Om exponentialfunktioner och logaritmer
Analys360 (Grundkurs) Instuderingsuppgifter
Dessa övningar är det tänkt du ska göra i anslutning till att du läser huvudtexten. De flesta av övningarna har, om inte lösningar, så i varje fall anvisningar till hur uppgiften kan lösas. Ha dock inte för bråttom att titta på lösningarna – det är inte så man lär sig. Du måste först noga fundera ut vad det du inte förstår.
Glöm inte att hela tiden reflektera kring vad du lär dig. Saker som är svåra att förstå kräver ibland att man tänker under en längre period.
Ibland måste man bara lära sig hur man gör, för att förstå lite senare (när hjärnan fått mer att arbeta med).
Till dessa övningar behövs ofta en miniräknare eller motsvarande för att bestämma det slutliga svaret.
Exponentialfunktionen och dess egenskaper
Övning 1 Skissera i samma figur in följande grafer y=ex, y=ex+1, y=2ex, y=ex+2.
Övning 2 Rita i samma figur ut de två graferna y=e|x|, y=e−|x|.
Eftersom vi vet vad exponentialfunktionens derivata är, kan vi också derivera uttryck som innehåller den.
Övning 3 Derivera följande funktioner:
a) (x2−x+3)ex, b) e−x/x c) ex2−2x. d) x2e
√x−x/2
Det viktigaste i kapitlet är kanske exponentialfunktionens egenska- per (tillsammans med logaritmfunktionens, men de är samma, fast tvärtom).
Övning 4 Kontrollera att du själv kan härleda exponentialfunktio- nens två grundläggande egenskaper:
ex+y=ex·ey, (ex)y=exy
utan att titta i texten. Var tydlig med hur man använder att en diffe- rentialekvation har en entydig lösning.
Nu tittar vi närmare på derivatan, som ju är ett gränsvärde.
Övning 5 Beräkna
limx→0 e3x−1
x .
I följande övningar behöver man veta att ekvationen ex = y löses av x=ln y och kunna hitta denna funktion på en miniräknare (eller motsvarande). Det är det grundläggande sambandet mellan exponen- tialfunktionen och den naturliga logaritmen.
Övning 6 I en viss bakteriekultur ändras antalet bakterier med en hastighet som är proportionell mot antalet bakterier. Antag att anta- let bakterier vid en viss tidpunkt är 4·106celler, och två timmar se- nare har kulturen vuxit till 108celler. Bestäm antalet bakterier som en funktion av tiden.
Övning 7 För ett visst radioaktivt ämne är sönderfallshastigheten 20% per sekund. Hur lång tid tar det tills hälften av ämnet återstår?
Det är också bra att en gång för alla lära sig Maclaurinutvecklingen för ex. För detta, gör följande övning.
Övning 8 Visa att
ex−1−x−x
2
2 −x
3
6 − x
4
24
≤ |x|5
40 om |x| ≤1.
Den naturliga logaritmen
Följande övning är oerhört viktig.
Övning 9 Förklara logaritmlagarna utifrån motsvarande lagar för ex- ponentialfunktionen.
För att bekanta sig med logaritmfunktionens graf är följande övning lämplig.
Övning 10 Skissera i samma koordinatsystem följande grafer:
y=ln x, y=ln(x+1), y= −ln x, y=ln(−x), y=ln 1 x+1. Var speciellt noggrann med definitionsområdet för funktionerna.
Här är en övning på räknelagarna.
Övning 11 Förenkla uttrycken a) ln(1+1x) −ln 1+ln x, b) ln(xe2x) −ln(1/x) −ln(x2), c) eln(2x)−ln(1/x2) +ln(ex).
Övning 12 En person vill sätta in en så stor summa pengar i en bank, att han efter 10 år kan lyfta 100 000 kronor. Antag att bankens årsränta hela tiden är 8% (ränta på ränta), hur stort ska det insatta kapitalet vara?
Vi får också ett standardgränsvärde i origo för logaritmen. För att se vad detta syftar på, gör följande övning.
Övning 13 Beräkna i tur och ordning gränsvärdena
a) lim
x→0
ln(1+x)
x . b) lim
x→0
ln(1+3x) x
Några tillämpningar av logaritmen
Det viktiga i detta avsnitt är att kunna besvara följande fråga.
