• No results found

Dissertationem mathematicam, de ratione sphæræ ad cylindrum, cum venia ampliss. senatus philosoph. reg. acad. Upsal. præside ... Erico Burman, ... Pro gradu, publico candid. examini modeste subjicit s:æ r:æ m:tis alumnus Ericus Rudman Gestricius, in aud.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Dissertationem mathematicam, de ratione sphæræ ad cylindrum, cum venia ampliss. senatus philosoph. reg. acad. Upsal. præside ... Erico Burman, ... Pro gradu, publico candid. examini modeste subjicit s:æ r:æ m:tis alumnus Ericus Rudman Gestricius, in aud."

Copied!
20
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

f.

Συν Θίω. DISSERTATIONEM MATHEMA-ι TICAM, DE

RATIO

NE

SPHßRß

tAD

CYLINDRUM,

Cum

Verna

Arnphjf.

Renatus

Philofoph.

Reg.

Acad.

Upjal.

prjeside

mo tsiMPL

Mag.

Ε

R

I

C

Ο

BURMAN,

Agronom. ProfeJJ. Reg.

£ff

Or^f.

Facult. Philo/, h.t.DecanoMax.

PRO GRADU,

Publico Cändid, Examini modeßefubjicit

S:iE R:;e M:tis Alumnus,

er1cus

rudman

Cjeftriciusj

In Aud. Gull. Maj. d. 2?.Maji A.!7i8.

Horis ante mendiem conivetis.

(2)

Summe Rever.

&Amplißmo

V] RO,

DN.

O

I-

A

v

o

C Ε

L

S

I

O,

S. S.

Theolog.

Doctori &

Prof.

Celeberrimo, Ven.

Confift.

EccleC

ADSess.

graviilimOjdefign.pastori

in vicinique

contra&us

, Prjeposito

longe

meritiffimo,

Admod\ Rever.

Ampliffimoque VI RO,

MAG.

A

NDRE/E

WESTE

RMAN,

Pastori & Prjeposito Geval. lon*

ge

meritiifimo,

nec non

Reg.

Gymn. atque

Scholz Trivialis

ibi-

L

dem Inspect. accuratiffimo.

Patronis & Promotoribus

^Accipite

qu<ejo,

Patroni

Pro-mis,

quod in

debitne

objervanti<e

te

fli'

tum favörem,

&

in

ffiem

ve

fira

com·

denttjßmo omni

gence

&

(empiternafe

·

& confert

Summe Reverendor.

AmpliiT.

&

Devotiflimus & '·χ

(3)

MaximeRever.&

Ampi}ßno

VI RO,

DN

ERICO

MEL4NDER,

S. S. Theoi. Professori celeberri«

χηο, Ven.

Gonfift,

Ecclef.

Adses.

Graviffimo , Pastori in 2)anne*

UtatCfi/ &

Adjacentis Contradus

PrJEPOSITO ionge

digniffimo.

Amplißimo

Cofifultißimoque VIRO,

DN.

ERICO

GERDZLOVIO,

Civitatis Gevalieniis Confuli

JE-cjuiflimo,

meritiflimo.

Maximis,

Optimis.

motores Magni,

hocce

leviffimum

mu-monium > ob

Jmgularem

mihi

pr&dt-mendationis olim

obtipend<e,

cum ar~ licitatisvoto, venerabundamente

offert

Confult.NonainumVeftror,

obfeivantiffimus Cultor

(4)

iottgl.

Ätj:£

SM'ticnareοφ

FACTOR

oft»«

©ewdtésFaftoriet uti

©ööetfjcimn/

Sibei

οφ -Οό^αφίαί)

ANDERS

"

C

R

ALL IU

S,

gyitti

^)6,(}tdwbc

jpjeic

SKot&robet.

SJiSanb fbemettenjTöpér flera/

©OtHfoi'fiArchimcdesfatt/

9lrAjen genltfljei fom Sphsra £ilCylindren J)ålla fatt·

$miifen fig fom tu til inj

Φαί/ Οφ bårffal rntjierHr.

