ABSOLUTBELOPP
Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan:
a) |13|=13 b) |0|=0 c) |−5|=5. Alltså |x|≥0.
Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0.
Absolutbeloppet av x är lika med det motsatta talet om x är negativt. ( om själva x är negativt då är –x ett positivt tal).
T ex |−5|=−(−5)=5.
Detta anger vi i nedanstående definition:
Definition.
<
−
= ≥
0 om
0 om
|
| x x
x x x
===================================================
===============================================
Geometrisk tolkning:
i) På en reell tallinje är | x lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x | och 0.
ii) På en reell tallinje är
<
−
=
−
−
≥
= −
− ( ) om y
y om
|
| x y y x x
x y
y x x
lika med avståndet mellan punkterna (som svarar mot) x och y [oberoende av vilket av talen x och y är störst].
Exempelvis om x=−4 och y=6 har vi |x− y|=10 =avståndet mellan – 4 och 6.
4 0
− 6
10
| 6 4
|− − = 10 Avståndet=
===================================================
Egenskaper:
A1. |x|≥0
A2. |x|=0 om och endast om x=0
A3. |x+y|≤|x|+|y|, |x−y|≤|x|+|y|
I A3 gäller likhetstecken om och endast om x och y har samma tecken.
Exempelvis, om x = – 3 och y= – 5 då gäller |x+ y|=8=|x|+|y|, medan för x = – 3 och y= + 5 gäller 2=|x+ y|<|x|+|y|=8.
A4. |−x|=|x| A5. |x−y|=|y−x|
A6. |x1 +x2 +xn |≤|x1 |+|x2 |+|xn |
(I A6 gäller likhetstecken om och endast om alla |xk | har samma tecken.) A7. ||x|−|y||≤|x+ y|
Vi kan skriva tillsammans A3 och A7 på följande sätt:
A8. ||x|−|y||≤|x+ y|≤|x|+|y|
Exempel 1.
<
<
−
−
−
≥
≥
−
= −
− ( 3) om ( 3) 0dvsom 3 3 om dvs 0 ) 3 ( om ) 3
| ( 3
| a a a
a a
a a
Exempel 2. Uttrycket x2 ≥ 0 för alla x ( eftersom x2 ≥ ). 0 T ex för x = – 5 blir (-5)2 = 25 =5.
Alltså x2 = endast om x x ≥0 medan x2 =−x om x <0.
Viktigt: I allmänt gäller
<
−
= ≥
= om 0
0 om
|
| x2
x x
x x x
Exempel 3.
<
−
−
≥
= −
−
= ( 4) om 4
4 om
| 4 4
| 4) -
(x 2
x x
x x x
Grafen till funktionen
<
−
= ≥
= om 0
0 om eller
|
| x x
x y x
x
y har vi nedan
y=x y=
- x
--- Eftersom
<
−
= ≥
0 ) ( om ) (
0 ) ( om )
| ( ) (
| f x f x
x f x
x f
f kan vi rita grafen till funktionen
| ) (
| f x
y= genom att först rita grafen till y= f( x) och därefter spegla i x axeln den delen av grafen som ligger under x-axeln (här gäller f(x) <0) .
Uppgift 1. Rita grafen till följande funktioner a) y = x2 −4 b) y = x| 2 −4| c) y=2+|x2 −4| Svar:
a) b) c)
==========================================================
EKVATIONER OCH OLIKHETER SOM INNEHÅLLER ABSOLUTBELOPP Några enkla ekvationer av följande typ: | f(x)|=a där a är en konstant kan vi lösa direkt (med hjälp av definitionen av absolutbeloppet)
a1) Ekvationen |x|=a där a>0 har lösningar x=±a. a2) |x|=0 ⇔ x=0
a3) Ekvationen |x|=a där a<0 har ingen lösning.
a4) Ekvationen | f(x)|=a där konstanten a>0 ä är ekvivalent med två ekvationer a
x
f( )=± .
a5) | f(x)|=0 ⇔ f(x)=0
a6) Ekvationen | f(x)|=a där konstanten a<0har ingen lösning
Uppgift 2. Lös följande ekvationer
a) |x|=3 b) |x|=0 c) |x|=−5 d) |x−2|−1=0 e) |2x−3|−5=0 f) |2x−8|=0 g) |3x+8|=−2 Lösning:
a) x =±3 b) x =0 c) ingen lösning
d)|x−2|−1=0⇔|x−2|=1⇔ x−2=±1⇔ x=2±1,två lösningar x1 =3, x2 =1. e) |2x−3|−5=0⇔|2x−3|=5⇔2x−3=±5⇔2x =3±5
Härav 2x=3+5⇒ x1 =4och 2x=3−5⇒x2 =−1 Alltså, två lösningar x1 =4, x2 =−1.
