skolan» af Prof. Bjerknes. De t a n k a r , s o m däri f i n n a s u t -

I F r a n k r i k e o c h E n g l a n d h a r u n d e r den senaste t i d e n g j o r t s i g g ä l l a n d e b l a n d l ä r a r e i m a t e m a t i k den å s i k t e n a t t m y c k e t t i d i g t v i d u n d e r v i s n i n g e n i a l g e b r a u p p t a g a t i l l b e h a n d l i n g d e t e p o k g ö r a n d e C a r t e s i a n s k a s ä t t e t a t t å s k å d l i g g ö r a p u n k t e r s l ä g e , de a l g e b r a i s k a f u n k t i o n e r n a , e k v a t i o n s b e g r e p p e t m . m . m e d e l s t l i n j e r o c h deras s t o r l e k s - t a l . G e n o m å s k å d n i n g af l i n j e r n a , s o m r e p r e n s e n t e r a f u n k - t i o n e r n a , h a r läraren e t t y p p e r l i g t m e d e l a t t k l a r g ö r a för lärj u n g a r n e f u n k t i o n e r s n a t u r o c h egenskaper, l ö s n i n g af e k v a t i o n e r m . m .

I å t t o n d e h ä f t e t för år 1901 a f t i d s k r i f t e n »Skolan» f ö r e -

k o m m e r en m y c k e t u t m ä r k t u p p s a t s : »Om matematiken i

skolan» af Prof. Bjerknes. De t a n k a r , s o m däri f i n n a s u t -

talade, äro af b a n b r y t a n d e n a t u r v i d o r d n a n d e t a f den m a t e -

m a t i s k a u n d e r v i s n i n g e n i v å r a s k o l o r . I d e n n a u p p s a t s ,

som b o r d e läsas o c h b e g r u n d a ? af a l l a m a t e m a t i k l ä r a r e och författare af l ä r o b ö c k e r i m a t e m a t i k , y r k a r äfv.m förf. på k o o r d i n a t s b e g r e p p e t s t i d i g a införande v i d u n d e r v i s n i n g e n icke b l o t t från p e d a g o g i s k u t a n äfven från p r a k t i s k s y n p u n k t . I F r a n k r i k e utfärdar högsta s t y r e l s e n för u n d e r v i s n i n g s - väsendet e t t p r o g r a m , s o m innehåller en lärogång v i d u n d e r - v i s n i n g e n i de särskilda ä m n e n a . I n g a a n d r a l ä r o b ö c k e r än sådana, s o m äro u p p s t ä l l d a e f t e r d e t t a p r o g r a m , få a n v ä n d a s i F r a n s k a s t a t e n s s k o l o r . D e t s i s t a p r o g r a m m e t utfärdades den 31 m a i 1902. I d e t t a är o f v a n s t å e n d e tillägg i den alge- b r a i s k a k u r s e n p å b j u d e t .

F ö r 20 år sedan u t g a f u n d e r t e c k n a d en » e l e m e n t a r b o k i a l g e b r a » , h v a r i d e t t a tillägg finnes u p p t a g e t . L ä r o b o - k e n , s o m är u p p s t ä l l d p å g r u n d v a l e n a f e t t h e v r i s t i s k t un- dervisningssätt, v ä c k t e b l a n d lärarne i m a t e m a t i k i n g e n u p p m ä r k s a m h e t . D e n h a r ej ens b l i f v i t o m n ä m n d i någon af de p e d a g o g i s k a t i d s k r i f t e r n a .

D å n u d e n n a undervisningsfråga ändtligen b l i f v i t a k t u - e l l i n o m u t l a n d e t s skolvärld, d r i s t a r j a g å n y o v ä c k a m a t e - matiklärarnes u p p m ä r k s a m h e t på d e n v i k t i g a frågan.

S a k e n h a r o c k b e a k t a t s i r e a l s k o l a n s k u r s p l a n .

F ö r d e t t a ä n d a m å l m e d d e l a s i d e t följande förslag t i l l några e n k l a grundläggande öfningsuppgifter j ä m t e s v a r s a m t n ö d i g a u p p l y s n i n g a r , s o m b ö r a m e d d e l a s lärjungarne.

H u g a d e lärare k u n n a p å försök g e n o m g å dessa u p p g i f - t e r m e d sina lärjungar, h v a r i g e n o m lärarne k o m m a i t i l l - fälle, a t t själfva b e d ö m a v e r k n i n g a r n a af d e n m e d d e l a d e u n d e r v i s n i n gen.

I dessa första öfningar f ö r e k o m m a a f p e d a g o g i s k a skäl e n d a s t p o s i t i v a t a l , s o m h u f v u d s a k l i g e n äro h e l a . Först i följande a f d e l n i n g a r s k u l l e äfven k o m m a t i l l a n v ä n d n i n g n e g a t i v a t a l .

S å s o m i n l e d n i n g t i l l följande öfningar, b ö r a lärjung- arne b e v i s a n e d a n s t å e n d e satser, s o m l i g g a t i l l g r u n d för lösningen a f en d e l u p p g i f t e r .

