f.
Συν Θίω. DISSERTATIONEM MATHEMA-ι TICAM, DERATIO
NE
SPHßRß
tADCYLINDRUM,
CumVerna
Arnphjf.
Renatus
Philofoph.
Reg.
Acad.
Upjal.
prjeside
mo tsiMPL
Mag.
Ε
R
I
C
Ο
BURMAN,
Agronom. ProfeJJ. Reg.
£ff
Or^f.
Facult. Philo/, h.t.DecanoMax.
PRO GRADU,
Publico Cändid, Examini modeßefubjicit
S:iE R:;e M:tis Alumnus,
er1cus
rudman
Cjeftriciusj
In Aud. Gull. Maj. d. 2?.Maji A.!7i8.
Horis ante mendiem conivetis.
Summe Rever.
&Amplißmo
V] RO,
DN.
O
I-
A
v
o
C Ε
L
S
I
O,
S. S.
Theolog.
Doctori &Prof.
Celeberrimo, Ven.
Confift.
EccleCADSess.
graviilimOjdefign.pastori
in vicinique
contra&us
, Prjepositolonge
meritiffimo,
Admod\ Rever.Ampliffimoque VI RO,
MAG.
A
NDRE/E
WESTE
RMAN,
Pastori & Prjeposito Geval. lon*
ge
meritiifimo,
nec nonReg.
Gymn. atque
Scholz Trivialis
ibi-
L
dem Inspect. accuratiffimo.Patronis & Promotoribus
^Accipite
qu<ejo,Patroni
Pro-mis,
quod in
debitne
objervanti<e
tefli'
tum favörem,
&
inffiem
vefira
com·denttjßmo omni
gence&
(empiternafe
·& confert
Summe Reverendor.
AmpliiT.
&Devotiflimus & '·χ
MaximeRever.&
Ampi}ßno
VI RO,
DN
ERICO
MEL4NDER,
S. S. Theoi. Professori celeberri«
χηο, Ven.
Gonfift,
Ecclef.
Adses.Graviffimo , Pastori in 2)anne*
UtatCfi/ &
Adjacentis Contradus
PrJEPOSITO ionge
digniffimo.
Amplißimo
Cofifultißimoque VIRO,
DN.
ERICO
GERDZLOVIO,
Civitatis Gevalieniis Confuli
JE-cjuiflimo,
meritiflimo.
Maximis,
Optimis.
motores Magni,
hocce
leviffimum
mu-monium > obJmgularem
mihi
pr&dt-mendationis olim
obtipend<e,
cum ar~ licitatisvoto, venerabundamenteoffert
Confult.NonainumVeftror,obfeivantiffimus Cultor
iottgl.
Ätj:£
SM'ticnareοφ
FACTOR
oft»«
©ewdtésFaftoriet uti©ööetfjcimn/
Sibei
οφ -Οό^αφίαί)
ANDERS
"C
R
ALL IU
S,
gyitti
^)6,(}tdwbc
jpjeic
SKot&robet.
SJiSanb fbemettenjTöpér flera/©OtHfoi'fiArchimcdesfatt/
9lrAjen genltfljei fom Sphsra £ilCylindren J)ålla fatt·
$miifen fig fom tu til inj
Φαί/ Οφ bårffal rntjierHr.
£&en jag åfmen nufil©er/
5D?in £err Morbror/ offraropp/
Οφtber jemfeflitigt beber/
©om©rgobbet ger mig Bopp/ 2if 3rgåfman ej fbrfmå/
Saftbon fan ej fiorf fbrffå/
S3?of tl;et goba/ Morbrorfåra $?ig bemifat; i)»ilfet jag ©fåbfe ffaltminnet bara/
, Οφ ej glömma någon bag/
Onffa(Efjr til $ropp οφ©jål/ Rimligt gobf οφ emigt mål.
•fjbgtdMbe
SCiotbwré
$&tfamffe Xienare*&+il*Α* Α* D.D.
Prooemium.
5.
r.
;Ν invenienda ratio-ne SphaeraeadCylin-drum non parum
la-boravere Mathefeos
Magiftri .>& in primis
Archimedes : qui
et-jam , cum videret inventam multas
praeclaras & folidorum & planorum
proportiones aliasque folutiones
com-prehendere; tantopere illam adama-vit, ut fpaeram Cylindro contentam
tumulo fuo appoiitam vellet.
