Kap 1. Sats: Om ax

Extramaterial till Problemlösningens grunder 1

Exempel på problem från boken.

Kap 1. Sats: Om ax

+ bx + c = αx

+ βx + γ för alla reella tal x så är a = α, b = β och c = γ.

Bevisa satsen, och undersök (formulera/bevisa) en generalisering av satsen.

Kap 2. Låt n vara ett positivt heltal och a ett positivt tal sådana att n = 10

. Visa, med ett indirekt bevis, att om n är udda så är a irrationellt.

Kap 3. Denition: Ett halvtal är ett tal a sådant att 2a är ett heltal.

Bevisa att a

+

är ett halvtal för varje halvtal a.

Kap 4. Visa att b

> a då a

− ab

+ a

− a

b

< 0 .

Kap 5. Bestäm alla möjliga rektanglar med heltalssidor vara area är lika med dess omkrets.

Kap 6. En Aritmetisk talföljd är en talföljd sådan att dierensen mellan ett tal i följden och föregående tal har samma värde för varje par av efterföljande tal. Hur många aritmetiska talföljder bestående av fyra tal kan du bilda med heltalen 1, 2, ..., 100 .

Kap 7. En likbent triangel har basen b = |AB|. I triangeln inskrivs en cirkel, och sträckan CD tangerar cirkeln och är parallell med basen AB, se gur nedan.

Låt a = |CD|, c = |BC| och låt d beteckna cirkelns diameter. Visa att d = √ ab (geometriska medelvärdet) och c =

(aritmetiska medelvärdet).

(På vilket sätt visar resultatet att √

ab ≤

?)

I boken presenteras verktyg för att lösa dessa (typer av) problem. Problemen ovan

kan betraktas som medelsvåra i meningen att det nns, i respektive kapitel, både

enklare och svårare problem.