£&en jag åfmen nufil©er/

5D?in £err Morbror/ offraropp/

Οφtber jemfeflitigt beber/

©om©rgobbet ger mig Bopp/ 2if 3rgåfman ej fbrfmå/

Saftbon fan ej fiorf fbrffå/

S3?of tl;et goba/ Morbrorfåra $?ig bemifat; i)»ilfet jag ©fåbfe ffaltminnet bara/

, Οφ ej glömma någon bag/

Onffa(Efjr til $ropp οφ©jål/ Rimligt gobf οφ emigt mål.

•fjbgtdMbe

SCiotbwré

$&tfamffe Xienare

(5)

*&+il*Α* Α* D.D.

Prooemium.

5.

r.

;Ν invenienda ratio-ne Sphaeraead

Cylin-drum non parum

la-boravere Mathefeos

Magiftri .>& in primis

Archimedes : qui

et-jam , cum videret inventam multas

praeclaras & folidorum & planorum

proportiones aliasque folutiones

com-prehendere; tantopere illam adama-vit, ut fpaeram Cylindro contentam

tumulo fuo appoiitam vellet.

Non quaravis fpha?ram &quemvisCy*

lindrum heic inteUigo: Ted fphxram

Cylindro infcriptam.Circacujus

proble-matis folutionem, fybtilem fane & ar-duam , Ted ab excellenfium virorum

ingeniis

magis magisquedetedamj

(6)

verfi diverfam ingreffi funt viam.

Bre-viffimam vero? pro ut tempus & mea

fuppellexpermiferintjex

icripcisMathe-mathicorumerutarr,fequiconatusfuntt

Opera?pretium

eiTet,pri modeRatione

8c ejus natura nonnulhsagere verum quum hzc talia in

Difputatione,

non

ita pridem habita, de Ratione Diametrt adCirculiPeripheriam[ο\\άΐ difcuila OC*

currant, nihil mihi opus erit illis

irq-morari. Antequamvero remipfarn

de-monitrandamaggrediar, quasdam

fal-tem dennitiones & propoiitiones, ex

Arithmetiea Iniinitorum,illas exhibens tejoh, Chrift.Sturmio in Math. Enucl»

adducere juvat.

Definitio

I.

§.

2.

Ratio ejft mutuus

refpe&us dua·

rum

quatitatum

homogenearum;

feu comparatio

quanti minoris

ad

majus, vel

contra.

Definitio II.

§. 5·

Sphsera

eft

folidum,

unafuper-ficie

comprehenfum,

cujusfingula

(7)

pun-3

pun&a a»qualiter

a centro

diftant.

D icribitur

{Fig

i.) a

Semicirculo

AGB circa reélam immotam, Dia-metrum, AB converfo.

Definitio

I IIt

§>

4-Hemi(ph2erium,dirRidium

Sphaj-ra?, eftcorpus,

quodproducit

qua-drans DBEC

{Fig.

i.)

circa latus DC

ingyrum

du&us.

Oefinitio

IV»

Cylindrus(re<ftus

infelligitur) eft

corpus

oblongum, duobus

circulis

-a?quidiftantibus &

re&angulari

fu-perfkie

convolutacontentum;

{F/g.

2.) generatum icilicet vel a circulo

AB perpendiculariter & iibi 7ταξαλ·

λήλως afcendente , vel a Parallelo¬

grammo DH circa reftam GΗ

cir-cuma<fto.

T)efinitio

V.

§.

6.

Conus

{Fig.

3.)

eft

figura folida,

a

(8)

. i '

bafi circulari CD in apicem

Freéla

ablens, feu

cujus

fuperficies

eil

fe-élor Circuli convolutus : genita a

iinea FE per circuli

peripheriam

circuma&a, dum fixa maneat ex»

tremitas altera in puncto F-, vela motu

Trianguli f/£circacathetura

r

FI in orbem aå».

