• No results found

Geometri. Delarna i modulen

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Geometri. Delarna i modulen"

Copied!
36
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Geometri

I den här modulen lyfter vi fram valda delar av det centrala innehållet i geometrin utifrån skilda didaktiska perspektiv och visar hur en varierad undervisning utgår från medvetenhet kring exempelvis bedömning, begreppsbildning och val av representationer. Vi ger också exempel på hur du kan utnyttja olika arbetssätt för att skapa en rik lärandemiljö i klassrummet.

Delarna i modulen

1. Didaktisk ämnesanalys 2. Bedömning och undervisning 3. Representationer och lärande 4. Ett varierat arbetssätt

5. Matematikens språk i klassrummet 6. Geometriska konstruktioner 7. Resonemang i geometrin 8. Normer i klassrummet

I den första delen av modulen diskuterar vi hur didaktik och ämnesinnehåll kan föras samman. Vi visar där hur du kan planera din undervisning utifrån en didaktisk analys av den matematik du undervisar om. Den didaktiska ämnesanalysen utgör även en grund för bedömning. Du bedömer elevernas förmågor, och indirekt din egen undervisning, och du använder bedömning formativt i undervisningen.

Del 2 handlar om bedömning utifrån en didaktisk ämnesanalys. Del 3 handlar om olika representationer i matematiken och om hur du kan variera dessa. Där diskuteras också möjligheten att använda dynamisk geometri och IKT. De två därpå följande delarna centrerar kring olika arbetssätt, som vart och ett på olika vis kan skapa en god lärandemiljö. Del 4 handlar om olika aspekter av ett undersökande arbetssätt och del 5 behandlar att arbeta med matematikens språk i klassrummet.

Del 6 handlar om geometriska konstruktioner relaterat till årskurs 4 – 6. I del 7

diskuteras den roll resonemang spelar i geometrin och hur du kan ge det matematiska resonemanget plats i klassrummet. Del 8, slutligen, utgör en naturlig sammanfattning av hela modulen och behandlar hur du kan etablera och förändra normer för

matematikklassrummet. De olika delarna i den här modulen motsvarar till sitt innehåll de olika delarna i geometrimodulerna för åk 1 -– 3 och åk 7 – 9.

Efter att ha studerat innehållet i modulen kan du förändra och förädla din matematikundervisning på flera olika sätt. Du ges också förutsättningar att förändra den fortbildningskultur som finns på din skola till att bli en varaktigt förändringsbenägen utbildningsmiljö där elevernas matematiska utveckling står i centrum. Du kommer att märka styrkan i ett kollegialt lärande när du diskuterar texternas innehåll med dina kollegor och omsätter detta i din egen undervisning.

Planeringsstöd

I del 2 förutsätts att du har planerat terminens undervisning. Det är alltså bra om du har gjort din planering innan ni börjar arbeta med modulen. I rutan ”Se även” hittar du

(2)

ett planeringsstöd i form av ett pdf-formulär. Detta kan du använda i din planering av lektioner och aktiviteter under hela modularbetet.

Om Moment B

Under arbetet med modulen föreslår vi att ni disponerar tiden i Moment B på följande sätt:

• Diskussion om texterna ni läst i moment A, under en tredjedel av tiden.

• Gemensam förberedelse av en aktivitet, under två tredjedelar av tiden.

Ansvariga för modulen

Göteborgs universitet, i samarbete med Chalmers tekniska högskola, Högskolan i Gävle och Malmö högskola.

(3)

Del 7. Resonemang i geometrin

I de tidigare delarna inom modulen har du sett hur man kan analysera geometrins begrepp, ur en didaktisk synvinkel. Du har också mött frågor kring bedömning och du har fått exempel på hur du kan variera din användning av representationer i undervisningen. Vidare har du sett olika didaktiska aspekter av lärande i form av till exempel laborativt arbete och arbete med matematikens språk.

Här lägger vi fokus på hur du kan utveckla dina elevers förmåga att resonera matematiskt och verifiera matematiska påståenden. Enligt Lgr11 ska eleverna i matematik ges förutsättningar att föra och följa matematiska resonemang redan från årskurs 1. Den grundläggande förmågan att resonera är densamma genom hela skolan, även om förmågan naturligtvis följer elevernas kognitiva nivå.

Målet är att du ska få en förståelse av vad det kan innebära att resonera matematiskt i årskurs 4 – 6.

(4)

Del 7: Moment A – individuell förberedelse

Läs

Läs texten ”Att resonera i och om matematik”. Den handlar om hur du kan införa ett matematiskt resonemang i klassrummet och ger dig, inför moment C, exempel på hur detta kan gå till inom geometrin. Här har vi valt att utgå från exempel anpassade till årskurs 4 – 6, men pekar även mot exempel som kräver lite mer avancerad matematik eller ett mer avancerat resonemang. Anledningen till det är att du

därigenom får möjlighet att se undervisningen i ett vidare perspektiv. Vill du ha förslag på enklare eller mer avancerade exempel, kan du hitta sådana i motsvarande del i geometrimodulerna för åk 1 – 3 och åk 7 – 9.

Fundera över vilka förkunskaper som är önskvärda hos eleverna för de aktiviteter som beskrivs.

För dig som skriver ut texten i svart/vitt: I vissa resonemang i texten hänvisas till olika färger i bilderna. Markera de olika färgerna med siffror eller bokstäver efter att du har skrivit ut texterna.

Material

(5)

Material

Att resonera i och om geometri C. Bennet

(6)

Modul: Geometri

Del 7: Resonemang i geometrin

Att resonera i och om matematik

Christian Bennet, Göteborgs universitet

Relaterat till förskolan och de tidigare skolåren talar man om att eleverna kan konstruera objekt av olika slag, exempelvis i lera eller trä. Ett led i sådana konstruktioner är att beskriva de former objekten har eller ska få. Här diskuterar vi vikten av att föra undervisningen i geometri vidare från att i denna mening konstruera och beskriva till att resonera och dra slutsatser utifrån vad vi ser eller vet. Vi utgår från ett exempel.

Eva är lärare för en klass i en skola på västkusten. Hon har planerat två lektioner för årskurs 6 i geometri, där hon bland annat vill att eleverna ska resonera om vinklar. Hon har också tänkt att eleverna ska bekanta sig med grunden för idén att mäta vinklar. Eleverna har tidi- gare arbetat med geometriska figurer och är bekanta med begreppen punkt, rät linje, vinkel, triangel och fyrhörning. Här följer en kort beskrivning av hennes lektioner:

Eva började med att berätta om sjöstjärnor. Hon hade med sig en bild och visade att sjö- stjärnor har fem armar. Alla elever hade tidigare sett sjöstjärnor, på bild eller i verkligheten.

Eva förklarade att de skulle rita sjöstjärnor, och att de skulle resonera om olika vinklar. Hon visade på tavlan hur de skulle göra för att rita en femuddig sjöstjärna. Eleverna fick använda papper, pennor, kritor, linjaler och saxar. Varje elev ritade en sjöstjärna på sitt papper och Eva gick runt bland eleverna för att ge stöd åt dem som behövde det. Eleverna hjälpte också varandra och alla lyckades rita en stjärna. De konstaterade att deras stjärnor såg väl- digt olika ut, även om de hade ritat stjärnorna på samma sätt.

Figur 1: Eleverna ritade sjöstjärnor med linjal genom att dra linjerna AB, BC, CD, DE och EA. De fick göra linjerna hur långa de ville och åt vilket håll som helst, bara det blev en stjärna.

Sedan färglade eleverna sjöstjärnorna.

(7)

Figur 2: Så här såg en av elevernas sjöstjärnor ut.

Därefter klippte eleverna ut spetsarna på sina sjöstjärnor och klistrade upp dem på ett pap- per som en solfjäder.

Figur 3: De utklippta spetsarna lades i en solfjäder bredvid linjalen.

