

1

Z

0

x(F ) dF , (2.3)

λ₂ = 1

2E(X_2:2− X1:2) =

1

Z

0

x(F )(2F − 1) dF , (2.4)

λ3 = 1

3E(X_3:3− 2X^2:3+ X_1:3) =

1

Z

0

x(F )(6F²− 6F + 1) dF , (2.5)

λ4 = 1

4E(X4:4− 3X^3:4+ 3X2:4− X^1:4) = Z1

0

x(F )(20F³− 30F²+ 12F − 1) dF . (2.6) Další možností, jak vyjádřit druhý a vyšší teoretický L-moment, je pomocí kovari- ance [14]

λk = cov (X, P_k−1^∗ (F (X))), k ≥ 2. (2.7)

K zavedení L-momentů je požadována konečná střední hodnota náhodné veličiny X, jak uvádí následující věta [5].

Věta 1. 1. L-momenty λk, k=1, 2, . . . , náhodné veličiny X existují právě tehdy, když má náhodná veličina X konečnou střední hodnotu.

2. Pravděpodobnostní rozdělení s konečnou střední hodnotou lze charakterizovat jeho L-momenty.

Důkaz. Důkaz lze nalézt v [5, str. 108].

Existuje však zobecnění L-momentů takzvané useknuté L-momenty, které existují i pro rozdělení, jejichž střední hodnota není konečná nebo dokonce neexistuje.

L-momenty charakterizují základní vlastnosti pravděpodobnostních rozdělení:

veličiny λ1 až λ4 jsou po řadě mírami polohy, měřítka, šikmosti a špičatosti [5].

První dva L-momenty jsou pojmenované: λ₁ je totožný se střední hodnotou a na- zývá se L-poloha, λ2 se nazývá L-rozptyl.

Dále se zavádí L-variační koeficient

τ = λ₂/λ₁

jako analogie variačního koeficientu (někteří autoři ho značí také τ₂) a teoretické L-momentové poměry τk, které jsou bezrozměrnými verzemi teoretických L-momentů a jsou definovány jako podíl k-tého a druhého L-momentu

τk = λk/λ2, k = 3, 4, . . . (2.8)

Také třetí a čtvrtý L-momentový poměr jsou vhodnými měřítky šikmosti a špičatosti, proto se nazývají L-šikmost a L-špičatost.

Hosking [5] dává přednost L-momentům před konvenčními momenty vzhledem k tomu, že jsou lineární kombinací dat (přiřazují jednotlivým hodnotám pořádkových statistik jisté váhy), a jsou tedy méně citlivé na přítomnost odlehlých hodnot.

2.2 Výběrové L-momenty

Teoretické L-momenty jsou definovány pro pravděpodobnostní rozdělení, v praxi je však potřebujeme odhadnout z konečné množiny náhodných pozorování. Proto uvažujeme výběrové L-momenty, které jsou odhady teoretických L-momentů.

Definice 2. Nechť x1:n≤ x^2:n ≤ · · · ≤ x^n:n jsou pořádkové statistiky náhodných po- zorování o velikosti n vybraných z pravděpodobnostního rozdělení náhodné veličiny X. K-tý výběrový L-moment je definován

lk=n k

₋₁ X

1≤i1

X

<i2

· · · X

<ik≤n

k⁻¹ Xk−1

j=0

(−1)^jk − 1 j



xik−j:n, k = 1, 2, . . . , n.

První čtyři výběrové L-momenty mají tvar

l₁ = 1 n

n

X

i=1

x_i:n, (2.9)

l2 = 1 n(n − 1)

Xn−1 i1=1

n

X

i2=i1+1

(x_i2:n− xⁱ1:n), (2.10)

l3 = 2

n(n − 1)(n − 2)

n−2

X

i1=1 n−1

X

i2=i1+1 n

X

i3=i2+1

(xi3:n− 2xⁱ2:n+ xi1:n), (2.11)

l4 = 6

n(n − 1)(n − 2)(n − 3)

n−3

X

i1=1 n−2

X

i2=i1+1 n−1

X

i3=i2+1 n

X

i4=i3+1

(xi4:n− 3xⁱ3:n+

+ 3xi2:n− xⁱ1:n). (2.12)

Ze vztahů (2.9) až (2.12) je opět vidět, že výběrové L-momenty jsou lineární kom- binací pořádkových statistik.

První výběrový L-moment (2.9) je totožný s výběrovým průměrem a nazývá se výběrový L-průměr. Druhý výběrový L-moment (2.10) vyjadřuje míru rozptylu, nazývá se proto výběrový L-rozptyl.

Analogicky se formuluje výběrový L-variační koeficient

t = l₂/l1 (2.13)

a výběrové L-momentové poměry tk

tk= l_k/l2, k= 3, 4, . . .

