Оператор краевой задачи Римана на системе концентрических окружностей и его приложения к одному классу систем уравнений в дискретных свертках (Operator of Riemann’s boundary value problem on the system of concentric circumferences and its application for

ОПЕРАТОР КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА

НА СИСТЕМЕ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ ОКРУЖНОСТЕЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К ОДНОМУ КЛАССУ СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ В ДИСКРЕТНЫХ СВЕРТКАХ

В. Б. Дыбин, Е. В. Бурцева Южный федеральный университет Поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.

Аннотация: на основе матричного операторного исчисления порядка 2n построена теория односторонней обратимости оператора R краевой задачи Римана в пространстве Лебега на составном контуре, который является объединением 2n концентрических окружностей, ука- заны конструкции обратных операторов и описаны подпространства KerR и ImR. В качес- тве приложения рассмотрена система дискретных уравнений типа свертки в пространстве последовательностей, суммируемых с показательными весами, порождаемая оператором R.

Для этой системы построена теория односторонней обратимости, найдены обратные опера- торы, описаны дефектные подпространства.

Ключевые слова: оператор краевой задачи Римана, символ, факторизация, обратные опе- раторы, дискретные свертки, дефектные подпространства, теория обратимости.

Abstract: the theory of the one-sided invertibility of the Riemann operator R based on matrix operator calculus is constructed in Lebesgue space on composite contour which is combination of 2n concentric circumferences. The constructions of inverse operators are given, subspaces Ker R and Im R are described. In the capacity of application the R-operator-generated system of discrete equations of convolution type in the space of the sequences those are summed with the exponential weights is considered. For this system the theory of the one-sided invertibility is constructed, the inverse operators and defi cient subspaces are described.

Key words: operator of the Riemann boundary value problem, symbol, inverse operators, factori- zation, discrete convolutions, theory of invertibility, defi cient subspaces.

1. ВВЕДЕНИЕ

В этой работе излагается новый метод ис- следования сингулярных интегральных урав- нений на составном контуре, состоящем из конечного числа концентрических окружностей на комплексной плоскости с центром в начале координат, альтернативный хорошо известным методам: Н. И. Мусхелишвили [1], Ф. Д. Гахов [2], И. Ц. Гохберг, Н. Я. Крупник [3], Б. В.

Хведелидзе [4] и др. Его особенностью являет- ся то, что для сингулярного интегрального оператора на контуре G (для простоты мы рассматриваем оператор R a ( ) = P

_G⁺

+ aP

_G^-

) пред- лагается матричное операторное исчисление, которое позволяет построить теорию односто- ронней обратимости оператора R a ( ) в про- странствах Лебега, по форме совпадающую с классической теорией односторонней обрати- мости этого оператора для случая одного за- мкнутого контура.

^*

© Дыбин В. Б., Бурцева Е. В., 2012

Особенностью настоящего метода является то, что операторное исчисление опирается только на классическую факторизацию М. Г. Крейна в винеровской алгебре на единич- ной окружности [5].

Экзистенциально близкие идеи встречают- ся в ряде работ, выполненных в прошлом веке (см., например, [6], [1, Гл. II], [3, Гл. III]). Но реализация предлагаемого метода связана с необходимостью исследования новых классов систем дискретных уравнений типа свертки в пространствах последовательностей, сумми- руемых с показательными весами [7], и поэ- тому потребовала принципиальной доработ- ки.

В последней части работы в качестве при-

ложения этого метода построена теория одно-

сторонней обратимости одного нового класса

систем дискретных уравнений типа свертки в

пространстве последовательностей, суммируе-

мых с показательными весами.

Результаты этой работы доложены на за- седании международного научного семинара

«Современные методы и проблемы теории опе- раторов и гармонического анализа и их прило- жения», Ростов-на-Дону, 2011, [8], а ее частный случай опубликован нами в [9]. Краткое изло- жение этих результатов содержится в [10].

2. ОБОЗНАЧЕНИЯ Составной контур G = G

= j

n j 1

∪

2

является сис- темой концентрических окружностей G

_j

ради- у с а r

_j

, 0 < r

₁

< r

₂

< ... < r

_2n

< •, л е ж а щ и х в комплексной плоскости с центром в начале координат. Окружности G

_j

с нечетными номе- рами ориентированы по часовой стрелке, а с четными номерами — против часовой стрелки.

Указанная ориентация разбивает комплексную плоскость на две области D

⁺

и D

^-

, где D

⁺

лежит слева от G и является объединением n колец

D K K z r z r

D D

i n

i i i i

+

=

+ +

-

- +

= , = { Π| <| |< } ^,

= .

