• No results found

0 om 0 om

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "0 om 0 om"

Copied!
11
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

ABSOLUTBELOPP

Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan:

a) |13|=13 b) |0|=0 c) |−5|=5. Alltså |x|≥0.

Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0.

Absolutbeloppet av x är lika med det motsatta talet om x är negativt. ( om själva x är negativt då är –x ett positivt tal).

T ex |−5|=−(−5)=5.

Detta anger vi i nedanstående definition:

Definition.



<

= ≥

0 om

0 om

|

| x x

x x x

===================================================

===============================================

Geometrisk tolkning:

i) På en reell tallinje är | x lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x | och 0.

ii) På en reell tallinje är



<

=

= −

− ( ) om y

y om

|

| x y y x x

x y

y x x

lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x och y [oberoende av vilket av talen x och y är störst].

Exempelvis om x=−4 och y=6 har vi |xy|=10 =avståndet mellan – 4 och 6.

4 0

− 6

10

| 6 4

|− − = 10 Avståndet=

===================================================

Egenskaper:

A1. |x|≥0

A2. |x|=0 om och endast om x=0

A3. |x+y|≤|x|+|y|, |xy|≤|x|+|y|

I A3 gäller likhetstecken om och endast om x och y har samma tecken.

Exempelvis, om x = – 3 och y= – 5 då gäller |x+ y|=8=|x|+|y|, medan för x = – 3 och y= + 5 gäller 2=|x+ y|<|x|+|y|=8.

(2)

A4. |−x|=|x| A5. |xy|=|yx|

A6. |x1 +x2 +xn |≤|x1 |+|x2 |+|xn |

(I A6 gäller likhetstecken om och endast om alla |xk | har samma tecken.) A7. ||x|−|y||≤|x+ y|

Vi kan skriva tillsammans A3 och A7 på följande sätt:

A8. ||x|−|y||≤|x+ y|≤|x|+|y|

Exempel 1.



<

<

= −

− ( 3) om ( 3) 0dvsom 3 3 om dvs 0 ) 3 ( om ) 3

| ( 3

| a a a

a a

a a

Exempel 2. Uttrycket x2 ≥ 0 för alla x ( eftersom x2 ≥ ). 0 T ex för x = – 5 blir (-5)2 = 25 =5.

Alltså x2 = endast om x x ≥0 medan x2 =−x om x <0.

Viktigt: I allmänt gäller



<

= ≥

= om 0

0 om

|

| x2

x x

x x x

Exempel 3.



<

= −

= ( 4) om 4

4 om

| 4 4

| 4) -

(x 2

x x

x x x

Grafen till funktionen



<

= ≥

= om 0

0 om eller

|

| x x

x y x

x

y har vi nedan

y=x y=

- x

--- Eftersom



<

= ≥

0 ) ( om ) (

0 ) ( om )

| ( ) (

| f x f x

x f x

x f

f kan vi rita grafen till funktionen

| ) (

| f x

y= genom att först rita grafen till y= f( x) och därefter spegla i x axeln den delen av grafen som ligger under x-axeln (här gäller f(x) <0) .

Uppgift 1. Rita grafen till följande funktioner a) y = x2 −4 b) y = x| 2 −4| c) y=2+|x2 −4| Svar:

(3)

a) b) c)

==========================================================

EKVATIONER OCH OLIKHETER SOM INNEHÅLLER ABSOLUTBELOPP Några enkla ekvationer av följande typ: | f(x)|=a där a är en konstant kan vi lösa direkt (med hjälp av definitionen av absolutbeloppet)

a1) Ekvationen |x|=a där a>0 har lösningar xa. a2) |x|=0 ⇔ x=0

a3) Ekvationen |x|=a där a<0 har ingen lösning.

a4) Ekvationen | f(x)|=a där konstanten a>0 ä är ekvivalent med två ekvationer a

x

f( )=± .

a5) | f(x)|=0 ⇔ f(x)=0

a6) Ekvationen | f(x)|=a där konstanten a<0har ingen lösning

Uppgift 2. Lös följande ekvationer

a) |x|=3 b) |x|=0 c) |x|=−5 d) |x−2|−1=0 e) |2x−3|−5=0 f) |2x−8|=0 g) |3x+8|=−2 Lösning:

a) x =±3 b) x =0 c) ingen lösning

d)|x−2|−1=0⇔|x−2|=1⇔ x−2=±1⇔ x=2±1,två lösningar x1 =3, x2 =1. e) |2x−3|−5=0⇔|2x−3|=5⇔2x−3=±5⇔2x =3±5