Třetí a čtvrtý výběrový L-momentový poměr jsou odhady odpovídajících teore- tických L-momentových poměrů. Vzhledem k tomu, že odhadují míry šikmosti a špičatosti, se nazývají výběrová L-šikmost a L-špičatost.

Ekvivalentní zápis k-tého výběrového L-momentu je

lk = n⁻¹

n

X

r=1

w^(k)_r:nXr:n, k= 1, 2, . . . , n,

kde

w^(k)_r:n =

min{r−1,k−1}

X

j=0

(−1)^k−j−1k − 1 j

k − 1 + j j

n − 1 j

₋₁

r − 1 j



. (2.14)

Výběrový L-moment je nevychýlený odhad, neboť teoretický L-moment lze také vyjádřit ve tvaru

λ_k= n⁻¹

n

X

r=1

w^(k)_r:nEX_r:n,

a proto

El_k= n⁻¹

n

X

r=1

w^(k)_r:nEX_r:n = λ_k.

Jak je vidět z výrazu (2.14), koeficienty w^(k)r:n závisejí na rozsahu náhodného výběru.

K určení těchto koeficientů pro libovolný rozsah n lze použít implementovanou funkci statistického programu R balíku lmomco s názvem Lcomoment.Wk.

Výběrové L-momenty tedy odhadují základní charakteristiky pravděpodobnost- ních rozdělení a používají se pro odhad jejich parametrů, obdobně jako v případě konvenčních momentů a momentové metody.

2.3 Jednorozměrné L-momenty vybraných spojitých rozdě- lení

V následující části jsou uvedeny první čtyři L-momenty pro tři vybraná spojitá jed- norozměrná rozdělení: normální a Paretovo rozdělení typu I a II. K výpočtu jsou použity vztahy (2.3) až (2.6) a (2.8). Jak uvidíme dále, k výsledkům dosaženým v této části se vrátíme ve čtvrté kapitole a výhodně je použijeme k určení dvouroz- měrných L-momentů.

2.3.1 Jednorozměrné L-momenty normálního rozdělení

Nechť µ ∈ R je parametr polohy a σ² >0 parametr měřítka. Normální rozdělení má hustotu

f(x) = 1

√2πσ e^{−(x−µ)22σ2} , x ∈ R,

a distribuční funkci

F(x) = Φ x − µ σ



, kde Φ(x) = Zx

−∞

ϕ(t) dt, ϕ(t) = 1

√2π e^−t22.

Vzhledem k tomu, že neexistuje explicitní tvar distribuční funkce, tudíž ani kvanti- lové, je potřeba pro výpočet L-momentů zvolit aproximaci kvantilové funkce [3, str.

174]

x(F ) = 5.063 σ[F^0.135− (1 − F )^0.135] + µ. (2.15)

Obrázek 1: Hustota normálního rozdělení s parametry µ = 0, σ ∈ {0.5, 1, 2}

Věta 2. Nechť je dáno normální rozdělení s parametry µ ∈ R a σ² >0 a kvantilovou funkcí (2.15). Pak platí

λ1 = µ, τ3 = 0, λ2 = π⁻¹²σ, τ4 = 0.1244.

Důkaz. Důkaz uveden v [15].

2.3.2 Jednorozměrné L-momenty Paretova rozdělení typu I

Nechť σ > 0 je parametr měřítka a α > 0 parametr tvaru. Paretovo rozdělení typu I má hustotu

f(x) =







ασ^αx^−α−1 pro x ≥ σ, 0 pro x < σ,

distribuční funkci

F(x) =







1 − σ^αx^−α pro x ≥ σ, 0 pro x < σ,

a kvantilovou funkci

x(F ) =







σ(1 − F )^−α1 pro x ≥ σ, 0 pro x < σ.

(2.16)

Obrázek 2: Hustota Paretova rozdělení typu I s parametry σ = 1, α ∈ {0.5, 1.5, 2.5}

Věta 3. Nechť je dáno Paretovo rozdělení typu I s parametry σ > 0 a α > 1 a kvantilovou funkcí (2.16). Pak platí

λ1 = σα

α − 1, τ3 = α+ 1 3α − 1,

λ2 = σα

(α − 1)(2α − 1), τ4 = (α + 1)(2α + 1) (3α − 1)(4α − 1). Důkaz. Důkaz uveden v [15].

2.3.3 Jednorozměrné L-momenty Paretova rozdělení typu II

Nechť µ ∈ R je parametr polohy, σ > 0 parametr měřítka a α > 0 parametr tvaru.