THEOREMA L

7-In centinua quaeunque

Progres-fione, iublatotermino

primoab ul¬

timo, & Refiduo divifo per No¬

men Rationis unifafe mul&atum,

oritur Quotus

a?qualis

iumm^ ter¬

minorum omnium excepto ultimo.

§·

8.

jDemonflrauo ocularis, Sint termini

2 ? * f β

fequentes: a} aay ea, ea, ea, ea, ea%

6

Ultimotermino ea primoa minuto, &

6

refiduo ea-- ^divifo per nomen ratio¬

nis e unitate minutum h. e.e· ι $ erit

f * % a

quotus ea h· ea -+eα-f ea -f ea -+d. Ex. .

(9)

5 Ex, gr. fint numeri fequentes pro¬

portionales: i, i, 4, 8, 16,

jz,ö4.Sub-trado primo t ab ultimo 64, &refiduo

Ö5 divifio per nomen rationis

zunita-te multatum, h. e.

per 1 ; erit quotus fumma omnium excepto ultimo,

(uni-tas enim nec dividit nec multiplicat)

63y cui fiaddatur ultimus 64, prove¬

nit fumma totius progreftionis 117.

Patet autem ex ipfa demonftratione

idem perpetuo futurum, quantumvis

terminorum numerus augeatur.

CONSECTARIUM 1.

§·

Summafradionum infinitarum, (ut

omnes termini ada colligantur> fieri

non poteft) quaruri* Numerator com»

munis eft unitas > Denominatores au¬ temprogrediuntur in ratione

Numera-toris primae adfuum Denominatorem »

hocartificio obnnecur. Ex gr. In con-tinua fradionum ferie J,

&c. incipiendo ab ultimo (ordine ter¬

minorum inverfo) vel a parte

infinite-fima, quae jure pro o haberi poteft»

(Nam interhunc primumo &ultimum ä funt infinite ejusmodi termini feu fradio>

(10)

6

fra&iones* quarum fumma

xquafis

erit

|) fi primusofubtrahatur

ab ultimo I,

& Refiduum dividatur per Nomen

Ra-tionis unitate minutum i. e. i ;

quo-tus 1 dat fummam omnium fraftio-num absque ultimo, per$. 7, & huic

addito ultimo habeturAggregatum

omnium fra&ionum Ξ3 i· Sed

t?"3ς"Λ &c· in

infinitum,afquatur

ni-hiio; quod fumma fra&ionum

infinita«

rum ab J decrefcentium aequalis ht ul¬ tima? & illa ab hac fubdufta

Reii-duum lit o.

CONSECT, II.

§

10.

In hac vero ferie, 7\, tt??j

continuata, ubi commu¬

nis Numerator eft $$ Denominatores

autem afcendunt in ratione quadrupla,

fumma omnium eft aequalis Ope'

tio eadem eft, quam prarcedens Con-fe&anum exhibet. Hinc conftat

τ^-$2

5|?-Ττ|»Σ

* <p?W'

Tjllä

- &C. Ut

& TT.·+ i7 ^

sW

^Γτ?Σ -+

j &in mfinitum sequario.

(11)

THEO-7

THEOREMA

II.

§.

Ii.

Summa

Quadratorum

ex numei

ris eardinalibus ab ι in infinitum

crefcentium (i. e. tenei

Arithmeti-cse

duplicatae) ie habet

ab

fummam

maximi terminiin terminorumnu¬

merum du&i, feu totidem maximo

aequaiium

, ut ι

ad

3

§.

12.

Demonflratio. Sint numeri tres qua»

drati i5 4, 9, quorum aggregatum eft

14 : maxirruque 9 per numerum

ter-minorum 3 multiplicaci produdtum 27. illud fe habetad hoc, (fadla utriusque divihone per 9.) ut 1 —l· |—h TV ad 3.

Progreifionis autem ierie

au&a

,

propior

acceifus

fit ad

fubtriplam.