Förvånade upptäckte eleverna att varje sjöstjärnas spetsar tillsammans bildade en nästan rät linje, trots att sjöstjärnorna hade så olika form.

Eva samlade till slut eleverna och resonerade med dem om hur man kan jämföra storleken på vinklar genom att lägga vinklarna över varandra. Hon ritade några trubbiga vinklar och några spetsiga vinklar på tavlan och eleverna fick visa trubbiga, spetsiga och räta vinklar med armarna och med händerna. Hon introducerade också begreppet rak vinkel, alltså en vinkel som utgörs av en rät linje. Till sist avslutades lektionen med att alla fick sätta upp sina solfjädrar på anslagstavlan. Eva var nöjd med lektionen och noterade att alla i klassen hade förstått hur man kan jämföra vinklar och att eleverna över lag visade att de tagit till sig be- greppen spetsig, trubbig, rät och rak vinkel.

Nästa lektion i geometri återkopplade Eva till teckningarna eleverna gjort och Eva frågade klassen om de trodde att det var en tillfällighet att de fem vinklarna bildade en nästan rät

(8)

linje - som i figur 3. De flesta av hennes elever trodde att det måste bli så, hur man än ritar stjärnan, men de kunde inte förklara varför. Eva ritade då en egen stjärna på tavlan med pennor i olika färg:

Figur 4: Evas sjöstjärna med olikfärgade prickar vid de olika vinklarna.

Hon förklarade sedan att i en triangel motsvarar vinklarna tillsammans alltid en rak vinkel.

Sedan pekade hon på den röda triangeln på tavlan (DEF i figur 4). Tre elever fick markera vinklarna i triangeln med olika färger. Det blev rött, ljusblått och grönt. De resonerade sig sedan tillsammans fram till att, eftersom CD är en rät linje och DFC alltså är en rak vinkel, så måste vinkeln CFG vara lika stor som den ljusblå och den gröna vinkeln tillsammans.

(Yttervinkeln vid F i förhållande till den röda triangeln i figur 4 motsvarar summan av vink- larna vid D och E.)

Därefter fick tre elever markera vinklarna i den gula triangeln (ABC i figur 4) med olika färger. Med samma resonemang kom eleverna då fram till att vinkeln FGC är lika stor som den blå och den lila vinkeln tillsammans. Vinklarna i triangeln CFG är därmed tillsammans lika stora som den svarta vinkeln, den ljusblå vinkeln, den gröna vinkeln, den blå vinkeln och den lila vinkeln tillsammans. Alla dessa fem vinklar är därmed tillsammans lika stora som en rak vinkel. De resonerade avslutningsvis kring om det spelade roll precis hur sjö- stjärnan på tavlan såg ut och eleverna blev överens om att det inte gjorde det. Resone- manget gällde alltså vilken sjöstjärna som helst.

(9)

A

B

C

Figur 5: Vinklarna i Evas sjöstjärna summerar till 180°

Eva avslutade lektionen med att återkoppla till elevernas teckningar och eleverna förstod nu varför alla solfjädrar blev ganska lika, trots att sjöstjärnorna de ritat var olika.

Vinkelsumman i en triangel

Eva kunde resonera med sina elever om summan av de fem yttersta vinklarna i en sjöstjärna och övertyga dem om att dessa tillsammans summerar till 180°, även om hon inte uttryckte sig i sådana termer i klassrummet. Utgångspunkten var då att vinkelsumman i en triangel är 180°. Men hur kan vi veta det? Om vi mäter vinklarna i en triangel vi ritar på tavlan eller i en triangel som förekommer i vår vardag, till exempel i ett tapetmönster eller i form av en byggkloss, så kommer vi att upptäcka att vinkelsumman ligger i närheten av 180°. Hur nära, beror av hur duktiga vi är på att mäta. Men detta innebär förstås inte att vi kan dra slutsat- sen att vinkelsumman är precis 180° i alla tänkbara trianglar, utan bara att den ligger nära 180° i just de trianglar vi har mätt. Det skulle ju, bara som exempel, kunna vara så att vin- kelsumman minskar, eller ökar, om trianglarna blir väldigt stora eller väldigt små eller att de har andra vinkelsummor i andra delar av världen. Hur kan vi alls veta något om trianglar vars vinklar vi inte har mätt?

Detsamma gäller om vi klipper av och lägger ihop vinklarna hos en triangel som vi har ritat på ett papper. Dessa kommer tillsammans att bilda ungefär 180°, men det innebär förstås inte att detta gäller alla tänkbara trianglar. Vi kan inte dra slutsatsen om det generella utifrån de exempel vi har stött på. Vi kan, strängt taget, inte heller dra slutsatser om matematiska objekt utifrån de representationer vi gör av dessa med hjälp av papper och penna.

Låt oss nu, i stället för att titta på enskilda exempel, försöka resonera oss fram till en slut- sats. Betrakta en triangel, vilken som helst:

Figur 6: En triangel

Nu är detta förstås inte en triangel, vilken som helst, utan snarare en bild av en specifik triangel, men vi använder den bara som en illustration till ett mer allmänt resonemang, där vi skall vara noga med att inte använda oss av några egenskaper hos triangeln som inte gäl- ler alla trianglar. Som hjälp drar vi en linje genom hörnet C, som är parallell med sidan AB:

A

C B

α β

(10)

Figur 7: Den streckade hjälplinjen är parallell med AB

Vi kan sedan konstatera följande: Eftersom AC skär både hjälplinjen och AB, som är paral- lella, är vinkeln α lika stor som vinkeln vid A – de är alternatvinklar. Av motsvarande skäl är

β lika stor som vinkeln vid B (BC skär både hjälplinjen och AB). Summan av vinklarna vid A, B och C är alltså densamma som summan av vinklarna α, β och vinkeln vid C och utgör därmed, eftersom hjälplinjen är en rät linje, 180°. Eftersom vi i det här argumentet bara använder oss av den ritade triangeln för att illustrera vårt resonemang kan vi dra slutsatsen att detta gäller alla trianglar. Enda förutsättningen är att vi är berättigade att göra de kon- struktioner vi har använt oss av i resonemanget. En sådan förutsättning är att vi genom C kan dra en linje som är parallell med AB, något som brukar kallas för parallellaxiomet. I grunden måste vi alltså falla tillbaka på axiom, det vill säga enkla principer som vi förutsät- ter gäller. Strängt taget har vi alltså visat att om dessa principer gäller så är vinkelsumman i en triangel, vilken som helst, 180°.

I själva verket gäller också att om vinkelsumman i någon triangel är 180° så är vinkelsumman i alla trianglar 180° och då kan man också givet en linje AB och en punkt C dra en linje genom C som är parallell med AB. Men att visa detta kräver ett betydligt med komplext resonemang än det ovan.

Analogt kunde Eva visa för sina elever att om vinkelsumman i en triangel, vilken som helst, är 180° så är summan av de fem yttersta vinklarna i en sjöstjärna av den typ eleverna ritade också 180°.

Bindande argument

Att resonera i matematik handlar i det här fallet om att ge bindande argument. Eva förbe- redde samtalet i sin andra lektion genom att i den första lektionen låta eleverna bekanta sig med en ganska komplex geometrisk figur – den femuddiga stjärnan. Varje elev fick rita och måla och jämföra sin egen konstruktion med klasskamraternas och med de figurer Eva ritade på tavlan. Därigenom inleddes ett samtal eleverna emellan och Evas undervisning skapade ett intresse hos eleverna via en konkretisering, i det här fallet i form av en geomet- risk konstruktion. Eva kunde med utgångspunkt i en aktivitet som kan betecknas som de- sign, övergå till undervisning med syfte att ge eleverna möjlighet att resonera.