1

2 1 2

∪ ^C

C

a 

П у с т ь 1 < p < • , L

_p

( ) G = L

_p

( G

₁

) ¥ L

_p

( G

₂

) ¥ L

_p

( G

_n

)

¥ ... ¥

₂

. Е с л и t

_j

ΠG

_j

, Π, j 1 2 n t , = t t t

_n

= (

₁

, , ...,

_{2 2}

) Œ , G то f t ( ) Œ L

_p

( ) G означает, что f t ( ) = ( f t

1

( )

1

, ..., f

2_n

( t

2_n

) ) ^,

t

где f t

_j

( )

_j

ΠL

_p

( G

_j

) . Введение в L

_p

( ) G нормы

f f f f

L_p( )G

=

₁ L_p(G)

+

₂ L_p(G)

+ ... +

₂n L_p(G_n)

1 2 2

превращает его в банахово пространство.

Сингулярный интегральный оператор Коши—Лебега S

_j

на G

_j

задаётся формулой

S f t i

f

t d j n

j j j

j j

j j

j

j

( ) ( )

= _p ¹ Ú _t - ^{t t} , = , , ..., ^{1 2 2} .

G

(1)

Через c

_j

, Œ , j 1 2 n обозначим характеристи- ческие функции окружностей G

_j

на контуре

G. Тогда оператор S

_G

на пространстве L

_p

( ) G , < 1 p < • определяется формулой

S f

S f S f S f

S f S f S f

n n

n n

G

=

+ + ... + + +...+

c c c

c c c

1 1 1 1 2 2 1 2 2

2 1 1 2 2 2 2 2 2

....

c

_2n

S f

_{1 1}

+ c

_2n

S f

_{2 2}

+ ... + c

_2n

S f

_{2n 2n}

.

Ê

Ë Á Á ÁÁ Á Á ÁÁ Á

ˆ

¯

˜

˜

˜˜

˜

˜

˜˜

˜

(2)

На пространстве L

_p

( ) G , < 1 p < • справед- ливо равенство S

_G²

= I [3, гл. I, § 3]. Поэтому

оператор I и аналитические проекторы P

_G^±

имеют следующие матричные представления:

I = ( I

_{ij i j}

)

²_{, =}ⁿ ₁

, где I

_ij

= d

_ij

I

_i

, где

2 1

1 ( ) ( )

2

( 1 2)

n

ij i j ii i i

ij i j

P I S P P P

P S i j

c c

± ± ± ±

G G , =

±

= ± = , = ,

= ± / , π , (3)

P

_j^±

= / ^{1 2} ( I

_j

± S

_j

) — стандартные аналитичес- кие проекторы, d

_ij

— символ Кронекера.

Пусть W ( G ,

_j

) j Œ , 1 2 n — аналог алгебры В и н е р а н а о к р у ж н о с т и G

_j

, W ( ) G = W ( G

₁

) ¥ W ( G

₂

) ¥ ... ¥ W ( G

_2n

) — алгебра с поэлементными сложением и умножением векторов, a t ( ) = ( a t

1

( )

1

, a t

2

( )

2

, ..., a

2_n

( t

2_n

) ) ^ΠW ( ) ^.

t

G

Введением нормы a a a

W W

=

₁

+

₂

+

1 2

(G) (G)

a a r a

n W j W

k j

k

n j jk

+ ... + , =

Œ

Â

- 2 (G2 ) (G)

Z

превраща- ем W ( ) G в коммутативную банахову алгебру с единицей E = ( 1 1 , , ..., 1 ) .

^t

Через GW ( ) G обозна- чим группу обратимых элементов в алгебре W ( ) G , GW ( ) G = GW ( G

₁

) ¥ GW ( G

₂

) ¥ ... ¥ GW ( G

_2n

) . Подалгебры W

^±

( ) G вводим следующим обра- зом:

W P W

W P W

+ +

- -

= ,

= ¥ ¥ ... ¥ ¥ + ,

( ) ( )

( ) ( ) ( )

G G

G G

G

O O O C

G

где ( O ¥ ... ¥ O C ¥ ) — одномерное подпро- странство векторного пространства C

²ⁿ

.

Подалгебра W

⁺

( ) G состоит из 2n-мерных векторов следующего вида:

a W a a

i n i

+ + +

= Ê + ËÁ

ˆ

Π( ) G , =

¯˜

,

1

2

где a t

_{i i}

a t

k ik i

k +

=-•

•

= Â ,

( ) при этом a t

_i⁺

( )

_i

= a

_i⁺₊₁

( ) t

_i

, = , , ..., i 1 3 2 n - . 1

Подалгебра W

^-

( ) G состоит из 2n-мерных векторов следующего вида:

a W a a

i n i

- - -

= Ê - ËÁ

ˆ

Π( ) G , =

¯˜

,

1 2

где

a t a t a t a t

k k

k

n n

k

n k n k 1 1

0

1 1 2 2

0

2 2

-

=

•

-

=-•

= Â , = Â

,

,

( ) ( )

a t

_{i i}

a t i n

k ik i

k -

=-•

•

= Â , = , , ..., - ,

( ) 2 3 2 1

при этом a t

_i^-

( )