Namque fumma fex terminorum 1, 4,

9, «6, 15, 56.91, adprodudlum maxi¬

mi per terminorum numerum 6,

ni-rnirum 216. (utroque divifo per 72)

eft, ut ι —b ·£ —h 7*2 ad 3,

decrcmen-toexiftente Scilicet decrefcunt

hae fra dtionesea iege,utpriorparte di-ruidia pofteriortribus quartisminuatur,

(12)

S '

Sic fumma duodecim terminorum,

JJ4>9>ιό, ι 36, 4p, 64, 8i) 100,121, 144«/!. e.6joadmaximum 144 per

nu-merum terminorum \i

multipiicatum

i.e.1718· (fadta utrinque divifionc per

576.)eil, uti -f £ ^ad $>

de-crementoexiftente £ -f

2§g·.

Summa vigintiquatuorterminorum

4P00 adviginti quater 576i.e. 1^824?

(utrinque dividendo per4<5o8.)efl, ut

1 *~E τΐτ*Έ

tt?2 a<^ 3*

Decremento

^5

*4* ττ?χ

Et fumma quadraginia odlo termi¬

norumh.e. 38014 , eil ad

quadragin-ta ofties 2504h.e. ϊ10*92. ("utrinque

dividendo per 36g04.) ut 1 -E -E .ifey ad decremento ^ -Ε

???δΓ Et

fic porro.

Erititaquefumma quadrätorum &c.ut

ι -Ε | H- *V *

i

"

Å

- s* *

*§2'

tV"

3M?f2 "/2 " * Τ?4?Ζ &c·

a(^

4. i. e. ($. p^ & 10.; ut i. ad 5. O.e. d,

THEOßEMA III.

13·

Interfummam

Progrefllonis

in¬ finit« habeptem terminum maxi¬

(13)

9

mum

Quadratum,

ceteros

deficien-tes

imparibus

numeris ι, 5, 5, 7,

9, ii, &c. Sc

Fadum

ex

maxi-moinnumerumterminorumdu&o, ratioeft

fubfesquialtera,

feuut

2ad;,

§. 14, Demonftratio. Habeantur tres

hujusmodi termini, ex. gr. 9, S> >·

bo-rumaggregatuiii 22 eiladfummarn

to-tidemmaximoaeqiialium 17. (fadta

divi-fcone per 9,) uc 2 -ψ J - TV

ad

3.

Summa fex terminorum > $0,^,;?.,

17, 20, iij i. e. 16». eil ad aggregatum

totidem maximo aqualmm 2 ιό (faila

utriusque diviiione per 72») ut 2 -+ 4 "71

ac*

Summaduodecim terminorum, 144, 14;, 140, ijnng, iip, iog, Hoj

ό;, 44, 23, i, e, 1222, eil ad

duode-cies 144, b.e. 1728·(utrinque dividen· do per f70,)ut2 ^

ad

3.

Summa vigintiquatuorterminorum, 5yι, ^40, 727,

512, 49f,470, 457, 432,407, 380,3Π,

310,287» 176» 47· b#

e. 95Ό0, ad viginti

quater 576. h, e.

Μ824»(dividendo per 460g.jeil» ut .t

d~· rs * ttW ad f.

Decrefcuntnimirumheicquoquc

(14)

äio-ϊθ

ftiones, priorparte fui dimidia, &

po-fterior tribus quartis.

Eritque ideointerfummas

progreffio-nis ejusmodi infinita?, & terminorum

infinitorum maximoaequalium ratio,ut

2 -E 2 - T£ - J—f ' I - 15 TT?± - 32 &c· ad ?♦e.

9.& i o)ut ι ad }. Q.e, d.

THEOREMA

IV.

§. >5·

InCirculoQuadrata

Semiordina*

tarum PM &pm

{Fig 4.)funt inter

le, ut Re&anguia exSegrr.entis

dia-metriAP, ΡB, &

Αρ,ρΈ.

§. 10«

Demonßratio. Evidens eftex

Propofi-tione i^. Iib. VI. Euclidisj Quadratum

/M/acquale eiTe R&angulo exAP inΡ B,

& □ pm s redlanguio ex Ap in pB.