Övning 14 Rita följande samband så att de framstår som räta linjer:
a)y=2x, b)y=x2, c)y=5·1.25x, d)y=4/x, e)y=1/2x
f)y=√
x, g)y=0.33x, h)y=2x−1/2.
Du ska alltså välja axlarna lämpligt. Ange i varje fall ekvationen för linjen.
Läs igenom exemplet om decibelmätning och gör sedan följande öv- ning
Övning 15 Beräkna ljudnivån L då ljudintensiteten I är a) 10−6W/m2(normal samtalston på 1 meters avstånd)
b) 0.0004 W/m2 (högsta tillåtna ljudintensitet för motorcykel med cylindervolym större än 500 cc, på 7.5 meters avstånd) c) 0.03 W/m2(vanlig ljudnivå på diskotek)
Övning 16 Beräkna följande gränsvärden
a) lim
x→∞(1+1
x)2x b) lim
x→∞(1+ 1 2x)x
Vad växer snabbast?
Övning 17 Beräkna följande gränsvärden (även oegentliga)
a) lim
x→∞
x8+4x+2x
2x+x6+1 , b) lim
x→∞
ex+ (2.5)x+ln x 2ex+x10
Övning 18 Skissera grafen till funktionen f(x) =xe−1/xi stora drag.
Lösningen av några differentialekvationer
Följande övning svarar mot Exempel 2 i huvudtexten. Den är viktig att komma ihåg!
Övning 19 Under 75 år släppte Fexfast Rubber Company i Mas- sachusetts, USA, kontinuerligt ut 5 ton av lösningsmedlet toluen per år. Under ett år avdunstade ungefär 10% av den mängd toluen som fanns i marken. Hur stor mängd förorening fanns i marken då utsläp- pen upphörde?
En i övningar ofta använd variant på detta finns i nästa övning.
Övning 20 Man har experimentellt verifierat att en varm kropp, som befinner sig i ett kallare medium, svalnar med en hastighet som är proportionell mot temperaturskillnaden (Newtons avkylningslag).
a) Ange en differentialekvation för kroppens temperatur som beskriver en sådan avkylningsprocess, om det omgivande mediet har konstant temperatur. Ange därefter en differenti- alekvation för temperaturskillnaden mellan mediet och krop- pen. Vilken variabel är lättast att analyser: kroppens tempera- tur eller skillnaden mellan kropp och medium?
b) En kropp kyls i nollgradigt vatten. Om temperaturen på 10 minuter sjunker från 25◦C till 20◦C, hur lång tid tar det då till att den sjunkit till 15◦C?
c) En nygräddad kanelbulle (200◦C) har efter en minut i rumstemperatur (20◦C) svalnat till 152◦C. Efter hur lång tid kan bullen ätas (35◦C)?
Nedanstående övning är ett exempel på kol-14-metoden. Skriv en or- dentlig lösning som börjar med att plocka ut det viktigaste från exem- pel 3 i texten.
Övning 21 Mätningar från radioaktiviteten av träkol från Lascaux- grottan i Frankrike gav år 1950 0.97 sönderfall/år/g medan levande materia gav 6.68 sönderfall/år/g. För hur länge sedan gjordes grott- målningarna i denna grotta?
Övning 22 I ett vildmarksreservat inplanteras en viss hjortart. I bör- jan, när djurantalet är litet, är den relativa tillväxthastigheten 0.5 per år. Reservatet kan emellertid hålla högst 800 hjortar, varför den relati- va tillväxthastigheten minskar då antalet hjortar ökar till denna nivå.
Efter ett antal år upptäcks reservatet av en vargflock som bosätter sig där och dödar och äter upp 75 djur per år. Nu har en plötslig sjuk- domsepidemi decimerat antalet hjortar till 150 djur. Hur lång tid tar det till vargarna nu eliminerar hjortbeståndet från vildmarksreserva- tet?
Svar och anvisningar
Övning 1 Graferna är ritade nedan. För att identifiera dem notera att ex+1=eex>2ex
och att y=2+exär en parallellförskjutning av y=extvå steg uppåt.
Det är alltså den enda kurva som inte går mot noll då x→ −∞.
−2 −1 0 1 2
0 5 10 15 20
t
y
Övning 2 Båda funktionerna är jämna, dvs f(−x) = f(x). Det bety- der att vi kan rita upp hur den ser ut till höger om y-axeln, och sedan spegla den kurvan i just y-axlen. Den blå kurvan (som är≥1 överallt) är y = e|x|, den röda (som är≤ 1 överallt) är y= e−|x|. Notera att ingen av funktionerna är deriverbar i origo!