Under den andra lektionen kunde alltså Eva, genom att eleverna redan hade en konkretise- ring för ögonen, bjuda in dem till ett resonemang kring vinkelsumman av figurens fem yttersta vinklar. Detta blev ett resonemang som i slutändan visade att vinkelsumman av de fem vinklarna är 180°. Eva använde då en terminologi som passade elevernas kognitiva nivå, men analyserar man resonemanget, så utgör det i själva verket ett bindande matema- tiskt resonemang som, om man vill, kan omformuleras till ett formellt bevis.

Utmärkande för ett matematiskt resonemang av den här typen är, att det klart framgår vilka utgångspunkter man har och att de slutsatser man drar följer logiskt ur dessa utgångspunk-

(11)

ter. I det här fallet är utgångspunkterna dels definitioner av geometriska begrepp, som rät linje, (rak) vinkel och triangel, dels kända geometriska samband. Vissa sådana samband nämner man inte explicit, exempelvis att linjerna DC och AE i figur 4 måste skära varandra i en punkt F. Andra väljer man att nämna. Exempelvis nämnde vi som antaganden i reso- nemangen ovan parallellaxiomet och att vinkelsumman i en triangel är 180°.

Vårt resonemang här går alltså ut på att visa, eller bevisa om man vill, att ett visst påstående följer logiskt ur givna förutsättningar. Men att resonera matematiskt kan också handla om att hitta hypoteser som inte bara är rena gissningar. Nedan får du se andra exempel i geo- metrin i form av problem som kan passa elever i årskurs 1 – 3.

Ett snarlikt, men enklare, exempel

I det centrala innehållet för lågstadiet ingår, enligt kursplanen i matematik, grundläggande geometriska egenskaper hos trianglar. En sådan grundläggande egenskap skulle kunna vara att vinkelsumman i en triangel vilken som helst motsvarar en rak vinkel (eller två räta vinklar). Detta är en egenskap hos triangeln som en elev kan förstå utan att hon behöver förstå hur man mäter vinklar. Det som krävs är snarare att eleven har mätandets idé klar för sig.

Tänk dig alltså att du har en grupp elever vars förförståelse inbegriper begrepp som triangel, (rät, trubbig och spetsig) vinkel och som förstår att vinklar kan jämföras genom att man lägger dem ovanpå eller bredvid varandra. Du vill nu ge dina elever möjligheten att resonera sig fram till att vinkelsumman i en triangel, vilken som helst, svarar mot en rak vinkel (eller två räta vinklar, om du hellre vill uttrycka dig så).

Du låter då eleverna rita trianglar med hjälp av papper, penna och linjal. De får sedan färga vinklarna i sina trianglar.

Figur 8: En triangel med färglagda vinklar.

(12)

Precis som i exemplet ovan, får eleverna sedan klippa ut hörnen på trianglarna och klistra upp dem på ett papper i form av en solfjäder.

Figur 9: Urklippta vinklar klistrade längs en linjal, eller rät linje, som en solfjäder.

Eleverna upptäcker att även om de har ritat olika trianglar så bildar vinklarna i trianglarna tillsammans en rak vinkel (eller två räta). Precis som i exemplet med sjöstjärnan kan de då gissa att detta inte är en tillfällighet. Nu gäller det alltså att försöka göra det möjligt för ele- verna att resonera sig fram till att det måste vara på det sättet, oavsett hur trianglarna ser ut.

Det handlar om att resonera generellt, snarare än att utgå från enskilda exempel:

Som en första förberedelse behöver du försäkra dig om att eleverna har förstått vad paral- lella linjer är. De behöver också ha begreppet vinkel klart för sig så att de kan se en vinkel som en vridning (Se texten om didaktisk ämnesanalys i del 1). Du utgår sedan från en bild som du ritar på tavlan:

Figur 10: En triangel ABC.

Dra sedan en hjälplinje genom C som är parallell med AB:

(13)

Figur 11: Den streckade linjen genom C är en hjälplinje som är parallell med AB.

Nu låter du eleverna markera vinklarna i triangeln med olika färger:

Figur 12: Vinkeln a har färgats röd, vinkeln b grön och vinkeln c blå.

Vinkeln a kan eleverna se som en vridning av linjen AC mot linjen AB kring punkten A.

Motsvarande vinkel uppstår om vi istället vrider AC mot hjälplinjen kring punkten C. Det blir en lika stor vridning, eftersom hjälplinjen är parallell med linjen AB. Om eleverna färgar även den vinkeln röd, så är alltså de två röda vinklarna lika stora.

Figur 13: De två röda vinklarna är lika stora.

På samma sätt kan eleverna se vinkeln b som resultatet av att vrida linjen AB mot linjen BC kring B. En lika stor vridning av hjälplinjen mot linjen BC kring C, visar då att de två gröna vinklarna i figuren nedan är lika stora.

(14)

Figur 14: De två gröna vinklarna är lika stora.

Men de två blåfärgade vinklarna i nästa figur ges av samma vridning av linjen AC mot linjen BC kring C, så även dessa är lika stora:

Figur 15: Vinklarna med samma färg är lika stora.

De tre vinklarna a, b och c i triangeln är alltså tillsammans lika stora som de tre färgade vinklarna nedanför hjälplinjen. Men dessa bildar ihop en rät linje och motsvarar alltså en rak vinkel (eller två räta vinklar).

Nu återstår bara för dig att resonera med eleverna om vad som hade hänt om du hade ritat en annan triangel på tavlan. Hade ni då kunnat resonera på samma sätt? Går eleverna med på att ni hade kunnat göra det, så har ni tillsammans resonerat er fram till att vinkelsumman i alla trianglar motsvarar en rak vinkel, det vill säga 180°.

Ett exempel med en cirkel

Exemplen ovan kräver en hel del förförståelse. Här är ett exempel som bara rör förståelse av begreppet cirkel och mätandets idé. Låt eleverna i mindre grupper ha tillgång till ett pap- per med en ritad cirkel och en markerad medelpunkt, en ograderad linjal och penna. Anser du att det är lämpligt kan eleverna själva konstruera cirkeln med hjälp av passare. Uppgiften är att konstruera en linje som är så lång som möjligt och som går från en punkt på cirkeln till en annan.

(15)

Figur 16: En cirkel med tre kordor.

Låt eleverna resonera självständigt i gruppen, men hjälp gärna till med att lyfta fram goda idéer och stöd eleverna varsamt i att använda ett korrekt matematiskt språk. Eleverna kommer snart att upptäcka att en linje som inte går genom cirkelns medelpunkt kan ”för- längas” om den flyttas närmare medelpunkten. De kan exempelvis hålla den ena änden av linjalen på en viss punkt på cirkeln och flytta den andra änden. De ser då att skärningspunk- ten mellan linjalen och cirkeln flyttar sig utåt längs linjalen tills denna utgör en diameter.

Därefter flyttas skärningspunkten inåt igen. En rimlig hypotes växer fram: Den längsta lin- jen är en linje som går genom cirkelns medelpunkt och alla sådana linjer är lika långa.

Men hur kan man vara säker på att det är så? I en mening verkar påståendet självklart, men det måste förstås bero av hur begreppet cirkel definieras. Följande resonemang är inte for- mulerat för eleverna, men du kan föra det i elevgruppen anpassat till den kognitiva nivå dina elever befinner sig på:

Vi vet att alla punkter på cirkeln ligger lika långt ifrån medelpunkten. Det är ju precis det som karaktäriserar en cirkel. Låt nu AB vara en korda som inte är en diameter. Konstruera triangeln ABC, där C är cirkelns medelpunkt (Figur 17).

Figur 17: En cirkel med diameter, en korda AB och en triangel ABC.

I alla trianglar är varje sida i triangeln kortare än de två övriga sidorna tillsammans. Detta brukar man kalla för triangelolikheten och är något som är lätt att övertyga sig om genom

(16)

att resonera. Kordan AB är alltså kortare än AC och BC tillsammans. Men AC och BC är radier i cirkeln och är tillsammans lika långa som cirkelns diameter. Alltså är alla kordor som inte går genom cirkelns medelpunkt kortare än cirkelns diameter. Alla diametrar är förstås lika långa. Så slutsatsen är att cirkelns diametrar är de längsta linjer som kan dras från en punkt på cirkeln till en annan.