Quare fit AB S λ, APκ λ·, Åp s u

PM m yι ρ m £ z. Eritqueyy Ξ ^

λ-λ-, & zzjzj au — ««, nec non ut

y\ ad ax — xx, ita zz ad au — ««5&

confequenter yy ad zz ut ax — *.*· ad

40 — «04 h. e, Q PM: □ pmS AP in

(15)

It

Ergo Quadrata

Semiordinatarum

PM &pm funt interfe &c. Q. e. d,

CONSECT.

$.

17.

Sic Semiordinata PM , imo re&a

quacvis normalirer ab aliquo punfto diametri adperipheriam edu&a, Media

Proporcionalis eftinter Segmenta Dia¬

metri.

THEOREMA

V.

J.

>s.

Sphaerae

dimidium

, äut

aliud

quodcunque fegmentum,

eftadCy?

Iiηdrum eircumfcriptum

, ieu ea?

dem bafi & altitudine, ut 2ad 3.

19.

Bemonfiratio. Ponatur altitudo AB

intres partesarquales divifa(*'/£,*.)Qua¬

dratafemiordinatarum F/l, OH, SI, iunt

inter fe , ($. 1 fA ut reftangula ex

fe-gmentis diametri FA $ in AB$, £//4 in

BH t i LI $ in BI i. h.e.ut9, i·

Porro autem his altitudinisejusdem

partibus bifariam fedlis, oriuntur fex Quadrata femiordinatarum: quae, quia

circuli funt inter fe ut quadrata

(16)

12

rum, cum fuisPlanis Circuläribus pro·

grediuntur fe.cundum decrementa nu«

merorum imparium, nempe 36,

jj, 51j£7, 10, 11.

Pariterque isnovxaccedant fediones;

figurachujusprogreffionis reperientur,

544, ϊ4>, 140, ι 34, χι8, i ip, 108, 9f>

80, 6$, 44, 1?.

Ulis quoque fimiliter fubdiviiis

exdem decrefcunt, juxta ieriemnume· rorum, 576, 474, 57a, 467,460, 551,

540,417,4i2,4p4,47<5,4j5,4Ji> 4°7>

380,341, 310, 187,15:2,21;, 176, 13 5^ p2t 4/.

Et hoc modo continua'tis fedioni-bus, propior femper fubfesquialterar noftra fit Ratio, tandemquein

ipiafub-fiftet (§. n.J Hoc eil, ίϊ reda AB in

particulas äquales numero infinitasdi-vifa, Spha?ra mente refolvaturin

Cy-lindrnlos infiniteiimos, feu infinite

parvarum aijritudinum , quorum bafes

lutit circuli radiis^/, OH &c. defcriptij quique adeo ea«dem hanc progreifio

nislegem fervant: patet his

refponde-re in Cylindro GE totidem Cylindru*

los illorum maximo äquales 3 atque

pr©ind,e omhia elementa Sphiera!

ad

(17)

I *

1

t

omnia eleme.nta Cylindri, feu totum

Hemispbaerium FBG ad totum

Cyliu-drum EG, ut 2 ad ?.Q. e. d,

THEOREMA VI.

§.

20.

ExeeiTus-Cylindri

fuprafphecråm

inicriptam, eft ad Cylindrum, ut

i ad 5.

§.

21.

Jsiemonflratio* Ponantur Iineaeomnes fchematis DB (Fl%.· δ.) circa redlam CB

in orbem converti: atquc hoc motu

Quadratum DB defcribic Cylindrum (§· y.)i Qnadrans BCUA

hasmisphae-rium (§.4.;., Triangulum DCtfCouum

C§>6.j; fcilicethaectria corpora earun-dem bafium & altitudinum.

