• No results found

Om man utnyttjar att Pni=1(xi − x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Om man utnyttjar att Pni=1(xi − x"

Copied!
2
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

F¨or ett datamaterial av n talpar (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) definieras kovariansen av Kov = 1

n− 1

n

X

i=1

(xi− x)(yi− y) och korrelationskoefficienten av

ρ = Kov sxsy

d¨ar sx =qn−11 Pni=1(xi− x)2 ¨ar standardavvikelsen f¨or xi-v¨ardena och motsvarande f¨or sy. Om man utnyttjar att Pni=1(xi − x) = Pni=1xi− nx = nx − nx = 0 erh˚aller man alternativa s¨att att ber¨akna Kov:

Kov = 1

n− 1

n

X

i=1

(xi− x)(yi− y) = 1 n− 1

n

X

i=1

(xi− x)yi− y 1 n− 1

n

X

i=1

(xi− x)

= 1

n− 1

n

X

i=1

(xi− x)yi = 1 n− 1

 n

X

i=1

xiyi− nx y

 .

F¨or att visa att korrelationskoefficienten ligger mellan −1 och +1 kan man utnyttja Schwartz olikhet:

Sats L˚at a1, a2, . . . , an och b1, b2, . . . , bn var godtyckliga rellea tal. D˚a ¨ar

 n

X

i=1

aibi

2

n

X

i=1

a2i

n

X

i=1

b2i. Bevis: L˚at k vara ett godtyckligt tal. Vi har att

0≤

n

X

i=1

(ai− kbi)2=

n

X

i=1

(a2i − 2kaibi+ k2b2i) =

n

X

i=1

a2i − 2k

n

X

i=1

aibi+ k2

n

X

i=1

b2i. Genom att derivera h¨ogerledet med avseende p˚a k erh˚aller man l¨att att minimum f˚as f¨or k =Pni=1aibi/Pni=1b2i. Ins¨atter man detta v¨arde i olikheten erh˚alls

0≤

n

X

i=1

a2i − 2 Pn

i=1aibi

Pn i=1b2i

n

X

i=1

aibi+ Pn

i=1aibi

Pn i=1b2i

!2 n X

i=1

b2i =

n

X

i=1

a2i −(Pni=1aibi)2 Pn

i=1b2i vilket ger satsen.

Man ser ocks˚a direkt fr˚an beviset att likhet f˚as om och endast om ai = kbi, dvs ai:na proportionella mot bi:v¨ardena.

Om man i satsen ovan sedan s¨atter in ai = xi− x och bi = yi− y erh˚alls

ρ2= Kov2 s2xs2y =

1 n− 1

n

X

i=1

(xi− x)(yi− y)

!2

1 n− 1

n

X

i=1

(xi− x)2 1 n− 1

n

X

i=1

(yi− y)2

=

n

X

i=1

(xi− x)(yi− y)

!2

n

X

i=1

(xi− x)2

n

X

i=1

(yi− y)2

≤ 1

1

(2)

Likhet f˚as om och endast om xi− x = k(yi− y) dvs om och endast om data ligger p˚a en r¨at linje med lutning k.

2

References

Related documents

ENCS - Förekommande och nytillkommande kemikalier (Japan); ErCx - Koncentration som ger x % tillväxtsvar (ErCx-värde); GHS - Globalt harmoniserat system; GLP - God

(6p) Bestäm de intervall där funktionen är växande, avtagande, böjningspunkter (in‡ection points), och de intervall där funktionen är konkav uppåt och konkav neråt.. Rita

L¨osningar kommer att l¨aggas ut p˚ a kurshemsidan senast f¨orsta arbetsdagen efter tenta- menstillf¨allet.. Resultat meddelas via epost fr˚

Hur motiveras p˚ ast˚ aendet att “riktningen av gradienten ¨ ar den riktning, i vilken funktionsv¨ ardet v¨ axer snabbast”?. Visa att det finns en och samma vektor

[r]

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

Formeln bevisas genom att observera att l¨ angden av rektangels ovansidan i figuren ¨ ar lika med nedansidans l¨

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och