1 av 5
INKLUSION OCH EXKLUSION
(Beräkning av antalet element i en union)
Antalet element i en ändlig mängd A betecknar vi med| A . |
Inom sannolikhetslära och kombinatorik behöver vi oftast beräkna antalet element i en union.
Om E och F är två ändliga och disjunkta (E∩F =∅) mängder
då kan vi enkelt beräkna antalet element i unionen som |E∪F|=|E|+|F|. I allmänt fall använder vi formeln i följande sats:
Sats 1.
|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B| Förklaring:
När vi beräknar summan |A +| |B| kommer vi att räkna alla element som ligger i A plus alla element som ligger i B. De som ligger i snittet räknas på detta sätt två gånger. För att kompensera detta subtraherar vi |A ∩ . B|
Alternativa formler för antalet element i unionen får vi genom att dela unionen i disjunkta delmängder .
Från A∪B=(A \ B) ∪(A∩B)∪(B \ A) där (A \ B) , (A ∩ och B) (B \ A) är disjunkta mängder (rita Venndiagram).
Därför
| B \
|
|
|A∪B = A +|A ∩ + B| | B \ A|
På liknande sätt har vi följande ekvivalenta formler
| \ A
|
|
|
|
|A∪B = A + B
| B \
|
|
|
|
|A∪B = B + A
Exempel 1.
Vi vet att mängden A har 100 element , mängden B har 60 element och att de två mängder har 40 gemensamma element. Hur många element finns i A ∪ . B
2 av 5
Lösning: |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|=100+60–40=120 Svar: 120
Exempel 2.
Låt A= {a,b,c,d,e} och B={c,d,e,f,g}. Då är B
A ∪ = {a,b,c,d,e,f,g} och därmed |A ∪ |=7. B
Kontrollera att alla ovanstående formler ger samma resultat.
Sats 2.
För antalet element i unionen av tre mängder har vi följande formel:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|A∪B∪C = A + B + C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C Denna formel kan generaliseras så att den gäller för n mängder.
Bevis: I beviset använder vi Sats 1 flera gånger:
| | | ( ) | (enligt sats 1)
= | | | | | ( ) | (enligt sats 1 och distributiva lagen)
= | | | | | | | | | ( ) ( ) | (enligt sats 1)
= | | | | | | | | {| ( ) | | ( ) | | ( ) (
A B C A B C
A B C A B C
A B A B C A C B C
A B A B C A C B C A C B
∪ ∪ = ∪ ∪ =
∪ + − ∪ ∩ =
+ − ∩ + − ∩ ∪ ∩ =
+ − ∩ + − ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩ ) | } (förenkla sista uttryck)
= | | | | | | | | {| ( ) | | ( ) | | ( ) | }
= | | | | | | | | | ( ) | | ( ) | | ( ) | V.S.B.
C
A B A B C A C B C A B C
A B A B C A C B C A B C
+ − ∩ + − ∩ + ∩ − ∩ ∩
+ − ∩ + − ∩ − ∩ + ∩ ∩
Uppgift 1. Bestäm antalet heltal n, där 1≤n≤200, som är delbara med minst ett av talen 2 eller 5.
Lösning:
Vi använder principen om inklusion och exklusion.
Vår grundmängd är U={1,2,3,…199,200}.
Vi inför följande beteckningar:
A: de tal mellan 1 och 200 som är delbara med 2.
B: de tal mellan 1 och 200 som är delbara med 5.
Unionen A ∪Bomfattar alla tal som ligger i minst en av mängderna A,B. (Med andra ord består unionen av heltal som ligger mellan 1 och 200 som är delbara med minst ett av talen 2
A B
C C B A∪ ∪
3 av 5 eller 5.
Enligt principen om inklusion och exklusion har vi
|
|
|
|
|
|
|
|A∪B = A + B − A∩B
|A| dvs antalet heltal mellan 1 och 200 som är delbara med 2 är 100 200 =2
.
|B| dvs antalet heltal mellan 1 och 200 som är delbara med 5 är 40 200 =5
.
|
|A ∩ dvs antalet heltal mellan 1 och 200 som är delbara med både 2 och 5 och därmed B
med 10 är 20
200 =10
.
Slutligen: |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B| =100 +40–20=120 Svar: 120
Uppgift 2. (KS2A, 2018) Bestäm antalet heltal n, där 1≤n≤100, som är delbara med minst ett av talen 2, 3 eller 5.