f) |2x−8|=0⇔2x−8=0⇔x =4 g) ingen lösning
============================================================
Några enkla olikheter av följande typer: | f(x)|<a, | f(x)|>a | f(x)|≤a och a
x f( )|≥
| , där a är en konstant:
Först några olikheten om a>0 (vanligt fall):
b1) Olikheten |x|<a där a>0 har lösning −a<x<a.
a 0
− a
a x|<
|
{På samma sätt har olikheten |x|≤a där a >0 lösning −a≤ x≤a.}
b2) Olikheten |x|>a där a>0 satisfieras av alla x som uppfyller x<−a eller x >a.
a 0
− a
a x|>
| |x|<a |x|>a
--- Några exempel med a<0eller a =0:
b3) Olikheten |x|<−3 har ingen lösning ( eftersom |x|≥0) b4) Olikheten |x|≥−3 satisfieras av alla reella x.
b4) Olikheten |x|≤0 har exakt en lösning x=0.
--- Uppgift 3. Lös följande olikheter
a) |x|≤3 b) |x|≥3 c) |2x−3|−5<0 d) |2x−3|−5≥0 e) |2x−3|+19≤10
Lösning:
a) Svar: −3≤ x≤3. Alternativt skrivsätt: Intervall [-3,3]
b) Svar: x≤−3 eller x≥3 Alternativt skrivsätt: (−∞,−3]∪[3,∞) c) Lösning: |2x−3|−5<0⇔|2x−3|≤5⇔−5<2x−3<5
Vi har faktiskt två enkla olikheter −5<2x−3 och 2x−3<5 som vi kan lösa separat och därefter bestämma gemensam lösning. Men, den här gången, löser vi båda ekvationer samtidigt:
5 3 2 5< − <
− x ( addera 3)
8 2 2< <
− x (dela med 2) 4
1< <
− x
Svar: −1< x<4. Alternativt skrivsätt: Intervall (−1,4) d) Svar: x≤−1 eller x ≥4. Alternativt skrivsätt: (−∞,−1]∪[4,∞)
e) Lösning: |2x−3|+19≤10⇔|2x−3|≤−9. Ingen lösning eftersom |2x−3|≥0 för alla x.
Svar: Ingen lösning
============================================================
ALLMÄNT FALL. Mer komplicerade ekvationer och olikheter (t ex. av typen )
(
| ) (
| f x = g x eller | f(x)|+|g(x)|<h(x)) löser vi genom att först analysera varje absolutbelopp för sig. Därefter betraktar vi alla fall som kan förekomma när x varierar från − till ∞ +∞.
Med samma metod kan vi rita grafer som innehåller absolutbelopp.
( Anmärkning. Denna metod kan användas på både enkla och svåra ekvationer.) Uppgift 4. Lös följande ekvationer
a) |x−2|=x+4 b) |2x+2|= x+8 Lösning:
Lösning a) Vi har |x−2|=−(x−2) om x<2 och |x−2|=+(x−2) om x≥2. Därför betraktar vi två fall
Fall 1. x<2 och Fall 2. x≥2. Fall 1. Om x<2blir ekvationen
1 4
2
4 )
2 (
−
=
⇒ +
= +
−
⇒ +
=
−
−
x x
x
x x
(Vi måste kontrollera om x=−1 uppfyller kravet A innan vi påstår att detta är en lösning.) Eftersom x= – 1 satisfierar villkoret A, x<2, så har vi en lösning x1 =−1
Fall 2. För x ≥2 kan ekvationen skrivas 0 6 ingenlösningiandra fallet .
