• No results found

Komplex analys I, hemuppgifter till vecka 40 1. Antag att f ¨ar analytisk i omr˚adet M . Visa att om |f (z)| ¨ar konstant i M , s˚a ¨ar f konstant i M . (Ledning: Derivera |f|

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Komplex analys I, hemuppgifter till vecka 40 1. Antag att f ¨ar analytisk i omr˚adet M . Visa att om |f (z)| ¨ar konstant i M , s˚a ¨ar f konstant i M . (Ledning: Derivera |f|"

Copied!
1
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Komplex analys I, hemuppgifter till vecka 40

1. Antag att f ¨ar analytisk i omr˚adet M . Visa att om |f (z)| ¨ar konstant i M , s˚a ¨ar f konstant i M . (Ledning: Derivera |f |2partiellt med avseende p˚a x och y och till¨ampa CR-diff. ekvationer. P˚a f¨orel¨asning har vi ju ocks˚a visat att om Re f (z) ¨ar konstant i M , s˚a ¨ar f konstant i M ).

2. L˚at M vara ett omr˚ade. Antag att f (z) och f (z) ¨ar analytiska i M . Visa att f ¨ar konstant i M .

3. En analytisk funktion ¨ar av formen f (z) = u(x) + iv(y), d¨ar u och v ¨ar reella funktioner och z = x + iy. Best¨am f som funktion av z.

4. Best¨am den reella parametern a s˚a att u(x, y) = x3− axy2 utg¨or den reella delen av en analytisk funktion. Best¨am alla analytiska funktioner f (z), z = x + iy, f¨or vilka u(x, y) utg¨or den reella delen och uttryck funktionerna som funktioner av variabeln z.

5. Unders¨ok huru r¨ata linjer parallella med imagin¨ara axeln i z-planet avbildas p˚a w-planet av funktionen w = z2.

6. F¨or vilka v¨arden p˚a z antar ez v¨ardena 2 och 1 + 2i?

7. Visa att f¨or godtyckligt komplext tal z g¨aller:

a) ez+πi = −ez, b) ez = ez, c) eiz = cos z + i sin z .

8. a) Best¨am alla l¨osningar till ekvationen eez = 1, b) Best¨am perioderna f¨or f (z) = e4z + e6z.

1

References

Related documents

[r]

Komplex analys I, hemuppgifter till vecka 421. Best¨ am den inre

I projektet kommer det utv¨ arderas om en Machine Learning (ML) algoritm kan kunna f¨ oruts¨ aga f¨ orseningar i den kollektiva trafiken som sedan kan anv¨ andas f¨ or att varna

Resonemang, inf¨ orda beteck- ningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja.. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan

Antalet kunder som bes¨ oker de tv˚ a aff¨ arerna en timme kan beskrivas med Poissonf¨ ordelningar.. Det genomsnittliga antalet kunder som bes¨ oker de tv˚ a aff¨ arerna ¨ ar

Vid bed¨ omningen av l¨ osningarna av uppgifterna i del 2 l¨ aggs stor vikt vid hur l¨ osningarna ¨ ar motiverade och redovisade. T¨ ank p˚ a att noga redovisa inf¨ orda

¨ar en kompakt m¨angd och funktionen f ¨ar kontinuerlig p˚a denna, s˚a d¨arf¨or kan vi p˚a f¨orhand veta att f har ett minsta v¨arde p˚a denna m¨angd, vilket d˚a ocks˚a,

I en simbass¨ang finns ett halvcirkelformat f¨onster D med radie R och vars medelpunkt befinner sig p˚a djupet h, d¨ar h > R, en-