_i

= a

_i^-₊₁

( ) t

_i

, = , , ..., i 2 4 2 n - . 2

Пусть a t

^±

( ) ΠW

^±

( ) G , f t ( ) ΠL

_p

( ), G тогда [3, Гл. I, § 4] справедливы стандартные формулы:

P

_G^±

( ) a I P f

^± _G^±

⁼ ( ) a I P f

^± _G^±

^{, (4)}

P

_G^±

( ) a I P f

^∓ _G^∓

^{= . 0 (5)}

Ниже изучается оператор

R a ( ) = P

_G⁺

+ aP

_G^-

= P

_G⁺

+ ( aI P )

_G^-

, (6) где

aI A A a I

ij i j n

ij ij i i

= ( )

, =1

^{, = ,}

2

d

а вектор-функция a Œ W ( ) G и называется сим- волом оператора R a ( ).

Таким образом, матричное представление оператора R a ( ) имеет вид

если

где

если

2 1

( )

( ) ( )

(1 2) (1 )

i i i i

n

ij i j ij

i i j

P a P i j

R a R R

a S i j c

c

+ -

, =

Ï + ,

Ô = ,

= , = Ì Ô

/ - ,

Ô

Ô π .

Ó

(7)

3. ФАКТОРИЗАЦИЯ

П у с т ь a t ( ) = ( a t

1

( )

1

, a t

2

( )

2

, ..., a

2_n

( t

2_n

) ) ^Œ

t

GW ( )

Œ G Тогда функции a t .

_j

( )

_j

допускают ф а к т о р и з а ц и ю [ 5 ] в а л г е б р а х W ( G , = , , ..,

_j

) j 1 2 2 n :

a t

_j

( )

_j

= b t

_j⁺

( )

_j

◊ t

_j^-¿j

◊ b t

_j^-

( )

_j

, (8)

b t

_{j j}

b t b t b t j n

k jk j

k

j j

k jk j

k +

=-•

+ -

=

•

= Â , = Â

-

, = , , ..., - ,

( ) ( )

0

0

1 3 2 1

a t

_j

( )

_j

= b t

_j⁺

( )

_j

◊ t

^¿_j^j

◊ b t

_j^-

( )

_j

, (9)

b t

_{j j}

b t b t b t j n

k jk j

k

j j

k jk j

k +

=

•

+ -

=-•

= Â , = Â

-

, = , , ..., .

( ) ( )

0

0

2 4 2 В областях K

_i⁺

зафиксируем точки z = z i

_i

, = , ..., 1 n и введем обозначения:

¿ = = ¿ = =

= -

= =

=

¿

 Â

’

^-

ind a t ind a t

ind t z

i n

i i

n

i i i

i n

i

i

G G

G

( ) ( )

( )

1 2

1 2

1

2 11+¿2

,

i

(10)

a t

t z

t z t

i n

i

i n

i

i i

i i

0

1

1

1

2 1 2

2 1 2

1 ( )

( )

=

-

= - .

=

¿ +¿

¿

=

- ¿ +¿

’ ’ ( )

-

-

(11) Определение. Будем говорить, что фун- кция a t ( ) допускает факторизацию в алгебре W ( ) G и писать a t ( ) Œ fakt W ( ), G если эта функция допускает представление

a t ( ) = a t

⁺

( ) ◊ a t

₀

( ) ◊ a t

^-

( ) , (12) где a t

^±

( ) ΠGW

^±

( ) G , a t

₀

( ) имеет вид (11),

¿ Œ Z.

Заметим, что функция a t

₀

( ) является ста- ционарной на контуре G, то есть a t a t

i i

0

( ) | =

_G 0

( ) , i Œ , 1 2 , n и a t

₀

( ) ΠW

^-

( ) G , если ¿ £ , 0 и (1 / a

₀

)( ) t Œ

( ) 0.

W

^-

Œ G , если ¿ ≥

Теорема 1. Пусть a t ( ) Œ GW ( ), G тогда a t ( ) Œ faktW ( ), G то есть выполняется равенс- тво (12), где a t

₀

( ) имеет вид (11), (10), а

a t a t

_{j j}

a t a t

j n

j j j

+ + n

=

- -

= ( ) ^{, =} ( )

=

^,

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

где

a t

_{j j}

b t b t t

k j

k j k j j

k j

+ k

= + /

- +

-

- - ¿- ¿

= È

Î ˘

˚ ◊

 ◊

’

⁼

( ) ( ) ( )

( )

1 1 2

2 1 2 2

1

1

◊◊ È

Î ˘

˚ =

= + / +

+

- -

’

k j n

k j k j

b t b t

( )

( ) ( )

1 2

2 2 1

1

= a

⁺_j+1

( ) t

_j

, b t

₀

( )

_j

= b

_2n+1

( ) t

_j

= , 1 j = , , ..., 1 3 2 n - , 1 (13)

a t b t b t

b

j j

k j

k j k j

k j n

k -

= /

-

-

+ -

= + / - -

= È

Î ˘

˚ ◊

◊

’