Paretovo rozdělení typu II má hustotu

f(x) =







α

σ 1 + ^x−µ_σ
−α−1

pro x > µ,

0 pro x ≤ µ,

distribuční funkci

F(x) =







1 − 1 + ^x−µ_σ
−α

pro x > µ,

0 pro x ≤ µ,

a kvantilovou funkci

x(F ) =







µ+ σ[(1 − F )^−1α−1] pro x > µ,

0 pro x ≤ µ.

(2.17)

Obrázek 3: Hustota Paretova rozdělení typu II s parametry µ = 0, σ = 0.5, α ∈ {0.5, 1, 1.5}

Věta 4. Nechť je dáno Paretovo rozdělení typu II s parametry µ ∈ R, σ > 0 a α > 1 a kvantilovou funkcí (2.17). Pak platí

λ1 = µ + σ

α − 1, τ3 = α+ 1 3α − 1,

λ2 = ασ

(α − 1)(2α − 1), τ4 = (α + 1)(2α + 1) (3α − 1)(4α − 1).

Důkaz. Přímá aplikace metody per partes vede k odvození jednotlivých L-momentů.

Tabulka 1: L-momenty a L-momentové poměry některých dalších pravděpodobnost- ních rozdělení

Rozdělení Kvantilová funkce L-momenty a L-momentové poměry Rovnoměrné x(F ) = α + (β − α)F λ1= ¹₂(α + β)

λ2= ¹₆(β − α) τ3= 0

τ4= 0 Exponenciální x(F ) = ξ − α ln(1 − F ) λ1= ξ + α

λ2= ¹₂α τ3=¹₃ τ4=¹₆ Logistické x(F ) = ξ + α ln$_1−F

F

λ1= ξ λ2= α τ3= 0 τ4=¹₆ Zobecněné x(F ) = ξ + α^{1−(1−F )}_k ^k λ1= ξ +_k+1^α

Paretovo λ2= _(k+1)(k+2)^α

τ3=^1−k_3+k τ4=^{(k−1)(k−2)}_(k+3)(k+4) Zobecněné x(F ) = ξ + α1−(− ln F )^k

k λ1= ξ +^α_k − αΓ(k)

extremních λ2= αΓ(k)(1 − 2^−k)

hodnot τ3=^2·3−k₁₋₂^+3·2−k^−k−1

τ4=^{−5·4−k+10·3}₁₋₂^−k−k^{−6·2−k+1}

3 L-komomenty

Mnohorozměrné L-momenty druhého a vyššího řádu definovali Serfling a Xiao [14]

maticově, přičemž prvky těchto matic tvoří L-komomenty. O L-komomentech mů- žeme hovořit jako o analogii k ne zcela známým centrálním komomentům, které charakterizují mnohorozměrné rozdělení a nyní je stručně představíme.

3.1 Centrální komomenty

Nechť (X1, X2) je dvourozměrný náhodný vektor, F1(x1) a F2(x2) jsou marginální distribuční funkce náhodných veličin X₁ a X₂ se středními hodnotami µ₁, µ2 a ko- nečnými k-tými centrálními momenty µ⁽¹⁾_k , µ⁽²⁾_k , k ≥ 2. K-tý centrální komoment náhodné veličiny X₁ vzhledem k náhodné veličině X₂ je definován vztahem

ξk[12]= cov(X1,(X2− µ²)^k−1), k ≥ 2, (3.1)

analogicky k-tý centrální komoment náhodné veličiny X₂ vzhledem k náhodné veli- čině X1 je definován vztahem

ξk[21]= cov(X₂,(X₁− µ¹)^k−1), k ≥ 2.

Pro k = 2 máme

ξ_2[12] = cov(X₁, X₂− µ2) = E[(X₁ − µ1)(X₂− µ2− (µ2− µ2))] =

= cov(X1, X2) = σ12,

ξ_2[21] = cov(X2, X1− µ¹) = E[(X2 − µ²)(X1− µ¹− (µ¹− µ¹))] =

= cov(X1, X2) = σ12,

tedy druhý centrální komoment je kovariance náhodných veličin X₁, X2. Obecně však ξk[12] a ξk[21] nejsou totožné. Třetí a čtvrtý centrální komoment ξ3[12], ξ4[12] se nazývá košikmost a košpičatost náhodné veličiny X₁vzhledem k náhodné veličině X2.

Podobně jako u jednorozměrných centrálních momentů uvažujeme i u centrálních komomentů jejich bezrozměrné verze

α_k[12]= ξk[12]

q

µ⁽¹⁾₂ (µ⁽²⁾₂ )^k−1, k ≥ 2.

Speciálně pro k = 2 je druhý centrální komomentový poměr roven korelačnímu koeficientu náhodných veličin X₁, X2

α2[12] = α2[21] = cov(X1, X2) q

µ⁽¹⁾₂ µ⁽²⁾₂

= ρ12.