Att upptäcka och att verifiera

Av exemplen ovan framgår att vi kan skilja ut två olika faser i utvecklandet av matematiken.

Detta gäller både för elevens lärande och för den historiska utvecklingen av matematiken som vetenskap (Du kan läsa mer om detta i fördjupningen). Den ena fasen skulle vi kunna kalla en upptäckarfas och den andra en verifieringsfas. I vetenskapsfilosofiska sammanhang benämner filosofen Karl Popper dessa faser ”the context of discovery” respektive ”the context of justification”. Faserna är olika till sin natur. I den första fasen är vi upptäcktsre- sande i det matematiska landskapet. Här är, löst talat, alla medel tillåtna och det gäller för läraren och eleven, liksom för matematikern, att använda alla sinnen, variera representat- ionsformer och uttrycksformer, använda fantasin och att vrida och vända på begreppen.

Allt detta i akt och mening att finna nya samband, att fördjupa sin förståelse och att upp- täcka kopplingar som man själv eller kanske ingen har sett förut. I den fasen utgör interak- tiv skrivtavla, GeoGebra och olika matematikappar utmärkta hjälpmedel för att upptäcka regelbundenheter och samband. I exemplet med den femuddiga sjöstjärnan ovan består upptäckarfasen i att eleverna klipper ut spetsarna på sina sjöstjärnor, lägger dem bredvid varandra och upptäcker att de alla får en i det närmaste rak vinkel. I exemplet med triangeln består den i att eleverna färgar vinklarna i triangeln, lägger ut dessa som en solfjäder och upptäcker att allas solfjädrar svarar mot en rät linje. I exemplet med cirkeln består upptäck- arfasen i att eleverna ritar kordor och jämför deras längder med hjälp av ögonmått och den ograderade linjalen.

Den andra fasen är annorlunda. Här handlar det om att verifiera eller förkasta de upptäckter man tror sig ha gjort i upptäckarfasen. Då måste man hålla sig till ett logiskt uppbyggt sy- stem, regler för hur man kan resonera. Man måste i slutändan falla tillbaka bara på definit- ioner och axiom, även om man inte uttryckligen gör det i varje enskilt fall. Aristoteles, som var elev till Platon, var den förste som undersökte vilka typer av resonemang som är logiskt korrekta, men inte förrän i slutet av 1800-talet lyckades man på ett uttömmande sätt defini- era vad ett bindande resonemang är. Formellt kallar man sådana resonemang i matematiken för bevis. Ofta nöjer man sig dock med illustrationer och övertygande resonemang, med- veten om att sådana kan omvandlas till formella bevis. Som lärare bör du naturligtvis här anpassa resonemangens nivå till den åldersgrupp du undervisar, men i bakgrunden bör du förstå att du i slutändan rör dig inom matematikens formella gränser. Verifieringsfasen illustreras i sjöstjärneexemplet av Evas andra lektion och i triangelexemplet av resone- manget kring triangeln som läraren ritar på tavlan. I exemplet med cirkeln består verifie- ringsfasen av det resonemang läraren och eleverna för tillsammans efter att hypotesen är formulerad.

(17)

I upptäckarfasen arbetar du som lärare med fördel laborativt och utnyttjar olika representat- ionsformer och olika uttryck. I sin första lektion använde sig Eva av bilder, både på klass- rummets tavla och genom att eleverna fick arbeta själva med ritmateriel. Med utgångspunkt i dina elevers språkliga förmågor kan du här medvetet arbeta språkutvecklande och utnyttja sambanden mellan vardagsspråket och det mer formella matematiska språket. På olika sätt bäddar du för att eleverna skall kunna upptäcka för dem nya samband och begrepp. Du kan skriva upp de matematiska termerna på tavlan och du kan uppmärksamma språket när ele- verna använder vardagsspråk där det går att använda ett mer precist matematiskt språk i stället.

I verifieringsfasen handlar det om att eleverna skall förstå varför olika begrepp hör ihop, och fokus ligger snarast på att kommunicera matematik. Detta motsvarar Evas andra lekt- ion. De matematiska begreppen står då i centrum. Det handlar om att från att i de tidigare årskurserna introducera ett matematiskt resonemang på de yngre elevernas kognitiva nivå, på gymnasiet diskutera hur bevis kan struktureras med hjälp av enkla deduktionsregler.

Matematiken gränsar på gymnasienivån både till retoriken, som ingår i gymnasiets kurser i svenska, och till gymnasiets filosofikurser. Matematiken beskrivs i ämnesplanen för gymna- siet som ett ämne där man ”arbetar med väldefinierade begrepp och bygger upp teorier genom att logiskt och strikt bevisa att formulerade hypoteser är giltiga”. Men redan i grund- skolan är det förstås viktigt att du som lärare förstår vart dina elever är på väg och att du underlättar för dem att förstå ämnets natur. Det är förstås viktigt att du i verifieringsfasen noga noterar att varje elev förstår det generella i de resonemang ni för och att eleverna själva får bidra till diskussionen i klassrummet.

Ytterligare ett exempel

Det finns gott om exempel på matematik som passar att ligga till grund för resonemang redan i årskurserna 1 – 3. Här är ett sådant exempel inom geometrin som kräver få förkun- skaper. Som material behöver du ett rutmönster med 8 gånger 8 rutor och 32 dominobrick- or som var och en täcker precis två intilliggande rutor på brädet. Bäst genomförs aktiviteten till att börja med i grupp och då behöver varje grupp detta material. Du hittar ett kopie- ringsunderlag i slutet av den här texten.

Figur 18: Rutmönster och dominobricka.

(18)

Elevernas första uppgift är nu att, utan att hantera dominobrickorna, svara på frågan om rutmönstret kan täckas med de 32 dominobrickorna. Skulle du ha en grupp elever som har svårt att multiplicera 32 med 2, så kan du utföra aktiviteten med ett rutmönster som har 6 gånger 6 rutor och 18 dominobrickor. Lägg märke till hur eleverna resonerar och ge dem vid behov stöd i att komma fram till en lösning. Avsluta med att eleverna får täcka rut- mönstret med dominobrickorna.

Nästa steg består i att du kryssar över två diagonala hörnrutor i rutmönstret och tar bort en dominobricka. Låt sedan igen eleverna resonera kring frågan om dominobrickorna kan läggas ut så att de täcker de återstående rutorna i rutmönstret. Två rutor är alltså borttagna och eleverna har en dominobricka mindre att tillgå:

Figur 19: Stryk två diagonala hörnrutor och ta bort en dominobricka.

När eleverna har resonerat klart, låter du dem pröva sig fram. De kommer då att ha svårt att täcka rutmönstret med dominobrickorna, trots att antalet rutor passar; det finns 62 rutor att täcka och 31 dominobrickor (eller motsvarande om du började med ett mindre rutmönster och färre dominobrickor).

Det är nu dags för dig att leda eleverna vidare i sitt resonemang. Resonera då först med eleverna om att det kanske faktiskt inte går att täcka rutmönstret med de 31 brickorna och fråga dem hur man skulle kunna resonera sig fram till att det är omöjligt. Ett sätt att tänka är då att försöka hitta någon egenskap hos dominobrickorna som skulle kunna hjälpa till i resonemanget. Om det behövs bör du här hjälpa eleverna på traven: Be dem färga rutorna som ett schackbräde:

(19)

Figur 20: Varannan ruta är svart, varannan är vit. Två vita är överkryssade.

Fråga vilka färger de rutor som täcks av en dominobricka har. Eleverna kommer då fram till att varje bricka täcker en svart och en vit ruta. Dominobrickorna kommer alltså att täcka lika många svarta som vita rutor. Men två vita rutor är bortkryssade, så det finns fler svarta rutor än vita kvar. Alltså kan dominobrickorna inte läggas så att de täcker alla rutor.