Härav 2x=3+5⇒ x1 =4och 2x=3−5⇒x2 =−1 Alltså, två lösningar x1 =4, x2 =−1.

f) |2x−8|=0⇔2x−8=0⇔x =4 g) ingen lösning

============================================================

Några enkla olikheter av följande typer: | f(x)|<a, | f(x)|>a | f(x)|≤a och a

x f( )|≥

| , där a är en konstant:

(4)

Först några olikheten om a>0 (vanligt fall):

b1) Olikheten |x|<a där a>0 har lösning −a<x<a.

a 0

a

a x|<

|

{På samma sätt har olikheten |x|≤a där a >0 lösning −axa.}

b2) Olikheten |x|>a där a>0 satisfieras av alla x som uppfyller x<−a eller x >a.

a 0

a

a x|>

| |x|<a |x|>a

--- Några exempel med a<0eller a =0:

b3) Olikheten |x|<−3 har ingen lösning ( eftersom |x|≥0) b4) Olikheten |x|≥−3 satisfieras av alla reella x.

b4) Olikheten |x|≤0 har exakt en lösning x=0.

--- Uppgift 3. Lös följande olikheter

a) |x|≤3 b) |x|≥3 c) |2x−3|−5<0 d) |2x−3|−5≥0 e) |2x−3|+19≤10

Lösning:

a) Svar: −3≤ x≤3. Alternativt skrivsätt: Intervall [-3,3]

b) Svar: x≤−3 eller x≥3 Alternativt skrivsätt: (−∞,−3]∪[3,∞) c) Lösning: |2x−3|−5<0⇔|2x−3|≤5⇔−5<2x−3<5

Vi har faktiskt två enkla olikheter −5<2x−3 och 2x−3<5 som vi kan lösa separat och därefter bestämma gemensam lösning. Men, den här gången, löser vi båda ekvationer samtidigt:

5 3 2 5< − <

x ( addera 3)

8 2 2< <

x (dela med 2) 4

1< <

x

Svar: −1< x<4. Alternativt skrivsätt: Intervall (−1,4) d) Svar: x≤−1 eller x ≥4. Alternativt skrivsätt: (−∞,−1]∪[4,∞)

e) Lösning: |2x−3|+19≤10⇔|2x−3|≤−9. Ingen lösning eftersom |2x−3|≥0 för alla x.

Svar: Ingen lösning

============================================================

ALLMÄNT FALL. Mer komplicerade ekvationer och olikheter (t ex. av typen )

(

| ) (

| f x = g x eller | f(x)|+|g(x)|<h(x)) löser vi genom att först analysera varje absolutbelopp för sig. Därefter betraktar vi alla fall som kan förekomma när x varierar från − till ∞ +∞.

(5)

Med samma metod kan vi rita grafer som innehåller absolutbelopp.

( Anmärkning. Denna metod kan användas på både enkla och svåra ekvationer.) Uppgift 4. Lös följande ekvationer

a) |x−2|=x+4 b) |2x+2|= x+8 Lösning:

Lösning a) Vi har |x−2|=−(x−2) om x<2 och |x−2|=+(x−2) om x≥2. Därför betraktar vi två fall

Fall 1. x<2 och Fall 2. x≥2. Fall 1. Om x<2blir ekvationen

1 4

2

4 )

2 (

=

⇒ +

= +

⇒ +

=

x x

x

x x

(Vi måste kontrollera om x=−1 uppfyller kravet A innan vi påstår att detta är en lösning.) Eftersom x= – 1 satisfierar villkoret A, x<2, så har vi en lösning x1 =−1

Fall 2. För x ≥2 kan ekvationen skrivas 0 6 ingenlösningiandra fallet .

4 )

2 (

=

⇒ +

=

x

x

Svar a) x1 =−1

Svar b) x1 =6, x2 =−10/3

Uppgift 5. a) Lös följande ekvation |x−3|=2x+4 b) Rita grafen till funktionen f(x)=|x−3|−2x−4 Lösning a)

Vi har |x−3|=−(x−3) om x<3 och |x−3|=+(x−3) om x≥3. Därför betraktar vi två fall

A) x<3 och B) x≥3. A) Om x<3 blir ekvationen

3 1 1

3 4 2 3

4 2 ) 3 (

= −

=

⇒ +

= +

⇒ +

=

x x

x x

x x

Eftersom 3

−1

=

x satisfierar villkoret A, x<3, så har vi en lösning

3 1

1

= − x

b) För x ≥3 kan ekvationen skrivas

7

4 2 ) 3 (

=

⇒ +

=

− + x

x x

Detta är omöjligt för x≥3. Alltså finns ingen lösning i fallet B och vi har således endast en lösning ( från fallet A).