Třetí a čtvrtý centrální komomentový poměr α3[12], α4[12] se nazývá košikmostní a košpičatostní koeficient náhodné veličiny X₁ vzhledem k náhodné veličině X₂.

3.2 Definice a základní vlastnosti L-komomentů

Jak již bylo uvedeno, k popisu jednorozměrného pravděpodobnostního rozdělení se obvykle používají konvenční momenty. Existence a konečnost k-tého centrál- ního momentu však závisí na existenci a konečnosti příslušného obecného momentu EX^k, k = 1, 2, . . . Naproti tomu lze pravděpodobnostní rozdělení charakterizovat pomocí jednorozměrných L-momentů všech řádů za mnohem slabšího předpokladu, kterým je pouze existence konečné střední hodnoty. Podobně je tomu v případě centrálních komomentů a L-komomentů: centrální komomenty jsou definovány za předpokladu konečných centrálních momentů uvažovaných náhodných veličin, proto Serfling a Xiao [14] zavedli L-komomenty, které popisují mnohorozměrné rozdělení, aniž by byl kladen předpoklad na konečnost druhých a vyšších momentů.

Serfling a Xiao [14] formulovali L-komomenty analogicky vzhledem k tvaru cen- trálního komomentu (3.1) a jednorozměrného L-momentu vyjádřeného pomocí ko- variance (2.7).

Definice 3. Mějme náhodný vektor (X₁, X2) se sdruženou distribuční funkcí F (x₁, x2).

Nechť F1(x1), resp. F2(x2), je marginální distribuční funkce náhodné veličiny X1, resp. náhodné veličiny X₂, a nechť X₁, X2 mají konečné střední hodnoty. K-tý L-komoment náhodné veličiny X1 vzhledem k náhodné veličině X2 je definován

λ_k[12] = cov(X₁, P_k−1^∗ (F₂(X₂))), k ≥ 2, (3.2)

a k-tý L-komoment náhodné veličiny X2vzhledem k náhodné veličině X1 je definován

λ_k[21] = cov(X₂, P_k−1^∗ (F₁(X₁))), k ≥ 2,

kde P_k^∗(F ) je definováno na straně 16.

Opět λ_k[12] a λ_k[21] nemusí být nutně totožné. Máme-li X1 = X2, je

λk[11] = λ⁽¹⁾_k , λk[22] = λ⁽²⁾_k ,

kde λ⁽¹⁾_k , resp. λ⁽²⁾_k , je k-tý jednorozměrný L-moment náhodné veličiny X1, resp.

náhodné veličiny X₂.

Nadále se budeme věnovat jen případu náhodné veličiny X1 vzhledem k náhodné veličině X₂, jelikož opačný případ by byl analogický. Druhý až čtvrtý L-komoment náhodné veličiny X1 vzhledem k náhodné veličině X2 má tvar

λ_2[12] = 2 cov



X₁, F₂(X₂) −1 2

 ,

λ3[12] = 6 cov X1,



F2(X2) −1 2

2

− 1 12

! ,

λ4[12] = cov X1,20



F2(X₂) −1 2

3

− 3



F2(X₂) − 1 2

! ,

a lze je považovat za alternativy k centrálním komomentům definované vztahem (3.1), tedy kovarianci, košikmosti a košpičatosti, proto se po řadě nazývají L-kovariance, L-košikmost a L-košpičatost [14].

Bezrozměrné verze L-komomentů, takzvané L-komomentové koeficienty, au- toři [14] definovali vztahem

τ_k[12]= λ_k[12]

λ⁽¹⁾₂ pro k ≥ 2. (3.3)

Druhý L-komomentový koeficient τ_2[12] je označován jako L-korelace ρ_[12] náhodné veličiny X1 vzhledem k náhodné veličině X2 a je analogií korelačního koeficientu ρ12. Je-li X₁ = X₂, pak platí

τ2[11] = 1, τ2[22]= 1.

V článku [7] se však L-komomentové koeficienty objevují v následujícím tvaru, který nekoresponduje s definicí (3.3):

τ2[12]= λ2[12]

λ⁽¹⁾₁ a τk[12] = λk[12]

λ⁽¹⁾₂ pro k ≥ 3. (3.4) Uvažujme dvě stejné náhodné veličiny X1. Pak by podle (3.4) bylo

τ_2[11] = λ2[11]

λ⁽¹⁾₁ = λ⁽¹⁾₂

λ⁽¹⁾₁ = τ⁽¹⁾,

což není obecně rovno 1. Zavedení (3.4) L-komomentových koeficientů pro k = 2 je proto v rozporu se základní vlastností korelačního koeficientu (1.3): korelační ko- eficient dvou stejných náhodných veličin je vždy roven 1. V dalším textu se proto budeme držet definice L-komomentových koeficientů ve tvaru (3.3). Další nesrovna- lost ohledně L-komomentových koeficientů, která může čtenáře zmást, se vyskytuje ve statistickém programu R. V průvodci funkcí k balíku lmomco je uveden výpočet L-komomentových koeficientů ve tvaru

τ_2[12]= λ2[12]

λ1[12]

a τ_k[12] = λk[12]

λ2[12] pro k ≥ 3.