B e v i s e n verkställas u n d e r förutsättning, a t t de s t o r h e t e r som jämföras m e d h v a r a n d r a , h a f v a en g e m e n s a m j ä m n d e l . S a t s 1. På sidan AB i en triangel ABC år en punkt D.

AD år lika stor med DB.

Från D är dragen parallellt med BC en linje, som träf- far AC i E.

B e v i s a : T:O) att AE är lika stor med EC.

2:0) att DE är lika stor med hälften af BC.

S a t s 2 . På sidan AB i en triangel ABC äro punkterna D och E tagna, så att AD, DE coh EB äro lika stora.

Från D och E äro dragna med BC parallella linjer, som träffa AC i F och G.

• B e v i s a : 1:0) att AF, FG och GB äro lika stora.

2:0) att DF är lika stor med en tredjedel af BC.

j:o) att EG är lika stor med 2 tredjedelar af BC.

S a t s 3 . Sidan i en triangel ABC år delad i lika stora delar.

Genom delnings punkterna äro dragna med BC parallella linjer, som träffa AC.

B e v i s a : 1:0) att AC :s delar år o lika stora.

2:0) att förhållandet mellan den första parallella linjen närmast A och BC är lika stort "med förhållandet mellan en af AB:s delar och AB.

3:0) att förhållandet mellan den andra parallella linjen närmast A och BC är lika stort med förhållandet mellan t v å a / AB:s delar och AB o. s. v-

S a t s 4 . På sidan AB i en triangel ABC är en punkt D.

Genom D är dragen en med B C parallell linje, som träf- far AC i E.

B e v i s a : 1:0^ att förhållandet mellan AD och DB är lika stort med förhållandet mellan AE och EC.

2:0) att förhållandet mellan DE och BC, förhållandet mellan AD och AB samt förhållandet mellan AE och AC äro lika stora.

S a t s 5. / trianglarna ABC och a b c är vinkeln A lika stor med vinkeln a, vinkeln B med vinkeln b samt vinkeln C med vinkeln c.

B e v i s a : att förhållandet mellan AB och a b , förhållandet

mellan AC och ac samt förhållandet mellan BC och bc

äro lika stora.

O A o c h O B äro t v å räta l i n j e r , s o m m e d h v a r a n d r a b i l - d a räta v i n k l e n O.

B e s t ä m n i n g e n a f en p u n k t P :s läge i n o m v i n k e l ö p p n i n g - en tillgår p å f ö l j a n d e s ä t t :

Från P dragés v i n k e l r ä t t m o t O A en l i n j e , s o m träffar O A i C.

P :s läge är b e s t ä m d t g e n o m l i n j e r n a OC o c h P C . O m läget a f en p u n k t M s k a l l b e s t ä m m a s , h v i l k e n s b e s t ä m n i n g s l i n j e r äro l i k a s t o r a m e d v o c h /, a f h v i l k a den v å g r ä t a s k a l l v a r a l i k a s t o r m e d v o c h d e n l o d r ä t a m e d / , så skares a f O A från O en l i n j e O D l i k a s t o r m e d v. Ifrån D d r a - gés en m o t O A v i n k e l r ä t l i n j e . A f d e n n a skares från D e t t s t y c k e , s o m är l i k a s t o r t m e d /. Ä n d p u n k t e n M af d e n n a l i n j e är d e n s ö k t a p u n k t e n .

I stället för a t t b e s t ä m m a en p u n k t s läge g e n o m t v e n -

n e u p p r i t a d e l i n j e r h a r m a n f u n n i t d e t v a r a ä n d a m å l s e n l i g a - re o c h e n k l a r e a t t u t b y t a l i n j e r n a m o t deras s t o r l e k s t a l .

M a n b e s t ä m m e r en l i n j e m, h v i l k e n a n v ä n d e s s o m m å t t i l i n j e m a s s t o r l e k s b e s t ä m n i n g a r .

F ö r b e s t ä m n i n g e n a f P :s läge i n d e l a s OC o c h C P i de- lar, s o m äro l i k a s t o r a m e d d e t v a l d a m å t t e t m.

D e l a r n e s a n t a l i O C är 4 o c h i CP 3.

P:s läge är d å b e s t ä m d t g e n o m t a l e n 4 o c h 3.

T a l e t 4 b e n ä m n e s abscissa o c h t a l e t 3 ordinata.

D e n räta v i n k e l n s spets O k a l l a s origo.

O A o c h O B k a l l a s koordinat-axlar.

O A k a l l a s :r-axel e l l e r absciss-axel.

O B k a l l a s funktions-axel eller ordinat-axel.

P:s läge a n g i f v e s p å följande s ä t t :

P:s abscissa är 4 o c h ordinata är 3, h v i l k e t v a n l i g e n för- k o r t a s t i l l :

P är belägen i p u n k t e n ( 4 , 3 ) , af h v i l k a d e t första t a l e t i n o m p a r e n t e s e n är abscissa o c h d e t a n d r a ordinata.

