Dagens diskussion
Folkskolans matematikundervisning
D e t v a r en k v ä l l i b ö r j a n av 1940-talet.
J a g t j ä n s t g j o r d e v i d sidan av m i n f o l k - s k o l l ä r a r t j ä n s t som t i m l ä r a r e v i d ett re- gementes stamskolor. F r a m m e v i d t a v l a n stod en 1 8 - å r i g v o l o n t ä r , som skulle g ö r a en enkel f ö r k o r t n i n g . Det g i c k inte, och d ä r f ö r f ö r s ö k t e j a g h j ä l p a honom p å t r a - ven genom a t t s ä j a : "Det ä r j u egentli- gen bara a t t a n v ä n d a m u l t i p l i k a t i o n s t a - bellen b a k l ä n g e s . " "Ja, den ä r m a n j u i n - te s å hemma i " , h ö r d e j a g honom m u m l a för sej själv.
Jag blev mer ä n f ö r v å n a d . M e n snart skulle j a g u p p h ö r a med det. N ä r j a g bland de b o r t å t 60 eleverna b ö r j a d e un- d e r s ö k a vad som fanns k v a r av v a d de en g å n g s ä k e r l i g e n l ä r t i folkskolan, s t ä l l - de j a g m i g o s ö k t f r å g a n : " V a d t j ä n a r skolans m ö d o r ? " V a r detta verkligen a l l t som v a r k v a r ? Multiplikationstabellen kunde m a n i regel. I divisionstekniken var tveksamheten stor. Kunskaperna i a l l - m ä n n a b r å k v a r s å g o t t som undantags- l ö s t borta. Och l i k v ä l v a r dessa elever i n - te p å n å g o t v i s s ä m r e ä n det stora fler- t a l e t ungdomar i motsvarande å l d e r , sna- r a r e t v ä r t o m , eftersom r e k r y t e r i n g e n un- der k r i g s å r e n v a r synnerligen god och de f ö r m o d a t s ä m s t a g a l l r a t s bort genom an- tagningsprov. A l l a u t o m t v å hade k o m - m i t f r å n o l i k a folkskolor. M a n kunde d ä r f ö r i n t e k a s t a skulden p å en viss l ä r a - res mer eller mindre f r a m g å n g s r i k a me- toder.
Med å r e n har j a g u p p h ö r t a t t f ö r v å n a s . Bekantskapen med m å n g a elever, a l l t f r å n s m å s k o l a n s f ö r s t a klass t i l l realgymnasi- ets sista, har g j o r t mej betydligt ö d m j u - kare.
Jag v i l l ha n ä m n t o v a n s t å e n d e f ö r a t t f å en b a k g r u n d t i l l f ö l j a n d e mer a l l m ä n - na synpunkter p å ä m n a t m a t e m a t i k . Det ä r enbart g l ä d j a n d e , a t t en diskussion i detta ä m n e k o m m i t t i l l s t å n d . M å t t e den inte bara stanna v i d rena p r i n c i p f r å g o r , d ä r ofta en diskussion b l i r f r u k t l ö s . M a - t e m a t i k e n v e r k a r p å n å g o t v i s f ö r s u m - mad j ä m f ö r d med andra ä m n e n . Visser- ligen k o m m e r de nya r ä k n e b ö c k e r n a t ä t t med m å n g a och ofta t r e v l i g a i l l u s t r a t i o - ner, men l ä r o g å n g e n ä r i det stora hela den konventionella. S ä r s k i l t underliga ä r v ä l inte detta i och f ö r sej, eftersom m a - tematikens logiska uppbyggnad k r ä v e r en viss uniformitet.