’

( ) ( ) ( )

( ) 1 2

2 2 1

1

2 2

2 1

(( ) t

_j

È b

₂⁺_k

( ) t

_j ^-1

Î ˘

˚ ◊

◊ Â

◊ - = ,

= , , ..., -

= -

¿

=

-¿ -¿

+

’

-

t t z a t

j n

j k

n

j k j j

k j

k

k k

1 2 1 2

1

1

2 4 2 2

( ) ( )

,,

a t b t b t t z

k n

k k

k n

k

k

1 1 1

2 1 1 2 1

1

1 1

2 1

-

= -

- + -

=

-¿ -¿

= È

Î ˘

˚ ◊ -

’ ’

^-

( ) ( ) ( ) ( )

^22k

,

a t b t b t t

t

n n

k n

k n k n n

k n

n

2 2

1

2 2 2 1 2

1 2

1 2 -

= -

-

+ -

¿

=

= È

Î ˘

˚ ◊ ◊

◊ -

’

’

( ) ( ) ( )

( zz

_k

)

^-¿2k-1-¿2k

.

(14)

 Заметив сначала [9], что

a t a t a t

_{j j}

W

j

± ± ± n

=

, / = ( / ( ) ) ^Œ

±

( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ),

1 2

G и кроме того,

ind a t a t ind a t ind a t

G G G

+ - + -

( ^{( ) ( )} ) ^{= ( ) + ( ) = 0 ,}

элементарной проверкой убеждаемся в том, что a t a t a t

₀

( ) ( ) ( )

^{+ -}

= a t ( ) . 

Введем обозначение

R c d ( , ) = cP

_G⁺

+ dP

_G^-

, , Πc d W ( ) G .

Следствие. В условиях теоремы 1 спра- ведливо равенство

R a ( ) = ( a I R a R

⁺

) ( ) (

₀

1 / a a

⁺

,

^-

) . (15) Данное утверждение непосредственно вы- текает из формул (4), (5).

Замечание 1. В дальнейшем нам понадобит- ся более подробное описание действия проекторов

P

_G^±

на вектор-функцию f t ( ). Пусть p = . 2 Пред- ставим функции f t

_j

( )

_j

, Œ , j 1 2 n рядами

f t

_{j j}

f t

k jk j

( ) =

k

,

=-•

•

Â

сходящимися в пространстве L

₂

( G в средне-

_j

) квадратичном. Рассмотрим сначала проекторы

P

_G^±

,

P f

_G^-

t f

^-

t f

^-

t f

^-_n

t

_n

( ) ^{( ) =} (

1

^{( )}

1

^,

2

^{( )}

2

^{, ...,}

2

⁽

2

⁾ ) ^,

t

где f t P f t

i

f t d

k k

k l

n

k lk l

k

l

l

l

1 1 1 1 1

2 2

1

1 2

- -

=-•

•

=

=-•

•

= -

- ,

  Ú

Â

( ) p

t

t t

G

f t P f t

i

f

n n n

k

n k n k

l n

k lk l

k

l

2 2 2 2 2

1

2 1

1

2

- +

=-•

• ,

= -

=-•

•

= Â - Â Ú

Â

( )

p

t

G

t

ll n

t d

l

- ,

2

t

f t P f t

i

f t d

j j j

k jk j

k l l j

n

k lk l

k

l j

l

- -

=-•

•

= π

=-•

•

= -

Â Â Ú Â - ( )

1

2

1

2p

t

G

t

tt

_l

j n

,

Π, 2 2 - . 1

После элементарных вычислений каждая из трех функций принимает вид:

f t f t

f t

k l

n l

lk k

n n

k l

n

1 1

0 1

2

1 1

2 2

1

1 2 -

1

=

•

= +

-

=-•

-

=

= - ,

= -

   Â

( ) ( )

( ) ( 1 1 )

^l

f t

_{lk 2}^k_n

,

f t

f t f t

j j

k l

j l

lk j k

k l j

n l

lk j k

-

=-•

-

= =

•

= + +

=

- + -

   Â

( )

( ) ( )

1

1 0 1

2

1 1

1

,,

= ,

- + - ,

=-•

-

= -

=

•

=

   Â

+

j m

f t f t

k l

j l

lk j k

k l j

n l

lk j k

2

1 1

1

1 1

0 2

( ) ( )

1

jj = m + , m Œ , n - Ï

Ì Ô Ô Ô Ô

Ó Ô Ô

Ô Ô 2 1 1 1

Кроме того

где

1

2

1 1

1 2

1

1 0 1

( ) ( ) 2 4 2 2

( )( ) ( ) ( )( )

{ ( )} ( ) ( )

( 1) ( 1)

1 3 2 1

j j j j

n

j j j j j j j

j n

l k l k

lk j lk j

k l k l j

f t f t j n

P f t f t P f t

f t f t f t

f t f t

j n

- -

+

+ -

G G

+ + +

= +

- •

+

=-• = = = +

fi = , = , , ..., - .