I l i k h e t h ä r m e d säges M v a r a belägen i p u n k t e n ( 7 , 8 ) . L ä r j u n g a r n e b ö r a för de följande öfningsuppgifterna a n s k a f f a p a p p e r s a r k , s o m äro n o g g r a n t i n d e l a d e i l i k a s t o r a k v a d r a t e r . S å s o m s y n n e r l i g e n lämpliga äro h a m p p a p p e r s a r k , s o m äro i n d e l a d e i k v a d r a t c e n t i m e t e r . D y l i k a a r k äro äfven särdeles b i l l i g a . S å s o m m å t t m väljes en a f s i d o r n a i k v a - d r a t e r n a . Dess? „ o m b ö r a lärjungarne v a r a försedda m e d l i n - j a l , passare o c h g u m m i . F ö r a t t m i n s k a åtgången a f r u t - p a p p e r utplånas m e d g u m m i t de v i d lösningen a f u p p g i f t e r a n v ä n d a b l y e r z l i n j e r n a , h v a r e f t e r d e t k a n a n v ä n d a s v i d l ö s - n i n g a r a f n y a u p p g i f t e r . F ö r a t t h a s t i g t f i n n a läget a f p u n k - t e r p å r u t p a p p e r e t u t m ä r k e s h v a r 5 :te p u n k t p å a x l a r n e från o r i g o m e d s i f f r o r n a 5, 10, 15, 20, 25 o. s. v . V i d dessa öfningar b ö r a a n v ä n d a s b l y e r z p e n n o r m e d f i n a s p e t s a r , så a t t l i n j e r n a k u n n a u p p d r a g a s m e d e l s t l i n j a l m e d s t o r n o g - g r a n n h e t . F ö r a t t m e d l ä t t h e t k u n n a u t p l å n a u p p d r a g n a l i n j e r b ö r a s. k . lösa b l y e r z p e n n o r a n v ä n d a s .

Läraren a n v ä n d e r i s t . f. d e n v a n l i g a s v a r t a t a f l a n en m e d p u n k t e r försedd t a f l a , s o m a n v ä n d e s v i d l e k t i o n e r n a i t e c k n i n g .

U p p d r a g m e d b l ä c k p å d e t i n d e l a d e p a p p e r s a r k e t

a x l a r n a O A o c h O B ! O A p å d e n n e d e r s t a l i n j e n o c h O B p å d e n första l o d r ä t a l i n j e n .

Läraren u t m ä r k e r p u n k t e r p å d e n s t o r a t a f l a n m e d t . ex. b o k s t ä f v e r n a a, b , c, d . . . . o c h öfvar lärjungarne a t t b e s t ä m m a lägena a f a, b , c, d . . . .

1) Bestäm läget af punkterna (7, 6 ) , (5, 1), (7, o) (o, 7) o c h (0.0).

2) Hvilket är storlekstalet till af ståndet mellan punkterna a) (0,0) o c h (4,3) b) (o, o) o c h (12,16)?

Anm. Lärjungarne böra först bestämma storlekstalet med an- vändning af passaren sedan medelst räkning.

3) Hvilket är storlekstalet till af ståndet mellan punkterna a) (2,3) o c h (7, 15) b) (2, 1) o c h (9,25) c) (3,19)

o c h (11,4)?

Ledning: F ä l l ifrån den första p u n k t e n en vinkelrät linje m o t den andra punktens ordinatlinje eller dess förlängning.

4i) P och M äro belägna i punkterna a) (o, o) o c h (6, 8) b) (3, 4) o c h (7, 10) c) (5, 6) o c h (17, 2 0 ) . Hvilket år läget till PM:s midtpunktf 5) P och M äro belägna i punkterna (2, 2) o c h (8, 11).

Linjen PM år i C och D delad i 5 lika stora delar.

Hvilka äro lägena för C och D?

0) P och M äro belägna i punkterna a) ( 1 , 4) o c h (8, 18) b) ( 3 , 8 ) o c h (9, n ) .

Linjen PM är delad i tvenne delar PC o c h C M hvilkas förhållande är f.

Hvilket år C:s läge?

V ä r d e n a å f u n k t i o n e n 2x för x - v ä r d e n a o, 1, 2, 3, 4 . . äro o, 2, 4, 6, 8 . . O m e t t x - v ä r d e b e t r a k t a s s o m abscissa o c h m o t s v a r a n d e f u n k t i o n s v ä r d e s o m ordinata, så erhålles för h v a r j e x - v ä r d e en p u n k t .

I d e t t a f a l l erhållas p u n k t e r n a (o, o) ( 1 , 2 ) , (2. 4).

(3, 6 ) , (4, 8 ) . . . .

A l l a dessa p u n k t e r l i g g a p å s a m m a räta l i n j e .

Förfar m a n p å s a m m a sätt m e d h v a r j e h e l f u n k t i o n af

x a f första g r a d e n , så k o m m a de erhållna p u n k t e r n a äfven

a t t l i g g a p å s a m m a räta l i n j e . D e n n a l i n j e , s o m m o t s v a r a r

första-gradsfunktionen, är en åskådlig b i l d a f f u n k t i o n e n

o c h dess v ä x l i n g a r m e d x - v ä r d e n a .

D e n u p p r i t a d e l i n j e n k a n sedan a n v ä n d a s för b e s t ä m - n i n g a f ,

1 :a) funktionens värde för ett gifvet värde å x, 2 :a) värdet af x för ett gifvet värde på funktionen.