4 )
2 (
⇒
=
⇒ +
=
− x
x
Svar a) x1 =−1
Svar b) x1 =6, x2 =−10/3
Uppgift 5. a) Lös följande ekvation |x−3|=2x+4 b) Rita grafen till funktionen f(x)=|x−3|−2x−4 Lösning a)
Vi har |x−3|=−(x−3) om x<3 och |x−3|=+(x−3) om x≥3. Därför betraktar vi två fall
A) x<3 och B) x≥3. A) Om x<3 blir ekvationen
3 1 1
3 4 2 3
4 2 ) 3 (
= −
⇒
−
=
⇒ +
= +
−
⇒ +
=
−
−
x x
x x
x x
Eftersom 3
−1
=
x satisfierar villkoret A, x<3, så har vi en lösning
3 1
1
= − x
b) För x ≥3 kan ekvationen skrivas
7
4 2 ) 3 (
−
=
⇒ +
=
− + x
x x
Detta är omöjligt för x≥3. Alltså finns ingen lösning i fallet B och vi har således endast en lösning ( från fallet A).
Svar a)
3 1
1
= −
x .
Lösning b) Vi ska först styckviss definiera funktionen f(x)=|x−3|−2x−4och därefter rita grafen.
i) För x<3 har vi |x−3|=−(x−3) och därför 1 3 4 2 ) 3 ( 4 2
| 3
| )
(x = x− − x− =− x− − x− =− x−
f
ii) För x≥3 har vi |x−3|=+(x−3) och därför 7 4
2 ) 3 ( 4 2
| 3
| )
(x = x− − x− =+ x− − x− =−x− f
Alltså
≥
−
−
<
−
= −
3 för 7
3 för 1 ) 3
( x x
x x x
f
Grafen till f(x)=|x−3|−2x−4:
Uppgift 6. Lös följande ekvationer
a) |x−3|=|x−5| b) |x+2|=|x+1| Lösning a)
Vi har två uttryck med absolutbelopp
1) |x−3|=+(x−3) om x≥3 och |x−3|=−(x−3) om x<3. 2) |x−5|=+(x−5) om x≥5 och |x−5|=−(x−5) om x<5. Alltså har vi
) 3 (
| 3
|x− =−x− ) 5 (
| 5
|x− =−x−
3 5
) 3 (
| 3
|x− =+x− ) 5 (
| 5
|x− =−x−
) 3 (
| 3
|x− =+x− ) 5 (
| 5
|x− =+x−
Därför betraktar vi tre fall
A) x<3, B) 3≤ x≤5 och x>5.
A) Om x <3 då gäller |x−3|=−(x−3) och |x−5|=−(x−5). Ekvationen kan skrivas
5 3
) 5 ( ) 3 (
=
⇒
−
−
=
−
− x x
Ingen lösning för x <3.
B) Om 3≤ x≤5 då gäller |x−3|=+(x−3) och |x−5|=−(x−5). Ekvationen kan skrivas
. 4
) 5 ( ) 3 (
=
⇒
−
−
=
− + x
x x
Eftersom x=4ligger i intervallet 3≤ x≤5 har vi en lösning, x1 =4, för fallet B.
C) Om x >5 då gäller |x−3|=+(x−3) och |x−5|=+(x−5). Ekvationen blir
5 3
) 5 ( ) 3 (
−
=
−
⇒
−
=
− x
x
Ingen lösning för x>3. Svar a) En lösning, x1 =4. Svar b) En lösning,
2 3
1 =−
x .
Uppgift 7. Lös följande olikheter
a) |x+2|>|2x−4| b) |2x−6|<|x+1| Lösning a)
METOD 1.
Vi har två uttryck med absolutbelopp
1) |x+2|=+(x+2) om x≥−2 och |x+2|=−(x+2) om x<−2. 2) |2x−4|=+(2x−4) om x≥2 och |2x−4|=−(2x−4) om x<2. Alltså har vi
) 2 (
| 2
|x+ =−x+ ) 4 2 (
| 4 2
| x− =− x−
-2 2
) 2 (
| 2
|x+ =+x+ ) 4 2 (
| 4 2
| x− =− x−
) 2 (
| 2
|x+ =+x+ ) 4 2 (
| 4 2
| x− =+ x−
Därför betraktar vi tre fall
A) x<−2, B) −2≤ x≤2 och C) x>2.
A) Om x<−2 då gäller |x+2|=−(x+2) och |2x−4|=−(2x−4). Olikheten kan skrivas
6
) 4 2 ( ) 2 (
>
⇒
−
−
>
+
− x
x x
Detta är inte möjligt om x<−2 Ingen lösning för x<−2.