, = - =

= , = =

= - + - ,

= , , ..., - .

   Â

(16)

4. ОБРАТИМОСТЬ

Теперь мы можем предъявить критерий односторонней обратимости оператора R a ( ), конструкцию соответствующих обратных опе- раторов и одновременно описать подпространс- тва KerR a ( ) и ImR a ( ).

Теорема 2. Пусть a t ( ) Œ W ( ) G , ¿ = ind a t ( ).

Для того, чтобы оператор R a ( ) был односто-

G

ронне обратимым F- оператором в простран-

стве L

_p

( ) G , < 1 p < • , необходимо и достаточ- но, чтобы выполнялось условие:

a t ( ) π , Œ , 0 t G (17) т.е. a t

_j

( )

_j

π , 0 t

_j

ΠG

_j

, j Œ , 1 2 n . Если условие (17) выполнено, тогда: при ¿ = 0 оператор

R a ( ) обратим, при ¿ > 0 оператор R a ( ) обра- тим справа, при ¿ < 0 оператор R a ( ) обратим слева, а оператор R a ÈÎ ( ) ˘˚

^-1

соответствующего вида может быть представлен в форме

[ ( )] R a

^-1

= R a (

⁺

, / 1 a R

^-

) ( 1 / a

₀

)(( 1 / a I

⁺

) ) , (18) где функции a t a t

₀

( ) ,

^±

( ) определены формулами (11), (13), (14).

 Необходимость условия (17) получена в [3, Гл. III, Т. 7.1].

Пусть условие (17) выполняется. Тогда по теореме 1 символ a t ( ) допускает факто- ризацию вида (12). Вследствие чего опера- тор R a ( ) допускает представление (15), где операторы ( a I

⁺

) и R ( 1 / a a

⁺

,

^-

) обратимы,

R ( 1 / a a , )

¹

R a ( 1 a ) ( a I )

¹

( 1 a I )

È Î ˘

˚ = , / , = / ,

+ - -

+ - + - +

а оператор R a ( )

₀

обратим при ¿ = 0, обратим справа при ¿ > 0 и обратим слева при ¿ < 0.

Д е й с т в и т е л ь н о , п у с т ь ¿ ≥ 0. Т о г д а 1

₀

1

2 1 2

/ =

^¿

◊ - Œ

=

-¿ -¿ -

’

^-

a t t t z W

i n

i

i i

( ) ( ) ( ), G и в силу

равенств (4), (5)

R a R ( ) (

₀

1 / a

₀

) = ( P

^G+

+ a P

₀ ^G-

) ( P

^G+

⁺ ( 1 ^/ a P

₀

)

^G-

) ⁼

= P

_G⁺

+ P

_G⁺

( 1 / a P

₀

)

_G^-

+ a P

_{0 G}^-

( 1 / a P

₀

)

_G^-

= P

_G⁺

+ P

_G^-

= . I П у с т ь ¿ £ 0. В э т о м с л у ч а е

a t t t z W

i n

i

i i

0

1

2 1 2

( ) =

^-¿

◊ ( - ) Œ ( ).

=

¿ +¿ -

’

^-

G Поэтому

R ( 1 / a R a

₀

) ( )

₀

= ( P

^G+

+ ( 1 / a P

₀

)

^G-

) ( P

^G+

⁺ a P

₀ ^G-

) ⁼

= P

_G⁺

+ P a P

_G⁺ _{0 G}^-

+ ( 1 / a P a P

₀

)

_G^- _{0 G}^-

= P

_G⁺

+ P

_G^-

= . I  Теорема 3. В условиях теоремы 2 при

¿ > 0 dim KerR a ( ) = ¿ и KerR a

span t

^j

a t a t a t j ( )

[ ( ) ( ( )) ( ( ) )]

=

= (

^{- +}

-

^{- -1 0 -1}

, Œ ,¿ ¹ ) ^{. (19)}

При ¿ < 0 dim CoKerR a ( ) = ¿ , и для того, чтобы функция f принадлежала образу опе- ратора R a ( ) необходимо и достаточно выпол- нение следующих ¿ условий ортогональнос- ти:

G

Ú ^{f t t ( )}

^k

( ^{a t}

⁺

^{( )} )

^-1

^{dt = , 0 k Œ¿, - . 1 (20)}

 Пусть ¿ > , 0 покажем, что L = ^{span g} (

^j

, ^j Œ ,¿ ¹ ) ^{à KerR a ( ) .}

где ^g

^j

= ^t

^-j

^È _ÎÍ ^{a t}

⁺

^{( )} - ( ^{a t}

^-

^{( )} ) (

^-1

^{a t}

⁰

^{( )}

^-1

) ^˘ _˚˙ ^{, Œ ,¿. j 1}

Заметим, что t

^-j

ΠW

⁺

( ) G , Œ ,¿. j 1 Кроме того, функция

t

^j

a t t

^j

t z W

i n

i

i i

- - ¿-

=

-¿ -¿ -

(

0

)