Ve skutečnosti však kód pro výpočet L-komomentových koeficientů používá definici (3.3), proto lze bez obav k výpočtu L-komomentových koeficientů použít implemen- tované funkce Lcomoment.coefficients a Lcomoment.correlation.

Jak již bylo v úvodu kapitoly zmíněno, za splnění určitých předpokladů, které jsou uvedeny v následujících dvou větách, lze L-komomenty vyjádřit v podstatně jednodušším tvaru a to pomocí jednorozměrných L-momentů. Pro potřeby násle- dujích dvou vět zavádějí Serfling a Xiao [14] tyto dva pojmy, které tvoří právě již zmiňované předpoklady:

Řekneme, že dvě náhodné veličiny X_i, Xj, i 6= j, mají sdružené rozdělení s lineární regresí Xi na Xj, jestliže platí

E(X_i|X^j) = a + bX_j, kde a, b jsou konstanty. (3.5)

Řekneme, že marginální distribuční funkce Fi, Fj, i 6= j, jsou afinně ekvivalentní,

jestliže platí

F_j(x) = F_i x − θ η



, kde η 6= 0, θ jsou konstanty. (3.6)

Věta 5. Nechť náhodná veličina X1 má konečnou střední hodnotu a nechť náhodné veličiny X1, X2 mají sdružené rozdělení s lineární regresí X1 na X2. Pak pro k ≥ 2 platí

λk[12] = b λ⁽²⁾_k . (3.7)

Je-li navíc k-tý centrální moment µ⁽²⁾_k náhodné veličiny X2 konečný, pak platí

ξk[12] = b µ⁽²⁾_k , k ≥ 2. (3.8)

Důkaz. Důkaz lze nalézt v [14, str. 15].

Výše uvedená věta tedy říká, že pro vyjádření druhého a vyššího L-komomentu náhodné veličiny X₁ vzhledem k náhodné veličině X₂ ve tvaru (3.7) postačí koneč- nost pouze střední hodnoty náhodné veličiny X1; avšak pro vyjádření druhého a vyššího centrálního komomentu náhodné veličiny X₁ vzhledem k náhodné veličině X2 ve tvaru (3.8) je navíc zapotřebí konečnost odpovídajícího centrálního momentu náhodné veličiny X₂.

Věta 6. Nechť náhodná veličina X1 má konečnou střední hodnotu a nechť náhodné veličiny X₁, X₂ mají sdružené rozdělení s lineární regresí X₁ na X₂. Nechť jsou dále marginální distribuční funkce F1(x1), F2(x2) afinně ekvivalentní. Pak platí

ρ_[12] = b η = ρ₁₂,

kde první rovnost platí za předpokladu konečných středních hodnot a druhá rovnost platí za předpokladu konečných druhých centrálních momentů. Dále platí

λk[12] = ρ_[12]λ⁽¹⁾_k , k ≥ 2,

τk[12] = ρ_[12]τ_k⁽¹⁾, k ≥ 3. (3.9)

platí

ξ_k[12] = b η^kµ⁽¹⁾_k , α_k[12] = ρ_[12]α⁽¹⁾_k .

Důkaz. Důkaz lze nalézt v [14, str. 16].

Za platnosti přepokladů uvedených ve Větě 6 tedy existuje L-korelace ρ_[12], ja- kožto alternativa korelačního koeficientu ρ12, i v případě, že neexistují konečné druhé centrální momenty náhodných veličin (tj. za těchto podmínek neexistuje korelační koeficient ρ12).

Serfling a Xiao [14] uvádějí platnost rovnosti (3.9) i pro k = 2. Jelikož τ_2[12] = ρ_[12], bylo by

τ⁽¹⁾ = λ⁽¹⁾₂ λ⁽¹⁾₁ = 1, tedy λ⁽¹⁾₁ = λ⁽¹⁾₂ , což obecně není pravda.