En naturlig avslutande fråga är vad som händer om man i stället kryssar bort en vit och en svart ruta. Kan man då täcka de kvarvarande rutorna med dominobrickor? Svart på det är ja. Oavsett var du tar bort en vit och svart ruta, så går det att täcka de kvarvarande. Detta är svårare att ge ett bindande argument för, men låt gärna eleverna pröva sig fram. Eftersom det faktiskt alltid finns en lösning, så har eleverna möjlighet att hitta den. En sådan lösning utgör förstås då ett bindande argument för att det går. Det är alltså främst när det inte finns en lösning, som det behövs ett mer abstrakt argument!

(20)

Kopieringsunderlag

Kopiera rutmönstret på vitt papper. För att få dominobrickor kopierar du rutmönstret på färgat papper och klipper ut dominobrickorna.

(21)

Del 7: Moment B – kollegialt arbete

Diskutera

• Inom vilken av de två faserna som nämns i texten ”Att resonera i och om matematik” rör ni er oftast i klassrummet? Är någon av faserna mer eller mindre lämpad för olika arbetssätt? Ge exempel.

• Hur ger ni era elever förutsättningar att utveckla både en förmåga att undersöka det matematiska landskapet och en förmåga att verifiera matematiska

hypoteser?

• Hur kan ni fördjupa er egen förförståelse när det gäller att resonera i matematik?

Förbered en aktivitet

Den konkreta uppgiften är att genomföra det sista exemplet med rutmönstret och dominobrickorna som ges i texten. Tror du att något av de andra exemplen kan passa i din klass, så går det naturligtvis bra att använda ett av dessa i stället. Fundera inför aktiviteten över vilken förförståelse du själv och dina elever har när det gäller matematiskt resonemang.

Utgå i er planering av aktiviteten från frågorna i ”Planeringsstöd” som presenterades i del 2. Fokusera på punkterna 7 och 8. ”Planeringsstöd” hittar ni på modulens första sida i rutan ”Se även”.

Material

(22)

Del 7: Moment C – aktivitet

Genomför den aktivitet ni planerade i moment B. Uppmärksamma hur du ger eleverna möjlighet att undersöka det matematiska landskapet och hur du stöder dem i att pröva framställda hypoteser.

Material

(23)

Del 7: Moment D – gemensam uppföljning

Utvärdera och diskutera

Det är nu dags att gemensamt utvärdera den aktivitet ni utförde under moment C. Här följer några förslag på diskussionspunkter:

• Hur kunde ni i er egen undervisning följa, bedöma och stödja era elevers resonemang? Ge exempel.

• Hur går ni vidare och hur tar ni framöver hänsyn till både upptäckarfasen och verifieringsfasen i undervisningen? Ge konkreta förslag.

• Vilka förmågor behöver ni själva fördjupa för att utveckla er undervisning kring elevers resonemangsförmåga?

• Vilka ämneskunskaper behöver läraren ha för att se kvaliteten i elevernas resonemang och ge formativt stöd?

Kunskaper befästs via reflexion. Ägna en kort stund åt att reflektera över och skriftligt sammanfatta dina erfarenheter av den här delen av modulen.

Material

(24)

Fördjupning årskurs 4-6

Del 7. Resonemang i geometrin

Läs

Geometrin kan betraktas på två sätt; dels som ett språk och en uppsättning begrepp med vars hjälp vi beskriver vår omvärld, dels som en matematisk teori i vilken vi bevisar påståenden om geometriska begrepp. Som barn lär vi oss geometriska

begrepp som hjälper oss att strukturera vår omvärld. Vi lär oss exempelvis att använda lägesord och begrepp som kvadrat, cirkel, vinkel och diagonal. Vi lär oss sedan egenskaper och relationer mellan dessa begrepp och under de sista skolåren lär vi oss att bevisa satser om dem på ett ganska formellt matematiskt sätt. Som fördjupning kan du i ”Om geometri – en historisk exposé” läsa om hur geometrin har utvecklats från att vara ett verktyg för att beskriva omvärlden till att bli en matematisk teori. Texten ger dig samtidigt en bild av hur undervisningen i geometri utvecklas från förskolan till gymnasium och universitet.

Material

(25)

Material

Om geometri - en historisk exposé C. Bennet och T. Lingefjärd

(26)

Modul: Geometri

Del 7. Resonemang i geometrin

Om geometri – en historisk exposé

Christian Bennet och Thomas Lingefjärd, Göteborgs universitet

Inledning

Får man tro Herodotos (ca 424 – 485 f.v.t. – före vår tideräkning, alltså före år 1), den mest välkända av de antika grekiska historikerna, har geometrin sitt ursprung i behovet av att mäta landområden. Går vi, exempelvis, till det gamla Egypten, svämmade Nilen där varje år över sina bräddar och suddade ut gränserna mellan olika jordlotter. För att fördela odlings- jorden igen efter en regnperiod behövde man metoder för att mäta ut var gränserna skulle gå. Ordet geometri härrör också från grekiskans  där , geo, betyder jord och

, metria, betyder mäta. Det är då inte svårt att förstå att den så kallade egyptiska tri- angeln, alltså den rätvinkliga triangeln med sidorna 3, 4 och 5, kunde spela en viktig roll rent praktiskt; exempelvis kan ett rep med längden 120 måttenheter1 som förses med knutar efter 30, 40 och 50 måttenheter, om det spänns upp i form av en triangel med knutarna i hörnen, användas för att åstadkomma en rät vinkel. Samma teknik kunde också användas exempelvis för att åstadkomma en öst–väst–linje utifrån en astronomiskt fastställd nord–

syd–linje.

Inget material finns bevarat från den här tiden, men termen för vad vi idag kallar lantmätare var just repsträckare, arpedomnapti på grekiska. Dokument som är från runt år 2000 f.v.t.

visar att man i Egypten kände till Pytagoras sats, i alla fall den ena riktningen av denna, nämligen att om summan av kvadraterna på två sidor i en triangel är lika med kvadraten på den tredje sidan, så är triangeln rätvinklig. Vid samma tid kunde man också räkna ut areor och volymer av olika geometriska figurer och troligen använda likformiga trianglar för att beräkna höjder.

Även babylonierna var vid den här tiden kunniga i geometri. Bland annat är det troligt att de kände till en formel för att konstruera vad vi idag kallar egyptiska trippler, det vill säga trippler av heltal (a, b, c) sådana att 𝑎2 + 𝑏2= 𝑐2. Exempel på sådana trippler är (3, 4, 5), (5, 12, 13) och (65, 72, 970).

1 I det forna Egypten användes måttenheten kubit. En kubit var lite drygt en halv meter.

(27)

Det är dock tveksamt om man vare sig i det forna Egypten, i Babylonien eller, för den de- len, i det gamla Kina eller Indien, ägnade geometrin ett mer systematiskt intresse. I vilket fall är det först i Grekland som geometrin uppstår som en del av matematiken så som vi känner den, och den förste vetenskapsman som med någon grad av säkerhet kan tillskrivas egna resultat inom området, är Thales. Om honom vet vi dels att han studerade både astro- nomi och matematik i Egypten, dels att han grundade den första matematiska akademin i Miletos runt år 500 f.v.t. Informationskällan här är Proclus (8 februari 412 – 17 april 485), föreståndare för Platons akademi i mitten av 400-talet. Enligt honom visade Thales exem- pelvis att en triangel bestäms av två vinklar och mellanliggande sida, något som kunde an- vändas för att bestämma avståndet till ett skepp med hjälp av två observationspunkter i land.

En av dem som nämns bland de tidiga grekiska geometrikerna är förstås Pytagoras (runt år 500 f.v.t.). Ibland påstås han ha varit den förste, inte att formulera, men att bevisa Pytagoras sats, men i själva verket vet vi i det närmaste ingenting om honom. Enligt tidiga källor, exempelvis Platon och Aristoteles, var han en välkänd filosof med stort intresse för själa- vandring, men det är inte alls klart att han verkligen var matematiker och det finns ingenting som tyder på att han författade några skrifter. Det tidigaste större verket om geometri som finns bevarat är författat av Euklides. Detta verk går under benämningen Euklides Ele- menta och vi återkommer till det längre fram.