Non quaravis fpha?ram &quemvisCy*
lindrum heic inteUigo: Ted fphxram
Cylindro infcriptam.Circacujus
proble-matis folutionem, fybtilem fane & ar-duam , Ted ab excellenfium virorum
ingeniis
magis magisquedetedamjverfi diverfam ingreffi funt viam.
Bre-viffimam vero? pro ut tempus & mea
fuppellexpermiferintjex
icripcisMathe-mathicorumerutarr,fequiconatusfuntt
Opera?pretium
eiTet,pri modeRatione
8c ejus natura nonnulhsagere verum quum hzc talia in
Difputatione,
nonita pridem habita, de Ratione Diametrt adCirculiPeripheriam[ο\\άΐ difcuila OC*
currant, nihil mihi opus erit illis
irq-morari. Antequamvero remipfarn
de-monitrandamaggrediar, quasdam
fal-tem dennitiones & propoiitiones, ex
Arithmetiea Iniinitorum,illas exhibens tejoh, Chrift.Sturmio in Math. Enucl»
adducere juvat.
Definitio
I.
§.
2.Ratio ejft mutuus
refpe&us dua·
rum
quatitatum
homogenearum;
feu comparatio
quanti minoris
ad
majus, vel
contra.Definitio II.
§. 5·
Sphsera
eft
folidum,
unafuper-ficiecomprehenfum,
cujusfingula
pun-3
pun&a a»qualiter
a centrodiftant.
D icribitur
{Fig
i.) aSemicirculo
AGB circa reélam immotam, Dia-metrum, AB converfo.Definitio
I IIt
§>4-Hemi(ph2erium,dirRidium
Sphaj-ra?, eftcorpus,
quodproducit
qua-drans DBEC{Fig.
i.)
circa latus DCingyrum
du&us.
Oefinitio
IV»
5·
5·Cylindrus(re<ftus
infelligitur) eft
corpus
oblongum, duobus
circulis
-a?quidiftantibus &
re&angulari
fu-perfkie
convolutacontentum;{F/g.
2.) generatum icilicet vel a circulo
AB perpendiculariter & iibi 7ταξαλ·
λήλως afcendente , vel a Parallelo¬
grammo DH circa reftam GΗ
cir-cuma<fto.
T)efinitio
V.
§.
6.Conus
{Fig.
3.)
eftfigura folida,
a. i '
bafi circulari CD in apicem
Freéla
ablens, feu
cujus
fuperficies
eil
fe-élor Circuli convolutus : genita a
iinea FE per circuli
peripheriam
circuma&a, dum fixa maneat ex»
tremitas altera in puncto F-, vela motu
Trianguli f/£circacathetura
r
FI in orbem aå».
THEOREMA L
$·
7-In centinua quaeunque
Progres-fione, iublatotermino
primoab ul¬
timo, & Refiduo divifo per No¬
men Rationis unifafe mul&atum,
oritur Quotus
a?qualis
iumm^ ter¬minorum omnium excepto ultimo.
§·
8.jDemonflrauo ocularis, Sint termini
2 ? * f β
fequentes: a} aay ea, ea, ea, ea, ea%
6
Ultimotermino ea primoa minuto, &
6
refiduo ea-- ^divifo per nomen ratio¬
nis e unitate minutum h. e.e· ι $ erit
f * % a
quotus ea h· ea -+eα-f ea -f ea -+d. Ex. .
5 Ex, gr. fint numeri fequentes pro¬
portionales: i, i, 4, 8, 16,
jz,ö4.Sub-trado primo t ab ultimo 64, &refiduo
Ö5 divifio per nomen rationis
zunita-te multatum, h. e.
per 1 ; erit quotus fumma omnium excepto ultimo,
(uni-tas enim nec dividit nec multiplicat)
63y cui fiaddatur ultimus 64, prove¬
nit fumma totius progreftionis 117.
Patet autem ex ipfa demonftratione
idem perpetuo futurum, quantumvis
terminorum numerus augeatur.
CONSECTARIUM 1.