(6)

Svar a)

3 1

1

= −

x .

Lösning b) Vi ska först styckviss definiera funktionen f(x)=|x−3|−2x−4och därefter rita grafen.

i) För x<3 har vi |x−3|=−(x−3) och därför 1 3 4 2 ) 3 ( 4 2

| 3

| )

(x = x− − x− =− x− − x− =− x

f

ii) För x≥3 har vi |x−3|=+(x−3) och därför 7 4

2 ) 3 ( 4 2

| 3

| )

(x = x− − x− =+ x− − x− =−xf

Alltså



<

= −

3 för 7

3 för 1 ) 3

( x x

x x x

f

Grafen till f(x)=|x−3|−2x−4:

Uppgift 6. Lös följande ekvationer

a) |x−3|=|x−5| b) |x+2|=|x+1| Lösning a)

Vi har två uttryck med absolutbelopp

1) |x−3|=+(x−3) om x≥3 och |x−3|=−(x−3) om x<3. 2) |x−5|=+(x−5) om x≥5 och |x−5|=−(x−5) om x<5. Alltså har vi

) 3 (

| 3

|x =x ) 5 (

| 5

|x =x

3 5

) 3 (

| 3

|x =+x ) 5 (

| 5

|x =x

) 3 (

| 3

|x =+x ) 5 (

| 5

|x =+x

(7)

Därför betraktar vi tre fall

A) x<3, B) 3≤ x≤5 och x>5.

A) Om x <3 då gäller |x−3|=−(x−3) och |x−5|=−(x−5). Ekvationen kan skrivas

5 3

) 5 ( ) 3 (

=

=

x x

Ingen lösning för x <3.

B) Om 3≤ x≤5 då gäller |x−3|=+(x−3) och |x−5|=−(x−5). Ekvationen kan skrivas

. 4

) 5 ( ) 3 (

=

=

− + x

x x

Eftersom x=4ligger i intervallet 3≤ x≤5 har vi en lösning, x1 =4, för fallet B.

C) Om x >5 då gäller |x−3|=+(x−3) och |x−5|=+(x−5). Ekvationen blir

5 3

) 5 ( ) 3 (

=

=

x

x

Ingen lösning för x>3. Svar a) En lösning, x1 =4. Svar b) En lösning,

2 3

1 =−

x .

Uppgift 7. Lös följande olikheter

a) |x+2|>|2x−4| b) |2x−6|<|x+1| Lösning a)

METOD 1.

Vi har två uttryck med absolutbelopp

1) |x+2|=+(x+2) om x≥−2 och |x+2|=−(x+2) om x<−2. 2) |2x−4|=+(2x−4) om x≥2 och |2x−4|=−(2x−4) om x<2. Alltså har vi

) 2 (

| 2

|x+ =x+ ) 4 2 (

| 4 2

| x = x

-2 2

) 2 (

| 2

|x+ =+x+ ) 4 2 (

| 4 2

| x = x

) 2 (

| 2

|x+ =+x+ ) 4 2 (

| 4 2

| x =+ x

(8)

Därför betraktar vi tre fall

A) x<−2, B) −2≤ x≤2 och C) x>2.

A) Om x<−2 då gäller |x+2|=−(x+2) och |2x−4|=−(2x−4). Olikheten kan skrivas

6

) 4 2 ( ) 2 (

>

>

+

x

x x

Detta är inte möjligt om x<−2 Ingen lösning för x<−2.

B) Om −2≤x ≤2 då gäller |x+2|=+(x+2) och |2x−4|=−(2x−4). Olikheten blir

3 2 2 3

) 4 2 ( ) 2 (

>

>

>

+

x x

x x

Eftersom −2≤x ≤2 får vi 2 3

2 < x≤ för fallet B.

C) Om x>2 då gäller |x+2|=+(x+2) och |2x−4|=+(2x−4). Olikheten blir

6 6

) 4 2 ( ) 2 (

<

>

>

+

x x

x x

Eftersom x>2 får vi 2< x<6 för fallet C.

B och C tillsammans ger 6 3

2 < x< .