När romarna kom i allt närmare kontakt med den grekiska kulturen påverkades också ro- marnas kulturella utbud och geometri blev en del av den romerska kulturen. Framför allt påverkades konst och arkitektur, men även inom filosofin hade geometrin en roll att spela.

Romerska författare översatte grekiska skrifter om geometri och via romarrikets expansion spreds dessa skrifter, också upp till det avlägsna Norden.

Vid denna tid och långt framöver, var geometri, men även matematik i stort, en integrerad del i den mänskliga civilisationen och kulturen. Att studera och lära geometri sågs som ett tecken på bildning och Euklides elementa var skolexemplet på vetenskaplig teori. Romarnas syn på matematik i allmänhet var i första hand praktisk, men både greker och romare ansåg att användandet av geometri utvecklade tänkandet och på så sätt utvecklade människans liv i stort.

With this argument is connected a reason of more practical nature, which is attested in both Cicero and Vitruvius: the study of the arts, to which geometry and mathematics are

(28)

reckoned, shapes the mind formally, that is to say, sharpens the wit, promotes readiness at learning […]2

Geometri betraktades som en intellektuell utmaning och ansågs hjälpa alla studerande till abstrakt och fördjupat tänkande och i romarnas översättningar av grekernas geometri skap- ades en nästan religiös ansats. Geometri utgjorde sedan en väsentlig del i den av kyrkan styrda utbildningen under mer än tusen år.

Geometrins två ansikten

I Grekland förändrades geometrin från att ha varit en praktisk verksamhet inom lantmäteri och arkitektur, till att bli en vetenskap i modern mening. Bäst syns detta i en samling böcker som går under benämningen Euklides Elementa. Detta är en samling bestående av tretton böcker i vilka Euklides (ca 325 – 265 f.v.t.) presenterar den samlade kunskapen inom ma- tematikens olika områden i Grekland runt år 300 f.v.t. De sex första böckerna behandlar geometriska figurer i planet, de sista behandlar rymdgeometri och de mellanliggande hand- lar om talteori i olika former.

Bakom framställningen i Elementa kan man tydligt urskilja idén att å ena sidan betrakta geometrin rent abstrakt, och att å andra sidan utnyttja figurer och konstruktioner i de ab- strakta resonemangen. Däremot förekommer inga tillämpningar utanför den rena matema- tiken, inga förslag på hur lantmätaren eller astronomen kan använda geometrin. Geometrin som matematik är i den meningen tydligt skild från geometrin som naturvetenskap. Fram- ställningen i Elementa är i själva verket det första exemplet på vad man brukar kalla en axiomatisk framställning: Utifrån enkla, grundläggande, axiom och definitioner, visar Eukli- des hur mer komplexa samband kan härledas. Sådana resonemang kallas deduktiva, vilket innebär att de slutsatser man drar följer logiskt ur de antaganden man utgår ifrån. Exempel- vis bevisar han att det följer ur axiomen att vinkelsumman i vilken som helst triangel sum- merar till två räta vinklar, det vill säga, med dagens språkbruk, till 180. Även i talteorin är framställningen i viss mån deduktiv och här presenterar han det första kända beviset för att det finns oändligt många primtal.

David Hilbert (1862 – 1943), en av de mest framstående av alla matematiker i modern tid, skiljer i förordet till sin bok Anschauliche Geometrie3 mellan två tydliga allmänvetenskapliga

2 Bohlin, E. (2009). Geometry in Varro, Cicero, and Vitruvius: A Philological Study. Avhandling, Göteborgs universitet. Sid 230.

(29)

tendenser; målsättningen att abstrahera respektive målsättningen att uppnå intuitiv förstå- else. Genom abstraktion försöker forskaren utkristallisera de logiska förhållandena i det material han studerar, medan han i den intuitiva förståelsen försöker få en klar bild av dessa samband, av deras djupare betydelse och sammanhang.

I geometrin blir dessa två tendenser mycket tydliga. Med hjälp av bilder och konkreta kon- struktioner, försöker man skapa sig en förståelse för hur olika geometriska figurer eller tre- dimensionella kroppar förhåller sig till varandra. Man illustrerar samband mellan inskrivna och omskrivna figurer, areor, längder, volymer, proportioner, et cetera. I undervisningen tar sig detta uttryck i att man använder sig av laborativa material som olikformade klotsar, mönsterskapande pussel eller föremål som förekommer naturligt i vår vardag. Man använ- der passare och linjal och man viker, klipper och klistrar. Samtidigt vill geometrikern i möj- ligaste mån frigöra sig från de fallgropar som intuitionen lätt skapar om man tenderar att förlita sig alltför mycket på bilderna. Om vi, till exempel, ritar en triangel på tavlan och mäter vinklarna i denna med en gradskiva eller något annat mätinstrument, kommer vi helt säkert till att vinklarna tillsammans utgör ungefär 180, men sådana mätningar utgör ju inte argument för att vinklarna i varje triangel summerar till precis 180, inte ens för att de i de flesta trianglar summerar till ungefär 180. För att fastställa detta, krävs i stället ett bevis, det vill säga ett bindande argument.

I Elementa börjar Euklides med att införa definitioner av enkla geometriska begrepp: En punkt är det som inte har några delar, en rät linje ligger jämnt mellan sina ändpunkter, en cirkel består av alla punkter som ligger på samma avstånd från en given punkt, osv. Därefter formulerar han fem enkla axiom, också kallade postulat4, varefter han bevisar olika sam- band mellan de begrepp han infört, med utgångspunkt i de första enkla axiomen. Alltef- tersom arbetet fortskrider kan han successivt införa nya begrepp och använda sig av de resultat han redan har bevisat, utöver de första axiomen. På så sätt kan han bevisa mer och mer komplexa påståenden.

De fem postulat som Euklides utgår ifrån är:

1. Man kan dra en rät linje från en punkt till en annan.

2. Man kan godtyckligt förlänga en rät linje.

3 Publicerad 1932 är detta en introduktion till analytisk geometri. Den kom i engelsk översättning 1952 under titeln Geometry and Imagination.

4 Euklides skiljer axiom från postulat, något vi inte har anledning att göra här.

(30)

3. Man kan, med en given medelpunkt, konstruera en cirkel med given radie.

4. Alla räta vinklar är lika.

5. Om en linje skär två andra linjer så att de inre vinklar denna bildar med de två linjerna på ena sidan om linjen, tillsammans är mindre än två räta vinklar, så möts de två linjerna i förlängningen i en punkt på den sida om den skärande linjen för vilken vinklarna tillsammans är mindre än två räta.

De första fyra postulaten är lätta att förstå och tycks intuitivt sanna. Men för att förstå det femte postulatet är det nästan nödvändigt att ta fram papper och penna och rita upp en bild:

Figur 1: Illustration till Euklides femte postulat

Det är också tydligt att Euklides själv gav det femte postulatet en särställning. Han dröjer in i det längsta med att använda det och undviker det även i fall där argumenten hade kunnat förenklas med dess hjälp.

Under seklernas gång var det många som försökte härleda det femte postulatet från de öv- riga, men ingen lyckades med det. På 1700-talet försökte man, exempelvis, ersätta det femte postulatet med det så kallade parallellaxiomet5:

Givet en linje och en punkt som inte ligger på linjen, finns precis en linje genom punkten som är parallell med den givna linjen.

5 Detta axiom kallas ofta för Playfairs axiom efter den skotske matematikern John Playfair (1748 – 1819), trots att denne i sin tur hänvisar till, bland andra, William Ludlam (1718–

1788).