§·
9·Summafradionum infinitarum, (ut
omnes termini ada colligantur> fieri
non poteft) quaruri* Numerator com»
munis eft unitas > Denominatores au¬ temprogrediuntur in ratione
Numera-toris primae adfuum Denominatorem »
hocartificio obnnecur. Ex gr. In con-tinua fradionum ferie J,
&c. incipiendo ab ultimo (ordine ter¬
minorum inverfo) vel a parte
infinite-fima, quae jure pro o haberi poteft»
(Nam interhunc primumo &ultimum ä funt infinite ejusmodi termini feu fradio>
6
fra&iones* quarum fumma
xquafis
erit
|) fi primusofubtrahatur
ab ultimo I,
& Refiduum dividatur per Nomen
Ra-tionis unitate minutum i. e. i ;
quo-tus 1 dat fummam omnium fraftio-num absque ultimo, per$. 7, & huic
addito ultimo habeturAggregatum
omnium fra&ionum Ξ3 i· Sed
t?"3ς"Λ &c· in
infinitum,afquatur
ni-hiio; quod fumma fra&ionum
infinita«
rum ab J decrefcentium aequalis ht ul¬ tima? & illa ab hac fubduftaReii-duum lit o.
CONSECT, II.
§
10.In hac vero ferie, 7\, tt??j
continuata, ubi commu¬
nis Numerator eft $$ Denominatores
autem afcendunt in ratione quadrupla,
fumma omnium eft aequalis Ope'
tio eadem eft, quam prarcedens Con-fe&anum exhibet. Hinc conftat
τ^-$2
5|?-Ττ|»Σ
* <p?W'Tjllä
- &C. Ut& TT.·+ i7 ^
sW
^Γτ?Σ -+j &in mfinitum sequario.
THEO-7
THEOREMA
II.
§.
Ii.Summa
Quadratorum
ex numeiris eardinalibus ab ι in infinitum
crefcentium (i. e. tenei
Arithmeti-cse
duplicatae) ie habet
ab
fummam
maximi terminiin terminorumnu¬
merum du&i, feu totidem maximo
aequaiium
, ut ιad
3§.
12.Demonflratio. Sint numeri tres qua»
drati i5 4, 9, quorum aggregatum eft
14 : maxirruque 9 per numerum
ter-minorum 3 multiplicaci produdtum 27. illud fe habetad hoc, (fadla utriusque divihone per 9.) ut 1 —l· |—h TV ad 3.
Progreifionis autem ierie
au&a
,propior
acceifus
fit ad
fubtriplam.
Namque fumma fex terminorum 1, 4,9, «6, 15, 56.91, adprodudlum maxi¬
mi per terminorum numerum 6,
ni-rnirum 216. (utroque divifo per 72)
eft, ut ι —b ·£ —h 7*2 ad 3,
decrcmen-toexiftente Scilicet decrefcunt
hae fra dtionesea iege,utpriorparte di-ruidia pofteriortribus quartisminuatur,
S '
Sic fumma duodecim terminorum,
JJ4>9>ιό, ι 36, 4p, 64, 8i) 100,121, 144«/!. e.6joadmaximum 144 per
nu-merum terminorum \i
multipiicatum
i.e.1718· (fadta utrinque divifionc per
576.)eil, uti -f £ ^ad $>
de-crementoexiftente £ -f
2§g·.
Summa vigintiquatuorterminorum
4P00 adviginti quater 576i.e. 1^824?
(utrinque dividendo per4<5o8.)efl, ut
1 *~E τΐτ*Έ
tt?2 a<^ 3*
Decremento
^5
*4* ττ?χEt fumma quadraginia odlo termi¬
norumh.e. 38014 , eil ad
quadragin-ta ofties 2504h.e. ϊ10*92. ("utrinque
dividendo per 36g04.) ut 1 -E -E .ifey ad decremento ^ -Ε
???δΓ Et
fic porro.
Erititaquefumma quadrätorum &c.ut
ι -Ε | H- *V *
i
"Å
- s* **§2'
tV"3M?f2 "/2 " * Τ?4?Ζ &c·
a(^
4. i. e. ($. p^ & 10.; ut i. ad 5. O.e. d,THEOßEMA III.
