Lösning B1:

B1

Vatten strömmar i ett rör som är 100 m långt och har en diameter på 50 mm. Rörets ytråhet, e, är 0.013 mm. Om tryckfallet i röret inte får överstiga 50 kPa, vad är då den högst tillåtna vattenhastigheten? Vattnets temperatur kan antas vara 25°C.

(8p)

Lösning B1:

Givet:

P

₁

-P

₂

= 50 kPa L = 100 m

D = 50 mm = 0.05 m

2 2

1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2

2

2

1 2

1 2

Bernouills med förluster:

2 2

,

2 2

( )

(1) 2

Både och är okända och beroende av varandra genom Re-tale

f

f

f f

f

f

f

v v

gy P gy P P

y y v v v

P P P

P f L v D P P f L v

D D P P

v f L

v f

 

 







      

  

   

 

  

  

3

6

t.

kan fås som funktion av Re-talet och e/D i fig 14.1 Materialdata för vatten vid 298 K:

= 998.2 kg/m 993 10 Pa s f

f



  

^



Vi måste iterera för att lösa hastigheten:

 Gissa hastigeten, v

 Beräkna Re

 Få fram f

_f

 Beräkna hastigheten, v ur (1)

6

3

1 2

0.013

0.00026 50

Gissa =1 m/s

998.2 1 0.05

Re = 50260

993 10 from fig 14.1 0.0055

( ) 0.05 50 10

2 2 0.0055 100 998.2 1.51

f

f

e D

v vD

f D P P

v f L









 

    



 

  

   

  

6

3

1 2

6

Gissa =1.51 m/s

998.2 1.51 0.05

Re = 75900

993 10 from fig 14.1 0.0052

( ) 0.05 50 10

1.55 m/s

2 2 0.0051 100 998.2

Gissa =1.55 m/s

998.2 1.55 0.05

Re = 77900

993 10 from f

f

f

v vD

f D P P

v f L

v vD















 

  



 

  

   

  

 

  





3

1 2

ig 14.1 0.0052

( ) 0.05 50 10

1.55 m/s OK!

2 2 0.0052 100 998.2

f

f

f D P P

v f L



  

    

  

Hastigheten får inte överstiga 1.55 m/s

B2

En industri har behov av varmvatten (85°C ) med flödet 2 m

³

/h. Man planerar att använda en gammal avlagd tubvärmeväxlare där de cylindriska tuberna har en innerdiameter av 38 mm.

Hur lång tubvärmeväxlare behövs för att värma vatten från 15°C till 85°C? Antag att man kan värma med ånga på utsidan av tuben, så att innerytan av tuben hålls vid 90°C.

Di T

y

T

_L

T

₀

L

Lösning B2.

Värmebalans över fluidelement Δx ger enligt (19-60):

4 0

0 0



  

 _T ^dT _{T vC} ^h _D ^dx

i L

p TL

T s



4 0 ln

0



 



 









i p s

s L

D L vC

h T

T T T

 ⁽¹⁾

Vi söker h mha korrelation. Flöde inuti rör. Ta reda på om flödet är laminärt eller turbulent.

Använd data vid bulkmedeltemperaturen, dvs

2 50

0

 



^L

medelfilm

T

T T °C

ρ = 987,7 kg/m3 μ = 565·10

^-6

Pas





 4

₂

Re

i i

D D vD Q







 32 541 > 2300 dvs flödet är turbulent.

Q = 2m

³

/h = 2/3600 m

³

/s

Dittus och Boelters korrelation (20-26) används om villkoren är uppfyllda.

n

k

Nu  hD  0 , 023 Re

^0,8

Pr (2)

1. n = 0,4 eftersom vattnet värms 2. Vi använder T

medelfilm

D

_i

T

s

T

_L

T

₀

L

 



 2

2

0

s L

medelfilm

T T T

T 70°C

ρ = 977,5 kg/m3 μ = 412·10

^-6

Pas

3.   4

₂



Re

i i

D D vD Q







 44165 > 10

⁴

OK!

4. Pr (70°C) = 2,785 OK!

5. L/D > 60 kollas i slutet.

Med k =0,6655W/(mK) och övriga data som tidigare ger ekv (2):

h =3156 W/(m

²

K) insatt i (1) ger detta:

L=16,3 m

Kontrollera L/D=16,3/0,038 = 428 OK!

Svar: Tuberna i värmeväxlaren behöver ha en längd av 16,3 meter

B3

Tio stycken malkulor av naftalen placeras i en garderob, med volymen 3m

³

, där kläder skall förvaras. Garderoben är lufttät och försedd med en fläkt som ser till att luften omblandas väl.

Hur lång tid tar det från att kulorna placerats i garderoben tills malen dör? En malkula har diametern 4 cm och malen dör vid en naftalenkoncentration på 0.05 mol/m

³

. I garderoben råder atmosfärstryck och temperaturen i garderoben är 25 C. Vid dessa förhållanden är mättnadstrycket för naftalen 670 Pa och värmeöverföringstalet 34 W/m

²

K. (OBS! Hänsyn måste tas till att naftalenkoncentrationen i garderoben ökar)

(10p)

Lösning B3:

Givet:

3

3

, ,

*

2

3 m

0.05 mol/m 25 C

101325 Pa 8.314 J/mol,K

670 Pa 34 W/m , K

4 cm = 0.04 m

A mal död

A

V C T P R p h d





 











Sökt: Hur lång tid det tar tills malen dör Sätt upp instationär balans över garderoben:

3

2 2 2

,

2 3 3

,

Naftalenkoncentrationens ändring i tiden:

Koncentrationsökning pågrund av konvektion från ytan av 10 sfärer:

( ) 10

10 4

( )

A

c A s A

A

c A s A

A

dC mol dt m s

k C C d

N r mol m mol

V V m sm m s

k C C

dC dt

 

 

    

    

       

 

 

 

, , ,

, ,

2

2

,

, , ,

2

0 , 0

, 0

10 Skriv om ekvationen:

10

( )

Integrera C mellan 0 och C och t mellan 0 och t 10

( )

ln( ) 10

A mal dör mal dör

A mal dör

c A

A s A

A A mal dör mal dör

C t

c A

A s A

C c

A s A

d V

k d

dC dt

C C V

k d

dC dt

C C V

k d

C C











  



  



   

     

 

2

, ,

,

, 2

, , ,

ln (1)

10

mal dör

A s mal dör

c A s A mal dör

t V V C

t  k  d C C

  

För att beräkna (1) krävs k

c

som kan fås genom Chilton-Colburn och C

A,s

som kan beräknas

med hjälp av mättnadstrycket.

2/3 2/3

2/3

2/3

3

5 2

Chilton-Colburn (28-61):

Pr Sc

Pr Sc Sc

Pr

Vi behöver materialdata för luft vid 25 C : 1.1854 kg/m

1006.24 J/kg,K 2.189 10 m /s Ur append

c

p

c

p

AB

AB c

p

p

k h

v c v

k h

c

D

D k h

c

c











 





 





 

      





 

      







 

6 2

2/3 6 2/3

5

,

* ,

ix J fås diffusiviteten för naftalen i luft:

0.619

6.109 10 m /s 101325

34 6.109 10

0.0122 m/s 1.1854 1006.24 2.189 10

C fås ur gaslagen:

C 670 0.

8.314 298

AB

AB c

p

A s

A A s

D

D k h

c

p RT

 







  

  

 

             

  



3

,

, 2 2

, , ,

270 mol/m

Sätt in allt i (1):

3 0.270

ln ln 1002 s = 16.7 min

10 0.0122 10 0.04 0.270 0.05

A s mal dör

c A s A mal dör

V C

t  k  d C C   

      

B4

Ärtor ska djupfrysas in i en fluidbäddfrys. I frysen håller luften så hög hastighet att ärtorna svävar och på så sätt fryses varje ärta individuellt, istället för att de fryser ihop i en stor klump.

a) Beräkna lufthastigheten som krävs för fluidbäddfrysning av ärtor med diametern 6 mm.

b) Om man antar att en ärta är fryst och har en homogen temperatur av -1,0°C när de kommer in i fluidbädd frysen, hur lång tid tar det då innan ärtan har en temperatur av -18°C i centrum och då är djupfryst?

Följande antaganden kan göras:

Luften håller -23°C.

För en fryst ärta gäller:

ρ = 980 kg/m

³

k = 0,8 W/m,K C

p

= 2,0 kJ/kg,K

(10p)

B4 Lösning Givet:

D = 6·10

^-3

mm T

luft

= -23°C ρ = 980 kg/m

³

k = 0,8 W/mK C

p

= 2,0 kJ/kgK

För luft har vi då:

ρ = 1,4133 kg/m

³

μ = 1,5991·10

^-5

Pas k = 2,2269·10

^-2

W/mK Pr = 0,722

a) Ärtan svävar alltså är krafterna på ärtan i balans.

Kraftbalans på ärtan:

F

_g

= F

_m

+ F

_l

, vilket ger:

Ekvationssystem med:

 

^1/2

3

4 



 



 



D l

p l s

C v gD





 och diagram 12.4 i boken

s C m

v

D

4133 / , 1 3

006 , 0 82 , 9 ) 4133 , 1 980 ( 4





 

Gissa C

D

= 2 ger v = 5,2 m/s ger Re = 2766

Nytt C

_D

= 0,4 = 11,66 m/s Re = 6184 C

_D

= 0,4 = 11,7 m/s Re = 6184

Dvs C

D =

ca 0,4 och v = ca 11,7 => Re = 6184

Fm Fl

Fg

b) Ärtan är genomfrusen med temperaturen -1,0°C.

Hur lång tid tar det innan den har nått -18°C i centrum? => Icke-stationär värmeledning!

3 ?

/  

 k

hr k

A Bi hV

Vi behöver h som fås ur korrelation (forced convection, external flow, single spheres).

Använd figur 20.11 eller uttryck 20-35 i boken.

Ur graf 20.11:

Re = 6184 ger Nu = 58 10 58 2269 , 2

006 , 0

2





 

 h

_

k Nu hD

luft

, vilket ger h = 217 W/m

²

K

(Om 20-35 används fås h = 138 W/m

²

K, antag att μ

∞

/μ

s

=1) 27

, 3 0 80 , 0

003 , 0

217 



 

Bi alltså använder vi diagramlösning.

Diagram F.3 för sfärer:

 









 

) 1 ( 23

) 18 (

Y 23 0,227

2 3

2

1

980 2 10 0 , 003

8 , 0







 

 t

x X  t

=> X=0,85 => t=19s

n = 0 (centrum)

23 , 003 1 , 0 217

8 , 0

1

 



 hx m k

Svar: Luftens hastighet ska vara 12 m/s och det tar 19 sek att kyla ärtan till -18°C i

centrum från det att den är genomfrusen.