(31)

Att två linjer är parallella betyder helt enkelt att de inte har någon skärningspunkt, det vill säga att ingen punkt ligger på båda linjerna.

Parallellaxiomet följer ur Euklides femte postulat och man hittade ett antal påståenden som alla är ekvivalenta med parallellaxiomet, men ingen lyckades visa att något av dessa påståen- den följer ur Euklides övriga axiom. Några av dessa är följande:

• Vinkelsumman i alla trianglar är 180°.

• Det finns en triangel med vinkelsumma 180°.

• Vinkelsumman är densamma i alla trianglar.

• Det finns minst två likformiga, men inte kongruenta trianglar.

• Varje triangel kan omskrivas med en cirkel.

• Om tre av vinklarna i en fyrhörning är räta, så är den fjärde vinkeln också rät.

• Det finns en rektangel.

• Det finns två linjer mellan vilka avståndet är konstant.

• Två linjer som är parallella med en tredje, är sinsemellan parallella.

• Pytagoras sats

• Det finns trianglar med godtyckligt stor area.

• Om en linje skär den ena av två parallella linjer, så skär den också den andra.

Euklides presenterar geometrin som en abstrakt vetenskap om väldefinierade begrepp som punkt, linje, triangel, eller cirkel. Hans metod är uttalat deduktiv, alltså resonerande, men han förlitar sig på illustrerande bilder och konstruktioner. Nu är det förstås långt ifrån själv- klart att just Euklides axiom på ett uttömmande sätt beskriver dessa objekt. Varför skulle allt som är sant om abstrakta geometriska figurer följa ur just dessa axiom? Är det ens klart att Euklides femte postulat är sant i verkligheten?

Den förste som tänkte tanken att Euklides axiom kanske inte gav en korrekt beskrivning av världen, var Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), enligt egen utsago strax före år 1800. Men de första att publicera resultat i den riktningen var, oberoende av varandra, Nikolaj Ivano- vitj Lobatjevskij (1792 – 1856) och János Bolyai (1802 – 1860). Lobatjevskij publicerade sina rön 1829 och Bolyai 1832.

(32)

Det dröjde dock ända till slutet av artonhundratalet innan man kunde åstadkomma en mer uttömmande och i modern mening korrekt axiomatisering av geometrin. Bland annat be- rodde detta på att man inte förrän mot slutet av 1800-talet hade tillgång till den formella logik som krävdes, det vill säga till en djupare förståelse av vad en deduktiv metod egentlig- en innebär. 6

Men är parallellaxiomet sant i verkligheten? Eftersom parallellaxiomet, tillsammans med de övriga axiomen i Euklides, eller än hellre Hilberts, axiomatisering, implicerar att vinkel- summan i alla trianglar är precis 180°, kan vi empiriskt undersöka frågan genom att mäta vinklarna i trianglar som bestäms av ljusstrålar. Vi tänker oss då att ljuset färdas längs räta linjer, något som vi har anledning att tro av fysikaliska skäl. Med dagens mätteknik, kan vi då de facto konstatera att parallellaxiomet är falskt! Vinkelsumman i mycket stora trianglar, där hörnen placeras i avlägsna stjärnor, är inte 180°!

I själva verket är alltså Euklides geometri inte en korrekt beskrivning av geometrin för vårt fysiska universum, även om man här måste uttrycka sig med viss försiktighet. Sambandet mellan fysikaliska begrepp som gravitation och matematiska begrepp som rät linje är långt ifrån enkelt.

Tänker vi oss, däremot, att våra intuitioner om relativt små geometriska figurer i planet så att säga utsträcks till att gälla rummet som helhet, så är den euklidiska geometrin sann.

Ickeeuklidisk geometri

Genom att ersätta parallellaxiomet i Hilberts axiomatisering med följande axiom Givet en linje och en punkt som inte ligger på linjen, finns minst två linjer genom punkten som är parallella med den givna linjen 7

får vi en teori som brukar kallas för hyperbolisk geometri. Det var denna geometri som stude- rades av Gauss, Bolyai och Lobatjevskij. Ett annat alternativ vore förstås att ersätta parallel- laxiomet med påståendet att det genom punkten i fråga inte finns någon linje parallell med den givna linjen, men då måste man ändra även i de övriga axiomen, för ur dessa följer att

6 År 1899 presenterade David Hilbert en uttömmande axiomatisering av geometrin i sin bok Grundlagen der Geometrie.

7 Fortfarande är två linjer parallella om de inte har någon skärningspunkt.

(33)

det finns minst en parallell linje genom den givna punkten. Gör man sådana ändringar får man vad som brukar kallas för elliptisk geometri, en teori som bland annat beskriver geome- trin på ytan av en sfär, där räta linjer utgörs av storcirklar.

Vi har alltså tre olika geometrier, den euklidiska, den hyperboliska och den elliptiska. Var och an av dem beskriver sina egna matematiska strukturer och var och en av dem har sitt eget matematiska intresse och sina egna kopplingar till andra områden inom matematiken.

Alla tre kan också, men i olika sammanhang, utgöra effektiva hjälpmedel för till exempel fysikern eller astronomen. Man kan säga att matematiken bestämmer vilka strukturer, i det här fallet geometrier, som är möjliga. Sedan är det fysikerns uppgift att bestämma vilken av dessa som bäst beskriver verkligheten.

I en naturlig mening är det alltså snarast en ickeeuklidisk geometri som bäst beskriver vårt universum, i alla fall om vi vill beskriva universum ur en global synvinkel. En av de mest grundläggande idéerna bakom Einsteins generella relativitetsteori, är att identifiera gravitat- ion med en krökning av rummet. Det innebär att ljusstrålar som böjs av i ett starkt gravitat- ionsfält, exempelvis om de passerar nära en stjärna, påverkas av gravitationen som därmed, eftersom ljusstrålarna följer räta linjer, påverkar rum-tidens geometri.

Globalt kan universums geometri kopplas ihop med dess kosmologiska utveckling. Ett globalt sett elliptiskt universum är ett universum där den sammanlagda massan är tillräckligt stor för att bromsa universums expansion och på sikt tvinga universum att i stället kontra- heras. I ett hyperboliskt universum räcker inte massan till för att helt bromsa expansionen, utan där fortsätter universum att expandera i all evighet. Ett euklidiskt universum balanserar precis på gränsen mellan dessa alternativ. Nobelpriset 2011 tilldelades upptäckten att uni- versum i själva verket är globalt hyperboliskt.

Det är inte helt enkelt att föreställa sig en ickeeuklidisk geometri i tre eller fyra, eller kanske till och med elva, dimensioner som det här handlar om, men om vi i stället tittar på ett två- dimensionellt rum, så blir det lite enklare.

Vi tänker oss att vi är tvådimensionella varelser som lever i ytan av en sfär. Hur ser då vår tvådimensionella omvärld ut? Låt oss ta ett exempel: Säg att vi startar en resa rakt norrut från en punkt A på sfärens ekvator. När vi når nordpolen svänger vi 90° åt vänster och fortsätter resan söderut. Efter att ha nått ekvatorn igen i en punkt B svänger vi igen 90° åt vänster och fortsätter längs ekvatorn. Så småningom återkommer vi då till vår utgångspunkt A. Vi kan då konstatera att vi har färdats längs sidorna i en triangel med vinkelsumman 3 · 90 = 270°, det vill säga en triangel med tre räta vinklar. I själva verket kan vi empiriskt kon- statera att alla trianglar vi mäter kommer att ha en vinkelsumma som överstiger 180° och att trianglarnas vinkelsumma beror av deras areor.

Om vi mäter förhållandet mellan omkretsen och diametern i olika cirklar, upptäcker vi att värdet alltid kommer att vara konstant, men mindre än . Vilket värde vi får, beror av sfä- rens storlek.