5·
13·Interfummam
Progrefllonis
in¬ finit« habeptem terminum maxi¬9
mum
Quadratum,
ceterosdeficien-tes
imparibus
numeris ι, 5, 5, 7,9, ii, &c. Sc
Fadum
exmaxi-moinnumerumterminorumdu&o, ratioeft
fubfesquialtera,
feuut2ad;,
§. 14, Demonftratio. Habeantur treshujusmodi termini, ex. gr. 9, S> >·
bo-rumaggregatuiii 22 eiladfummarn
to-tidemmaximoaeqiialium 17. (fadta
divi-fcone per 9,) uc 2 -ψ J - TV
ad
3.Summa fex terminorum > $0,^,;?.,
17, 20, iij i. e. 16». eil ad aggregatum
totidem maximo aqualmm 2 ιό (faila
utriusque diviiione per 72») ut 2 -+ 4 "71
ac*
3·Summaduodecim terminorum, 144, 14;, 140, ijnng, iip, iog, Hoj
ό;, 44, 23, i, e, 1222, eil ad
duode-cies 144, b.e. 1728·(utrinque dividen· do per f70,)ut2 ^
ad
3.
Summa vigintiquatuorterminorum, 5yι, ^40, 727,
512, 49f,470, 457, 432,407, 380,3Π,
310,287» 176» 47· b#
e. 95Ό0, ad viginti
quater 576. h, e.
Μ824»(dividendo per 460g.jeil» ut .t
d~· rs * ttW ad f.
Decrefcuntnimirumheicquoquc
äio-ϊθ
ftiones, priorparte fui dimidia, &
po-fterior tribus quartis.
Eritque ideointerfummas
progreffio-nis ejusmodi infinita?, & terminorum
infinitorum maximoaequalium ratio,ut
2 -E 2 - T£ - J—f ' I - 15 TT?± - 32 &c· ad ?♦e.
9.& i o)ut ι ad }. Q.e, d.
THEOREMA
IV.
§. >5·
InCirculoQuadrata
Semiordina*
tarum PM &pm
{Fig 4.)funt inter
le, ut Re&anguia exSegrr.entis
dia-metriAP, ΡB, &
Αρ,ρΈ.
§. 10«
Demonßratio. Evidens eftex
Propofi-tione i^. Iib. VI. Euclidisj Quadratum
/M/acquale eiTe R&angulo exAP inΡ B,
& □ pm s redlanguio ex Ap in pB.
Quare fit AB S λ, APκ λ·, Åp s u
PM m yι ρ m £ z. Eritqueyy Ξ ^
—
λ-λ-, & zzjzj au — ««, nec non ut
y\ ad ax — xx, ita zz ad au — ««5&
confequenter yy ad zz ut ax — *.*· ad
40 — «04 h. e, Q PM: □ pmS AP in
It
Ergo Quadrata
Semiordinatarum
PM &pm funt interfe &c. Q. e. d,
CONSECT.
$.
17.Sic Semiordinata PM , imo re&a
quacvis normalirer ab aliquo punfto diametri adperipheriam edu&a, Media
Proporcionalis eftinter Segmenta Dia¬
metri.
THEOREMA
V.
J.
>s.Sphaerae
dimidium
, äutaliud
quodcunque fegmentum,
eftadCy?
Iiηdrum eircumfcriptum
, ieu ea?
dem bafi & altitudine, ut 2ad 3.
S·
19.Bemonfiratio. Ponatur altitudo AB
intres partesarquales divifa(*'/£,*.)Qua¬
dratafemiordinatarum F/l, OH, SI, iunt
inter fe , ($. 1 fA ut reftangula ex
fe-gmentis diametri FA $ in AB$, £//4 in
BH t i LI $ in BI i. h.e.ut9, i·
Porro autem his altitudinisejusdem
partibus bifariam fedlis, oriuntur fex Quadrata femiordinatarum: quae, quia
circuli funt inter fe ut quadrata
12
rum, cum fuisPlanis Circuläribus pro·
grediuntur fe.cundum decrementa nu«
merorum imparium, nempe 36,
jj, 51j£7, 10, 11.
Pariterque isnovxaccedant fediones;
figurachujusprogreffionis reperientur,
544, ϊ4>, 140, ι 34, χι8, i ip, 108, 9f>
80, 6$, 44, 1?.
Ulis quoque fimiliter fubdiviiis
exdem decrefcunt, juxta ieriemnume· rorum, 576, 474, 57a, 467,460, 551,
540,417,4i2,4p4,47<5,4j5,4Ji> 4°7>
380,341, 310, 187,15:2,21;, 176, 13 5^ p2t 4/.