" S å egendomligt det ä n k a n l å t a , v i l a r matematikens s t y r k a p å dess undvikande av a l l t o n ö d i g t t ä n k a n d e och dess under- bara f ö r m å g a a t t inbespara s j ä l s l i g a ope- rationer." Orden ä r den ö s t e r r i k i s k e f i l o - sofen och f y s i k e r n E r n s t Machs. M a n skulle m å h ä n d a efter a t t ha l ä s t dem fres- tas dra den slutsatsen a t t m a t e m a t i k ä r ett l ä t t ä m n e . V a r j e l ä r a r e k a n i n t y g a motsatsen. I n g e t ä m n e k a n som matema-
t i k e n t o r t e r a en elev, inget ä m n e b l o t t a r s å o b a r m h ä r t i g t okunnigheten eller oför- m å g a n som detta. Ä r det inte s å a t t s v å - righeterna skapas genom matematikens m å n g a symboler och a t t det j u s t ä r sym- bolerna som sparar " a l l t o n ö d i g t t ä n k a n - de", n ä r m a n v ä l f a t t a t v a d som döljer sej b a k o m dem. Det s i s t n ä m n d a ä r v ä l v ä r t a t t begrunda. Det leder oss n ä m l i - gen d i r e k t i n p å f r å g a n o m terminologin, t y genom denna ska symbolerna f å sin mening. Terminologin ska l ä n k a i n t a n - k a r n a i en viss bana. D ä r f ö r ä r den m y c - ket v i k t i g , i synnerhet i det inledande ske- det. A l l a l ä r a r e vet h u r k ä n s l i g a b a r n ä r p å denna p u n k t — l i k s o m h u r beroende de ä r av ett visst u p p s t ä l l n i n g s s ä t t . V i l - ken terminologi som v ä l j s ä r i n t e h u v u d - saken, eftersom den endast ä r ett medel som ska leda t i l l en viss tankeprocess.
M e n eftersom dessa processer ofta upp- repas, anser j a g personligen a t t en mera ensartad terminologi skulle v a r a en stor vinst. V a r j e l ä r a r e som t . ex. i klass t r e f å t t elever f r å n t r e eller f y r a o l i k a s m å - skolklasser, d ä r skiftande terminologi an- v ä n t s , i n s t ä m m e r s ä k e r t .
Det ä r f ö r v å n a n s v ä r t h u r v å r d s l ö s t ele- ver ä n d a uppe i gymnasiet a n v ä n d e r de g r u n d l ä g g a n d e begreppen t e r m , summa, skillnad, rest, produkt, dividend, divisor, k v o t och faktorer. R a t t o r d p å r ä t t plats ä r n ö d v ä n d i g t b e t r ä f f a n d e dessa elemen- t ä r a begrepp, o m inte hela undervisning- en ska h ä n g a i luften.
Det ä r f ö r s t s å s m å n i n g o m som sym- bolen k a n e r s ä t t a tankeverksamheten och de " s j ä l s l i g a operationerna inbesparas".
Jag vet i n t e om m a n f ö r s ö k t koncentra- t i o n s l ä s a m a t e m a t i k . M e n j a g t r o r mej ha p å k ä n n a t t ett s å d a n t experiment i n - te skulle mana t i l l efterföljd. M a t e m a t i k k a n inte s t r ä c k l ä s a s . L i k s o m det i l i t t e r a - t u r e n " k r ä v s ett visst m å t t av g r u n d l ä g - gande h j ä r n a r b e t e " i n n a n en d i k t k a n mogna, m å s t e varje u p p t ä c k t i matema- t i k e n f ö r e g å s av ett skapandets grovar- bete, följt av en mognandets t i d . U p p - t ä c k t e r i denna b e m ä r k e l s e ska alla v å r a elever g ö r a . L ä r a r e n k a n visa dem v ä g e n , men u p p t ä c k t e n som leder t i l l s l u t l i g för- s t å e l s e m å s t e de s j ä l v a g ö r a . H ä r f ö r be- h ö v s t i d . Det k a n inte nog betonas h u r v i k t i g t det ä r a t t g å l å n g s a m t f r a m .
L ä s e r m a n om de stora matematikerna, s å finner m a n snart a t t de oftast v a r i t trogna arbetare som v a r i t g e n e r ö s a med tiden. Den store E u l e r s ä j e r p å ett s t ä l l e :
"Under sju å r har j a g b r y t t m i t t huvud med att finna ett bevis för detta." Och l i k v ä l s ä j s det om Euler a t t han " r ä k n a - de l i k a l ä t t som andra m ä n n i s k o r andas, eller som ö r n a r h å l l a sig s v ä v a n d e i r y m - den". N u k a n m a n givetvis s ä j a a t t det d ä r inte h ö r h i t . D e t t a ä r i och för sej r i k -
t i g t , eftersom genierna ä r tunnsådda.
