• No results found

Substitution Substitution 2 2 Substitution (2)2 Exempel 4

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Substitution Substitution 2 2 Substitution (2)2 Exempel 4"

Copied!
6
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

1 INTEGRALER AV RATIONELLA FUNKTIONER

Viktiga grundexempel:

============================================================

Exempel 1. 0 Lösning :

1 1

| |

| |

============================================================

Exempel 2. 1, 0 Lösning :

1

1 1

∙ 1

1∙

1

============================================================

Exempel 3. 0 Lösning :

1 2

1 2 | | 1

2 | |

============================================================

Substitution

Substitution

2

2 Substitution

(2)

2 Exempel 4. 0 Lösning :

1

1 1 1

1

1 1

============================================================

Exempel 5. 0 Lösning :

Först delar vi integranden i partiella bråk

1 1

2

1 1

∗ [ kontrollera ( * )]

Från (*) får vi

1 1

2

1 1 1

2 | | | |

1

2 | |

===========================================================

Uppgift 1. Beräkna följande integraler

a) b) c) d) e) f) g)

Svar: a) | | b) | | |3 | c) d) | | e)

f) | 2| | 2| g)

| √3| | √3|

Substitution

(3)

3

===========================================================

Exempel 6.

Först loser vi ekvationen 0 ( ekv6) .

A) Om lösningar är reella och olika delar vi integranden i partiella bråk.

B) Om ekvationen har dubbel rot får vi enkel integral av typ ( se ex 2.) C) Om (ekv6) har komplexa lösningar då kvadratkompletterar vi nämnaren och får

1

2 4

Med substitutionen får vi integral av typ som i Exempel 2.

Exempel 6A)

6 0 ⇒ 2, 3 och därför

1 6

1

2 3

Vi delar integranden i partiella bråk:

⇒ ( efter multiplikationen med 2 3 )

1 3 2 ⇒

1 3 2

Eftersom ovanstående ekvationen gäller för alla x har vi följande system m a p A och B 0

3 2 1

Härav och .

Därför / / | 2| | 3|

--- Exempel 6B)

6 9 0 ⇒ 3, 3 ( dubbel rot

(4)

4 och därför

1 1

3

--- Exempel 6C)

2 2 0 ⇒ 1 , 1

Vi har fått komplexa rötter och därför vi kvadratkompletterar nämnaren.

1

2 2

1

1 1

1

1

1 Integral av rationella funktioner i allmänna fall

Om grad(P(x)) grad(Q(x) utför vi polynomdivision av P(x) med Q(x) och skriver integranden

, ä S x Q x .

Därefter delas i partiella bråk.

===========================================================

Exempel 7)

Polynomdivision ger

3 3 6

3

3 6

3 . 3 Substitution

1 Substitution

(5)

5 Vi delar i partiella brak

3 6

3 3 ⇒

3 6 3 ⇒

3 6 3 ⇒

3

3 6

Härav A=2 och B=1 Därför

3 3 6

3

2 1

3

3 2 | | | 3| .

===========================================================

Exempel 8)

4 2 3 4 2 3

1 1 ⇒

4 2 3 1 ⇒

4 2 3 ⇒

Vi identifierar koefficienter och får tre ekvationer:

4 2 3 Härav 3, 1, 2 och därför

Därför

4 2 3 3 2

1

3

1

2 1 3 | | 1

2 1 2 .

(6)

6 Uppgift 2. Beräkna följande integraler

a) b)

c) d)

Svar:

a) | 2| | 6|

b) | 2| | 6|

c)

d) | 2| | 3| .

==========================================

Integraler av typ beräknar vi

i) med hjälp av partialbråksuppdelning om nämnaren har reella rötter.

ii) med hjälp av kvadratkomplettering om nämnaren har komplexa rötter.

Uppgift 3. Beräkna följande integraler

a) b)

a) Lösning:

3 2 0 ⇒ 1 , 2

Nollställena är reella. Vi faktoriserar nämnaren och delar integranden i partiella bråk:

⇒ 3 4 2 ⇒

3 och 2 4.

Härav 1, 2 och

| 1| 2 | 2|

b) Lösning: Nämnaren har komplexa rötter och vi använder kvadratkomplettering.

| 1| 2 | 2 2| 2 1

subs: 1 1

References

Related documents

För de fyra undersöktaluftfilterstationema erhålls följande resuspensions- faktorer under andra halvåret 1986 om man antar att all Cs-137 aktivitet i luften härrör från

De olika religionerna använder olika ord för denna ”större makt”.. De kristna

Egenvektorer som h¨ or till olika egenv¨ arden ¨ ar linj¨ art oberoende, s˚ a du beh¨ over en nollskild egenvektor i

Hubert tjänar 400 kr mindre än Gunnar och Ivar tjänar 3000 kr mer än Hubert per månad.. I sin plånbok har Anette bara tjugolappar

… Den lämnande gruppen skall kunna stabilisera en negati laddning antingen ia ind ktion. negativ laddning, antingen via induktion (elektronegativitet) eller

Materialet som vi passerat under veckorna 9 till 16 är stort men på prov 2 kommer vi att fokusera på det som varit mer eller mindre nytt

K analýze dat byl z obou zařízení vybrán pro každou polohu jeden graf, který bude porovnáván s odpovídajícím grafem z druhého zařízení. Učinilo se tak

kompetens- och resursförsörjning framåt, däribland att vidareutveckla och erbjuda praktik till studenter liksom att stimulera utbyte mellan branschens parter.. Det är utifrån