B) Om −2≤x ≤2 då gäller |x+2|=+(x+2) och |2x−4|=−(2x−4). Olikheten blir
3 2 2 3
) 4 2 ( ) 2 (
>
⇒
>
⇒
−
−
>
+
x x
x x
Eftersom −2≤x ≤2 får vi 2 3
2 < x≤ för fallet B.
C) Om x>2 då gäller |x+2|=+(x+2) och |2x−4|=+(2x−4). Olikheten blir
6 6
) 4 2 ( ) 2 (
<
⇒
>
⇒
−
>
+
x x
x x
Eftersom x>2 får vi 2< x<6 för fallet C.
B och C tillsammans ger 6 3
2 < x< .
Svar a) 6
3 2 < x<
METOD 2. (Grafisk lösning)
Vi skriver om olikheten |x+2|>|2x−4|genom att flytta alla uttryck till vänsterledet 0
| 4 2
|
| 2
|x+ − x− > . Därefter skriver vi uttrycket
| 4 2
|
| 2
| )
(x = x+ − x− f
som en styckvisdefinierad funktion, därefter ritar grafen och löser olikheten f(x)>0. Som vi skrev ovan (i metod 1) har vi
) 2 (
| 2
|x+ =+ x+ om x≥−2 och |x+2|=−(x+2) om x<−2. )
4 2 (
| 4 2
| x− =+ x− om x≥2 och |2x−4|=−(2x−4) om x<2. Vi betraktar tre fall
A) x<−2, B) −2≤ x≤2 och C) x>2. A) x<−2,
6 4
2 2 ))
4 2 ( ( ) 2 (
| 4 2
|
| 2
| )
(x = x+ − x− =− x+ − − x− =−x− + x− =x− f
B) −2≤x ≤2
2 3 4 2 2 ))
4 2 ( ( ) 2 (
| 4 2
|
| 2
| )
(x = x+ − x− = x+ − − x− = x+ + x− = x− f
C) x>2.
6 4
2 2 )
4 2 ( ) 2 (
| 4 2
|
| 2
| )
(x = x+ − x− = x+ − x− = x+ − x+ =−x+ f
Alltså är
>
+
−
≤
≤
−
−− <−
=
2 för 6
2 2
för 2 3
2 för 6 )
(
x x
x x
x x
x f
Vi ritar grafen till f( x) genom att rita varje stycke i motsvarande intervall. Notera att alla tre uttryck är linjära (därmed delar av tre räta linjer)
A) Vi börjar med f(x)= x−6 i intervallet x<2. Eftersom detta är en rät linje, räcker det att använda två punkter som linjen går genom. Det är viktigt att använda ändpunkten x=2.
Notera att funktionen är kontinuerlig (som summan av kontinuerliga abs-funktioner).
Vi har exempelvis den här liten tabell
x -3 -2
y -9 -8
B ) f(x)= x3 −2 för −2≤x≤2 Vi använder två punkter t. ex.
x -2 2
y -8 -4
C) f(x)=−x+6 för x>2 Vi använder två punkter t. ex.
x 2 7
y -4 -1
Grafen till f( x) får vi genom att rita de tre delgrafer över motsvarande intervall:
Först bestämmer vi funktionens nollställen.
Från grafen ser vi att ett nollställe ligger i andra definitionsintervallen (B-delen ovan). Vi löser
0 2
3x− = och får 3 2
1 =
x .
Det andra nollstället får vi i C-delen 6
x 0
6 = ⇒ 2 = +
− x .
Vi ser från grafen att f(x)>0 om 6 3
2 < x< .
Svar a) 6
3 2 < x<
Svar b) 7
3 5< x<
Uppgift 9. Rita grafen till funktionen
|
| )
(x x x2 x
f = + −
Lösning Först
i) |x2 −x|=+(x2 −x) om (x2 − x)≥0
dvs om x≤0 eller x≥1. ( Se grafen till y =x2 −x) ii) |x2 −x|=−(x2 −x) om (x2 − x)<0
dvs om 0< x<1 Därmed blir
<
<
+
−
=
−
−
≥
≤
=
−
= +
1 0
om 2 )
(
1 eller 0 om )
) (
( 2 2
2 2
x x
x x x x
x x
x x x x x
f eller
≥
<
<
≤ +
−
=
1 1 0
om
0 om 2 )
(
2 2
2
x x x
x x x
x x
f
Grafen till f(x):