Bis jam folidis Cylindro

infcriptis

>

ipfique Cylindro, totidem numero

competunt, & finguJis unius fingula

alterius reipondent, indivifibilia.*

enim v. gr, GH Ξ IB

, femidiameter

infinite parvi difci Cylindrici

;

IBt

Sphuerici5 KH Conici. Atque in ΔΔ fimiiibus DCBScKHBob DC & KH (ut

fupponimus)parallelas,DC: CB cj KH:

KBj ideoque KH jr;

HB. Sed horum

(18)

Qua-14

QuadrataarqualiaQuadrato

/T£;eoderri-quemodo □ 6Η£ Q IB X QQ 1H &

KH fimul fumtis (Theor. Pyrbag.j^ im-tno (PropoC i. )ib. XII EucljD.) Cir-colus quoque Radio GH dcfcriptus,

aequaturCirculis Radiorum //7& KH. Qoarc ii communis Circulus*

ele-mentum Sphaerac, utrinque

iubtraha-tur, rehnquitur eleraentum Coni ex

KR deicripfum äquale annulo extra

Sphaerarn a GI orto.

Et cum idem valeat de fingulis Cir¬

culis vel difcis per reliquas divifionej

emergentibus: ut nimirum circulus

ex LF aequalis fit annulo

ex £0;

fic-que in univerfum Circuli inträ

Co-num atquales fint annulis extra

Sphac-'

ram; at circuli hi, qui Coni

elemen-ta iunt, manifefto per rationem du»

plicatam progrediuntur, fenut

Quadra-ta Numerorum Cardinalium i, 4, p: inde féquitur annulos quoque extra

Sphaeram, feu elementa exceflus

Cy-Imdrici fupra illam, eodem

modopro-gredi, ut i,4,p,&c.

Quia denique in Cylindro ipfis re< fpondent totidem maximo

aequalia;

(19)

*5 * erit exceiftis Cylindri fuper fpkxrana

* fi b i infcriptam

, ut i

ad

5. ( §. n.) Q. e. d.

CONSECT.

§.

Ils

Sed hinc quoque patet Sphxram

fe ad Cylmdrum habere> ut

i ad 5.

(20)

Oariffimo

Philofophia?

Candidato

Dn.

ERICO

RUDMAN,

Confanguineo

honoratiflimo>

DiiTertationem de

Ratione

Sphara

ad

Cylindrum

Publice edituroj

radio totumqui genttbusorbem

Vir, Siculi quondam

gloria magnaSoli,

Εtumulo iiforte fuo rediviva levaret

Pe&ora, crudeli faucia fafta manu;

Cerneret egregios

> quos ediditipie, labores,

Depingi calamo, Fratek amande,Tuo.

Hinc bene jun&a fuo,

quam fiftis, Sph&ra Cjtin«

dro,

Haud levis eximiae pars Tibilaudis erit.

Grdtulari

volitit-ERIC, STENFELT.

References

Related documents

Et primo quidem, quod ad resimprimis Theologicas attinet, autumamus graviffimas qusftiones heic, circa cultum veri Nu minis, propofitas fuifte; unde etjam initio ejusdem Capitis

exißere nequit. lUud vtro aliud, non po- teft non tfifie ens neceffarium : quta quod contingens eß , certo effettum producere nequit hj. Patet igitur Deum eflTe ens

duas iftas partes, animam Sc corpus, quibus con- ftaruus , tertiana quandam, neicio quam.

fuifle , quod verifimiliusfi quod fuerit convivium. docet

anriquüm iftum morem funt perofi, quod caedes &amp; cruenta molimina fpiraret. Et quo, quaefo, alio pa- öo dilatarent regni fines ,

(quem apud Horn, in areivNoxp.. 9Q.yElianus XII Hift. aniinal; T.hfk gamum, Caftor Rhodius

tinere. Huc itaque facit, quod in To- picisait Cicero ar): illa, quae ex con-a. trariis funt conclufa, per

fhre poterit, fi, ad quid teneatur, nefciverit ? Deinde lex Übeltätern voluncatis conftringet &amp; it a quaii obligabit, utindiverfam partem ie fleftere nequeat. Hac ratione , β