−2 −1 0 1 2
0 1 2 3 4
t
y
Övning 3 Låt D beteckna derivata.
a) Enligt produktregeln har vi att derivatan är
D(x2−x+3)ex+ (x2−x+3)D(ex) =ex(x2+x+2). b) Enligt formeln för derivation av en kvot har vi att derivatan
är D(e−xx−e−xD(x)
x2 = −e
−x(1+x) x2 c) Enligt kedjeregeln har vi att derivatan är
ex2−2xD(x2−2x) =2(x−1)ex2−2x d) Här kombinerar vi produktregeln och kedjeregeln:
D(x2)e
√x−x/2
+x2e
√x−x/2 D(√
x−x/2)
=e
√x−x/2
(2x+x2( 1 2√
x−1 2) =1
2e
√x−x/2
(−x2+x3/2+4x).
Övning 4 Det här måste du gå igenom genom att studera huvudtex- ten. Dessa formler är nyckeln till att förstå exponentialfunktionen!
Övning 5 Det du ska se är att gränsvärdet är detsamma som deriva- tan av f(x) =e3xi x=0:
f0(0) =lim
x→0
f(x) −f(0) x−0 =lim
x→0 e3x−1
x , så svaret är 3.
Övning 6 Om y(t)är antalet bakterier vid tiden t och om vi startar klockan då vi har 4·106celler, så gäller att
y0(t) =ky(t), y(0) =4·106.
Här är k okänt, men kan bestämmas av villkoret i uppgiften om vi löser differentialekvationen. Vi vet att lösningen är
y(t) =4·106ekt och det återstående villkoret är att
y(2) =108 ⇔ 4·106e2k=108 ⇔ e2k=25 ⇔ ek=5.
Här kan vi uttrycka k i logaritmer, men behöver inte göra det. Vi har nämligen att den allmänna lösningen är
y(t) =4·106(ek)t=4·106·5t.
Övning 7 Ekvationen för y(t)som är antalet atomer som inte sönder- fallit vid tiden t är y0(t) = −0.2y(t)vars lösning är y(t) =y(0)e−0.2t. Den tidpunkt t1vid vilken hälften har sönderfallit ges då av ekvatio- nen
y(0)
2 =y(0)e−0.2t ⇔ et/5=2 ⇔ t=5 ln(2). Övning 8 Vänsterledet är|ex−p4(x)|, där p4(x)är Maclaurinpoly- nomet av ordning 4 till exponentialfunktionen. Vi vet att
ex=p4(x) +eξx5 5!, där ξ ligger mellan 0 och x. Från detta får vi att
|ex−p4(x)| = |eξ||x5
120| =eξ|x|5 120.
Då vi kräver att|x| ≤1 måste|ξ| ≤1 och alltså eξ ≤e<3. Stoppar vi in den uppskattningen får vi resultatet:
|ex−p4(x)| ≤3|x|5 120 = |x|5
40 då |x| ≤1.
Övning 9 Detta är förklarat i texten. Den viktiga observationen är att ex=z ⇔ x=ln z.
Om vi därför skriver z=ex, w=eyså gäller att zw=exey=ex+yp g a exponentialfunktionens egenskaper. Men detta betyder precis att x+y=ln(zw). Å andra sidan är x=ln z och y=ln w, så vad vi har är alltså
ln(zw) =ln z+ln w.
Den andra räkneregeln visas på motsvarande sätt.
Övning 10 Definitionsområdena är (från vänster till höger) (0,∞), (−1,∞), (0,∞), (−∞, 0), (−1,∞).
Vidare gäller att första och tredje är spegelbild av varandra i x-axlen, liksom andra och femte (därför att lnx+11= −ln(x+1).
−4 −2 2 4
−2
−1 1 2
t y
Övning 11 Vi kan först notera att i alla fall krävs att x>0 eftersom minst en term kräver detta.
a) ln(1+1/x) −ln 1+ln x=ln(x(1+1/x)) =ln(x+1). b) ln(xe2x) −ln(1/x) −ln(x2) =ln(xe2x) +lnxx2) =ln(xex2x) =
ln(e2x) =2x.
c) eln(2x)−ln(1/x2) +ln ex=2x+ln x2+x=3x+2 ln x.