Et hoc modo continua'tis fedioni-bus, propior femper fubfesquialterar noftra fit Ratio, tandemquein
ipiafub-fiftet (§. n.J Hoc eil, ίϊ reda AB in
particulas äquales numero infinitasdi-vifa, Spha?ra mente refolvaturin
Cy-lindrnlos infiniteiimos, feu infinite
parvarum aijritudinum , quorum bafes
lutit circuli radiis^/, OH &c. defcriptij quique adeo ea«dem hanc progreifio
nislegem fervant: patet his
refponde-re in Cylindro GE totidem Cylindru*
los illorum maximo äquales 3 atque
pr©ind,e omhia elementa Sphiera!
ad
I *
1
t
omnia eleme.nta Cylindri, feu totum
Hemispbaerium FBG ad totum
Cyliu-drum EG, ut 2 ad ?.Q. e. d,
THEOREMA VI.
§.
20.ExeeiTus-Cylindri
fuprafphecråm
inicriptam, eft ad Cylindrum, uti ad 5.
§.
21.Jsiemonflratio* Ponantur Iineaeomnes fchematis DB (Fl%.· δ.) circa redlam CB
in orbem converti: atquc hoc motu
Quadratum DB defcribic Cylindrum (§· y.)i Qnadrans BCUA
hasmisphae-rium (§.4.;., Triangulum DCtfCouum
C§>6.j; fcilicethaectria corpora earun-dem bafium & altitudinum.
Bis jam folidis Cylindro
infcriptis
>
ipfique Cylindro, totidem numero
competunt, & finguJis unius fingula
alterius reipondent, indivifibilia.*
enim v. gr, GH Ξ IB
, femidiameter
infinite parvi difci Cylindrici
;
IBt
Sphuerici5 KH Conici. Atque in ΔΔ fimiiibus DCBScKHBob DC & KH (utfupponimus)parallelas,DC: CB cj KH:
KBj ideoque KH jr;
HB. Sed horum
►
Qua-14
QuadrataarqualiaQuadrato
/T£;eoderri-quemodo □ 6Η£ Q IB X QQ 1H &
KH fimul fumtis (Theor. Pyrbag.j^ im-tno (PropoC i. )ib. XII EucljD.) Cir-colus quoque Radio GH dcfcriptus,
aequaturCirculis Radiorum //7& KH. Qoarc ii communis Circulus*
ele-mentum Sphaerac, utrinque
iubtraha-tur, rehnquitur eleraentum Coni ex
KR deicripfum äquale annulo extra
Sphaerarn a GI orto.
Et cum idem valeat de fingulis Cir¬
culis vel difcis per reliquas divifionej
emergentibus: ut nimirum circulus
ex LF aequalis fit annulo
ex £0;
fic-que in univerfum Circuli inträ
Co-num atquales fint annulis extra
Sphac-'
ram; at circuli hi, qui Coni
elemen-ta iunt, manifefto per rationem du»
plicatam progrediuntur, fenut
Quadra-ta Numerorum Cardinalium i, 4, p: inde féquitur annulos quoque extra
Sphaeram, feu elementa exceflus
Cy-Imdrici fupra illam, eodem
modopro-gredi, ut i,4,p,&c.
Quia denique in Cylindro ipfis re< fpondent totidem maximo
aequalia;
*5 * erit exceiftis Cylindri fuper fpkxrana
* fi b i infcriptam
, ut i
ad
5. ( §. n.) Q. e. d.CONSECT.
§.
IlsSed hinc quoque patet Sphxram
fe ad Cylmdrum habere> ut
i ad 5.
Oariffimo
Philofophia?
Candidato
Dn.
ERICO
RUDMAN,
Confanguineo
honoratiflimo>DiiTertationem de
Ratione
Sphara
adCylindrum
Publice edituroj
radio totumqui genttbusorbem
Vir, Siculi quondam
gloria magnaSoli,
Εtumulo iiforte fuo rediviva levaret
Pe&ora, crudeli faucia fafta manu;
Cerneret egregios
> quos ediditipie, labores,
Depingi calamo, Fratek amande,Tuo.
Hinc bene jun&a fuo,
quam fiftis, Sph&ra Cjtin«
dro,
Haud levis eximiae pars Tibilaudis erit.
Grdtulari
volitit-ERIC, STENFELT.