Räkna med polynom
(s. 72 74)
Vad är ett polynom?
Multiplikation med polynom
a) 5
.(3 + x)
Exempel 1: Multiplicera ihop och förenkla b) ö
.(3 + x)
c) (5 3x)
.(3 + x)
"Alla möter alla"regeln
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
a + b har två termer. c och d har två termer. Då dessa träffas sker 2
.2 = 4 möten. Alltså blir det fyra termer enligt:
"a möter c" "a möter d" "b möter c" "b möter d"
Exempel 2: Multiplicera följande polynom a) (x + 3)(2x 4)
b) (4a + 3b)(2a
2+ 3a + 5)
Exempel 3: Förenkla så långt som möjligt a) 6x
2 (2x 3)(3x + 2)
b) 3(x 4)(x + 2) (3x
2+ 6x)
Kvadreringsreglerna och konjugatregeln
(s. 76 78)
Repetition: Multiplikation mellan två polynom sker enligt
"Alla möter alla"principen.
(3 a)
.(2 + b) = 3
.2 + 3
.b a
.2 a
.b
Hur blir det om polynomen är likadana..?
a) (3 + x)
.(3 + x)
Exempel 1: Multiplicera ihop och förenkla
b) (3 x)
.(3 x)
Kvadreringsreglerna
(a + b) 2 = a 2 + 2 . a . b + b 2
"Första i kvadrat"
"2 gånger första gånger andra"
"Andra i kvadrat"
(a b) 2 = a 2 2 . a . b + b 2
"Samma tecken
+
som i parentesen"
Detta kan illustreras geometriskt med följande tänk:
a b
Sträckan a + b...
...multipliceras med sig självt
(a + b)
(a + b)
2a b
a b
Resultatet blir en kvadrat med fyra olika områden...
a b
a b
a
2+ ab + ba + b
2a
2ba
b
2ab
Resultatet kan sammanfattas i Första kvadreringsregeln:
(a + b)
2= a
2+ 2ab + b
2På motsvarande sätt fås Andra kvadreringsregeln:
(a b)
2= a
2 2ab + b
2Exempel 2: Använd kvadreringsreglerna för att förenkla.
a) (x + 3)
2b)
(2x 2)
2 4x
2c)
2(3x + 4)
2"Första i kvadrat"
"2 gånger första gånger andra"
"Andra i kvadrat"
"Samma tecken
+
som i parentesen"
Kvadreringsreglerna gäller då det är samma tecken i parenteserna, men hur blir det då det är olika tecken?
(3 + x)
.(3 x)
Exempel 3: Multiplicera ihop och förenkla
Konjugatregeln
(a + b)(a b) 2 = a 2 b 2
"Första
i kvadrat" "Minus" "Andra i kvadrat"
Exempel 4: Använd konjugatregeln för att förenkla.
a) (x + 3)(x 3)
b)
(5x 2)(2 + 5x)
c)
(3x
2+ 4xy)(3x
2 4xy)
"Första
i kvadrat" "Minus" "Andra i kvadrat"
Exempel 5: Förenkla så långt som möjligt (x 3)
2 (x + 3)(x 3)
"Första
i kvadrat" "Minus" "Andra i kvadrat"
"Första i kvadrat"
"2 gånger första gånger andra"
"Andra i kvadrat"
"Samma tecken
+
som i parentesen"
