1 INTEGRALER AV RATIONELLA FUNKTIONER
Viktiga grundexempel:
============================================================
Exempel 1. 0 Lösning :
1 1
| |
| |
============================================================
Exempel 2. 1, 0 Lösning :
1
1 1
∙ 1
1∙
1
============================================================
Exempel 3. 0 Lösning :
1 2
1 2 | | 1
2 | |
============================================================
Substitution
Substitution
2
2 Substitution
2 Exempel 4. 0 Lösning :
1
1 1 1
1
1 1
============================================================
Exempel 5. 0 Lösning :
Först delar vi integranden i partiella bråk
1 1
2
1 1
∗ [ kontrollera ( * )]
Från (*) får vi
1 1
2
1 1 1
2 | | | |
1
2 | |
===========================================================
Uppgift 1. Beräkna följande integraler
a) b) c) d) e) f) g)
Svar: a) | | b) | | |3 | c) d) | | e)
√ √
f) | 2| | 2| g)
√ | √3| | √3|
Substitution
3
===========================================================
Exempel 6.
Först loser vi ekvationen 0 ( ekv6) .
A) Om lösningar är reella och olika delar vi integranden i partiella bråk.
B) Om ekvationen har dubbel rot får vi enkel integral av typ ( se ex 2.) C) Om (ekv6) har komplexa lösningar då kvadratkompletterar vi nämnaren och får
1
2 4
Med substitutionen får vi integral av typ som i Exempel 2.
Exempel 6A)
6 0 ⇒ 2, 3 och därför
1 6
1
2 3
Vi delar integranden i partiella bråk:
⇒ ( efter multiplikationen med 2 3 )
1 3 2 ⇒
1 3 2
Eftersom ovanstående ekvationen gäller för alla x har vi följande system m a p A och B 0
3 2 1
Härav och .
Därför / / | 2| | 3|
--- Exempel 6B)
6 9 0 ⇒ 3, 3 ( dubbel rot
4 och därför
1 1
3
--- Exempel 6C)
2 2 0 ⇒ 1 , 1
Vi har fått komplexa rötter och därför vi kvadratkompletterar nämnaren.
1
2 2
1
1 1
1
1
1 Integral av rationella funktioner i allmänna fall
Om grad(P(x)) grad(Q(x) utför vi polynomdivision av P(x) med Q(x) och skriver integranden
, ä S x Q x .
Därefter delas i partiella bråk.
===========================================================
Exempel 7)
Polynomdivision ger
3 3 6
3
3 6
3 . 3 Substitution
1 Substitution
5 Vi delar i partiella brak
3 6
3 3 ⇒
3 6 3 ⇒
3 6 3 ⇒
3
3 6
Härav A=2 och B=1 Därför
3 3 6
3
2 1
3
3 2 | | | 3| .
===========================================================
Exempel 8)
4 2 3 4 2 3
1 1 ⇒
4 2 3 1 ⇒
4 2 3 ⇒
Vi identifierar koefficienter och får tre ekvationer:
4 2 3 Härav 3, 1, 2 och därför
Därför
4 2 3 3 2
1
3
1
2 1 3 | | 1
2 1 2 .
6 Uppgift 2. Beräkna följande integraler
a) b)
c) d)
Svar:
a) | 2| | 6|
b) | 2| | 6|
c)
√ √
d) | 2| | 3| .
==========================================
Integraler av typ beräknar vi
i) med hjälp av partialbråksuppdelning om nämnaren har reella rötter.
ii) med hjälp av kvadratkomplettering om nämnaren har komplexa rötter.
Uppgift 3. Beräkna följande integraler
a) b)
a) Lösning:
3 2 0 ⇒ 1 , 2
Nollställena är reella. Vi faktoriserar nämnaren och delar integranden i partiella bråk:
⇒ 3 4 2 ⇒
3 och 2 4.
Härav 1, 2 och
| 1| 2 | 2|
b) Lösning: Nämnaren har komplexa rötter och vi använder kvadratkomplettering.
| 1| 2 | 2 2| 2 1
subs: 1 ⇒ 1