f¨ or alla n ∈ N s˚ a att n ≥ 5.

TATA79/TEN3 Inledande matematisk analys Tentamen, 2016-03-31

Instruktioner: Svara p˚ a alla uppgifter. Det finns sju uppgifter och varje uppgift kan ge maximalt 3 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant betyg r¨ acker 9 po¨ ang. Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och ordentligt skrivna. Inga h¨ alpmedel till˚ atna. Lycka till!

(1) (a) Visa att 4n < 2

f¨ or alla n ∈ N s˚ a att n ≥ 5.

(b) Varf¨ or funkar inte ditt bevis av (a) om man betraktar n < 5?

(2) Visa att 9

− 2

¨ ar j¨ amnt delbart med 7 f¨ or alla n ∈ N. (Det s¨ ags att m ∈ N ¨ ar j¨ amnt delbart med k ∈ N om m/k ∈ N.)

(3) (a) Anv¨ and

cos(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ f¨ or alla θ, ϕ ∈ R f¨ or att visa

sin

θ = 1 − cos(2θ) 2 f¨ or alla θ ∈ R.

(b) Hitta alla θ ∈ R s˚ adana att 1 + cos(2θ) + 3 sin θ = 0.

(4) (a) Definiera a

f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) Visa att definitionen av a

fr˚ an (a) st¨ ammer ¨ overens med definitionen d˚ a x ¨ ar ett heltal i fallet x = 3. Det vill s¨ aga kontrollera att a

= aaa enligt definitionen du skrev i (a).

(5) Bevisa Bernoullis olikhet: F¨ or alla reella tal x ≥ −1 och alla n ∈ N f˚ ar man att (1 + x)

≥ 1 + nx.

Sida 1 av 2 [V¨ and!]

TATA79/TEN3 Inledande matematisk analys Tentamen, 2016-03-31

(6) (a) Betrakta en punkt (x, y) i planet som ligger p˚ a en cirkel med radien r > 0 och medel punkt i origo. Det inneb¨ ar d˚ a att x

+ y

= r

. L˚ at y > 0, och θ och ϕ vara vinklarna i bilden nedan. Visa att cos(θ + ϕ) = 0 f¨ or alla (x, y).

(7) (a) Definiera e

f¨ or θ ∈ R.

(b) Bevisa att

e

e

= e

f¨ or alla reella tal x och y. Endast definitioner och trigonometriska r¨ aknelagar f˚ ar anv¨ andas utan att de f¨ orst bevisas.

Sida 2 av 2