M e n ä r det i n t e s å a t t de v e r k l i g t stora i m å n g a f a l l v a r i t fantastiska arbetsmän- niskor. De har nog f å t t erfara, a t t det inte finns n å g o n " k u n g s v ä g " i matematiken, ä v e n o m de v a r i t utrustade med ett säll- synt s p å r s i n n e . Just om den mognandets t i d som m a t e m a t i k e n k r ä v e r vittnar F r a n k r i k e s store H e n r i P o i n c a r é i en av sina b ö c k e r , d å han s k i l d r a r de matema- t i s k a u p p t ä c k t e r n a s uppkomst. Han talar om a t t han l ä n g e g å t t och funderat på ett problem och slutligen ö v e r g e t t det. Men s å s k r i v e r han: " D å j a g en dag gick över g a t a n stod l ö s n i n g e n av den svårighet som h i n d r a t m i t t f o r t s a t t a arbete helt p l ö t s l i g t k l a r f ö r mig". Sett mot bak- grunden av en "mognandets t i d " kan m a n f r å g a sej om det ä r e t t r i k t i g t pe- dagogiskt grepp a t t i l ä r o b o k e n dela upp l ä r o k u r s e n i s å s m å a v s n i t t a t t de är av- sedda a t t hinnas med p å en timme. Om n u l ä r a r e n g å n g p å g å n g m ä r k e r att han inte hinner med vad han t r o r andra gör, h u r reagerar h a n d å ? L i g g e r inte en icke ö n s k v ä r d forcering n ä r a t i l l hands? Jag ä r o c k s å av den uppfattningen att en eventuell ö v e r k u r s b ö r bredda grundkur- sen, den b ö r k o n c e n t r i s k t vidga det ak- tuella o m r å d e t och inte g å i n p å nya kurs- moment. E n s å uppbyggd k u r s skänker j u s t mognad. Jag u n d r a r om det inte skulle v e r k a v ä l g ö r a n d e o m v i för våra elever n å g o n g å n g upprepade U r a Kaipa- folkets: " V i har g o t t om t i d " .
F r å g a n om f y r a eller fem elementära r ä k n e s ä t t ä r g a m m a l . Den besvaras än i dag olika. P å seminariet f r å g a d e v i vår l e k t o r i m a t e m a t i k om de b å d a slagen av division. H a n v a r helt oförstående och konstaterade helt enkelt a t t det bara fanns division. A t t det emellertid ä r frå- ga om t v å helt skilda t a n k e g å n g a r , kan v ä l ingen f ö r n e k a . L i k a s å a t t innehålls- divisionen ä r den s v å r a s t e , eftersom den f o r d r a r s å a t t s ä j a ett t r e l e d i g t tänkande v i a g å n g e r t i l l sorten i svaret. Ofta rör sej emellertid h ä r diskussionen om hur m a n genom beteckningen ska skilja de b å d a slagen å t . D e t t a ä r egentligen o f r u k t b a r t . T y d å m a n k o m m i t s å långt a t t tecknet ska s ä t t a s , ä r j u hjärnarbetet avslutat och beteckningen i och för sej av m i n d r e v i k t , f ö r s å v i t t m a n inte en- b a r t t ä n k e r p å den som ska u t f ö r a rätt- ningsarbetet. V a r f ö r inte v ä l j a det i ut- l ä n d s k l i t t e r a t u r f ö r e k o m m a n d e divisions- tecknet — f ö r innehållsdivision. Det le- der t a n k a r n a t i l l den upprepade subtrak- t i o n som j u i n n e h å l l s d i v i s i o n e n är. I vil- ket f a l l som helst, s å r ö r m a n sej h ä r på ett s å s v å r t o m r å d e a t t det grundligt bör tas upp å r efter å r och i n t e minst i klass 7, d ä r m a n k a n r ä k n a med den största f ö r