Svar a) 6

3 2 < x<

METOD 2. (Grafisk lösning)

Vi skriver om olikheten |x+2|>|2x−4|genom att flytta alla uttryck till vänsterledet 0

| 4 2

|

| 2

|x+ − x− > . Därefter skriver vi uttrycket

| 4 2

|

| 2

| )

(x = x+ − xf

som en styckvisdefinierad funktion, därefter ritar grafen och löser olikheten f(x)>0. Som vi skrev ovan (i metod 1) har vi

) 2 (

| 2

|x+ =+ x+ om x≥−2 och |x+2|=−(x+2) om x<−2. )

4 2 (

| 4 2

| x− =+ x− om x≥2 och |2x−4|=−(2x−4) om x<2. Vi betraktar tre fall

A) x<−2, B) −2≤ x≤2 och C) x>2. A) x<−2,

6 4

2 2 ))

4 2 ( ( ) 2 (

| 4 2

|

| 2

| )

(x = x+ − x− =− x+ − − x− =−x− + x− =xf

B) −2≤x ≤2

(9)

2 3 4 2 2 ))

4 2 ( ( ) 2 (

| 4 2

|

| 2

| )

(x = x+ − x− = x+ − − x− = x+ + x− = xf

C) x>2.

6 4

2 2 )

4 2 ( ) 2 (

| 4 2

|

| 2

| )

(x = x+ − x− = x+ − x− = x+ − x+ =−x+ f

Alltså är





>

+

−− <−

=

2 för 6

2 2

för 2 3

2 för 6 )

(

x x

x x

x x

x f

Vi ritar grafen till f( x) genom att rita varje stycke i motsvarande intervall. Notera att alla tre uttryck är linjära (därmed delar av tre räta linjer)

A) Vi börjar med f(x)= x−6 i intervallet x<2. Eftersom detta är en rät linje, räcker det att använda två punkter som linjen går genom. Det är viktigt att använda ändpunkten x=2.

Notera att funktionen är kontinuerlig (som summan av kontinuerliga abs-funktioner).

Vi har exempelvis den här liten tabell

x -3 -2

y -9 -8

B ) f(x)= x3 −2 för −2≤x≤2 Vi använder två punkter t. ex.

x -2 2

y -8 -4

C) f(x)=−x+6 för x>2 Vi använder två punkter t. ex.

x 2 7

y -4 -1

Grafen till f( x) får vi genom att rita de tre delgrafer över motsvarande intervall:

Först bestämmer vi funktionens nollställen.

Från grafen ser vi att ett nollställe ligger i andra definitionsintervallen (B-delen ovan). Vi löser

(10)

0 2

3x− = och får 3 2

1 =

x .

Det andra nollstället får vi i C-delen 6

x 0

6 = ⇒ 2 = +

− x .

Vi ser från grafen att f(x)>0 om 6 3

2 < x< .

Svar a) 6

3 2 < x<

Svar b) 7

3 5< x<

Uppgift 9. Rita grafen till funktionen

|

| )

(x x x2 x

f = + −

Lösning Först

i) |x2x|=+(x2x) om (x2 − x)≥0

dvs om x≤0 eller x≥1. ( Se grafen till y =x2x) ii) |x2x|=−(x2x) om (x2 − x)<0

dvs om 0< x<1 Därmed blir



<

<

+

=

=

= +

1 0

om 2 )

(

1 eller 0 om )

) (

( 2 2

2 2

x x

x x x x

x x

x x x x x

f eller





<

<

≤ +

=

1 1 0

om

0 om 2 )

(

2 2

2

x x x

x x x

x x

f

Grafen till f(x):

(11)

References

Related documents

I studien är abstrakt kopplat till att eleverna arbetar med matematik genom siffror och bokstäver istället för att använda bilder och fysiskt material (Heddens,

[r]

Ekvationen (ekv1) är lösbart om och endast om d delar c. i) Anta först att ekvationen är lösbart dvs. Med hjälp av ovanstående rader uttrycker vi d som en linjär kombination av

Mer komplicerade ekvationer och olikheter (t ex. Med samma metod kan vi rita grafer som innehåller absolutbelopp.. Denna metod kan användas på både enkla och svåra ekvationer.)

Den här metod används oftast om vi INTE kan skriva båda leden med hjälp av en bas som t ex i ekvationen ( där

4) Olivia springer 0,4 mil om dagen. Till kvällen steg temperaturen med 11 grader.. Skriv först uttrycket utan parentes och sedan förenkla det.. Resultatet blir 7 mindre än det

att man räknar tal inom parentes först, och sedan gånger och delat, och sist plus och minus.... Hur räknar man

– Flytta en term till andra sidan och