(34)

Om sfären inte är för stor, kan vi också notera att vi, genom att resa i en och samma rikt- ning kan återkomma till en given utgångspunkt och att det, givet en rät linje och en punkt utanför linjen, inte verkar finnas någon rät linje genom punkten som inte skär den givna linjen. Snarare verkar alla räta linjer skära varandra. Troligen skulle vi så småningom gissa att geometrin i vårt universum snarare är elliptisk än euklidisk.

Empiriska studier av vår omvärld skulle alltså hjälpa oss att gissa vilken geometri som bäst beskriver vår värld, medan det matematiska studiet av, i det här fallet elliptisk, geometri skulle ge oss insikter om olika egenskaper hos geometrin som sådan.

Tänker vi oss i stället att vi levde på ett mycket stort plan med mindre bucklor lite här och var, skulle vi kanske upptäcka att geometrin i stort sett var euklidisk, men med lokala stör- ningar i form av områden med en mer elliptisk geometri. Om det dessutom i centrum av varje sådant område låg ett stort föremål, kanske vi skulle kalla de geometriska störningarna gravitation och koppla ihop geometrin med vår fysikaliska beskrivning av världen.

Geometrins roller

En slutsats vi kan dra av vad vi sagt hittills, är att geometrin kan ha olika funktioner och betraktas ur olika aspekter. Vi kan se en geometri som en matematisk teori, grundad i en uppsättning axiom. Inom teorin kan man bevisa olika påståenden och olika teorier beskri- ver olika abstrakta matematiska strukturer. Geometrin utgör då en deduktiv teori.

Vi kan också betrakta en geometri som en beskrivning av universum eller av en idealiserad vardagsvärld. Olika geometrier är då olika lämpliga, beroende av precis vad det är vi vill beskriva. Geometrin ges ett empiriskt innehåll.

Genom historien har dessa två synsätt blandats ihop och olika filosofer har funderat mycket kring hur det är möjligt att ett påstående som ”Vinkelsumman i en triangel är 180°” dels kan vara bevisbart, och därmed absolut sant, och samtidigt ha ett empiriskt innehåll. Det verkar svårt att förklara att ett påstående å ena sidan uttrycker ett faktum om världen och, å den andra, är vetbart oberoende av vår erfarenhet.

Bland andra ägnade den tyske filosofen Immanuel Kant (1724 – 1804) mycken möda åt att försöka förklara hur detta var möjligt. Hur kan det finnas påståenden som är syntetiska, det vill säga säger något om världen, men samtidigt a priori, det vill säga sådana att vi kan veta att de är sanna utan att vi hänvisar till våra erfarenheter?

Geometri och lärande

Euklides Elementa har använts som lärobok i många länder och var länge, näst bibeln, värl- dens mest lästa skrift. År 1744 översattes den till svenska av matematikern Mårten Strömer.

Detta var inte den första matematikboken skriven på svenska, men det var den första svenska översättningen av Euklides Elementa. Geometrin ansågs tillhöra allmänbildningen och den axiomatiska framställningen ansågs mönsterbildande när det gällde matematisk teori. Man ansåg också att den utvecklade elevernas analytiska förmågor.

(35)

Fram till slutet av 1950-talet gavs geometrin stort utrymme i skolan. Men med Lgr62 bröts denna tradition. Euklidisk geometri, som i skolan inte enbart var en historisk tradition, utan också själva fundamentet för deduktivt arbete inom skolmatematiken, bedömdes som otidsenlig. Alternativa sätt att undervisa i geometri utan hänvisning till Euklides postulat befanns mer användbara och det kända uttalandet av Jean Dieudonné, att “Euclid must go”, tolkades i Sverige och vissa andra länder som att “Geometry must go”. Detta var en följd av att Euklides Elementa ofta ansågs vara synonymt med skolgeometri vid den här tiden, också av många lärare i matematik.

På så sätt försvann det mesta av geometriundervisningen och ersattes till stora delar av algebra. Begreppet funktion ansågs vara mer grundläggande än geometriska begrepp. Grad- vis blev kursplaner och läroplaner också alltmer praktiskt inriktade och den effekt på själva tänkandet som geometriska konstruktioner ansågs ha, glömdes bort och försvann också från lärarutbildningarna.

Under de senare decennierna på 1900-talet försvann alltså geometrin nästan helt ur skolma- tematiken, för att i svensk skola åter få ökat utrymme under 2000-talet. Men geometrin behandlas annorlunda idag än förr. Anknytningen till elevens vardag är stark och geometrin handlar mer om olika rumsliga begrepp och mätning av längder, areor och volymer.

Ett sätt att beskriva denna förskjutning av fokus, är att säga att geometrin i skolan förr be- traktades mer ur en formell synvinkel. Geometrin var en del i den abstrakta matematiska teoribyggnaden och begrepp som axiom och bevis var väsentliga. Idag behandlas geometrin mer som en beskrivning av rumsliga relationer i vår vardagsvärld, vilket innebär att bevis och konstruktioner har fått träda tillbaka för mätning av konkreta föremål och klassificering av dessa med hjälp av den geometriska begreppsapparaten.

Detta innebär också att det kan vara svårt att se sambandet mellan att å ena sidan använda den geometriska begreppsapparaten för att beskriva vår vardagsvärld och, å andra sidan, bevisa matematiska samband mellan de olika geometriska begreppen. Varför skall vi bevisa Pytagoras sats när vi kan göra den trolig genom empiriska studier av trianglar på en Smart Board eller som vi hittar i vår omvärld? Geometrins dubbla roller innebär en pedagogisk utmaning.

Men samma dubbla roller ger också möjligheter. De geometriska begreppen hjälper barn att förstå och beskriva den fysiska världen omkring oss. Detta uppnås vanligast genom att rita och undersöka geometriska figurer och bilder, mäta vinklar, längder, areor och volymer, jämföra olika geometriska former, och kanske bygga fysiska modeller av geometriska krop- par.

Tar vi i stället fasta på geometrins deduktiva natur, är den ett utmärkt pedagogiskt verktyg för lärare och elever att undervisa om och lära sig att föra logiska resonemang. Sådana be- hövs för problemlösning, men är också användbara i vardagen när vi kommunicerar, argu-

(36)

menterar eller fattar beslut. Exempelvis är det inte svårt att illustrera vilken roll parallellaxi- omet spelar för att visa att vinkelsumman i en triangel är 180°. Detta i sin tur kan initiera en diskussion kring vilka axiom eller definitioner som behövs eller är överflödiga i detta och liknande resonemang.

Sammanfattningsvis kan vi alltså konstatera att geometrin, via sin tydliga dubbelroll som matematisk teori respektive beskrivning av världen omkring oss, lämpar sig utmärkt både som ett redskap för att lära elever att strukturera världen och som en väg till analytiskt tän- kande.

References

Related documents

vänsterhand (fingret mot greppbrädan, för att få en klar ton), tonhöjd som motsvarar tonhöjden i den talade konsonanten, gärna låga strängar. Senza

(Svar: Centrallinjen för cirklarna I, II, III, skär III i P och Q, M är centrum för den mellersta, II, G ena skärningspunkten mellan I och III, A mellan II och III. I en

Placera gradskivan så vinkelbenet går genom 0° och 180°.. Läs av var den andra

Derom är föga sagdt, ty det hela är taladt blott till dem, som med vördnad och kärlek omfatta den kristna tron och lägga dess bud och läror till grund för sina handlingar, eller

Resonemanget om att det utgör ett skydd för den allmänna ordningen förs dessutom inte i Europadomstolen när det gäller körkortsåterkallelser, vilket gör det

Genom att studera vad som skrivs på nätet i form av bloggar och artiklar önskar denna studie besvara frågan om fast-fashionföretaget lyckas stärka sitt

Var sätter vid då perennerna? Jo, på insidan häcken, vid sittplatsen eller bara i små ruggar i plattplanet. Den klassiska perennarabatten kanske vi skall akta oss för, den

Syftet med denna studie är att genom kvalitativa intervjuer beskriva upplevelser och erfarenheter av medierad social interaktion på Internet för klienter på