7) Drag en råt linje L , som går genom ptinkterna (o. 21) o c h (4, 9 ) !

Hvilket är värdet å motsvarande funktion, då värdet å x år a) 2, b) 5, c) 7?

8) Hvilket är värdet å x, då värdet å samma funktion år a) 3 , 6 ) 12, c) 18?

9) Funktionen, som motsvarar L är ( 2 1 — 3 X ) . Sök medelst räkning svaren å frågorna i 7 och 8!

10) Upprita en rät linje N, som går genom punkterna (o, 3) o c h (3, 12) med samma koordinataxlar som L ! / hvilken punkt skåra N och L hvarandra?

11) Funktionen, som motsvarar N år ( 3 x 4 - 3 ) Sök medelst räkning svaret på frågan i 10!

Upplysning: T i l l g r u n d för d e n n a räkning lägges föl - / .de s a t s :

x-värdet, för hvilket skillnaden mellan tvenne funktio- ner år o, är det värde å x , för hvilket funktionerna blifva Vka stora.

12) L går genom a) (o, 3) o c h (3,24) b) (o, 7 ) o c h (3, 4) c) ( 1 , 1 1 ) o c h (2, 14).

N går genom a) (o, 13) o c h (3, 19) b ) ( 1 2 , o) o c h (3, 6) o c h (3, 14) o c h (6, 14).

I hvilken punkt skåra L och N hvarandra?

13) Funktionerna, som motsvara L och N, åro a) (7X + 3) o c h ( 2 X + 1 3 ) b) ( 7 —

x ) o c h ( 1 2 — 2 x ) c) ( 3 X + 8 ) o c h ( o x + 1 4 ) .

Sök medelst rakning svaren å frågorna i 12!

När t v e n n e f u n k t i o n e r s värden för samma x - v ä r d e jämföras m e d h v a r a n d r a , k u n n a i allmänhet följande t r e f a l inträffa:

1 :o) Den förstas värde är lika stort med den andras värde.

2 :o) » » » » större än » » »

3 :o) » » » » mindre än » » »

Sålunda b l i f v a de b ä g g e f u n k t i o n e r n a s (3X + 4) o c h

( 2 4 — 2 x ) v ä r d e n l i k a s t o r a m e d 16, då x - v ä r d e t är 4.

F ö r x - v ä r d e t 7 är v ä r d e t å den första 25, s o m är större än v ä r d e t å den a n d r a , s o m är 10.

F ö r x - v ä r d e t 3 är v ä r d e t åden första 13, s o m är m i n d - re än v ä r d e t å den a n d r a , s o m är 18.

14) Upprita en linje L , som går genom punkterna (o, 1) o c h (2, 1 r ) !

Upprita en linje N, som går genom punkterna (o, 28) o c h (4, 12).

a) För hvilket x-värde blifva funktionerna, som mot- svara L o c h N , lika stora?

För hvilka x-värden b l i f v a :

b) den första funktionens värden större än den andras?

c) » » » » mindre ån » » ? 15) Funktionerna, som motsvara L o c h N äro ( 5 X + 1 )

och ( 2 8 — 4 X ) .

Sök medelst räkning svaren på frågorna i 14!

Upplysning: T i l l g r u n d för d e n n a räkning lägges föl- j a n d e s a t s :

x-värdena, för hvilka skillnaden mellan tvenne funktio- ner är större än o, äro samma vården ä x , för hvilka den första funktionen i skillnaden år större ån den senare.

Anställ s a m m a u n d e r s ö k n i n g m e d l i n j e r n a o c h f u n k t i o - n e r n a , s o m f ö r e k o m m a i u p p g i f t e r n a 12 o c h 13 ! 16) Linjen, som motsvarar funktionen a) (12—gx)

b) ( 4 — ' x . ) c) i 5 — ^ . x t r ä f f a r koordinataxlarnaiDoch E . Hvilket år storlekstalet till triangeln ODE, då måttet är kvadraten på m?

17) Punkterna P, M och R:s lägen äro a ) ( 0 , 0 ) , (6, 3) o c h (6, 7) b) (7, 4 ) , (9, 6) o c h (9, 12) c) (5, 6 ) , (7, 10) o c h (9, 8) d) (8, 6 ) , (10, 2) o c h (13, 14).

Hvilket år storlekstalet till trianglen P M R , då måttet är kvadraten på m?

L i n j e r , s o m m o t s v a r a a n d r a f u n k t i o n e r än af första g r a d e n , äro a l l a k r o k i g a . Utsatt p u n k t e r n a , s o m m o t s v a r a x - v ä r d e n a o, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 o c h 8 i a n d r a g r a d s f u n k t i o n e n

( 8 x — x

) !

Dessa p u n k t e r l i g g a på en k r o k l i n j e , s o m k a l l a s parabel.

S a m m a n b i n d a s de n ä r m a s t l i g g a n d e p u n k t e r n a m e d e l s t räta l i n j e r , så b l i f v a dessa k o r d o r i p a r a b e l n .

P a r a b e l b å g a r n a l i g g a l i t e t t i l l vänster o m k o r d o r n a på

p a r a b e l n s v ä n s t r a d e l o c h t i l l h ö g e r o m k o r d o r n a p å p a r a - b e l n s h ö g r a d e l .