¹

⁼ ’ ^-

^-

^{Π,}

1

2 1 2

( ) ( ) ( ) G

так как она в точках z = • и z = 0 имеет нули соответственно вида z

^{- j}

и z

^¿-j

, j Œ ,¿. 1 Одно- временно z

_i

ΠD

_i⁺

, Œ , i 1 . n . Поэтому

R a g t ( ) ( )

_j

= P g t

_G⁺ _j

( ) + a t a t a t P g t

⁺

( ) ( ) ( )

₀ ^- _G^- _j

( ) =

= ( ) ^- Ê ( ) ÈÎ ˘˚

ËÁ

ˆ

¯˜ +

+ - + + - - - -

P

_G

t a t

^j

( ) P

_G

t

^j

a t ( )

¹

a t

₀

( )

¹

+ ( ) ^-

- (

+ - - - +

+ - - - -

a t a t a t P t a t a t a t a t P t a t

j

j

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

0

G

G

^Ê _ËÁ ))

^-1

( ^{a t}

⁰

^{( )} )

^-1

^ˆ _¯˜ ⁼

= - ( ) ( ) ⁼

= -

- + + - - - - -

- +

t a t a t a t a t t a t a t t a t t

j j

j

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

1 0

1

-

- +

j

= . a t ( ) 0 fi L KerR a à ( ) .

Теперь покажем, что KerR a ( ) Ã L Рассмот- . рим сначала KerR a ( )

₀

. Пусть g Œ KerR a ( )

₀

. Тогда R a g ( )

₀

= 0 ¤ P g

_G⁺

+ a P g

_{0 G}^-

= 0 ¤ P g

_G⁺

=

a P g

₀

= -

_G^-

¤

¤

⁺

= -

^-¿

- .

=

¿ +¿ -

’

^-

P g t t z P g

i n

i

i i

G G

1

2 1 2

( )

Не нарушая общности, будем считать, что ( ¿

_2i-1

+ ¿

_2i

) < , Œ , 0 i 1 m и n

i m

i i

-

=

= Â ¿

-

+ ¿

1

2 1 2

( ),

( ¿

_2i-1

+ ¿

_2i

) ≥ , Œ 0 i m + , 1 n и n

i m n

i i

+

= +

= Â ¿

-

+ ¿

1

2 1 2

( ).

При этом, так как ¿ > , 0 то n

_-

< n

₊

. Тогда

P g t t z

t t z

n i m

n

i

n i

m i

i i

i i

G

+ -

= +

¿ +¿

-

=

¿ +¿

= - - ◊

◊ -

+ -

- -

’

’

1

1

2 1 2

2 1 2

( )

( ) P P g

_G^-

. Заметим, что

i m

i

i m

i

t z W

g t z P g L

i i

i i

=

¿ +¿ -

-

=

¿ +¿ -

’

’

- Πfi

fi = - Œ

-

-

1

1

2 1 2

2 1 2

( ) ( )

( )

G

G



p p -

( ) G . Учитывая последнее равенство, имеем:

P g t

ⁿ

t z t g

i m n

i

i i n

G

+ -

= +

¿ +¿ - -

= -

⁺

’ -

^-

◊

^-

¤

1

2 1 2

( ) 

¤

⁺

= -

^-

-

= + =

¿ +¿

¿ +¿

- -

-

-

’ Â

-

P g t

ⁿ

C z t g

i m n

k

k k

i

k k

i i

i i

G

1 0

2 1 2

2 1 2

1

( ( ) ) ..

Подействуем проектором P

_G⁺

на полученное равенство:

P g d P t g

k n

k k n

G G

+

=

+ - - -

= .

+

Â

-

0

 С учетом формулы (3) получим:

P t

_G^{+ - -k n-}

g 

^-

=

=

-

- +

+

=

•

=

+ - -

=-•

-

- -

  Â

-

-

P

g t g g t

j l

n l

lj j k n

j

j j

j k n

G

0 1 2

1 1 1

2 1 2

1 ( )

( )

jj l n

l lj

j k n

j

j j

j k n j

g t g g t

=

•

=

+ - -

=-•

-

- -

=

  Â

-

- +

-

-

0 3 2

1 2

1

2 1 3

0

1 ( )

( )

•

•

=

+ - -

  ^-

^-

l n

l lj

j k n

g t

3 2

1

1

3

( )

...