Je známo, že korelační koeficient ρ12 (1.3) leží v intervalu h−1, 1i. Totéž platí i pro L-korelaci ρ_[12]. Lze totiž ukázat [14], že

|λ^2[12]| ≤ λ⁽¹⁾2 ,

což není nic jiného než (uvědomíme-li si, že λ⁽¹⁾₂ >0) 

λ2[12]

λ⁽¹⁾₂     

= |ρ^[12]| ≤ 1. (3.10)

Serfling a Xiao [14, str. 18] uvádějí nerovnosti, vyplývající z Věty 6 a nerovnosti (3.10),

|λ^k[12]| ≤ |λ⁽¹⁾k |, k ≥ 2,

|τ^k[12]| ≤ |τk⁽¹⁾| ≤ 1, k ≥ 2, (3.11)

|α^k[12]| ≤ |α⁽¹⁾k | ≤ ∞, k ≥ 2.

Zde se však opět dopustili nedopatření: uvádějí platnost nerovnosti (3.11) znovu i

pro k = 2, ačkoliv platí (3.9), a navíc uvádějí |τk⁽¹⁾| ≤ 1 pro k ≥ 3, přestože Hosking [5] dokázal jen ostrou nerovnost, tj. |τk⁽¹⁾| < 1 pro k ≥ 3. Místo (3.11) tedy má správně být

|τ^k[12]| ≤ |τk⁽¹⁾| < 1, k ≥ 3. (3.12)

3.3 Odhady L-komomentů

Stejně jako u jednorozměrných L-momentů rozlišujeme teoretické a výběrové L-komomenty, tedy odhady L-komomentů definovaných v předchozí podkapitole.

Mějme dvourozměrný náhodný výběr {(Xi⁽¹⁾, X_i⁽²⁾), 1 ≤ i ≤ n} o rozsahu n z dvourozměrného pravděpodobnostního rozdělení se sdruženou distribuční funkcí F(x1, x2) a marginálními distribučními funkcemi F1(x1), F2(x2). Seřaďme nyní ná- hodný výběr {X⁽²⁾} do neklesající posloupnosti, tj. X1:n⁽²⁾ ≤ X2:n⁽²⁾ ≤ · · · ≤ X^n:n(2). Prvek náhodného výběru {X⁽¹⁾}, který je spárován s r-tou pořádkovou statistikou X^r:n(2), je autory [14] nazýván jako konkomitant r-té pořádkové statistiky Xr:n⁽²⁾ a je označen X_[r:n]⁽¹²⁾.

Odhad k-tého L-komomentu náhodné veličiny X₁ vzhledem k náhodné veličině X2 (3.2) je dán vztahem [14]

ˆλk[12]= n⁻¹

n

X

r=1

w^(k)_r:nX_[r:n]⁽¹²⁾, (3.13)

kde w^(k)r:n je definováno v (2.14). Odhad (3.13) je nestranný, neboť k-tý L-komoment náhodné veličiny X₁ vzhledem k náhodné veličině X₂ (3.2) lze ekvivalentně zapsat ve tvaru [14]

λ_k[12] = n⁻¹

n

X

r=1

w_r:n^(k)EX_[r:n]⁽¹²⁾,

proto

Eˆλ_k[12]= n⁻¹

n

X

r=1

w^(k)_r:nEX_[r:n]⁽¹²⁾ = λ_k[12].

4 Mnohorozměrné L-momenty

Uvažujme n-rozměrný náhodný vektor X = (X1, X2, . . . , Xn). První mnohoroz- měrný L-moment náhodného vektoru X je definován jako střední hodnota náhod- ného vektoru X (1.1) [14]

λ₁ = EX.

Mnohorozměrný L-moment k-tého řádu, k ≥ 2, má tvar matice, jak již bylo zmí- něno, o velikosti n × n, přičemž na pozici (i, j) se nachází k-tý L-komoment dvojice náhodných veličin Xi, Xj pro 1 ≤ i, j ≤ n, tedy

Λ_k = $λ_k[ij]

n×n. (4.1)

Druhý až čtvrtý mnohorozměrný L-moment je po řadě nazván L-kovarianční, L-košikmostnía L-košpičatostní matice, přičemž L-kovarianční matice je ana- logií kovarianční matice (1.2). Analogicky jako mnohorozměrný L-moment je defi- nována L-komomentová koeficientová matice typu n × n

Λ^∗_k= $τ_k[ij]

n×n,1 ≤ i, j ≤ n, k ≥ 2. (4.2) Λ^∗₂ se nazývá L-korelační matice a je analogií korelační matice (1.4). Je zřejmé, že na hlavní diagonále matice (4.1) se vyskytují odpovídající jednorozměrné L-momenty náhodné veličiny Xi,1 ≤ i ≤ n. Hlavní diagonálu matice (4.2) pro k = 2 tvoří jedničky a pro k ≥ 3 se zde vyskytují odpovídající L-momentové po- měry náhodné veličiny Xi,1 ≤ i ≤ n.