P u n k t e n ( 4 , 1 6 ) , s o m är p a r a b e l n s högsta p u n k t , k a l l a s maximipunkt. T a l e t 16, s o m är d e t största v ä r d e f u n k t i o n e n

( 8 x — x

) k a n erhålla för n å g o t x - v ä r d e , säges v a r a f u n k t i o - nens maximtim. M o t s v a r a n d e x - v ä r d e är 4. D e m e l l a n - l i g g a n d e p a r a b e l b å g a r n a b ö r a n ä r m e v i s u p p d r a g a s p å t e c k - n i n g e n .

Utsatt p u n k t e r n a , s o m m o t s v a r a x - v ä r d e n a o, 1,

3 , 4 , 5 o c h 6 i a n d r a - g r a d s f u n k t i o n e n ( x

— 6 x + i 6 ) !

Dessa l i g g a p å en k r o k l i n j e , s o m äfven k a l l a s parabel.

O m läget af p a r a b e l b å g a r n e (som b ö r a n ä r m e v i s u p p - r i t a s ) i afseende p å k o r d o r n a gäller d e t s a m m a , s o m b l i f v i t a n f ö r d t i d e t föregående.

P u n k t e n ( 3 , 7 ) , s o m är p a r a b e l n s nedersta p u n k t k a l l a s minimi punkt.

T a l e t 7, s o m är d e t minsta v ä r d e f u n k t i o n e n ( x

— 6 x + 16) k a n erhålla för n å g o t x - v ä r d e , säges v a r a f u n k t i o n e n s minimum. M o t s v a r a n d e x - v ä r d e är 3.

18) Upprita en rät linje, som motsvarar ( x - f - 1 0 ) , med samma koordinataxlar som parabeln, som motsvarar ( 8 x — x

) . !

Sök med ledning af linjerna de x-vården, för hvilka a) ( x - f i o ) o c h ( 8 x — x

) antaga samma värden!

b) ( x + 1 o) antager större värden än ( 8 x — x

) ! c) ( x + 1 0 ) antager mindre värden än ( 8 x — x

) ! 19) Upprita en rät linje, som motsvarar ( 2 X + 9 ) , med

samma koordinataxlar som parabeln, som motsvarar ( 8 x ~ x

) !

Sök med ledning af linjerna de x-värden, för hvilka a) ( 2 X + 9 ) o c h ( 8 x — x

) antaga samma värden!

b) ( 2 X + 9 ) antager större värden än ( 8 x — x

) ! c) ( 2 X + 9 ) antager mindre värden än ( 8 x — x

) !

20) Upprita en rät linje, som motsvarar ( 4 X + 6 ) med samma koordinataxlar som parabeln, som motsvarar

( 8 x — x

) !

Sök med ledning af linjerna de x-vården, för hvilka a) ( 4 X + 6 ) o c h ( 8 x — x

) antaga samma värden!

b) ( 4 X + 6 ) antager större vården än ( 8 x — x

) !

c) (4X + 6) antager mindre värden än ( 8 x — x

) !

21) Upprita en rät linje, som motsvarar ( 1 2 — x ) , med samma koordinataxlar som parabeln, som motsvarar x

— 6 x + 16!

Sök med ledning af linjerna de x-värden, för hvilka a) ( 1 2 — x ) o c h ( x

— 6 x + i 6 ) antaga samma värden!

b) ( 1 2 — x ) antager större vården än ( x

— 6 x + 1 6 ) ! c) ( 1 2 — x ) antager mindre värden än ( x

— 6 x + 1 6 ) ! 22) Upprita en rät linje, som motsvarar ( 1 2 — 2 x ) , med

samma koordinataxlar som parabeln, som motsvarar ( x

— 6 x + i 6 ) !

Sök med ledning af linjerna de x-vården, för hvilka a) ( 1 2 — 2 x ) o c h ( x

— 6 x 4 - 1 6 ) antaga samma vården!

b) ( 1 2 — 2 x ) antager större värden än ( x

— 6 x 4 - 1 6 ) ! c) ( 1 2 — 2 x ) antager mindre vården än ( x

— 6 x + i 6 ) ! 23) Upprita en rät linje, som motsvarar ( 6 — x ) , med

samma koordinataxlar som parabeln, som motsvarar ( x

— 6 x + i 6 ) !

Sök med ledning af linjerna de x- värden, för hvilka a) ( 6 — x ) o c h ( x

— 6 x 4 16) antaga samma värden b) ( 6 — x ) antager större vården än ( x

— 6 x 4 1 6 ) ! c) ( 6 — x ) antager mindre värden än ( x

— 6 x 4 1 6 ) ! F ö r a t t m e d e l s t r ä k n i n g b e s t ä m m a maxima eller minima t i l l f u n k t i o n e r a f a n d r a g r a d e n f o r d r a s a f lärjungarna k u n - s k a p o m s ä t t e t a t t u t b y t a f o r m e r t i l l f u n k t i o n e r a f andra, g r a d e n , h v a r i x f ö r e k o m m e r p å ett ställe.