( )

j l

n l

lj n

g t

j k

=-•

-

= -

-

 Â

¹

^-

- - 1 2 2

2 1

1

ⁿⁿ

j

n j n j n

j k n

j l

n l

lj

g g t

g t

-

+ -

-

-

=

•

- , , -

- -

=-•

-

=

  Â

0

2 1 2 2 1

1

1 2

1

2

( )

( )

^{j k n}_nn^{- --}

Ê

Ë ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ Á ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ ÁÁ Á Á

ˆ

¯

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

˜˜

=

= - =

=

= = + -

=

+ - -

-

- Ê

Ë Á ÁÁ ÁÁ Á

ˆ

¯

˜

˜˜

˜˜

˜

 Â

i n

j k n

l n

l lj i

j k n

g t

1 2

0 1

1 2

1

1

( )

jj k n

j j k n

j l

n l

lj j

g t g g

n

= + -

- -

= +

=

-

Â

-

^{, =} Â ^{- .}

0 1

1 1

1 2

1 1

1

2

{ ( ) }

Поэтому

P g d g t c t

k n

k j k n

j j k n

m m

m G

+

= =

+ - - -

=

¿

= =

-

,

+ -

 Â

-

Â

0 0

1 1

1

P g a t P g a t c t

m m

m

G G

- - + -

=

¿

= - (

0

) ^{= -} ( ) ^◊ Â

-

^,

1

0 1

1

( ) ( )

g c t a t

c t z t

m m

m

m m

m i

n

i

i

= ( - ) ⁼

= - -

=

¿

- -

=

¿ -

=

- -¿

Â

 ’

^-

1

0 1

1 1

1

1

1 1

²

( ( )) ( )

^11-¿2

Ê

Ë Á ÁÁ ÁÁ Á

ˆ

¯

˜

˜˜

˜˜

˜

.

i

О т к у д а с л е д у е т , ч т о KerR a ( )

₀

= span t

^m

È 1 - ( ( )) a t

₀ ¹

m 1

Î ˘

˚ , Œ ,¿

(

^{- -}

) ^.

В общем случае, с учетом формулы (15) KerR a ( ) = R a (

⁺

, / 1 a

^-

)( KerR a ( ))

₀

=

= ( + / ) ^È Î ^- ˘

˚ , Œ ,¿

( ) ⁼

+ + - - - -

a P

_G

( 1 a P )

_G

span t (

^j

1 ( ( )) a t

₀ ¹

j 1 )

= È -

Î ˘

˚ , Œ ,¿

(

^{- + - - -}

) ^{= .}

span t

^j

a t ( ) ( a t ( )) ( ( ))

¹

a t

₀ ¹

j 1 L

Пусть ¿ < . 0 Так как

f ImR a P f t P g t

P f t t t z

i n

i

i i

Œ ¤ = ,

= ◊ -

+ +

- -¿

=

¿ +¿

’

^-

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

1

2 1 2

G G

G

g g t

^-

( ) ,

где g t

^-

( ) = P g t

_G^-

( ), то, учитывая замечание 1, получаем, что интеграл

G G

G

G

Ú Ú

Ú ’

= =

= ◊ -

-

-¿

=

¿_-+¿ -

f t t dt P f t t dt

t t z g t

k k

k i

n

i

i i

( ) ( )

( ) ( )

1

2 1 2

d dt

представляется как сумма 2n интегралов

G_j

i i

t

_j^k

t z g t dt j n

i n

j i j j

Ú

^-¿

’

=

¿ +¿ -

◊ -

^-

, Π,

1

2 1 2

1 2

( ) ( ) , г д е

интегралы по контурам G

_j

и G

_j+1

, j = , , ..., 2 4 2 n - 2 взаимно противоположны по знаку и поэтому

G G

G

Ú Ú Â

Ú Â

= ◊ +

+ ◊

-¿

=

•

=-•

- ,

f t t dt t g t dt

t g

k k

s s

s

n k

s n

n

( )

1

2

1 0

1 1 1

2 1

2





_ss

t dt

₂^s_{n 2n}

= 0 fi

G

Ú ^{f t t dt ( )}

^k

^{= , 0 k Œ¿, - . 1 (21)}

П о к а ж е м , ч т о и з ( 2 1 ) с л е д у е т f Œ ImR a ( )

₀

:

G G

G G

Ú

^-

Ú Â Ú Â

=

•

=-•

•

= ◊ + ◊

P f t t dt

^k

f t t dt f t t dt

s s

s k

s s

s k

( )

