Beskriv i polära koordinater området D i Fig1

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polära koordinater

1 av 3

1

Y=x D Fig 2

00 y

1 2

D Fig 1 POLÄRA KOORDINATER

Samband mellan rektangulära och polära koordinater:

θ cos r

x= , ^y=^r^sinθ därmed

Exempel 1.

Beskriv i polära koordinater området D i Fig1.

Lösning:

Från figuren har vi gränserna för och :

0 och 1 2.

Exempel 2.

Beskriv i polära koordinater området Lösning:

Från Fig2. har vi gränserna för och :

0 och 0 1.

2 2

2 y r

x + =

} 0

och

1 :

) ,

{(x y R² x² y² y x

D= ∈ + ≤ ≤ ≤

r

(x,y)

x θ

y

(2)

2 av 3

00 y

x

1 2

a)

0 y

1 2

d)

0 y

1 3

c)

2

00 y

D 1 -1

e)

y=x

2

D

Uppgift 1. Ange gränserna för och för nedanstående integrationsområden

Svar: a) 0 och 1 2 b) och 1 3

c) 0 och 0 3 d) 0 och 0 2

e) , 1 2 .

Uppgift 2. Rita nedanstående områden och ange gränserna för och ( polära koordinater) .

a) , : 0 2 0

b) , : 1 3 0

c) , : 1 4 2

d) , : 1, 3 0

Lösning.

a) För gäller uppenbart 0

Vi beskriver randlinjen x = 2 i polära koordinater:

Genom att substituera ^x=^r^cosθ i x=2 får vi

-1 b)

y=x -3

(3)

3 av 3

2 ⇒ 2

Därmed har vi gränser för : 0

Svar a: 0 , 0

Svar b)

1 3

y=x D

0 ,

Svar c)

, där 2 1.1 63.4 ° ,

1 2

Svar d)

0 , 1