Sedan läran o m s u m m o r , s k i l l n a d e r , p r o d u k t e r o c h förhållanden m e l l a n n e g a t i v a t a l b l i f v i t g e n o m g å n g e n , k u n - n a lärjungarne m e d tillhjälp af k v a d r a t e r , i n d e l a d e p å e t t ändamålsenligt sätt, lätt m e d d e l a s k u n s k a p o m o f v a n n ä m n d a u t b y t e a f f o r m e r .

Sålunda är f o r m e n ( 8 x — x

) l i k b e t y d a n d e m e d

— ( x

— 8 x ) = — ( x

— 8 x + 1 6 — 1 6 ) = 1 6 — ( x —

)

A f d e n n a s i s t a f o r m f i n n e r m a n f u n k t i o n e n s maximum v a r a 16 o c h m o t s v a r a n d e x - v ä r d e 4 .

F o r m e n ( x

— 6 x + i 6 ) är l i k b e t y d a n d e m e d x

— 6 x 4 9 ~ 9 + I 6 = ( x — 3 )

+ 7-

A f d e n n a s i s t a f o r m f i n n e r m a n f u n k t i o n e n s minimum v a r a 7 o c h m o t s v a r a n d e x - v ä r d e 3.

T i l l s v a r e n å de t r e frågorna i t . ex. u p p g i f t e n 18 l e d e r

m a n sig m e d e l s t r ä k n i n g p å följande s ä t t :

F o r m e n för s k i l l n a d e n m e l l a n f u n k t i o n e r n a ( x + i o ) o c h ( 8 x — x

) är

( x + i o ) — ( 8 x — x

) = x

— 7 x + l o = x

— 7 x + i ^ _ 4 9

(

_ i ) , _ i

(

i ) . ( ^H _ i ) l ^{( x} l , ^{( x} _ ⁵ ,

F u n k t i o n e n ( x — 2 ) ( x — 5 ) , s o m är s k i l l n a d m e l l a n f u n k - t i o n e r n a ( x + 10) o c h ( 8 x — x

) , b l i r o för x - v ä r d e n a 2 o c h 5.

E n l i g t en i d e t f ö r e g å e n d e a n f ö r d sats a n t a g a de b ä g g e f u n k - t i o n e r n a samma v ä r d e n äfven för x - v ä r d e n a 2 o c h 5.

G e n o m 2 o c h 5 b l i r t a l s e r i e n d e l a d i t r e g r u p p e r : 1 :sta g r u p p e n består a f t a l , s o m äro mindre än 2.

2 :dra g r u p p e n består a f t a l , s o m äro medelvärden m e l l a n 2 o c h 5.

3 :dje g r u p p e n består af t a l , s o m äro större än 5.

F ö r h v a r j e x - v ä r d e u r den 1 :sta g r u p p e n b l i f v a b å d e (x—2) o c h ( x — 5 ) m i n d r e än o.

F ö r d y l i k a x - v ä r d e n b l i r ( x — 2 ) . ( x — 5 ) s t ö r r e ä n o, o c h i följd häraf ( x + 1 0 ) större än ( 8 x — x

) .

F ö r h v a r j e x - v ä r d e u r den 2 :dra g r u p p e n b l i r ( x — 2 ) större än o o c h ( x — 5 ) m i n d r e än o.

F ö r d y l i k a x - v ä r d e n b l i r ( x — 2 ) . ( x — 5 ) m i n d r e än o o c h i följd häraf ( x + 1 0 ) m i n d r e än ( 8 x — x

) .

F ö r h v a r j e x - v ä r d e u r den 3 : d j e g r u p p e n b l i f v a b å d e (x—2) o c h ( x — 5 ) större än o.

F ö r d y l i k a x - v ä r d e n b l i r ( x — 2 ) . ( x — 5 ) större än o o c h i följd häraf ( x + 1 0 ) större än ( 8 x — x

) .

Svaren a n g i f n a m e d k o r t s k r i f t p å de t r e frågorna i u p p - g i f t e n 18 b l i f v a således:

a) ( x + 1 0 ) = ( 8 x — x

) , då 1:0 x = 2 . 2 : 0 . x = 5 . b) ( x + l o ) > ( 8 x — x

) , då l : o ) x < 2 . 2:o) x > s . c) ( x + l o ) < ( 8 x — x

) , då 2 < x < 5 .

V i d jämförelsen m e l l a n t v e n n e f u n k t i o n e r s v ä r d e n för

samma x - v ä r d e n inträffar d e t äfven, a t t de alltid b l i f v a

l i k a s t o r a . D e t t a är t . ex. händelsen m e d f u n k t i o n e r n a

( x — i ) . ( x — 4 ) o c h ( x

— 5 X + 4 ) . D e m o t s v a r a n d e p a r a b l e r n a

äro kongruenta: F u n k t i o n e n ( x — t ) . ( x — 4 ) är n ä m l i g e n d e n -

s a m m a s o m f u n k t i o n e n ( x

— 5 X + 4 ) . D e t är e n d a s t deras

former, s o m äro o l i k a . F ö r en o c h s a m m a f u n k t i o n k u n n a

f o r m e r n a s k i f t a p å o ä n d l i g t m å n g a sätt. V i d a l g e b r a i s k räkning k u n n a t v e n n e f o r m e r , s o m b e t e c k n a s a m m a f u n k - t i o n , u t b y t a s m o t h v a r a n d r a . I läran o m de b e s t ä m d a t a - len inträffar s a m m a förhållande. Sålunda b e t e c k n a f o r - m e r n a : ^ — . 5 6 ^ o c h ^ 2 0 : — — 1 ^ s a m m a t a l , nämligen tjugufyra. D e t v e n n e f o r m e r n a k u n n a äfven u t b y t a s m o t h v a r a n d r a .