1 0 2

1

1 1 1

2

2 2 2

+ + ... +

+ ◊ +

-

Ú Â Ú Â

=-•

• -

- - -

=-•

-

G_{2 1} G₂

2 1

2 1 2 1 2 1

1 2

2

n s n

s n

n s

n k

n

s s

n n

f t t dt f t

s

◊◊ t dt

₂^k_{n 2n}

=

= + + ... +

+

=

•

+

=-•

•

+

=-•

• -

Â Ú Â Ú Â

s s

s k s

s s k

s s

n

f t dt f t dt

f

0 1

1 1

2

2 2

2

1 2

G G

1 1

2 1 2 1

1 2

2 2

2 1 2

G_n G_n

t

^{s k}_n

dt

_n

f t dt

s s

n n s k

n

-

Ú

^{+- -}

 Ú

=-•

-

+

+

=

= ^{2 pi} ( - ^f

^{- -1k 1}

+ ^f

^{- -2k 1}

- ^f

^{- -3k 1}

+ ... + ^f

^{- -2kn-12}

- ^f

^{- -2kn-11}

) ⁼

= - 2 pif

_{- -}¹_{k 1}

= , Œ¿, - , 0 k 1

т а к к а к в с и л у ф о р м у л ы ( 1 4 ) f

_{- -}²_{k 1}

= f

_{- -}³_{k 1}

, ..., f

_{- -}²_k^n-₁²

= f

_{- -}²_k^n-₁¹

. Тогда

g t

z t f t

i n

i

s s

i i s

-

=

- -¿ -¿

=-¿

•

=

’ -

^-

Â

( )

( )

...

1

1

1 1

1

^{2 1 2} 1

...

...

( )

i n

i k

s s

k k

z t

^{i i}

f t

s

=

- -¿ -¿

=-•

•

’ ^-

^-

Â

1

1

1 ^{2 1 2}

...

( )

i n

i n

s s

n

z t

^{i i}

f t

n

=

- -¿ -¿

=-•

-

’ ^-

^-

Â

1

2 1

1 2

1

^{2 1 2} 2^ss

L

p Ê

Ë ÁÁ Á Á Á ÁÁ Á Á ÁÁ Á Á ÁÁ Á Á ÁÁ

ˆ

¯

˜˜

˜

˜

˜

˜˜

˜

˜

˜˜

˜

˜

˜˜

˜

˜

˜˜

Œ

-

( ) G .

Таким образом, f t ( ) Œ ImR a ( )

₀

¤ (21).

В общем случае, принимая во внимание следствие из теоремы 1, получаем, что условие

f Œ ImR a ( ) равносильно выполнению условий (20). 

5. ДИСКРЕТНЫЕ СВЕРТКИ Пусть r

₁

> r

₂

> ... > r

_2n

, r

_j

Œ , • , Œ , ( 0 ) j 1 2 n . Через { r

_2j

, r

_2j-1

}

_p

, £ 1 p < •, обозначим банахо- во пространство комплексных последователь- ностей вида

f

_j

= { f

_jk

}

_kŒZ

, f

_jk

= r

₂^k_j

( P f

₊



_{j k}

) + r

₂^k_j-1

( P f

_-



_{j k}

) , где

 

 

f f l p

P f sign k f

j jk k p

j jk k

= Œ , £ < •,

= { /

^Œ

± } ^.

± Œ

{ } ( )

( )

Z

Z

Z 1 1 2 1

Норма в этом пространстве вводится внешним образом, f

_j

f

j j p j p

{r₂ ,r_2-1}

=  .

Если a = { } a

_{k kŒZ}

Π{ r

_2j

, r

_{2j-1 1}

} , то оператор дискретной свертки

C a f

_j

a f

s

k s js k

( ) = Ï Ì Ó

¸ ˝

˛

=-•

• -

Œ

Â

Z

о г р а н и ч е н в п р о с т р а н с т в е { r

_2j

, r

_2j-1

}

_p

, [ ]

1 £ p < • 11 .

Рассмотрим матричный оператор порядка

2n   

R a ( ) = P

₊

+ C a P ( )

_-

в пространстве

X

_{p p n n p}

p p

= , ¥ , ¥ ... ¥ , =

= , ¥ ,

{ } { } {

-

}

{ } { }

r r r r r r

r r r r

2 1

2

4 3

2

2 2 1

2

2 1 2 1

¥ ¥ , ¥ , ¥ ...

¥ ,

_-

¥ ,

_-

{ } { }

{ } { } .

r r r r

r r r r

4 3 4 3

2 2 1 2 2 1

p p

n n p n n p

Здесь взаимно дополнительные проекторы P 

_±

, операторы C a ( ) и 

R a ( ) имеют следующие матричные представления порядка 2n :



∓ ∓

∓ ∓

∓

∓

P

∓

P P P P P P

P P P P P P

P P P P

±

+ + + + +

- ± + + + +

- - +

=

± ± ... ±

± ± ... ±

± ± ... ∓ ∓

∓ ∓

P P

P P P

+ +

- - -

±

± ±

... ... ... ... ... ... ...

P

P P P

P P P P P P

- +

- - - ±

Ê

Ë ÁÁ Á Á ÁÁ Á Á Á ÁÁ Á Á ÁÁ

ˆ

¯

˜˜

˜

˜

˜˜

˜

˜

... ±

± ± ... ±

∓

∓ ∓

˜˜

˜˜

˜

˜

˜˜

, = Ê ËÁ

ˆ

¯˜

,

= , = ,

C a C C C a

i j n

ij ij ij i

( ) ( )

1

2

d