Lösning: Vi använder principen om inklusion och exklusion.
Vår grundmängd är U={1,2,3,…99,100}.
Vi inför följande beteckningar:
A: de tal mellan 1 och 100 som är delbara med 2.
B: de tal mellan 1 och 100 som är delbara med 3.
C: de tal mellan 1 och 100 som är delbara med 5.
Unionen A∪B∪Comfattar alla tal som ligger i minst en av mängderna A,B,C. (Med andra ord består unionen av heltal som ligger mellan 1 och 100 som är delbara med minst ett av talen 2, 3 eller 5.
Enligt principen om inklusion och exklusion har vi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|A∪B∪C = A + B + C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C
|A| dvs antalet heltal mellan 1 och 100 som är delbara med 2 är 50 100 =2
.
|B| dvs antalet heltal mellan 1 och 100 som är delbara med 3 är 33 100 =3
.
|C| dvs antalet heltal mellan 1 och 100 som är delbara med 5 är 20 100 =5
.
|
|A ∩B dvs antalet heltal mellan 1 och 100 som är delbara med både 2 och 3 och därmed
4 av 5
med 6 är 16
100 =6
.
På samma sätt är 10
10
| 100
| =
=
∩C
A , 6
15
| 100
| =
=
∩C B
och 3
30
| 100
| =
=
∩
∩B C
A .
Slutligen: |A∪B∪C|=50+33+20−16−10−6+3 =74.
Svar: 74
Uppgift 3. (KS2B, 2018)Bestäm antalet heltal n, där 1≤n≤100, som är delbara med minst ett av
talen 2, 5 eller 11.
Lösning: Vi använder principen om inklusion och exklusion.
Vår grundmängd är U={1,2,3,…99,100}.
Vi inför följande beteckningar:
A: de tal mellan 1 och 100 som är delbara med 2.
B: de tal mellan 1 och 100 som är delbara med 5.
C: de tal mellan 1 och 100 som är delbara med 11.
Unionen A∪B∪Comfattar alla tal som ligger i minst en av mängderna A,B,C. (Med andra ord består unionen av heltal som ligger mellan 1 och 100 som är delbara med minst ett av talen 2, 5 eller 11.
Enligt principen om inklusion och exklusion har vi
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|A∪B∪C = A + B + C − A∩B − A∩C − B∩C + A∩B∩C
|A| dvs antalet heltal mellan 1 och 100 som är delbara med 2 är 50 100 =2
.
|B| dvs antalet heltal mellan 1 och 100 som är delbara med 5 är 20 100 =5
.
|C| dvs antalet heltal mellan 1 och 100 som är delbara med 11 är 9 100 =11
.
|
|A ∩B dvs antalet heltal mellan 1 och 100 som är delbara med både 2 och 5 och därmed
med 10 är 10
100 =10
.
5 av 5
På samma sätt är 4
22
| 100
| =
=
∩C
A , 1
55
| 100
| =
=
∩C B
och 0
110
| 100
| =
=
∩
∩B C
A .
Slutligen: |A∪B∪C|=50+20+9−10−4−1+0 =64.
Svar: 64 Uppgift 4. (KS2, 2017)
Hur många dagar finns det under året 2017 som inte är den 1:a eller 12:e i en månad och som inte är i februari? (2017 har 365 dagar, och februari har 28 dagar.)
Lösning: Vi presenterar två högt relaterade lösningar.
Metod 1: Det finns 365 − 28 dagar som inte är i februari.
Utav dessa finns det 11 dagar som är den 1:a i en månad (en för varje månad förutom februari)
och på samma sätt 11 dagar som är den 12:e i en månad. Alltså är antalet dagar som uppfyller kraven 365 − 28 − 11 − 11 = 315.
Metod 2: Låt D1 = {dagarna under 2017 som är 1:a dagen i en månad}
D12 = {dagarna under 2017 som är 12:e dagen i en månad}
Dfeb = {dagar i februari 2017}.
Svaret vi är ute efter är 365 − |Dfeb ∪ D1 ∪ D12|.
Enligt inklusion–exklusion gäller det för vilka tre mängder A, B, C som helst att |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|, så i vårt fall gäller
|Dfeb ∪ D1 ∪ D12| = 28 + 12 + 12 − 1 − 1 − 0 + 0=50 vilket igen ger svaret 365–50= 315.
Svar: 315 dagar