Sätten a t t b e s t ä m m a en förstagradsfunktion, då t v e n - ne p u n k t e r p å l i n j e n , s o m m o t s v a r a r f u n k t i o n e n äro g i f n a , äro f ö l j a n d e :

A) En af punkterna är origo.

D e t t a f a l l kräfver i n g e n förberedelse.

24) Räta linjen, som motsvarar en funktion, går genom punkterna

a) (0,0) o c h ( 6 , 1 2 ) . b) (0,0) o c h (2,10) c) (0,0) o c h ( 1 0 , 5 ) rf) (0,0) o c h ( 1 2 , 9 ) .

Hvilken är ftinktionen?'

B ) En af punkterna ligger på funktionsaxeln.

Exempel 1. Punkterna äro P ( 0 , 5 ) o c h M ( 4 , 1 7 ) . Hvilken är funktionen?

Lösning.

Ifrån P dragés en l i n j e p a r a l l e l l m e d O A . D e n träffar M : s o r d i n a t l i n j e M C i D . M C är s u m m a a f C D o c h D M .

S t o r l e k s t a l e t t i l l D C , s o m är l i k a s t o r m e d P O är, 5.

S t o r l e k s t a l e t t i l l M D är ( 1 7 — 5 ) eller 12.

F ö r h å l l a n d e t m e l l a n M D o c h P D , s o m är l i k a s t o r m e d OC, är 3.

O r d i n a t a n t i l l M är 5 + 3 . 4 . F u n k t i o n e n är 5 + 3 . x .

Exempel 2. Punkterna äro P (0,21) o c h M ( 2 , 1 1 ) . Hvilken är funktionen?

Lösning.

Ifrån P dragés en l i n j e p a r a l l e l l m e d O A .

D e n n a träffar M : s o r d i n a t l i n j e M C f ö r l ä n g d i D . M C är s k i l l n a d m e l l a n C D o c h M D .

S t o r l e k s t a l e t t i l l C D , s o m är l i k a s t o r m e d P O , är 2 1 .

S t o r l e k s t a l e t t i l l M D är (21-11) e l l e r 10.

F ö r h å l l a n d e t m e l l a n M D o c h P D , s o m är l i k a s t o r m e d OC, är 5.

S t o r l e k s t a l e t t i l l M C är(21—5.2).

F u n k t i o n e n är ( 2 1 — 5 . x ) .

C) Punkterna ligga utanför- funktionsaxeln.

I d e t t a f a l l dragés en rät l i n j e g e n o m p u n k t e r n a . L ä g e t af p u n k t e n P, där l i n j e n träffar f u n k t i o n s a x e l n , b e s t ä m m e s .

Ä r o de b ä g g e p u n k t e r n a (2,9) o c h ( 4 , 3 ) , så träffar of- v a n n ä m n d a l i n j e f u n k t i o n s a x e l n i p u n k t e n ( 0 , 1 5 ) . I e n l i g h e t m e d lösningen i e x e m p l e t 2 är f u n k t i o n e n

I S — 3 - x .

25) Räta linjen, som motsvarar en funktion, går genom punkterna

a) ( 0 , 1 ) o c h (3,19) b) ( 0 , 2 0 ) o c h (3,14) c) (0,24) o c h (3,9) d) (2,11) o c h (3,15) e ) (3,8) o c h ( 4 , 3 ) 0 (6,4) o c h (8,4)

Hvilken år funktionen?

Sättet a t t m e d e l s t räkning b e s t ä m m a en an d r a g r a d s - f u n k t i o n , då t r e p u n k t e r å den m o t s v a r a n d e p a r a b e l n äro u p p g i f n a , k a n ej inläras, förrän läran o m e k v a t i o n e r m e d f l e r a o b e k a n t a är g e n o m g å n g e n .

S v a r e n å u p p g i f t e r n a ( 2 6 — 2 9 ) erhållas g e n o m t e c k - n i n g a f l i n j e r n a , s o m m o t s v a r a f u n k t i o n e r n a .

20) H v i l k e t är maximum o c h m o t s v a r a n d e x - v ä r d e i f u n k t i o n e r n a s ) ( 6 x — x

+ i ) b) ( 4 X — x

+ 2 ) ? 27) H v i l k e t är minimum o c h m o t s v a r a n d e x - v ä r d e i

f u n k t i o n e r n a a) ( x

— 8x + 17) b) ( x

— 2 X + 5 ) ? 28) För h v i l k a x - v ä r d e n är ( 6 x — x

+ i ) a) l i k a m e d b)

större än c ) m i n d r e än 6?