Anmärkning Var använde vi att x>0? Jo, utan det villkoret har vi att ln x2=2 ln|x|.
Av samma skäl som att√ x2= |x|!
Övning 12 Om det insatta kapitalet är K är kontoställningen efter 10 år Ke10·0.08 =Ke0.8, så vi ska lösa ekvationen Ke0.8 =105. Det följer att
K=105e−0.8=44933 kr.
Övning 13 Detta handlar om derivatan av logaritm-funktionen a) Detta är derivatan i x = 1 av ln x, alltså är gränsvärdet 1.
Alternativt är gränsvärdet derivatan i x = 0 av funktionen ln(1+x). Detta är oftare ett bättre sätt att tänka på uttrycket.
b) Detta är derivatan i x=0 av ln(1+3x). Svaret är alltså 3.
Övning 14 Vi får följande samband i de olika fallen:
a) ln y= (ln 2)x. Rita i ett linlog-diagram (linjär skala på x-axeln, logaritmisk på y-axeln).
b) ln y=2 ln x. Rita i ett loglog-diagram.
c) ln y= (ln 1.25)x+ln 5. Rita i ett linlog-diagram.
d) ln y=ln 4−ln x. Rita i ett loglog-diagram.
e) ln y= −(ln 2)x. Rita i ett linlog-diagram.
f) ln y= 12ln x. Rita i ett loglog-diagram.
g) ln y= (ln 0.33)x. Rita i ett linlog-diagram. Notera att linjen är avtagande, eftersom ln 0.33<0.
h) ln y=ln 2−12ln x. Rita i ett loglog-diagram.
Övning 15 a) 60 dB, b) 86 dB, c) 105 dB Övning 16 Vi vet att e=limx→∞(1+1x)x. Detta ger
a) (1+1x)2x=(1+1x)x2→e2då x→∞. Här har vi använt att om f(x) → A då x → ∞ och g är en kontinuerlig funk- tion, så gäller att g(f(x)) →g(A)då x→∞. Att så är fallet betraktar vi som självklart, även om det kräver ett bevis ifrån en ordentlig definition av gränsvärden.
b) När x→∞ gäller även att y=2x→∞. Vi kan därför “byta variabel” som nedan
xlim→∞(1+ 1
2x)x= lim
y→∞(1+1
y)y/2= (lim
y→∞(1+1
y)y)1/2=√ e.
Övning 17 Vi använder här diverse intuitivt självklara påståenden om gränsvärden. Självklara om vi först skriver om uttrycken.
a) Från huvudtexten vet vi att av de termer som ingår växer 2x snabbast mot oändligheten. Vi dividerar därför både täljare och nämnare med 2x:
x8
2x +4x2x+1 1+2xx6+21x
.
När x är stor kommer här alla termer som beror av x att gå mot noll, så gränsvärdet blir=1.
b) Här har vi två exponentialfunktioner: exoch(2.5)x. Eftersom e > 2.5 > 2, så är det ex som växer snabbast. Vi dividerar därför med den och får
1+ (2.5e)x+ln xex +1 2+xe10x
→1+0+0 2+0 = 1
2 då x→∞.
Nästa uppgift är väldigt lik Exempel 5 i huvudtexten (och kan härle- das ur det, utan några räkningar om man vill).
Övning 18 Sätt f(x) = xe−1/x. Det första vi ser är att den inte är definierad i x=0. Vi har att
xlim→0+xe−1/x= lim
y→∞ e−y
y =0
och (sätt y= −1/x)
xlim→0−xe−1/x= lim
y→∞−e
y
y = −∞
eftersom ey växer fortare mot oändligheten än y. Vad gäller sneda asymptoter har vi att
a) i∞ gäller att
k=xlim→∞xe−1/x x =1,
m= lim
x→∞(xe−1/x−x) = lim
y→0+ e−y−1
y = (e−y)0(0) = −1,
b) i−∞ gäller att
k= lim
x→−∞ xe−1/x
x =1,
m= lim
x→−∞(xe−1/x−x) = lim
y→0−−e
y−1
y = −(ey)0(0) = −1.
Vi ser alltså att vi har asymptoten y=x−1 i båda oändligheterna.