4.1 L-momenty vybraných spojitých dvourozměrných roz- dělení

Následující kapitola se věnuje výpočtu L-momentů tří vybraných dvourozměrných rozdělení: normálního a Paretova rozdělení typu I a II. L-komomenty některých z těchto rozdělení se vyskytují v článku [14], avšak bez patřičného odvození.

L-komomenty těchto rozdělení jsou určeny pomocí Věty 6, tj. využijeme dosažené výsledky z kapitoly 2.3.

4.1.1 L-momenty dvourozměrného normálního rozdělení

Mějme náhodný vektor (X, Y ), který má dvourozměrnou sdruženou hustotu

f(x, y) = 1

2πσ₁σ2p1 − ρ²·

· exp (

− 1

2(1 − ρ²)

"

 x − µ1

σ₁

2

+ y − µ2

σ₂

2

−

−2ρ(x − µ1)(y − µ2) σ1σ2



, (4.3)

kde µ1, µ2, σ1, σ2 jsou parametry a ρ je korelační koeficient náhodných veličin X, Y . Náhodná veličina X, resp. Y , má marginální hustotu

f1(x) = 1

√2πσ1

exp



−(x − µ1)² 2σ12



, x ∈ R, µ¹ ∈ R, σ¹ >0,

resp.

f2(y) = 1

√2πσ2

exp



−(y − µ2)² 2σ22



, y ∈ R, µ² ∈ R, σ² >0. (4.4)

Obrázek 4: Hustota dvourozměrného normálního rozdělení s parametry µ₁ = 0, µ2 = 0.5, σ₁ = 1, σ₂ = 2, ρ = 0.5

Věta 7. Nechť má náhodný vektor (X, Y ) dvourozměrné normální rozdělení se sdru- ženou hustotou (4.3). Pak platí

λ₁ = (µ1, µ2), Λ₂ = π⁻¹²





σ₁ ρ σ₁ ρ σ2 σ2



,

Λ₃ =



 0 0 0 0



,

Λ₄ = 0.0702





σ₁ ρ σ₁ ρ σ2 σ2





Λ^∗₂ =



 1 ρ ρ 1



,

Λ^∗₃ =



 0 0 0 0



,

Λ^∗₄ = 0.1244



 1 ρ ρ 1



.

Důkaz. Je potřeba ověřit splnění předpokladů Věty 6. Pak lze druhý a vyšší L-komoment vyjádřit ve tvaru násobku L-korelace a jednorozměrného L-momentu.

Za prvé náhodné veličiny X, Y musejí mít sdružené rozdělení s lineární regresí ná- hodné veličiny X na Y . Podmíněnou hustotu určíme dosazením hustot (4.3) a (4.4) do vztahu (1.5), tedy

f(x|y) = 1

σ₁p2π(1 − ρ²)exp( 1 2

 y − µ2

σ2

2)

·

· exp (

− 1

2(1 − ρ²)

"

 x − µ¹ σ1

2

+ y − µ² σ2

2

− 2ρ(x − µ¹)(y − µ²) σ1σ2

#) .

Podmíněná střední hodnota náhodné veličiny X za podmínky, že náhodná veličina Y nabyde hodnoty y, je dána vztahem (1.6)

E(X|Y ) = Z∞

−∞

x 1

σ1p2π(1 − ρ²)exp( 1 2

 y − µ² σ2

2)

·

· exp (

− 1

2(1 − ρ²)

"

 x − µ1

σ1

2

+ y − µ2

σ2

2

−

− 2ρ(x − µ¹)(y − µ²) σ1σ2



dx =

= 1

σ1p2π(1 − ρ²)exp

( −ρ² 2(1 − ρ²)

 y − µ2

σ2

2)

·

· Z∞

−∞

xexp (

− 1

2(1 − ρ²)

"

 x − µ1

σ₁

2

− 2ρ(x − µ¹)(y − µ²) σ₁σ₂

#) dx.

Označme poslední integrál I. Po provedení substituce u = ^x−µ_σ ¹

1 máme

I = Z∞

−∞

(σ1u+ µ1) exp



− 1

2(1 − ρ²)



u²− 2ρy − µ² σ2

u



σ1du.