29) F ö r h v i l k a x - v ä r d e n är ( x

— 8 X + 1 7 ) a) l i k a m e d b) större än c) m i n d r e än ( 9 — a x ) ?

S o m läsaren f i n r e r , h a r j a g 1 o f v a n s t å e n d e framställ-

n i n g ej a n v ä n d t b o k s t a f v e n y såsom t e c k e n för f u n k t i o n e r .

A t t s a m t i d i g t a n v ä n d a t v e n n e t e c k e n för samma b e g r e p p ,

nämligen e t t ö f v e r e n s k o m m e t k o r t s k n f t s t e c k e n y o c h e t t

fullständigt u t s k r i f v e t t . ex. ( 5 X + 1) är m y c k e t v i l l s a m t för

lärjungarne. När läraren a n v ä n d e r för samma b e g r e p p

t v e n n e o l i k a f o r m e r , h v a r a f den ena ej k a n härledas u r den

a n d r a , s å anse l ä r j u n g a r n e de b ä g g e o l i k a f o r m e r n a r e p r e - sentera o l i k a b e g r e p p .

U t t r y c k e t : » f u n k t i o n e n ( 5 X + 1 ) r e p r e s e n t e r a r en r ä linje» är för l ä r j u n g a r n e m y c k e t t y d l i g a r e o c h b e g r i p l i g a r e än u t t r y c k e t : » e k v a t i o n e n ( y = 5 x + i ) r e p r e s e n t e r a r en r ä t linje». V ä l j e r m a n d e t förra u t t r y c k e t , så k a n m a n m y c k e t "

t i d i g a r e b ö r j a d e n n a n y t t i g a u n d e r v i s n i n g , än o m m a n v ä l - j e r d e t senare, h v a r s b e g r i p a n d e f ö r u t s ä t t e r f ö r t r o g e n h e t m e d l ä r a n o m e k v a t i o n e r m e d t v å o b e k a n t a .

S v a r :

2a) 5, b) 20 — 3a) 13. b) 25. c) 17

4a) (3, 4) b) (5, 7) o) ( I I , 13) — 5 a ) (4, S) * ) (6, 8) — 6a) (4, 10) b) (54. 9 r ) —

S A) 6 c) o — 8 a) 6 b)

c) 1 - 10) (3, 12) — 12a)(2, i

)b) (5, 2) c) (2, 14) — 1 3 a) (2, 17) 6) (5, 2) c) ( 2 , 14) — 14 a) 3 6) större än 3 c) m i n d r e än 3 — 16 a) 24 b) 16 c) 150 — 1 7 a) 12 b) 6 c) 6 rf) 18. — 18 a) 2 o c h 5. 6 ) 1 : 0 ) v ä r d e n , s o m äro m i n d r e än 2. 2:0) v ä r d e n , s o m äro s t ö r r e än 5 c) m e d e l v ä r d e n m e l l a n 2 o c h 5 — 19 a) e n d a s t 3 b) a l l a v ä r d e n u t o m 3 c) n å g o t v ä r d e finnes ej. Anm. R ä t a l i n j e n t a n g e r a r p a r a b e l n i p u n k t e n (3, 15). — 20 a) n å g o t v ä r d e finnes e j . b) a l l a v ä r d e n c) n å g o t v ä r d e f i n n e s e j . — 21a) 1 o c h 4. b) m e d e l v ä r d e n m e l l a n 1 o c h 4. c) 1 :o) v ä r d e n , s o m äro m i n d r e än 1—2:0) v ä r d e n , s o m äro större än 4 — 22a) e n d a s t 2. b) n å g o t v ä r d e finnes e j . c) a l l a v ä r d e n u t o m 2 — Anm. R ä t a l i j n e n t a n g e r a r p a r a - b e l n i p u n k t e n ( 2 , 8 ) . — 2 3 a) N å g o t v ä r d e finnes e j . b) N å - g o t v ä r d e finnes e j . c) a l l a v ä r d e n . — 24 a) 2 x . b) $x. c) ~ . x . rf) 4 -

— 25a) 6 x + i . b) 2 0 — 2 x . c) 2 4 — 5 X . rf) 4 X + 3 . e) 23—5X. / ) o x + 4 eller 4. — 2 6 . Maximum är a) 10. b) 6.

M o t s v a r a n d e x - v ä r d e ä r a ) 3 . 6 ) 2. 27. Minimum ä r a ) 1.6)4.

M o t s v a r a n d e x - v ä r d e ä r a ) 4. b)i. — 2 8 . a) 1 o c h 5. b) m e d e l - v ä r d e n m e l l a n 1 o c h 5. c) 1 :o) m i n d r e än 1. 2:0) s t ö r r e än 5.— 29 a) 2 o c h 4. b) 1:0) M i n d r e än 1. 2:0) s t ö r r e än 4. c) M e d e l v ä r d e n m e l l a n 2 o c h 4.

Rekvisitioner å särtryck af ofvanstående uppsats kunna ske genom brefkort till undertecknad under adress Almunge.

Priset å hvarje exemplar jämte postarvode blir 20 öre. Be- talning sker medelst efterkraf,

K. P. Nordlund.