Återstår att finna eventuella stationära punkter. Vi har
f0(x) =e−1/x+xe−1/xx−2=e−1/x(x+1)/x,
så vi har endast en stationär punkt, nämligen då x= −1. Vi får följan- de teckentabell
x : −1 0
f0(x): + 0 − ej + f(x): % −e & de f %
Detta ber oss följande figur
−10 −5 5 10
−10
−5 5
t y
Övning 19 Låt y(t)vara mängden (mätt i ton) förorening i marken vid tiden t, räknat från när fabriken togs i bruk. Då ger massbalans att så länge fabriken är i gång har vi differentialekvationen
y0(t) =5−0.1y(t), y(0) =0.
För att lösa den sätter vi z(t) =5−y(t)/10. Då gäller att z0(t) = −y0(t)/10= −z(t)/10, z(0) =5−y(0)/10=5.
Det betyder att
z(t) =5e−t/10 ⇔ 5−y(t)/10=5e−t/10 ⇔ y(t) =50(1−e−t/10). Vi får därför svaret
y(75) =50(1−e−7.5) ≈49.9
ton.
Övning 20 Låt T(t)vara kroppens temperatur och Tmomgivningens temperatur.
a) Lagen innebär att det finns ett k>0 sådant att T0(t) = −k(T(t) −Tm).
Om vi sätter D(t) =T(t) −Tmså gäller att D0(t) =T0(t), och alltså att
D0(t) = −kD(t).
Den andra av dessa ekvationer kan vi lösningen på:
D(t) =D(0)e−kt, vilken i sin tur ger oss T(t).
b) I detta exempel är Tm=0, så T(t) =D(t). Differentialekva- tionen är
T0(t) = −kT(t) ⇔ T(t) =T(0)e−kt.
Villkoren i uppgiften är att T(0) =25 och T(10) =20, där det senare bestämmer k:
20=T(10) =25e−10k ⇔ e10k= 5
4 ⇔ k= 1
10ln5 4. Den allmänna lösningen på ekvationen är T(t) =25e−kt, med detta k. Ti vill då hitta det t då T(t) =15:
15=25e−kt ⇔ ekt= 5
3 ⇔ t= 1
kln5
3 = 10 ln(5/3) ln(5/4) , vilket är approximativt 23 minuter. Det tar alltså ytterligare 13 minuter.
c) Låt T(t)vara bullens temperatur i Celsius. Då är T(0) =200 och
T0(t) = −k(T(t) −20) ⇔ T(t) =20+180e−kt. Vi bestämmer k av att
20+180e−k=152 ⇔ e−k= 132
180 ⇔ k=ln180 132. Tiden vi söker är lösningen på 20+180e−kt=35, alltså
t= 1 kln180
15 = ln(180/15) ln(180/132) ≈8 minuter.
Övning 21 Ekvationen för radioaktivt kol är
N0=p−λN, λ=1.245·10−4, p=6.68λ
så länge trädet lever. Därefter blir ekvationen N0= −λNmed start- värde N(0) = p/λ = 6.68. Vi ska därför hitta det t som är sådant att
0.97=6.68e−λt ⇔ t= 1 λln6.68
0.97≈15500 år. Det var så länge sedan grottmålningarna gjordes.
Övning 22 Om vi räknar djuren i hundratal är ekvationen
y0=0.5y(1−y/8) −0.75= − 1
16(y−2)(y−6).
För att lösa den börjar vi med att sätta z=y−2, vilket ger oss ekva- tionen
z0= − z 16(z−4).
Därefter sätter vi w=1/z (du kan naturligtvis sätta w =1/(y−2) direkt om du vill, men vi väljer att göra det i så små steg som möjligt).
Det ger oss (kontrollera!) ekvationen
w0= 1
16(1−4w),
som vi löser genom att sätta u= (1−4w)/16. Då gäller att (kontrol- lera!) u0= −u/4 och alltså u(t) =Ce−t/4. Ur det får vi
y(t) =2+z(t) =2+ 1
w(t) =2+ 4
1−16u(t) =6−32u(t) 1−16u(t). Detta betyder att
y(t) = 6−2Ce−t/4 1−Ce−t/4
för en konstant C (som är 16 gånger större än förra C). Startvillkoret är y(0) =1.5, så C bestäms av att
6−2C 1−C = 3
2 ⇔ C=9.
Från det följer att y(t) =0 precis då
6−18e−t/4=0 ⇔ t=4 ln 3≈1.9 år.