Nyní upravíme dvojčlen u²− 2ρ^y−µσ2²u na čtverec

I = σ₁²exp

( ρ² 2(1 − ρ²)

 y − µ² σ2

2)

·

· Z∞

−∞

uexp (

− 1

2(1 − ρ²)



u − ρy − µ2

σ2

2) du+

+ σ1µ1exp

( ρ² 2(1 − ρ²)

 y − µ2

σ2

2)

·

· Z∞

−∞

exp (

− 1

2(1 − ρ²)



u − ρy − µ2

σ2

2)

du. (4.5)

Označme první integrál v (4.5) I1 a druhý I2. Úpravami dostaneme

I1 = Z∞

−∞

uexp (

− 1

2(1 − ρ²)



u − ρy − µ² σ2

2) du−

− ρy − µ² σ₂

Z∞

−∞

exp (

− 1

2(1 − ρ²)



u − ρy − µ² σ₂

2) du+

+ ρy − µ² σ2

Z∞

−∞

exp (

− 1

2(1 − ρ²)



u − ρy − µ² σ2

2) du =

= 1 2

Z∞

−∞

2



u − ρy − µ² σ₂

 exp

(

− 1

2(1 − ρ²)



u − ρy − µ² σ₂

2) du +

+ ρy − µ² σ2

Z∞

−∞

exp (

− 1

2(1 − ρ²)



u − ρy − µ² σ2

2) du.

Provedeme-li v prvním integrálu substituci v = 

u − ρ^y−µσ2²

2

a v druhém w= √ ¹

2(1−ρ²)

u − ρ^y−µ_σ2²

, máme

I1 = 1 2

Z0

∞

exp



− v

2(1 − ρ²)



dv +1 2

Z∞

0

exp



− v

2(1 − ρ²)

 dv +

+ 2ρy − µ²

σ₂ p2(1 − ρ²) Z∞

0

exp −w² dw =

= 2ρy − µ2

σ2 p2(1 − ρ²)

√π 2 =

= ρy − µ²

σ2 p2π(1 − ρ²).

Z předchozího výpočtu již víme, že

I2 =p2π(1 − ρ²).

Celkem tedy dostaneme

E(X|Y ) = 1

σ1p2π(1 − ρ²)exp

( −ρ² 2(1 − ρ²)

 y − µ2

σ2

2)

·

·

"

σ₁²ρy − µ2

σ2 p2π(1 − ρ²) exp

( ρ² 2(1 − ρ²)

 y − µ2

σ2

2) +

+σ1µ1p2π(1 − ρ²) exp

( ρ² 2(1 − ρ²)

 y − µ² σ2

2)#

=

= µ₁− µ2

σ12

σ²₂ +σ12

σ₂² y.

Vztah (3.5) je proto splněn s konstantami

a= µ₁− µ2

σ12

σ₂², b = σ12

σ₂² .

Dále je potřeba ověřit, zda jsou marginální distribuční funkce F₁(x), F₂(y) afinně ekvivalentní. Máme

Φ x − µ1

σ1



= Φ y − µ2

σ2

 ,

tedy

y = −σ₂ σ1

µ1 + µ₂+σ₂ σ1

x.

Vztah (3.6) platí pro konstanty

θ= −σ2

σ1

µ₁+ µ₂, η= σ2

σ1

.

V důsledku toho je ρ_[12] = ρ. Druhý až čtvrtý L-komoment náhodné veličiny X vzhledem k náhodné veličině Y a naopak lze psát ve tvaru násobku L-korelace ρ a odpovídajícího jednorozměrného L-momentu uvedeného ve Větě 2

λ_2[12] = ρ σ1

√π, λ_2[21] = ρσ2

√π,

λ3[12] = 0, λ3[21] = 0,

λ4[12] = 0.0702 ρσ₁, λ4[21] = 0.0702 ρσ₂.















(4.6)

L-komomentové koeficienty získáme použitím vztahu (3.3)

τ2[12]= τ_2[21] = ρ, τ3[12]= τ_3[21] = 0,

τ4[12]= τ_4[21] = 0.1244 ρ.















(4.7)

Dvourozměrné L-momenty a L-komomentové koeficientové matice pak získáme do- sazením hodnot uvedených ve Větě 2, (4.6) a (4.7) do vektoru (1.1) a matic (4.1) a (4.2).

4.1.2 L-momenty dvourozměrného Paretova rozdělení typu I Mějme náhodný vektor (X, Y ), který má dvourozměrnou sdruženou hustotu

f(x, y) = α(α + 1) σ1σ2

 x σ1

+ y σ2 − 1

_−α−2

, (4.8)

kde σ₁, σ₂, α jsou parametry. Náhodná veličina X, resp. Y , má marginální hustotu

f1(x) = ασ^α₁x^−α−1, x ≥ σ¹ >0, α > 0,

resp.

f2(y) = ασ₂^αy^−α−1, y ≥ σ² >0, α > 0.

Obrázek 5: Hustota dvourozměrného Paretova rozdělení typu I s parametry σ1 = 0.5, σ2 = 0.5, α = 1.5

Věta 8. Nechť má náhodný vektor (X, Y ) dvourozměrné Paretovo rozdělení typu I se sdruženou hustotou (4.8). Pak pro α > 1 platí

λ₁ =

 σ1α

α − 1, σ2α α − 1

 ,