Komplex analys I, hemuppgifter till vecka 40
1. Antag att f ¨ar analytisk i omr˚adet M . Visa att om |f (z)| ¨ar konstant i M , s˚a ¨ar f konstant i M . (Ledning: Derivera |f |2partiellt med avseende p˚a x och y och till¨ampa CR-diff. ekvationer. P˚a f¨orel¨asning har vi ju ocks˚a visat att om Re f (z) ¨ar konstant i M , s˚a ¨ar f konstant i M ).
2. L˚at M vara ett omr˚ade. Antag att f (z) och f (z) ¨ar analytiska i M . Visa att f ¨ar konstant i M .
3. En analytisk funktion ¨ar av formen f (z) = u(x) + iv(y), d¨ar u och v ¨ar reella funktioner och z = x + iy. Best¨am f som funktion av z.
4. Best¨am den reella parametern a s˚a att u(x, y) = x3− axy2 utg¨or den reella delen av en analytisk funktion. Best¨am alla analytiska funktioner f (z), z = x + iy, f¨or vilka u(x, y) utg¨or den reella delen och uttryck funktionerna som funktioner av variabeln z.
5. Unders¨ok huru r¨ata linjer parallella med imagin¨ara axeln i z-planet avbildas p˚a w-planet av funktionen w = z2.
6. F¨or vilka v¨arden p˚a z antar ez v¨ardena 2 och 1 + 2i?
7. Visa att f¨or godtyckligt komplext tal z g¨aller:
a) ez+πi = −ez, b) ez = ez, c) eiz = cos z + i sin z .
8. a) Best¨am alla l¨osningar till ekvationen eez = 1, b) Best¨am perioderna f¨or f (z) = e4z + e6z.
1