s t å e l s e n . Det ä r s ä k e r t ett k l o k t grepp i f ö r s l a g e t t i l l den n y a undervisningspla- nen a t t f l y t t a b r å k l ä r a n s tyngdpunkt h ö g r e upp i klasserna. N ä r det gäller all- m ä n n a b r å k ä r det g l ä d j a n d e a t t l ä s a Carl Gustav Hellstens i n l ä g g l i k s o m Elof Åh- lins. J a g i n s t ä m m e r helt. H ä r vandrar vi fortfarande o m k r i n g i ett sterilt område, d ä r ett m e r a gynnsamt k l i m a t bör ska- pas. Det b e h ö v s en populariserad fram-
ställning, ö v e r h u v u d t a g e t t r o r j a g a t t man inte ska v a r a s å r ä d d f ö r a t t popu- larisera, a t t a n v ä n d a bilder och u t t r y c k som kanske inte a l l t i d f y l l e r den s t r ä n g e matematikerns k r a v p å stringens och exakthet men som f ö r den okunnige kas- tar en s t r i m m a ljus ö v e r e t t t i l l synes hopplöst m ö r k a r . Det m i n d r e exakta k a n putsas av s å s m å n i n g o m , d å m a r k e n känns fastare under f ö t t e r n a .
Till sist. I n h ä m t a n d e av kunskaper ä r i vår t i d mer ä n f ö r r e t t u t r y m m e s p r o - blem. Det g ä l l e r inte bara f ö r l ä r a r e n a t t meddela kunskaper, han b ö r o c k s å under- söka om det finns u t r y m m e f ö r dem hos eleverna. S å v i t t j a g k a n f ö r s t å , s t å r v i nu inför valet a t t antingen s ä j a nej t i l l det nya som k o m m e r eller s k ä r a b o r t en del av det gamla. E g e n t l i g e n ä r det v ä l inte f r å g a o m ett v a l , eftersom v i av u t - vecklingsskäl inte h a r r ä t t a t t s ä j a nej till det nya. N å g o t av det g a m l a m å s t e bort — ä v e n o m det f ö r l ä r a r e n kanske känns p å k o s t a n d e (det ä r s ä k e r t bara f ö r honom). N ä r det g ä l l e r ä m n e t matematik,
ä r det inte s å bekymmersamt. Ä m n e t s lo- giska uppbyggnad g ö r a t t det m å s t e b l i en topphuggning samt ö v e r f l y t t n i n g av vissa moment f r å n en l ä g r e t i l l en h ö g r e klass. B e t r ä f f a n d e den s j u å r i g a skolans k u r s i m a t e m a t i k k a n m a n enligt m i n me- n i n g u t a n s t ö r r e s m ä r t a s t r y k a v ä x l a r , obligationer, a k t i e r och f ö r s ä k r i n g a r . De- ras m a t e m a t i k ä r oftast b e t y d l i g t mer i n - vecklad ä n v a d l ä r o b ö c k e r n a ger sken av.
E t t o m n ä m n a n d e av deras v e r k n i n g s s ä t t i stort, t . ex. i s a m h ä l l s l ä r a n , torde v a r a t i l l r ä c k l i g t v i d s j u å r i g l ä r o k u r s . Jag t r o r a t t v i b e t r ä f f a n d e ämnet, m a t e m a t i k l ä n g e ö v e r s k a t t a t v å r a genomsnittselevers för- m å g a t i l l a b s t r a k t t ä n k a n d e .
" H u r k o m m e r det sej", s ä j e r P o i n c a r é ,
" a t t s å m å n g a m ä n n i s k o r ä r u r s t å n d a t t f ö r s t å matematiska resonemang, o m ma- t e m a t i k e n endast g r u n d a r sej p å logikens lagar, v i l k a alla n o r m a l a i n t e l l e k t godtar och endast en g a l n i n g k a n bestrida? Det- t a borde f ö r v å n a oss, eller snarare skulle det f ö r v å n a t oss, o m v i i n t e vore s å vana v i d det."
Östen Persson
